Делимость · урок 4 из 7

Остатки суммы
и произведения
по данному модулю

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R08 · ALG8U-123

Паспорт: R08 «Числа и вычисления: делимость» (7 ч), урок 4/7, единица R08.4 «Остатки суммы и произведения по данному модулю». Тип Н (новый материал). До этого: деление с остатком (ALG8U-120), сравнения по модулю (ALG8U-121), свойства сравнений (ALG8U-122). Дальше — практикумы ALG8U-124, ALG8U-125 и обобщение ALG8U-126.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14): цели 1 (сл. 2) · теоремы и следствия 6 (сл. 6, 8, 10) · таблицы и алгоритм 2 (сл. 12–13) · демонстрационные примеры 4 (сл. 14, 15, 17, 18) · типичные ошибки 1 (сл. 20).
Практика (31): разминка 3 (сл. 3) · актуализация 2 (сл. 4) · наблюдение 1 (сл. 5) · «образец → сам» 11 (сл. 7, 9, 11, 16, 19) · найди ошибку 2 (сл. 21) · задания с самопроверкой 6 (сл. 22–23) · самостоятельная работа 5 (сл. 24) · рефлексия 1 (сл. 25).
Если не успеваете: в самопроверке 2 (сл. 23) оставить задания 1–4, задания 5–6 перенести в ДЗ.
Рисунок: «часы» по модулю 7 — остатки 3 и 4 в сумме дают полный круг, то есть остаток 0.

R08.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать

теоремы об остатке суммы, разности и произведения (ПР-7)

Находить остатки

больших чисел и выражений без громоздких вычислений (ПР-7)

Находить остатки степеней

через цикл остатков и удобного представителя $\pm 1$ (ПР-7)

Доказывать делимость

и невозможность равенств перебором остатков (ПР-7, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-7 (ФРП, дословно): «Оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю, находить остатки суммы и произведения по данному модулю».
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики» (день недели, последняя цифра).
Виды деятельности ФРП: «Доказывать и применять свойства сравнений по модулю. Находить остатки суммы и произведения по данному модулю».

повторение: R08.1–R08.3

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

47 : 6

остаток?

5

- 9 : 4

остаток?

3

100 : 7

остаток?

2

1234 : 10

остаток?

4

25 \equiv 4 (mod 7)

верно?да

39 \equiv - 1 (mod 10)

верно?да

6 \equiv ? (mod 7)

ближайшее к нулю

- 1

2^{3} : 7

остаток?

1

повторение: R08.1–R08.3

Вспомним

Деление с остатком и сравнения

a = m q + r, 0 \leq r < m

a \equiv b (mod m) ⟺ m ∣ (a - b)

a \equiv b, c \equiv d \Rightarrow {a + c \equiv b + d a c \equiv b d

Остаток от деления $23$ на $5$ ?
Остаток от деления $- 7$ на $5$ ?
Верно ли, что $38 \equiv 3 (mod 5)$ ?
Чем остаток отличается от неполного частного?

R08.4

Наблюдение → гипотеза

Можно ли считать остатки вместо чисел?

модуль 5	число	остаток	действие с остатками
$a$	$18$	$3$	—
$b$	$14$	$4$	—
$a + b$	$32$	$2$	$3 + 4 = 7 \to$ $2$
$ab$	$252$	$2$	$3 \cdot 4 = 12 \to$ $2$

Гипотеза: остаток суммы (произведения) можно найти по остаткам слагаемых (множителей).

Без калькулятора

Остаток от деления $2026 \cdot 2027 + 1000$ на $7$ ?

R08.4

Теорема 1 · остаток суммы

Пятёрки уходят, остатки складываются

a = m q_{1} + r_{1}, b = m q_{2} + r_{2} \Rightarrow a + b = m (q_{1} + q_{2}) + (r_{1} + r_{2})

Остаток $a + b$ равен остатку от деления $r_{1} + r_{2}$ на $m$ .

2 мин · теория
Каждая клетка — единица; рамки по 5 клеток — «пятёрки», они делятся на модуль и на остаток не влияют. Остатки 3 и 4 вместе дают ещё одну пятёрку и 2 лишние клетки.
Доказательство: $m (q_{1} + q_{2})$ делится на m, значит a + b ≡ r₁ + r₂ (mod m). Если r₁ + r₂ ≥ m, вычитаем m ещё раз (0 ≤ r₁ + r₂ − m < m).
Через сравнения (прошлый урок): a ≡ r₁, b ≡ r₂ ⇒ a + b ≡ r₁ + r₂ (mod m) — почленное сложение. Вопрос классу: какие два способа доказательства мы знаем теперь?

R08.4

Образец → сам · остаток суммы

Найдите остаток, не складывая числа

Образец: $(125 + 89)$ mod $6$

125 = 6 \cdot 20 + 5 \to 5

89 = 6 \cdot 14 + 5 \to 5

5 + 5 = 10 = 6 + 4 \to 4

Сам

$(73 + 58)$ mod $5$ $1$
$(2024 + 2025 + 2026)$ mod $10$ $5$
$(1001 + 2002)$ mod $9$ $6$
$(999 + 777)$ mod $4$ $0$

R08.4

Теорема 2 · остаток произведения

Площадь-модель: делится всё, кроме угла $r_{1} r_{2}$

ab = m (\dots) + r_{1} r_{2}

ab \equiv r_{1} r_{2} (mod m)

остаток

ab

= остаток

r_{1} r_{2}

$18 \cdot 14$ по модулю $5$ :

$3 \cdot 4 = 12 \to 2$

R08.4

Образец → сам · остаток произведения

Перемножаем остатки, а не числа

Образец: $29 \cdot 45$ mod $8$

29 \equiv 5, 45 \equiv 5

5 \cdot 5 = 25 = 8 \cdot 3 + 1

Ответ:

1

Сам

$43 \cdot 57$ mod $5$ $1$
$81 \cdot 82 \cdot 83$ mod $4$ $2$
$2025 \cdot 2026$ mod $9$ $0$
$(15 \cdot 16 + 17)$ mod $7$ $5$

R08.3–R08.4

Следствия

Разность, степень, удобный представитель

Разность

a - b \equiv r_{1} - r_{2}

если вышло отрицательное — прибавить $m$

$18 - 14$ , mod $5$ :

$3 - 4 = - 1 \to 4$

Степень

a \equiv r \Rightarrow a^{n} \equiv r^{n}

теорема 2, применённая $n$ раз

$1 2^{50}$ , mod $11$ :

$12 \equiv 1 \Rightarrow 1^{50} = 1$

Представитель $\pm 1$

m - 1 \equiv - 1

по модулю $m$

$9 9^{2027}$ , mod $100$ :

$(- 1)^{2027} = - 1 \to 99$

R08.4

Образец → сам · разность, степень, $\pm 1$

Выберите удобного представителя

Образец: $6^{25}$ mod $7$

6 \equiv - 1 (mod 7)

6^{25} \equiv (- 1)^{25} = - 1

- 1 + 7 = 6

→ ответ

6

Сам

$(52 - 39)$ mod $5$ $3$
$1 5^{30}$ mod $7$ $1$
$9^{11}$ mod $10$ $9$
$2 0^{21}$ mod $7$ $6$

R08.4

Инфографика

Таблицы сложения и умножения по модулю 5

сложение (mod 5)

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

умножение (mod 5)

·	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

Нули — по диагонали:

r_{1} + r_{2} = 5

.

4 \cdot 4 \equiv 1

:

(- 1) (- 1) = 1

.

Квадраты: только

0, 1, 4

.

1 мин · теория
Оранжевые клетки — наш пример: 3 + 4 → 2 и 3 · 4 → 2 по модулю 5.
Вопрос: на главной диагонали таблицы умножения — остатки квадратов: 0, 1, 4, 4, 1. Значит, квадрат целого числа при делении на 5 не даёт остатки 2 и 3 (пригодится на сл. 17–19).
Для углублённого уровня: в таблице умножения по модулю 5 вне нулевой строки и столбца нулей нет, а по модулю 6 есть: 2 · 3 = 6 ≡ 0. Можно предложить сильным ученикам составить таблицу по модулю 6 дома.

R08.4

Алгоритм

Как найти остаток выражения

R08.4

Пример 1 · возвращаемся к задаче

Остаток $2026 \cdot 2027 + 1000$ при делении на $7$

2026 = 7 \cdot 289 + 3 \Rightarrow 2026 \equiv 3

2027 \equiv 4, 1000 = 7 \cdot 142 + 6 \equiv 6

3 \cdot 4 + 6 = 18 = 7 \cdot 2 + 4

Ответ:

4

Короче с $\pm$

$2027 \equiv - 3, 1000 \equiv - 1$

$3 \cdot (- 3) - 1 = - 10 \equiv 4$

Сами: mod $6$

$47 \cdot 53$ — остаток?

R08.4

Пример 2 · цикл остатков степени

Сегодня четверг. Какой день будет через $2^{100}$ дней?

2^{3} = 8 \equiv 1 (mod 7)

2^{100} = (2^{3})^{33} \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 = 2

Ответ

через 2 дня после четверга — суббота

R08.4

Образец → сам · цикл остатков степени

Найдите период — разделите показатель

Образец: последняя цифра $3^{2026}$

$n$	1	2	3	4	5
$3^{n}$ mod $10$	3	9	7	1	3

период

4

:

2026 = 4 \cdot 506 + 2

3^{2026} \equiv 3^{2} = 9

→ цифра

9

Сам

$2^{50}$ mod $7$ $4$
Последняя цифра $2^{2026}$ $4$
$4^{2027}$ mod $9$ $7$
Сегодня понедельник. Какой день будет через $3^{10}$ дней? пятница

3 мин · практика
Образец: остатки 3ⁿ по модулю 10 — 3, 9, 7, 1, дальше повтор; 2026 = 4 · 506 + 2, ответ 9. Проверено вычислением.
Сам: 1) остатки 2ⁿ mod 7: 2, 4, 1 — период 3; 50 = 3 · 16 + 2 → 2² = 4. 2) последние цифры 2, 4, 8, 6 — период 4; 2026 = 4 · 506 + 2 → 4. 3) остатки 4ⁿ mod 9: 4, 7, 1 — период 3; 2027 = 3 · 675 + 2 → 7. 4) остатки 3ⁿ mod 7: 3, 2, 6, 4, 5, 1 — период 6; 10 = 6 + 4 → 3⁴ = 81 ≡ 4; понедельник + 4 дня = пятница. Все ответы проверены вычислением.
Сильным: в 4) можно короче — 3² = 9 ≡ 2, 3¹⁰ = (3²)⁵ ≡ 2⁵ = 32 ≡ 4.

R08.4

Пример 3 · остатки квадратов

Может ли $2027$ быть суммой двух квадратов?

$n \equiv$	$0$	$1$	$2$	$3$
$n^{2} \equiv$	$0$	$1$	$4 \to 0$	$9 \to 1$

Квадрат при делении на

4

даёт остаток только

0

или

1

.

$x^{2} + y^{2}$	$y^{2} \equiv 0$	$y^{2} \equiv 1$
$x^{2} \equiv 0$	$0$	$1$
$x^{2} \equiv 1$	$1$	$2$

2027 = 4 \cdot 506 + 3 \equiv 3

Нет: остатка $3$ в таблице нет.

R08.4

Пример 4 · метод перебора остатков

Докажите: $n^{3} + 2 n$ делится на $3$ при любом целом $n$

$n \equiv$	$n^{3}$	$2 n$	$n^{3} + 2 n$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$2$	$3 \to$ $0$
$2$	$8$	$4$	$12 \to$ $0$

Все случаи дают остаток

0

— доказано.

Второй способ — разложение

n^{3} + 2 n = (n^{3} - n) + 3 n

= (n - 1) n (n + 1) + 3 n

из трёх последовательных чисел
одно делится на $3$

R08.4

Образец → сам · перебор остатков

Переберите все остатки — это доказательство

Образец: $n^{2} + n$ — чётное

$n$ mod $2$	$n^{2}$	$n$	$n^{2} + n$
0	0	0	$0$
1	1	1	$2 \to 0$

Оба случая дают остаток $0$ ∎

Сам

Докажите: $n^{3} - n$ делится на $3$ . 0, 0, 0
Может ли $n^{2}$ при делении на $5$ дать остаток $3$ ? нет
Может ли $n^{2} + 2$ делиться на $4$ ? нет
повыш.Докажите: $n^{5} - n$ делится на $5$ . все остатки 0

R08.4

Осторожно

Три типичные ошибки

Не взяли остаток ещё раз

✗

5 \cdot 6

mod

7 = 30

✓

30 = 7 \cdot 4 + 2 \to 2

$30 \geq 7$ — это ещё не остаток

Отрицательный «остаток»

✗

(- 1)^{3} \to - 1

✓ mod

5

:

- 1 + 5 = 4

остаток всегда $0 \leq r < m$

Заменили показатель

✗

2^{10} \equiv 2^{3} (mod 7)

✓

2^{10} = (2^{3})^{3} \cdot 2 \equiv 2

показатель делят на период цикла, а не на $m$

Слагаемые, множители, основание степени — заменяем остатками. Показатель — нет.

R08.4

Найди ошибку

Где ученик ошибся?

1) $17 \cdot 19$ mod $5$ : $2 \cdot 4 = 8$ , ответ $8$	ошибка: $8 \geq 5$ , ответ $3$
2) остаток от деления $- 13$ на $4$ равен $- 1$	ошибка: $- 13 = 4 \cdot (- 4) + 3$ , ответ $3$
3) $3^{14}$ mod $5$ : $14 \equiv 4$ , $3^{4} = 81 \to 1$	ошибка: период $4$ , $14 = 4 \cdot 3 + 2$ , ответ $4$
4) $n^{2} + 1$ не делится на $7$ : проверил $n = 1, \dots, 5$	ошибка: нужно перебрать все остатки $0, \dots, 6$
5) $1 1^{10}$ mod $10 = 1$	верно: $11 \equiv 1$ , $1^{10} = 1$

2 мин · практика
Ответы: ошибки в 1–4, запись 5 верна. 1) 8 — ещё не остаток: 8 = 5 + 3; проверка 17 · 19 = 323 = 5 · 64 + 3. 2) остаток не бывает отрицательным: −13 = 4 · (−4) + 3. 3) показатель заменили остатком по модулю 5; остатки 3ⁿ mod 5: 3, 4, 2, 1 — период 4, 3¹⁴ ≡ 3² = 9 ≡ 4 (проверено вычислением). 4) вывод верный, но доказательства нет: n = 6 (и n = 0) не проверены; полный перебор n ≡ 0…6 даёт n² + 1 ≡ 1, 2, 5, 3, 3, 5, 2 — нуля нет. 5) верно.
Класс сначала голосует «верно/неверно» по каждой строке, затем учитель открывает объяснение.

R08.4

Задания с самопроверкой 1

Решите — ответы откроются по клику

базаОстаток от деления $1234 + 5678$ на $9$ (не складывая). $0$
базаОстаток от деления $38 \cdot 47$ на $5$ . $1$
повыш.Остаток от деления $3^{2026}$ на $8$ . $1$

повыш.Последняя цифра числа $7^{2026}$ . $9$
практикаЕсть ли целое $n$ , при котором $n^{2} + 1$ делится на $3$ ? нет
ОГЭ, линия 20Докажите, что $n^{2} + (n + 1)^{2}$ при делении на $4$ даёт остаток $1$ . $2 n (n + 1) + 1$

3 мин · практика (2 мин работа, 1 мин проверка по клику)
Ответы (проверены вычислением): 1) 1234 ≡ 1, 5678 ≡ 8 (суммы цифр 10 и 26), 1 + 8 = 9 ≡ 0 → 0 (1234 + 5678 = 6912 = 9 · 768). 2) 3 · 2 = 6 → 1 (38 · 47 = 1786). 3) 3² = 9 ≡ 1, 3²⁰²⁶ = (3²)¹⁰¹³ ≡ 1 → 1. 4) остатки по модулю 10: 7, 9, 3, 1 — период 4; 2026 = 4 · 506 + 2 → 9. 5) нет: n² ≡ 0 или 1 (mod 3), n² + 1 ≡ 1 или 2.
6) (формат ОГЭ, часть 2, задание 20, 2 балла) n² + (n + 1)² = 2n² + 2n + 1 = 2n(n + 1) + 1; из двух последовательных чисел одно чётно, n(n + 1) = 2k, значит выражение равно 4k + 1. Другой путь — перебор n ≡ 0, 1, 2, 3 (mod 4): 0 + 1, 1 + 4, 4 + 9, 9 + 16 → всегда 1.
Учитель открывает ответы по одному; ученики отмечают «+/−» в тетради.

R08.4

Задания с самопроверкой 2 · задачи из жизни и ОГЭ

Решите — ответы откроются по клику

из жизниСейчас 9:00. Который час будет через $100$ часов? 13:00
из жизниСегодня среда. Какой день недели будет через $1000$ дней? вторник
повыш.Две последние цифры числа $10 1^{50}$ . 01

повыш.Остаток от деления $2^{2026} + 3^{2026}$ на $5$ . $3$
ОГЭ, линия 20Докажите: $n^{3} + 5 n$ делится на $6$ . $(n - 1) n (n + 1) + 6 n$
повыш.Может ли сумма квадратов трёх последовательных целых чисел делиться на $3$ ? нет, остаток 2

3 мин · практика (2 мин работа, 1 мин проверка по клику)
Ответы (проверены вычислением): 1) часы повторяются через 24: 100 = 24 · 4 + 4, 9 + 4 = 13 → 13:00. 2) 1000 = 7 · 142 + 6, среда + 6 дней = вторник. 3) 101 ≡ 1 (mod 100), 1⁵⁰ = 1 → 01. 4) 2ⁿ mod 5: 2, 4, 3, 1; 3ⁿ mod 5: 3, 4, 2, 1 — периоды 4, 2026 = 4 · 506 + 2: 4 + 4 = 8 → 3.
5) (формат ОГЭ, часть 2, задание 20) n³ + 5n = (n³ − n) + 6n = (n − 1)n(n + 1) + 6n; произведение трёх последовательных чисел делится на 2 и на 3, значит на 6; 6n делится на 6. Другой путь — перебор n ≡ 0…5 (mod 6). 6) n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 3n² + 6n + 5 ≡ 5 ≡ 2 (mod 3) — нет, всегда остаток 2.
При нехватке времени задания 5–6 — в ДЗ.

R08.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

Остаток $1234 \cdot 5678$ при делении на $5$ . $2$
Остаток $6^{99}$ при делении на $7$ . $6$
Последняя цифра числа $3^{2027}$ . $7$
Докажите: $n^{2} + 2$ не делится на $5$ . остатки 2, 3, 1

Вариант 2

Остаток $2468 \cdot 1357$ при делении на $5$ . $1$
Остаток $8^{77}$ при делении на $9$ . $8$
Последняя цифра числа $7^{2027}$ . $3$
Докажите: $n^{2} + 3$ не делится на $5$ . остатки 3, 4, 2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему остаток произведения зависит только от остатков множителей?
Когда после действий с остатками нужно снова брать остаток?
Как найти остаток большой степени?

Домашнее задание

Остаток $2^{2027}$ при делении на $5$ .
Остаток $2025 \cdot 2026 \cdot 2027 + 2028$ при делении на $11$ .
Докажите: $n^{3} - n$ делится на $6$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика (рефлексия — ученики отвечают одной фразой; ДЗ записывают)
Ответы ДЗ: 1) остатки 2ⁿ по модулю 5: 2, 4, 3, 1 — период 4; 2027 = 4 · 506 + 3 → 3. 2) 2025 ≡ 1, 2026 ≡ 2, 2027 ≡ 3, 2028 ≡ 4; 1 · 2 · 3 + 4 = 10 → 10 (проверено вычислением). 3) (n − 1)n(n + 1) — произведение трёх последовательных чисел: делится на 2 и на 3, значит на 6; или перебор остатков по модулю 6.
Тренажёр — общий раздел углублённой алгебры 8 класса (отдельного тренажёра по делимости пока нет). Завтра — практикум по делению с остатком (ALG8U-124).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-123 · Остатки суммы и произведения по данному модулю

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R08 «Числа и вычисления: делимость», 7 ч · урок 4/7 · тип Н (новый материал) · 25 видимых слайдов
Единицы → слайды	R08.4 «Остатки суммы и произведения по данному модулю» → 5–25 (повторение R08.1–R08.3 → 3, 4, 10)
Результаты	ПР-7 (остаток по модулю, свойства сравнений, остатки суммы и произведения) → 2–25 · ПР-13 (преобразования для решения задач, практика) → 15, 16, 18, 22, 23 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	практикумы по делению с остатком и сравнениям — ALG8U-124, ALG8U-125; обобщение строки — ALG8U-126; малая теорема Ферма и обратные по модулю — за рамками ФРП 8 класса, на слайдах не используются
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Остатки суммыи произведенияпо данному модулю

Сегодня вы научитесь

Доказывать

Находить остатки

Находить остатки степеней

Доказывать делимость

Считаем в уме — ответ по клику

Деление с остатком и сравнения

Можно ли считать остатки вместо чисел?

Без калькулятора

Пятёрки уходят, остатки складываются

Найдите остаток, не складывая числа

Образец: (125+89) mod 6

Сам

Площадь-модель: делится всё, кроме угла r1​r2​

Перемножаем остатки, а не числа

Образец: 29⋅45 mod 8

Сам

Разность, степень, удобный представитель

Разность

Степень

Представитель ±1

Выберите удобного представителя

Образец: 625 mod 7

Сам

Таблицы сложения и умножения по модулю 5

Как найти остаток выражения

Остаток 2026⋅2027+1000 при делении на 7

Короче с ±

Сами: mod 6

Сегодня четверг. Какой день будет через 2100 дней?

Ответ

Найдите период — разделите показатель

Образец: последняя цифра 32026

Сам

Может ли 2027 быть суммой двух квадратов?

Докажите: n3+2n делится на 3 при любом целом n

Переберите все остатки — это доказательство

Образец: n2+n — чётное

Сам

Три типичные ошибки

Не взяли остаток ещё раз

Отрицательный «остаток»

Заменили показатель

Где ученик ошибся?

Решите — ответы откроются по клику

Решите — ответы откроются по клику

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-123 · Остатки суммы и произведения по данному модулю

Остатки суммы
и произведения
по данному модулю

Образец: $(125 + 89)$ mod $6$

Площадь-модель: делится всё, кроме угла $r_{1} r_{2}$

Образец: $29 \cdot 45$ mod $8$

Представитель $\pm 1$

Образец: $6^{25}$ mod $7$

Остаток $2026 \cdot 2027 + 1000$ при делении на $7$

Короче с $\pm$

Сами: mod $6$

Сегодня четверг. Какой день будет через $2^{100}$ дней?

Образец: последняя цифра $3^{2026}$

Может ли $2027$ быть суммой двух квадратов?

Докажите: $n^{3} + 2 n$ делится на $3$ при любом целом $n$

Образец: $n^{2} + n$ — чётное