Делимость · урок 6 из 7 · практикум

Практикум:
сравнения целых
чисел по модулю
натурального числа

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R08 · ALG8U-125

Паспорт: R08 «Числа и вычисления: делимость» (7 ч), урок 6/7, единица R08.2 «Сравнения целых чисел по модулю натурального числа». Тип П (практикум). Было: ALG8U-120 «Деление с остатком», ALG8U-121 «Сравнения…» (новый материал), ALG8U-122–123 (свойства сравнений, остатки суммы и произведения), ALG8U-124 — практикум «Деление с остатком». Дальше: ALG8U-126 — обобщение по всей строке R08.
0,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13 (все теоретические слайды сохранены полностью: определение, образцы, классы вычетов, доказательство равносильности, часы и календарь, принцип Дирихле). Практика — разминка (3), задания после каждого образца (5, 7, 9, 12, 14), задания с самопроверкой (15, 16, 18), найдите ошибку (17), самостоятельная работа по вариантам (19), формат ОГЭ (20), рефлексия и ДЗ (21).
Время по слайдам: 1 — 0,5 · 2 — 0,5 · 3 — 2,5 · 4 — 2 · 5 — 3 · 6 — 2 · 7 — 2,5 · 8 — 2,5 · 9 — 3 · 10 — 3 · 11 — 1,5 · 12 — 2,5 · 13 — 2 · 14 — 2 · 15 — 2,5 · 16 — 2,5 · 17 — 2 · 18 — 2 · 19 — 3,5 · 20 — 2 · 21 — 1 (мин).
Свойства сравнений (R08.3) и остатки суммы и произведения (R08.4) здесь сознательно не используются: работаем только с определением — это тренирует саму единицу R08.2.
Если не успеваете: на сл. 9 оставить а) и б), на сл. 16 — задания 1–3, сл. 18 перенести в ДЗ. Теорию (сл. 10 — доказательство) не сокращать.

R08.2

Цели практикума · ПР-7

Четыре типа задач на сравнения по модулю

1Проверка

верно ли $a \equiv b (mod m)$ — через разность $a - b$

2Остаток

отрицательного числа: $0 \leq r < m$

3Классы

все числа $x \equiv r (mod m)$ : формула $x = mk + r$

4Применение

часы, календарь, принцип Дирихле, доказательства

0,5 мин · теория
ПР-7: «Оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю, находить остатки суммы и произведения по данному модулю». Сегодня — первая часть: понятие остатка и сравнения по модулю.
Виды деятельности ФРП строки: «Формулировать определения делимости нацело, чисел, сравнимых по данному модулю. Выполнять деление с остатком».
Вопрос классу: «Где в жизни числа "ходят по кругу"?» — часы, дни недели, месяцы.

повторение: R08.1

Разминка · устно

Деление с остатком и делимость

Остаток от деления $47$ на $5$ ? $2$
Остаток от деления $100$ на $7$ ? $2$
Остаток от деления $2026$ на $9$ ? $1$
$59 = 8 \cdot ? + ?$ $8 \cdot 7 + 3$

Делится ли $91$ на $7$ ? да, $7 \cdot 13$
Все делители числа $18$ ? $1, 2, 3, 6, 9, 18$
$5 - (- 9) = ?$ $14$
$НОК (6; 8) = ?$ $24$

R08.2 · актуализация

Вспоминаем · определение

Сравнимы — значит «стоят в одной точке круга»

a \equiv b (mod m)

⟺

(a - b) ⋮ m

— разность делится на

m

⟺

a

и

b

дают одинаковые остатки при делении на

m

Устно:

17 \equiv ? (mod 7)

,

30 \equiv ? (mod 4)

2 мин · теория (определение; устные вопросы — по ходу)
Вопросы: «Почему 17 и −4 попали в одну точку?» — 17 − (−4) = 21 = 3 · 7. «Сколько точек на круге по модулю m?» — m (остатки 0, 1, …, m − 1).
Устно: 17 ≡ 3 (mod 7); 30 ≡ 2 (mod 4). Принимаем и другие верные ответы (17 ≡ 10 ≡ −4), но просим наименьший неотрицательный.
Обозначение: $(a - b) ⋮ m$ читается «a − b делится на m»; равносильная запись $m ∣ (a - b)$ .
Ошибка: «сравнимы — значит равны». 17 ≠ 3, но по модулю 7 они неразличимы.

R08.2 · тип 1

1Проверка сравнимости · образец и задания

Верно ли, что $47 \equiv - 5 (mod 13)$ ?

47 - (- 5) = 52

шаг 1: разность (со скобками!)

52 = 4 \cdot 13 \Rightarrow 52 ⋮ 13

шаг 2: делится ли на модуль

Да:

47 \equiv - 5 (mod 13)

база $83 \equiv 20 (mod 9)$ ?
база $- 17 \equiv 25 (mod 6)$ ?
повыш. $58 \equiv - 3 (mod 12)$ ?
углубл.При каких натуральных $m$ верно $40 \equiv 12 (mod m)$ ?

3 мин · практика (образец — 0,5 мин, задания 1–4 — в парах)
Образец — коротко, задания — в парах. Рисунок: от −5 до 47 ровно четыре шага по 13 — значит, числа в одной точке «круга по модулю 13».
Ответы: 1) 83 − 20 = 63 = 7 · 9 — да ✓. 2) −17 − 25 = −42 = −7 · 6 — да ✓ (разность может быть отрицательной). 3) 58 − (−3) = 61, 61 не делится на 12 — нет ✓ (61 = 5 · 12 + 1).
4) 40 − 12 = 28, значит m — делитель 28: m ∈ {1; 2; 4; 7; 14; 28} ✓. Вопрос: «А m = 1?» — по модулю 1 сравнимы любые два числа (это допустимый, но «скучный» модуль).
Ошибка: 47 − 5 = 42 — «потеряли» минус у −5; 42 не делится на 13, получают неверное «нет».

R08.2 · тип 2

2Остаток отрицательного числа · образец

Найдите остаток от деления $- 23$ на $5$

- 23 = 5 \cdot (- 5) + 2

неполное частное — шаг влево до кратного

0 \leq 2 < 5

проверка: остаток не отрицателен и меньше модуля

r = 2, - 23 \equiv 2 (mod 5)

Приём

Прибавить кратное модуля: $- 23 + 25 = 2$

Быстро

$23 = 5 \cdot 4 + 3 \Rightarrow r = 5 - 3 = 2$

R08.2 · тип 2 · решите сами

2Остаток отрицательного числа · четыре задания

Найдите остаток $r$ , $0 \leq r < m$

базаа) $- 47$ при делении на $6$

- 47 = 6 \cdot (- 8) + 1, r = 1

базаб) $- 100$ при делении на $7$

- 100 = 7 \cdot (- 15) + 5, r = 5

повыш.в) $- 1$ при делении на $m$ , $m \geq 2$

- 1 = m \cdot (- 1) + (m - 1), r = m - 1

углубл.г) $- 2026$ при делении на $9$

2026 = 9 \cdot 225 + 1 \Rightarrow r = 9 - 1 = 8

Проверка ответа:

m \cdot q + r

должно дать исходное число

R08.2 · тип 3

3Классы чисел с одинаковым остатком · образец

Все целые числа раскладываются на $m$ классов

x \equiv r (mod m) ⟺ x = mk + r, k \in Z

Все двузначные $x \equiv 3 (mod 7)$

10 \leq 7 k + 3 \leq 99 \Rightarrow 1 \leq k \leq 13

10, 17, 24, \dots, 94

— 13 чисел

2,5 мин · теория (классы вычетов, формула x = mk + r, образец)
Вопрос: «Какого цвета будет 101? А −101?» — 101 = 4 · 25 + 1 (розовый класс 4k + 1); −101 = 4 · (−26) + 3 (жёлтый, 4k + 3).
Образец: 7k ≥ 7 ⇒ k ≥ 1; 7k ≤ 96 ⇒ k ≤ 13 (96 : 7 = 13 целых 5/7). k = 1, …, 13 — 13 чисел; первое 7 + 3 = 10, последнее 91 + 3 = 94 ✓ (проверено перебором).
Идея: каждое целое число попадает ровно в один класс — по своему остатку. Классов столько, сколько остатков: m.
Ошибка: считают k от 0 (получают 3 — не двузначное) или берут k = 14 (101 — трёхзначное).

R08.2 · тип 3 · решите сами

3Классы чисел · четыре задания

Записать $x = mk + r$ и ограничить $k$

базаа) Наибольшее трёхзначное $x \equiv 5 (mod 12)$

12 k + 5 \leq 999 \Rightarrow k \leq 82; x = 989

повыш.б) Сколько чисел от 1 до 200 сравнимы с 2 по модулю 9?

1 \leq 9 k + 2 \leq 200 \Rightarrow 0 \leq k \leq 22; 23

повыш.в) $x \equiv - 1 (mod 5)$ : формула и ближайшее к 100

x = 5 k - 1 = 5 k^{'} + 4; x = 99

углубл.г) $1 \leq x \leq 30$ , $x \equiv 2 (mod 3)$ и $x \equiv 3 (mod 4)$

x + 1

делится на 3 и на 4:

x = 11, 23

3 мин · практика
В парах.
а) 12k ≤ 994 ⇒ k ≤ 82 (12 · 83 = 996 > 994); 12 · 82 + 5 = 984 + 5 = 989 ✓; 989 − 5 = 984 = 82 · 12 ✓.
б) 9k + 2 ≥ 1 ⇒ k ≥ 0 (k = −1 даёт −7); 9k ≤ 198 ⇒ k ≤ 22. k = 0, 1, …, 22 — 23 числа: 2, 11, …, 200 ✓ (проверено перебором).
в) 5k − 1 = 5(k − 1) + 4, т. е. x ≡ 4 (mod 5): …, 94, 99, 104, … Ближайшее к 100 — 99 (расстояние 1; 104 — расстояние 4) ✓.
г) x ≡ 2 ≡ −1 (mod 3) и x ≡ 3 ≡ −1 (mod 4) ⇒ x + 1 делится на 3 и на 4, т. е. на 12 (3 и 4 взаимно просты): x + 1 ∈ {12; 24} ⇒ x ∈ {11; 23} ✓. Можно и перебором: числа 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 — проверить остатки при делении на 3.

R08.2 · доказательство

Углублённо · почему два определения равносильны

$(a - b) ⋮ m ⟺$ у $a$ и $b$ одинаковые остатки

a = m q_{1} + r_{1}, b = m q_{2} + r_{2}, 0 \leq r_{1}, r_{2} < m

a - b = m (q_{1} - q_{2}) + (r_{1} - r_{2})

вычитаем почленно

\Leftarrow

: если

r_{1} = r_{2}

, то

a - b = m (q_{1} - q_{2}) ⋮ m

\Rightarrow

: если

(a - b) ⋮ m

, то

(r_{1} - r_{2}) ⋮ m

а

- m < r_{1} - r_{2} < m

— см. рисунок

r_{1} - r_{2} = 0

, т. е.

r_{1} = r_{2}

∎

3 мин · теория (доказательство)
Это теорема, на которой держится весь практикум: она разрешает проверять сравнимость то через разность (тип 1), то через остатки (тип 2, 3).
Ключевой шаг ⇒: m(q₁ − q₂) делится на m и a − b делится на m, значит, и разность (a − b) − m(q₁ − q₂) = r₁ − r₂ делится на m (свойство делимости разности).
Почему −m < r₁ − r₂ < m: 0 ≤ r₁ ≤ m − 1 и 0 ≤ r₂ ≤ m − 1, поэтому −(m − 1) ≤ r₁ − r₂ ≤ m − 1.
Вопрос: «Где использовано, что остаток меньше m? Что сломается без этого?» — без условия 0 ≤ r < m «остатков» у числа было бы много, и вывод r₁ = r₂ не верен.
Для слабого класса: показать на числах a = 38, b = 17, m = 7: 38 = 7 · 5 + 3, 17 = 7 · 2 + 3, 38 − 17 = 21 = 7 · 3.

R08.2 · тип 4

4Практика · время ходит по кругу

Часы — модуль 24, неделя — модуль 7

1 сентября 2026 г. — вторник. Какой день недели через 100 дней?

100 = 7 \cdot 14 + 2, 100 \equiv 2 (mod 7)

вторник

+ 2

= четверг

Сейчас 15:00. Сколько будет на часах через 1000 ч?

1000 \equiv 16 (mod 24); 15 + 16 = 31 \equiv 7

7:00

R08.2 · тип 4 · решите сами

4Часы и календарь · четыре задания

Заменить число остатком: модуль 24 или 7

базаа) Сейчас 20:00. Сколько будет на часах через 50 ч?

50 \equiv 2 (mod 24); 20 + 2 = 22

→ 22:00

базаб) Сегодня среда. Какой день недели будет через 45 дней?

45 \equiv 3 (mod 7)

: среда

+ 3

= суббота

повыш.в) Сейчас 9:00. Сколько было на часах 100 ч назад?

100 \equiv 4 (mod 24); 9 - 4 = 5

→ 5:00

углубл.г) 1 сентября 2026 г. — вторник. А 1 сентября 2027 г.?

365 \equiv 1 (mod 7)

: вторник

+ 1

= среда

R08.2 · тип 4 · доказательство

Олимпиадный приём · остатки — это «клетки»

Среди любых 8 целых чисел есть два, разность которых делится на 7

остатков при делении на 7 всего 7

8 чисел, 7 клеток ⇒
два числа в одной

a \equiv b (mod 7) \Rightarrow (a - b) ⋮ 7

∎

А сколько чисел нужно для модуля 10?

2 мин · теория (принцип Дирихле, доказательство)
Принцип Дирихле: если 8 «кроликов» сидят в 7 «клетках», то в какой-то клетке не меньше двух кроликов. Клетки — остатки 0, 1, …, 6.
Последний шаг опирается на теорему со сл. 10: одинаковые остатки ⇒ разность делится на модуль.
Ответ на вопрос: 11 чисел (10 клеток-остатков); 10 чисел может не хватить: 0, 1, …, 9 попарно не сравнимы по модулю 10.
Вопрос на углубление: «Верно ли, что среди любых 7 чисел найдутся два с разностью, кратной 7?» — нет, контрпример 0, 1, …, 6.

R08.2 · тип 4 · решите сами

Принцип Дирихле · клетки — остатки

Сколько «кроликов» и сколько «клеток»?

базаа) Сколько целых чисел нужно взять, чтобы среди них наверняка нашлись два с разностью, кратной $12$ ?

12 остатков ⇒ нужно

13

чисел (12 может не хватить:

0, 1, \dots, 11

)

повыш.б) В классе 30 учеников. Сколько из них наверняка родились в один и тот же день недели (наибольшее гарантированное число)?

4 \cdot 7 = 28 < 30

⇒ хотя бы

5

учеников

углубл.в) Можно ли выбрать 7 целых чисел, никакие два из которых не сравнимы по модулю 6?

нет: остатков всего 6, два числа попадут в одну «клетку»

2 мин · практика
а) Клетки — остатки 0, 1, …, 11 (их 12); 13 чисел ⇒ два с одинаковым остатком ⇒ разность делится на 12 ✓. Пример 0, 1, …, 11 показывает, что 12 чисел может не хватить.
б) Клетки — 7 дней недели. Если бы в каждый день родилось не больше 4, учеников было бы не больше 28 < 30 — противоречие ⇒ найдутся 5 ✓. Шести можно и не набрать: 5 + 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 30.
в) Нет: 7 чисел, 6 остатков ⇒ два числа с одинаковым остатком, т. е. сравнимы по модулю 6 ✓.

R08.2 · самопроверка

Задания с самопроверкой · базовый уровень

Решите — ответ откроется по клику

Верно ли $38 \equiv 3 (mod 7)$ ? да
Верно ли $29 \equiv - 1 (mod 6)$ ? да
Верно ли $50 \equiv 14 (mod 8)$ ? нет
Остаток от деления $- 9$ на $4$ ? $3$

Остаток от деления $- 30$ на $7$ ? $5$
Остаток от деления $- 1$ на $10$ ? $9$
Наименьшее $x > 50$ , $x \equiv 4 (mod 9)$ ? $58$
Числа вида $5 k + 2$ от $30$ до $40$ ? $32; 37$

R08.2 · самопроверка

Задания с самопроверкой · повышенный и углублённый уровень

Пять заданий — ответ по клику

повыш.Все натуральные $m$ , при которых $31 \equiv 7 (mod m)$ . $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$
повыш.Сколько трёхзначных чисел сравнимы с $1$ по модулю $11$ ? $82$
повыш.Наименьшее натуральное $n$ , при котором $2 n + 1 \equiv 0 (mod 7)$ . $3$
углубл.Все $x$ от $1$ до $50$ : $x \equiv 1 (mod 4)$ и $x \equiv 1 (mod 6)$ . $1, 13, 25, 37, 49$
углубл.Докажите: если $a \equiv b (mod 12)$ , то $a \equiv b (mod 3)$ . $a - b = 12 t = 3 \cdot 4 t$

2,5 мин · практика
Решают в парах, ответы открываются по одному.
1) 31 − 7 = 24; m — делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ✓. 2) 100 ≤ 11k + 1 ≤ 999 ⇒ 9 ≤ k ≤ 90 (11 · 9 + 1 = 100, 11 · 90 + 1 = 991, 11 · 91 + 1 = 1002) ⇒ 90 − 9 + 1 = 82 ✓ (проверено перебором).
3) 2n + 1 делится на 7: n = 1 → 3, n = 2 → 5, n = 3 → 7 ✓ ⇒ n = 3. 4) x − 1 делится на 4 и на 6, т. е. на НОК = 12: x − 1 ∈ {0; 12; 24; 36; 48} ⇒ x ∈ {1; 13; 25; 37; 49} ✓ (проверено перебором).
5) a − b делится на 12: a − b = 12t = 3 · (4t) ⇒ делится на 3 ✓. Обратное неверно: 4 ≡ 1 (mod 3), но 4 − 1 = 3 не делится на 12.

R08.2 · ошибки

Типичные ошибки · найдите и объясните

Где ошибка?

Запись ученика	Верно	Почему
остаток $- 23$ при делении на 5 равен $- 3$	$2$	остаток: $0 \leq r < m$
$17 \equiv 3 (mod 5)$ , ведь $17 : 5 = 3$ (ост. 2)	$17 \equiv 2 (mod 5)$	3 — неполное частное, а не остаток
$47 \equiv - 5 (mod 13)$ неверно: $47 - 5 = 42$	верно: $52 ⋮ 13$	разность $47 - (- 5)$ — со скобками
$5 \equiv 19 (mod 7)$ неверно: $5 < 19$	верно: $- 14 ⋮ 7$	разность может быть отрицательной
$40 \equiv 12 (mod m) \Rightarrow m ⋮ 28$	$28 ⋮ m$	модуль — делитель разности

R08.2 · самопроверка

Задания с самопроверкой · все четыре типа

Пять заданий — ответ по клику

базаВерно ли, что $125 \equiv 17 (mod 12)$ ? да
базаНайдите остаток от деления $- 58$ на $9$ . $5$
повыш.Найдите все натуральные $m > 1$ , при которых $53 \equiv 29 (mod m)$ . $2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$
практикаПоезд отправился в 21:00 и был в пути 75 ч. В какое время он прибыл? 0:00
углубл.Докажите: если $a \equiv 3 (mod 8)$ , то $a \equiv 3 (mod 4)$ . Верно ли обратное? $a = 4 \cdot 2 k + 3$ ; обратное неверно: $7$

Подсказки

1) найдите $125 - 17$

2) кратное 9 слева от $- 58$

4) модуль 24

5) $a = 8 k + 3$

2 мин · практика
Решают все вместе по одному заданию: минута на задание — и ответ открывается кликом. Ответы:
1) 125 − 17 = 108 = 9 · 12 — да ✓ (125 = 120 + 5, 17 = 12 + 5 — остатки равны).
2) −58 = 9 · (−7) + 5: −63 + 5 = −58 ✓; r = 5.
3) 53 − 29 = 24; m — делители 24, больше 1: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ✓.
4) 21 + 75 = 96 = 4 · 24 ⇒ 96 ≡ 0 (mod 24) — прибыл в 0:00 (полночь, через 3 суток и 3 ч после отправления — на четвёртые сутки) ✓.
5) a = 8k + 3 = 4 · (2k) + 3 ⇒ a ≡ 3 (mod 4) ✓. Обратное неверно: 7 ≡ 3 (mod 4), но 7 ≢ 3 (mod 8) (7 − 3 = 4 не делится на 8).

R08.2 · самостоятельная работа

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

По вариантам

Вариант 1

Верно ли $74 \equiv 11 (mod 9)$ ? да
Остаток от деления $- 40$ на $7$ ? $2$
Наибольшее двузначное $x \equiv 3 (mod 8)$ ? $99$
Сейчас 18:00. Сколько будет на часах через 40 ч? 10:00

Вариант 2

Верно ли $61 \equiv - 5 (mod 11)$ ? да
Остаток от деления $- 50$ на $8$ ? $6$
Наименьшее трёхзначное $x \equiv 5 (mod 7)$ ? $103$
Сегодня пятница. Какой день недели будет через 60 дней? вторник

R08.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 (текстовая задача)

Сколько участников олимпиады?

Участников больше 100, но меньше 130. Если рассадить их рядами по 8 человек, останется 5 человек, а если рядами по 12 — останется 9. Сколько было участников?

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как проверить, что $a \equiv b (mod m)$ ?
Как найти остаток отрицательного числа?
Сколько классов по модулю $m$ ?

Домашнее задание

Остаток от деления $- 135$ на $11$ .
1 сентября 2026 г. — вторник. Какой день недели 1 января 2027 г.?
* Докажите: среди любых 6 целых чисел есть два, разность которых делится на 5.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) 11 · 13 = 143; −135 = 11 · (−13) + 8 ⇒ r = 8 ✓.
2) Сентябрь 30 дней, октябрь 31, ноябрь 30, декабрь 31: от 1 сентября до 1 января 30 + 31 + 30 + 31 = 122 дня; 122 = 7 · 17 + 3 ⇒ вторник + 3 = пятница ✓ (сверено по календарю).
3*) Остатков при делении на 5 — пять, чисел шесть ⇒ два числа с одинаковым остатком (принцип Дирихле), их разность делится на 5.
Следующий урок ALG8U-126 — обобщение по всей строке R08: деление с остатком, сравнения, их свойства, остатки суммы и произведения.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-125 · Практикум: Сравнения целых чисел по модулю натурального числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R08 «Числа и вычисления: делимость», 7 ч · урок 6/7 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R08.2 «Сравнения целых чисел по модулю натурального числа» → 2–21 (теория: 4, 6, 8, 10, 11, 13; практика: 3, 5, 7, 9, 12, 14–21)
Результаты	ПР-7 (оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю, находить остатки суммы и произведения по данному модулю) → 2–21, в части понятия остатка и сравнения по модулю · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства сравнений (R08.3) и остатки суммы и произведения (R08.4) — ALG8U-122, 123, обобщение ALG8U-126; деление с остатком (R08.1) — опора из ALG8U-120, 124; НОК в задаче ОГЭ — повторение 6 класса
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · урок-практикум: теория не сокращалась, добавлены разминка, задания к образцам, самопроверка, самостоятельная по вариантам
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:сравнения целыхчисел по модулюнатурального числа

Четыре типа задач на сравнения по модулю

1Проверка

2Остаток

3Классы

4Применение

Деление с остатком и делимость

Сравнимы — значит «стоят в одной точке круга»

Верно ли, что 47≡−5(mod13)?

Найдите остаток от деления −23 на 5

Приём

Быстро

Найдите остаток r, 0≤r<m

Все целые числа раскладываются на m классов

Записать x=mk+r и ограничить k

(a−b) ⋮ m⟺ у a и b одинаковые остатки

Часы — модуль 24, неделя — модуль 7

Заменить число остатком: модуль 24 или 7

Среди любых 8 целых чисел есть два, разность которых делится на 7

Сколько «кроликов» и сколько «клеток»?

Решите — ответ откроется по клику

Пять заданий — ответ по клику

Где ошибка?

Пять заданий — ответ по клику

Подсказки

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Сколько участников олимпиады?

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-125 · Практикум: Сравнения целых чисел по модулю натурального числа

Практикум:
сравнения целых
чисел по модулю
натурального числа

Верно ли, что $47 \equiv - 5 (mod 13)$ ?

Найдите остаток от деления $- 23$ на $5$

Найдите остаток $r$ , $0 \leq r < m$

Все целые числа раскладываются на $m$ классов

Записать $x = mk + r$ и ограничить $k$

$(a - b) ⋮ m ⟺$ у $a$ и $b$ одинаковые остатки