Делимость · урок 5 из 7 · практикум

Практикум:
деление
с остатком

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R08 · ALG8U-124

1 мин · теория (оргмомент, тема и тип урока)
Паспорт: R08 «Числа и вычисления: делимость» (7 ч), урок 5/7, единица R08.1 «Деление с остатком». Тип П (практикум).
До этого: ALG8U-120 (деление с остатком), ALG8U-121 (сравнения по модулю), ALG8U-122 (свойства сравнений), ALG8U-123 (остатки суммы и произведения). Следующий — ALG8U-125, практикум по сравнениям. Поэтому здесь работаем языком равенства $a = b q + r$ , без записи сравнений.
Хронометраж (45 мин): теория 14 мин · практика 31 мин (69 %).
По слайдам: титул 1 т · цели 1 т · разминка 3 п · карта 1 т · тип 1 — образец 2 т + сами 3 п · тип 2 — образец 3 т + сами 3 п · тип 3 — образец 3 т + сами 3 п · тип 4 — образец 3 т + сами 3 п · ошибки 2 п · задания с самопроверкой 4 п · самостоятельная (2 варианта) 6 п · ОГЭ 2 п · итог и ДЗ 2 п (т — теория, п — практика).
Теоретические образцы показывает учитель; сразу после каждого — задания того же типа ученикам. Если не успеваете: на слайде 14 решить задания 1–3, остальные — в ДЗ.

R08.1

Цели урока

Четыре приёма для задач на остатки

Отрицательное делимое

делить с остатком любые целые числа: $0 \leq r < b$ (ПР-7)

Остаток выражения

записывать $a = bk + r$ и находить остатки $2 a + 1$ , $a^{2}$ (ПР-7)

Перебор остатков

доказывать утверждения для всех целых $n$ (ПР-7)

Заданные остатки

находить числа по остаткам и решать задачи из жизни (ПР-7, ПР-23)

повторение

Разминка · устно · 3 минуты

Найдите неполное частное $q$ и остаток $r$

a = b \cdot q + r, 0 \leq r < b

47 : 6

47 = 6 \cdot 7 + 5

100 : 7

100 = 7 \cdot 14 + 2

6 : 9

6 = 9 \cdot 0 + 6

0 : 3

0 = 3 \cdot 0 + 0

- 20 : 5

- 20 = 5 \cdot (- 4) + 0

- 1 : 4

- 1 = 4 \cdot (- 1) + 3

R08.1

План практикума · что видим → какой приём

Узнай тип — и приём подскажет решение

R08.1

Тип 1 · образец · отрицательное делимое

Разделите с остатком $- 23$ на $5$

- 23 = 5 \cdot (- 5) + 2

кратное слева:

- 25

q = - 5, r = 2

проверка:

0 \leq 2 < 5

r = 5 - 3 = 2

быстро:

23 = 5 \cdot 4 + 3

, остаток

5 - 3

R08.1

Тип 1 · решаем сами · в парах

Деление с остатком и обратные задачи

база

- 47 : 6

и

- 100 : 7

- 47 = 6 \cdot (- 8) + 1; - 100 = 7 \cdot (- 15) + 5

база

b = 9, q = - 4, r = 3

. Найдите

a

.

a = 9 \cdot (- 4) + 3 = - 33

повыш.

- 3 : 8

и

- 48 : 6

- 3 = 8 \cdot (- 1) + 5; - 48 = 6 \cdot (- 8) + 0

повыш.

При делении натурального

a

на

12

частное равно остатку. Наибольшее

a

?

a = 13 r, r \leq 11 \Rightarrow a = 143

R08.1 · углублённо

Тип 2 · образец · остаток выражения

$n$ при делении на $7$ даёт остаток $5$ . Найдите остаток $n^{2}$

n = 7 k + 5, k \in Z

определение остатка

n^{2} = 49 k^{2} + 70 k + 25

= 7 (7 k^{2} + 10 k + 3) + 4

25 = 7 \cdot 3 + 4

остаток

4

3 n + 4 = 7 (3 k + 2) + 5

→ остаток

5

R08.1 · углублённо

Тип 2 · решаем сами

Запишите $a = bk + r$ — и выделите кратное

база

a = 5 k + 3

остаток

2 a + 1

и

a^{2}

при делении на

5

?

2

и

4

повыш.

a = 9 k + 7, b = 9 m + 4

остаток

a + b

и

ab

при делении на

9

?

2

и

1

повыш.

Остаток

n

при делении на

6

равен

5

.

Остаток

n

при делении на

3

?

2

Верно ли обратное к в): если остаток при делении на

3

равен

2

, то при делении на

6

он равен

5

?

R08.1 · углублённо

Тип 3 · образец · перебор остатков

Докажите: $n^{2}$ при делении на $3$ даёт остаток $0$ или $1$

$n$	$n^{2}$	остаток
$3 k$	$9 k^{2} = 3 \cdot 3 k^{2}$	$0$
$3 k + 1$	$3 (3 k^{2} + 2 k) + 1$	$1$
$3 k + 2$	$3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1$	$1$

Следствие:

2027 = 3 \cdot 675 + 2

— не квадрат целого числа.

Сам: докажите, что

n^{2} + 1

не делится на

3

ни при каком целом

n

.

R08.1 · углублённо

Тип 3 · решаем сами · перебор остатков

Разбейте $n$ на классы — и проверьте каждый

база

Докажите:

n^{2} + n

чётно при любом целом

n

.

n = 2 k

и

n = 2 k + 1

: в обоих случаях есть множитель

2

повыш.

Какие остатки даёт

n^{2}

при делении на

5

?

только

0

,

1

,

4

повыш.

Докажите:

n^{2} + 3

не делится на

5

ни при каком целом

n

.

остатки

3

,

4

,

2

— нуля нет

Вывод из б): квадрат целого числа не может оканчиваться на

2

,

3

,

7

или

8

.

R08.1 · углублённо

Тип 4 · образец · число по остаткам

Наименьшее $n \in N$ : остатки $3, 4, 5$ при делении на $4, 5, 6$

n + 1

делится на

4

,

5

и

6

НОК (4; 5; 6) = 60

n = 60 - 1 = 59

R08.1 · углублённо

Тип 4 · решаем сами · число по остаткам

Чего «не хватает» или что «лишнее»?

база

Наименьшее

n > 1

: остаток

1

при делении на

2

,

3

и

4

.

n - 1 = 12 \Rightarrow n = 13

база

Наименьшее

n \in N

: остатки

1

,

2

,

3

при делении на

2

,

3

,

4

.

n + 1 = 12 \Rightarrow n = 11

повыш.

Все

n

от

100

до

200

с остатком

4

при делении и на

5

, и на

6

.

124; 154; 184

жизнь

Конфеты раскладывают по

3

,

4

или

5

— всегда остаются

2

. Конфет от

10

до

100

. Сколько?

62

R08.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$- 17 = 5 \cdot (- 3) - 2$ , $r = - 2$	остаток не может быть отрицательным	$- 17 = 5 \cdot (- 4) + 3$
$95 = 7 \cdot 12 + 11$ , $r = 11$	остаток должен быть меньше $7$	$95 = 7 \cdot 13 + 4$
$n = 6 k + 5$ → при делении на $3$ остаток $5$	$5 \geq 3$ , надо делить дальше	$3 (2 k + 1) + 2$ , $r = 2$
$n = 7 k + 5$ → остаток $n^{2}$ равен $25$	$25 > 7$	$25 = 7 \cdot 3 + 4$ , $r = 4$
«для $n = 1, 2, 3$ верно — значит, для всех»	примеры ≠ доказательство	перебор всех классов остатков

R08.1

Задания с самопроверкой · в парах · 4 минуты

Шесть заданий — по всем типам практикума

базаВыполните деление с остатком: $- 58$ на $9$ . $- 58 = 9 \cdot (- 7) + 5$
базаДелитель $13$ , неполное частное $- 6$ , остаток $11$ . Найдите делимое. $a = - 67$
повыш. $a$ при делении на $8$ даёт остаток $6$ . Найдите остаток $5 a - 3$ при делении на $8$ . остаток $3$
повыш.Докажите: $n^{2}$ при делении на $4$ даёт остаток $0$ или $1$ . Квадрат ли число $2027$ ? $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ — не квадрат
повыш.Найдите наименьшее натуральное число с остатком $3$ при делении на $5$ и остатком $5$ при делении на $7$ . $33$
практикаСегодня среда. Какой день недели будет через $100$ дней? Какой был $50$ дней назад? пятница; вторник

4 мин · практика (пары решают, ответы открываются по одному — проверяем всем классом)
1) $- 58 = 9 \cdot (- 7) + 5$ ; проверка $- 63 + 5 = - 58$ .
2) $a = 13 \cdot (- 6) + 11 = - 67$ .
3) $a = 8 k + 6$ , $5 a - 3 = 40 k + 27 = 8 (5 k + 3) + 3$ → остаток $3$ . Проверка $a = 6$ : $27 = 24 + 3$ .
4) $(2 k)^{2} = 4 k^{2}$ , $(2 k + 1)^{2} = 4 (k^{2} + k) + 1$ . $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ — остаток $3$ , значит не квадрат (сверка: $4 5^{2} = 2025$ , $4 6^{2} = 2116$ ).
5) $n + 2$ делится на $5$ и на $7$ → на $35$ ; $n = 33$ . Проверка: $33 = 5 \cdot 6 + 3 = 7 \cdot 4 + 5$ .
6) $100 = 7 \cdot 14 + 2$ → среда $+ 2$ = пятница. $- 50 = 7 \cdot (- 8) + 6$ → среда $+ 6$ = вторник (проверка: $49$ дней назад — среда, ещё день назад — вторник).

R08.1

Самостоятельная работа · 6 минут · два варианта

По одному заданию на каждый тип

Вариант 1

Разделите с остатком $- 41$ на $6$ . $- 41 = 6 \cdot (- 7) + 1$
$a = 7 k + 3$ . Остаток $a^{2} + a$ при делении на $7$ ? $5$
Докажите: $n^{3} + 2 n$ делится на $3$ при любом целом $n$ . остатки $0$ ; $3 \to 0$ ; $12 \to 0$
Наименьшее $n \in N$ : остатки $1$ , $2$ , $3$ при делении на $4$ , $5$ , $6$ . $57$

Вариант 2

Разделите с остатком $- 53$ на $8$ . $- 53 = 8 \cdot (- 7) + 3$
$a = 5 k + 4$ . Остаток $a^{2} + a$ при делении на $5$ ? $0$
Докажите: $n^{3} + 5 n$ делится на $3$ при любом целом $n$ . остатки $0$ ; $6 \to 0$ ; $18 \to 0$
Наименьшее $n \in N$ : остатки $2$ , $3$ , $4$ при делении на $4$ , $5$ , $6$ . $58$

R08.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 (текстовая задача)

Строй по $6$ — остаётся $4$ , по $8$ — $6$ , по $9$ — $7$ . Учеников от $200$ до $250$ . Сколько их?

n + 2

делится на

6

,

8

и

9

в каждом строю не хватает двоих

НОК (6; 8; 9) = 2^{3} \cdot 3^{2} = 72

n + 2 \in {72; 144; 216; 288}

202 \leq n + 2 \leq 252

Ответ:

214

Часть 2: нужна полная запись — модель, НОК, отбор по условию, проверка.

Проверка:

214 = 6 \cdot 35 + 4

214 = 8 \cdot 26 + 6

214 = 9 \cdot 23 + 7

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему остаток от деления $- 23$ на $5$ равен $2$ , а не $- 3$ ?
Как найти остаток $n^{2}$ , зная остаток $n$ ?
Почему перебор остатков — доказательство?

Домашнее задание

Разделите с остатком $- 75$ на $8$ ; $a = 11 k + 9$ , найдите остаток $a^{2}$ при делении на $11$
Докажите: $n^{3} - n$ делится на $3$ при любом целом $n$
* Наименьшее натуральное: делится на $7$ , а при делении на $2, 3, 4, 5, 6$ даёт остаток $1$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-124 · Практикум: Деление с остатком

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R08 «Числа и вычисления: делимость», 7 ч · урок 5/7 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R08.1 «Деление с остатком» → 2–17 (теория: 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11 — 14 мин; практика: 3, 6, 8, 10, 12–17 — 31 мин, 69 %)
Результаты	ПР-7 (остаток по модулю, остатки суммы и произведения) → 2–17 · ПР-23 (алгебраическая модель текстовой задачи) → 12, 14, 16 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	сравнения по модулю и их свойства (R08.2, R08.3) — ALG8U-121, ALG8U-122, ALG8U-125; обобщение по строке — ALG8U-126
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:делениес остатком

Четыре приёма для задач на остатки

Отрицательное делимое

Остаток выражения

Перебор остатков

Заданные остатки

Найдите неполное частное q и остаток r

Узнай тип — и приём подскажет решение

Разделите с остатком −23 на 5

Деление с остатком и обратные задачи

n при делении на 7 даёт остаток 5. Найдите остаток n2

Запишите a=bk+r — и выделите кратное

Докажите: n2 при делении на 3 даёт остаток 0 или 1

Разбейте n на классы — и проверьте каждый

Наименьшее n∈N: остатки 3,4,5 при делении на 4,5,6

Чего «не хватает» или что «лишнее»?

Найдите ошибку

Шесть заданий — по всем типам практикума

По одному заданию на каждый тип

Вариант 1

Вариант 2

Строй по 6 — остаётся 4, по 8 — 6, по 9 — 7. Учеников от 200 до 250. Сколько их?

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-124 · Практикум: Деление с остатком

Практикум:
деление
с остатком

Найдите неполное частное $q$ и остаток $r$

Разделите с остатком $- 23$ на $5$

$n$ при делении на $7$ даёт остаток $5$ . Найдите остаток $n^{2}$

Запишите $a = bk + r$ — и выделите кратное

Докажите: $n^{2}$ при делении на $3$ даёт остаток $0$ или $1$

Разбейте $n$ на классы — и проверьте каждый

Наименьшее $n \in N$ : остатки $3, 4, 5$ при делении на $4, 5, 6$

Строй по $6$ — остаётся $4$ , по $8$ — $6$ , по $9$ — $7$ . Учеников от $200$ до $250$ . Сколько их?