Делимость · урок 7 из 7 · обобщение

Делимость:
остатки
и сравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R08 · ALG8U-126

0 мин · титул (входит в цели)
Паспорт: R08 «Числа и вычисления: делимость» (7 ч), урок 7/7, тип О (обобщение и систематизация). Единицы: R08.1–R08.4. Предыдущие уроки: ALG8U-120 (деление с остатком), ALG8U-121 (сравнения), ALG8U-122 (свойства), ALG8U-123 (остатки суммы и произведения), ALG8U-124, ALG8U-125 (практикумы). Следующий урок ALG8U-127 — итоговое повторение курса (R09).
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: цели 1 (сл. 2, т) · разминка 2 (сл. 3, п) · карта и сводка 4 (сл. 4–5, т) · задания по единицам с «образец → сам» 14 (сл. 6–12: теория 2, практика 12) · приёмы с «сам» 11 (сл. 13–17: теория 5, практика 6) · найди ошибку 2 (сл. 18) · самопроверка 4 (сл. 19) · самостоятельная 4 (сл. 20) · ОГЭ 3 (сл. 21) · итог и ДЗ 2 (сл. 22, т).
Рисунок: последние цифры степеней 7 идут по кругу 7, 9, 3, 1 — это остатки по модулю 10. Вернёмся к нему на слайде 13.

R08.1–R08.4

Цели урока

Ученик научится

Делить с остатком

и отрицательные числа: $a = m q + r, 0 \leq r < m$ (ПР-7)

Применять сравнения

$a \equiv b (mod m) ⟺ m ∣ (a - b)$ (ПР-7)

Находить остатки

суммы, произведения, степени: $2^{100}$ , $7^{2026}$ (ПР-7)

Доказывать

делимость и отсутствие целых решений перебором остатков (ПР-7)

1 мин · теория
ПР-7 (раздел «Делимость»), дословно: «Оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю, находить остатки суммы и произведения по данному модулю». Сегодня — все части результата вместе.
Виды деятельности ФРП: «Формулировать определения делимости нацело, чисел, сравнимых по данному модулю. Выполнять деление с остатком. Доказывать и применять свойства сравнений по модулю. Находить остатки суммы и произведения по данному модулю».
Вопрос классу: «Какая из четырёх целей кажется самой трудной?» — запомнить ответ, вернуться на рефлексии.

разминка · R08.1–R08.2

Разминка · устно

Найдите остаток или ответьте «да / нет»

47 mod 5

2

100 mod 9

1

- 1 mod 7

6

- 10 mod 4

2

17 \equiv ? (mod 6)

5

65 mod 8

1

3^{4} mod 10

1

7 ∣ 1001

?

да

R08 · карта темы

Обобщение · карта темы

Четыре шага одной идеи: важен только остаток

R08.1–R08.4

Обобщение · сводная таблица

Все формулы темы на одном листе

Единица	Формула	Пример
деление с остатком	$a = m q + r, 0 \leq r < m$	$- 17 = 5 \cdot (- 4) + 3$
сравнение	$a \equiv b (mod m) ⟺ m ∣ (a - b)$	$61 \equiv 19 (mod 7)$ : $42 = 7 \cdot 6$
свойства	$a \equiv b, c \equiv d \Rightarrow a \pm c \equiv b \pm d, a c \equiv b d$	$a \equiv b \Rightarrow a^{n} \equiv b^{n}$
остатки	$a + b \equiv r_{a} + r_{b}, ab \equiv r_{a} r_{b}$	$r_{5} (1234 \cdot 5678) = r_{5} (4 \cdot 3) = 2$
нельзя	делить обе части сравнения на число	$6 \equiv 2 (mod 4)$ , но $3 \neq \equiv 1 (mod 4)$

R08.1

Деление с остатком · задание 1

Разделите $- 100$ на $9$ с остатком

- 100 = 9 \cdot (- 12) + 8

q = 13, r = 7 \Rightarrow a = 124

обратная задача:

a = 9 \cdot 13 + 7

2 мин · практика (решаем вместе — образец)
Ученики предлагают решение, учитель открывает шаги. Ведущий вопрос: «Почему не $- 100 = 9 \cdot (- 11) - 1$ ?» — остаток не может быть отрицательным; идём влево до первого кратного, меньшего или равного $- 100$ : $- 108$ .
Проверка: 9 · (−12) = −108; −108 + 8 = −100 ✓. Быстрый способ: 100 = 9 · 11 + 1, значит, остаток −100 равен 9 − 1 = 8.
Обратная задача: делимое 124 (проверка: 124 = 9 · 13 + 7, 7 < 9 ✓). Вопрос: «Может ли при делении на 9 неполное частное быть 13, а остаток 10?» — нет, $r < 9$ .

R08.1

Образец → сам

Разделите с остатком

Алгоритм

1) ближайшее кратное $m$ , не большее $a$ : это $m q$ ;

2) остаток $r = a - m q$ ;

3) проверка: $0 \leq r < m$ .

- 100 = 9 \cdot (- 12) + 8

Сам

$- 23$ на $5$ $- 23 = 5 \cdot (- 5) + 2$
$- 7$ на $3$ $- 7 = 3 \cdot (- 3) + 2$
$- 40$ на $8$ $- 40 = 8 \cdot (- 5) + 0$
$m = 6, q = - 4, r = 5$ ; $a = ?$ $a = - 19$

R08.2

Сравнения по модулю · задание 2

При каких натуральных $m$ верно $61 \equiv 19 (mod m)$ ?

m ∣ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7

m \in {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

R08.2

Образец → сам

Сравнимы ли числа? Найдите модуль

Критерий

a \equiv b (mod m) ⟺ m ∣ (a - b)

Образец: $61 - 19 = 42$ ; подходят все делители числа $42$ .

Сам

Верно ли $85 \equiv 22 (mod 9)$ ? да
Верно ли $- 13 \equiv 17 (mod 8)$ ? нет
все $m$ : $50 \equiv 15 (mod m)$ $1, 5, 7, 35$
Наименьшее $x > 20$ : $x \equiv 3 (mod 7)$ $24$

R08.3

Свойства сравнений · доказательство

Сравнения можно умножать — докажем

Дано: $a \equiv b, c \equiv d (mod m)$

a c - b d = a c - b c + b c - b d

a c - b d = c (a - b) + b (c - d)

m ∣ (a - b), m ∣ (c - d)

по критерию сравнимости

m ∣ (a c - b d) \Rightarrow a c \equiv b d

Следствия

a \equiv b \Rightarrow a^{n} \equiv b^{n}

умножить сравнение само на себя

n

раз

a \equiv b \Rightarrow ka \equiv kb

умножить на

k \equiv k

2 \cdot 3 \equiv 2 \cdot 1 (mod 4)

а

3 \neq \equiv 1 (mod 4)

— делить нельзя

R08.4

Остатки суммы и произведения · задание 3

Таблица умножения остатков по модулю $5$

$\times$	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

Найдите остатки при делении на $5$

1234 \equiv 4, 5678 \equiv 3

1234 + 5678 \equiv 4 + 3 = 7 \equiv 2

1234 \cdot 5678 \equiv 4 \cdot 3 = 12 \equiv 2

123 4^{2} \equiv 4 \cdot 4 = 16 \equiv 1

R08.3 · R08.4

Образец → сам

Считаем остатками, а не числами

$a \equiv 4, b \equiv 6 (mod 7)$ . Остаток при делении на $7$ :

$a + b$ $3$
$a - b$ $5$
$b^{2}$ $1$
$2 a + b$ $0$

Найдите остаток

$1001 \cdot 1002$ при делении на $9$ $6$
$10 0^{2}$ при делении на $11$ $1$

R08.3 · R08.4 · углублённо

Приём 1 · цикл остатков степени

Последняя цифра $7^{2026}$ и остаток $2^{100}$ при делении на $7$

2^{3} = 8 \equiv 1 (mod 7)

ищем степень с остатком

1

2^{100} = (2^{3})^{33} \cdot 2

100 = 3 \cdot 33 + 1

2^{100} \equiv 1^{33} \cdot 2 (mod 7)

r_{7} (2^{100}) = 2

R08.3 · R08.4

Образец → сам

Найдите цикл остатков степени

Алгоритм

1) выписать остатки $a^{1}, a^{2}, \dots$ до повтора;

2) показатель разделить с остатком на длину цикла;

3) взять остаток из цикла.

2^{3} \equiv 1 (mod 7)

Сам

последняя цифра $3^{2027}$ $7$
последняя цифра $9^{101}$ $9$
остаток $2^{50}$ при делении на $7$ $4$
остаток $4^{31}$ при делении на $9$ $4$

R08.4 · углублённо

Приём 2 · перебор остатков

Докажите: $n^{3} - n$ делится на $6$ при любом целом $n$

$n \equiv$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$n^{3}$	$0$	$1$	$8$	$27$	$64$	$125$
$n^{3} \equiv$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$n^{3} - n \equiv$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

все остатки по модулю 6 проверены ✓

Другой путь — разложение

n^{3} - n = (n - 1) n (n + 1)

среди трёх подряд — кратные

2

и

3

6 ∣ n^{3} - n

R08.4 · углублённо

Приём 3 · остатки квадратов

Квадрат даёт не любой остаток

$n (mod 3)$	$0$	$1$	$2$
$n^{2} (mod 3)$	$0$	$1$	$1$

$n (mod 4)$	$0$	$1$	$2$	$3$
$n^{2} (mod 4)$	$0$	$1$	$0$	$1$

x^{2} = 3 y + 2

x^{2} \equiv 2 (mod 3)

— невозможно: целых решений нет

a^{2} + b^{2} (mod 4) \in {0, 1, 2}

суммы остатков

0

и

1

2027 = 4 \cdot 506 + 3

не сумма двух квадратов целых чисел

R08.4 · углублённо

Образец → сам

Перебор остатков: докажите или опровергните

Схема

1) выбрать модуль $m$ ;

2) таблица: $n \equiv 0, 1, \dots, m - 1$ ;

3) проверить каждый столбец.

n^{2} mod 3 \in {0, 1}

Сам

Остатки $n^{2}$ при делении на $5$ ? $0, 1, 4$
$3 ∣ n (n + 1) (2 n + 1)$ при любом $n$ ? да
Есть ли целые решения $x^{2} = 5 y + 3$ ? нет
Может ли $n^{2} + n$ быть нечётным? нет

R08.1–R08.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$- 100 = 9 \cdot (- 11) - 1$ , остаток $- 1$	остаток $\geq 0$	$- 100 = 9 \cdot (- 12) + 8$
$12 \equiv 4 (mod 8) \Rightarrow 3 \equiv 1 (mod 8)$	делить сравнения нельзя	$3 - 1 = 2$ не делится на $8$
$r_{10} (7^{2026})$ : $2026 = 10 \cdot 202 + 6$	делят на модуль, а не на длину цикла	$2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , цифра $9$
для $n = 1, 2, 3$ верно $6 ∣ n^{3} - n$ — доказано	примеры не доказательство	перебрать все остатки $0, \dots, 5$

R08.1–R08.4

Задания с самопроверкой

Шесть заданий по всей теме

базаНайдите остаток от деления $- 58$ на $9$ . $5$
база $a \equiv 3$ , $b \equiv 5 (mod 7)$ . Найдите остаток $ab + 2 a$ при делении на $7$ . $0$
повыш.Найдите остаток от деления $3^{100}$ на $8$ . $1$
повыш.Найдите последнюю цифру числа $2^{2026}$ . $4$
повыш.Докажите: $n^{2} + 1$ не делится на $3$ ни при каком целом $n$ . $n^{2} + 1 \equiv 1$ или $2$
практикаЧасы показывают 9:00. Сколько они покажут через $1000$ часов? 1:00

Подсказки

1) $9 \cdot (- 7) = - 63$

3) $3^{2} = 9 \equiv 1$

5) квадраты по $mod 3$

6) модуль $24$

R08.1–R08.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

остаток $- 47$ при делении на $6$ $1$
$a \equiv 5, b \equiv 3 (mod 8)$ : остаток $ab - a$ $2$
последняя цифра $4^{2025}$ $4$
докажите: $3 ∣ n^{3} + 2 n$ $0, 0, 0$

Вариант 2

остаток $- 53$ при делении на $7$ $3$
$a \equiv 4, b \equiv 6 (mod 9)$ : остаток $ab + b$ $3$
последняя цифра $8^{2026}$ $4$
докажите: $4 ∤ n^{2} + 2$ $2, 3$

R08.3 · R08.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2, доказательство)

Докажите, что число $3^{2026} + 1$ делится на $10$

3^{2026} + 1 ⋮ 10

Запишите решение полностью: каждое сравнение — с обоснованием. Оценка: 0–2 балла.

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как проверить $a \equiv b (mod m)$ без остатков?
Какие действия со сравнениями можно, а какое нельзя?
Как доказать делимость для всех $n$ ?

Домашнее задание

Найдите остаток от деления $5^{2026}$ на $7$ .
Докажите: $5 ∣ n^{5} - n$ при любом целом $n$ .
* Докажите: уравнение $x^{2} - 4 y = 3$ не имеет решений в целых числах.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-126 · Обобщение и систематизация по теме «Числа и вычисления: делимость»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R08 «Числа и вычисления: делимость», 7 ч · урок 7/7 · тип О (обобщение и систематизация)
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %); 22 видимых слайда
Единицы → слайды	R08.1 «Деление с остатком» → 3, 4, 5, 6, 7, 18, 19, 20 · R08.2 «Сравнения целых чисел по модулю натурального числа» → 3, 4, 5, 8, 9, 22 · R08.3 «Свойства сравнений по модулю» → 4, 5, 10, 12, 13, 14, 18, 21 · R08.4 «Остатки суммы и произведения по данному модулю» → 4, 5, 11–17, 19, 20, 21
Результаты	ПР-7 (оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю, находить остатки суммы и произведения по данному модулю) → 2–22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	деление сравнений при взаимно простом делителе, малая теорема Ферма — не вводятся; итоговое повторение курса — ALG8U-127 (R09)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Делимость:остаткии сравнения

Ученик научится

Делить с остатком

Применять сравнения

Находить остатки

Доказывать

Найдите остаток или ответьте «да / нет»

Четыре шага одной идеи: важен только остаток

Все формулы темы на одном листе

Разделите −100 на 9 с остатком

Разделите с остатком

Алгоритм

Сам

При каких натуральных m верно 61≡19(modm)?

Сравнимы ли числа? Найдите модуль

Критерий

Сам

Сравнения можно умножать — докажем

Таблица умножения остатков по модулю 5

Считаем остатками, а не числами

a≡4, b≡6(mod7). Остаток при делении на 7:

Найдите остаток

Последняя цифра 72026 и остаток 2100 при делении на 7

Найдите цикл остатков степени

Алгоритм

Сам

Докажите: n3−n делится на 6 при любом целом n

Квадрат даёт не любой остаток

Перебор остатков: докажите или опровергните

Схема

Сам

Найдите ошибку

Шесть заданий по всей теме

Подсказки

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Докажите, что число 32026+1 делится на 10

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-126 · Обобщение и систематизация по теме «Числа и вычисления: делимость»

Делимость:
остатки
и сравнения

Разделите $- 100$ на $9$ с остатком

При каких натуральных $m$ верно $61 \equiv 19 (mod m)$ ?

Таблица умножения остатков по модулю $5$

$a \equiv 4, b \equiv 6 (mod 7)$ . Остаток при делении на $7$ :

Последняя цифра $7^{2026}$ и остаток $2^{100}$ при делении на $7$

Докажите: $n^{3} - n$ делится на $6$ при любом целом $n$

Докажите, что число $3^{2026} + 1$ делится на $10$