Делимость · урок 3 из 7

Свойства
сравнений
по модулю

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R08 · ALG8U-122

Паспорт: R08 «Числа и вычисления: делимость» (7 ч), урок 3/7, единица R08.3 «Свойства сравнений по модулю». Тип Н. До этого: ALG8U-120 «Деление с остатком», ALG8U-121 «Сравнения целых чисел по модулю натурального числа». После: ALG8U-123 «Остатки суммы и произведения по данному модулю».
0,5 мин · теория (орг. момент)
Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %) — всего 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18 — проблема, все свойства 1–5 с доказательствами, следствия, правила деления, принцип замены и оба образца сохранены полностью.
Практика (31,5 мин): разминка 2,5 · актуализация 2 · «сам» после свойств: 1,5 + 1,5 + 1,5 + 1,5 · «сам» после образцов: 2,5 + 2,5 · закрепление 4 · самопроверка 3 · найди ошибку 2 · самостоятельная (2 варианта) 4 · ОГЭ 2 · итог 1.
Если не успеваете — задания 4–5 слайда 21 перенесите в ДЗ, на слайде 20 оставьте задания 1, 3, 5.
Рисунок: «часы» по модулю 5 — все целые числа раскладываются по пяти секторам-остаткам; 13, 3 и −2 попадают в один сектор.

R08.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать свойства

рефлексивность, симметричность, транзитивность сравнений (ПР-7)

Складывать и умножать

сравнения по одному модулю, возводить в степень (ПР-7)

Знать границы

когда обе части сравнения можно делить, а когда нельзя (ПР-7)

Доказывать делимость

заменой чисел на сравнимые и перебором остатков (ПР-7, ПР-13)

разминка

Разминка · устно

Остатки и сравнения — в уме

47

остаток при делении на 5

2

- 7

остаток при делении на 4

1

23 \equiv 2 (mod 7)

?

да

15 \equiv - 1 (mod 8)

?

да

100

остаток при делении на 9

1

- 1

остаток при делении на 6

5

17 \equiv 5 (mod m)

все

m > 1

2, 3, 4, 6, 12

сколько остатковпо модулю 7?

7

:

0, \dots, 6

повторение: ALG8U-120, 121

Вспомним

$a \equiv b (mod m) ⟺ m ∣ (a - b)$

Верно ли $38 \equiv 3 (mod 7)$ ?
Верно ли $25 \equiv - 3 (mod 4)$ ?
Остаток от деления $- 13$ на $5$ ?
Три равносильные записи: $a \equiv b (mod m)$ ⇔ $m ∣ (a - b)$ ⇔ $a = b + mk$ , $k \in Z$

R08.3 · проблема

Проблемный вопрос

Делится ли $1001 \cdot 1002 + 1003$ на $5$ — без вычислений?

R08.3

Свойства 1–3 · отношение сравнимости

Рефлексивность, симметричность, транзитивность

1)

a \equiv a (mod m)

a - a = 0

делится на

m

2)

a \equiv b \Rightarrow b \equiv a

b - a = - (a - b)

3)

a \equiv b, b \equiv c \Rightarrow a \equiv c

a - c = (a - b) + (b - c)

— сумма кратных

m

2 мин · теория
Каждое свойство доказываем через определение «m делит разность». Все сравнения — по одному модулю m.
Транзитивность: если m | (a − b) и m | (b − c), то m делит их сумму a − c. Пример: 3 ≡ 8, 8 ≡ 13 (mod 5) ⇒ 3 ≡ 13 (mod 5): 13 − 3 = 10 ✓.
Смысл: числа распадаются на непересекающиеся классы (столбцы со сл. 4). Вопрос: сколько классов по модулю m? (m: остатки 0, 1, …, m − 1.)
Ошибка: транзитивность «через разные модули»: 3 ≡ 8 (mod 5), 8 ≡ 2 (mod 3) — вывода о 3 и 2 нет.

R08.3

Свойство 4 · сложение и вычитание

Сравнения по одному модулю можно почленно складывать

a \equiv b, c \equiv d (mod m)

a = b + mk, c = d + m l

a \pm c = (b \pm d) + m (k \pm l)

a \pm c \equiv b \pm d (mod m)

R08.3

Сам · свойства 1–4 · в тетради

Складываем и вычитаем сравнения

база $a \equiv 2$ , $b \equiv 5 (mod 7)$ . Остаток $a + b$ при делении на 7? $0$
база $a \equiv 4$ , $b \equiv 6 (mod 9)$ . Остаток $a - b$ при делении на 9? $7$
база $x \equiv y$ , $y \equiv 3 (mod 8)$ . Остаток $x$ при делении на 8? $3$
повыш. $x + 5 \equiv 2 (mod 6)$ . Какой остаток даёт $x$ при делении на 6? $3$

R08.3

Свойство 5 · умножение

Сравнения по одному модулю можно почленно умножать

a \equiv b, c \equiv d (mod m)

a c - b d = (a - b) c + b (c - d)

прибавили и вычли

b c

оба слагаемых кратны

m

a c \equiv b d (mod m)

Пример: $13 \cdot 9 \equiv 3 \cdot 4 (mod 5)$ :
$117 - 12 = 105$ — кратно $5$

R08.3

Сам · свойство 5 · в тетради

Умножаем сравнения — большие числа не нужны

база $a \equiv 3$ , $b \equiv 5 (mod 7)$ . Остаток $ab$ при делении на 7? $1$
базаОстаток от деления $47 \cdot 52$ на $5$ ? $4$
повыш.Остаток от деления $23 \cdot 34 \cdot 45$ на $11$ ? $1$
повыш. $a \equiv - 1 (mod 10)$ . Последняя цифра числа $3 a$ ? $7$

R08.3

Следствия свойств 4 и 5

Прибавить, умножить, возвести в степень

1,5 мин · теория
Все три — частные случаи: c ≡ c по рефлексивности; степень — свойство 5, применённое n − 1 раз (n — натуральное).
Проверки: 20 − 10 = 10; 52 − 12 = 40; 169 − 9 = 160 — все кратны 5 ✓.
Следствие: обе части можно умножить на одно целое число, а слагаемое переносить из одной части в другую со сменой знака (прибавить −c).
Ошибка: «показатель тоже можно заменять по модулю»: 2 ≡ 7 (mod 5), но 3² = 9 ≢ 3⁷ = 2187 (mod 5): 2187 − 9 = 2178 не делится на 5. Заменять можно основания, не показатели.

R08.3

Сам · следствия · в тетради

Возводим в степень: ищем удобного представителя

базаОстаток от деления $1 3^{7}$ на $12$ ? $1$
базаОстаток от деления $4^{50}$ на $5$ ? $1$
базаОстаток от деления $1 0^{20}$ на $9$ ? $1$
повыш.Остаток от деления $8^{31}$ на $9$ ? $8$

R08.3

Осторожно · деление

Делить обе части сравнения можно не всегда

✗ Неверно

14 \equiv 8 (mod 6)

делим на 2

7 \equiv 4 (mod 6)

?

$7 - 4 = 3$ не делится на $6$

✓ $НОД (k, m) = 1$

14 \equiv 8 (mod 3)

делим на 2, $НОД (2, 3) = 1$

7 \equiv 4 (mod 3)

можно сократить на $k$ , взаимно простое с $m$

✓ Делим всё

14 \equiv 8 (mod 6)

делим на 2 и модуль

7 \equiv 4 (mod 3)

$ak \equiv bk (mod mk) \Rightarrow a \equiv b (mod m)$

1,5 мин · теория
Почему первое неверно: 6 | 2(7 − 4), но 6 не обязан делить 7 − 4 — часть «делителя» ушла в множитель 2.
Правило 2: если m | k(a − b) и НОД(k, m) = 1, то m | (a − b) — опирается на основную теорему арифметики (разложение на простые множители единственно); строгое доказательство — по желанию сильным ученикам.
Правило 3: ak − bk = mk · t ⇒ a − b = m · t (сократили равенство на k ≠ 0).
Вопрос: можно ли из 10 ≡ 25 (mod 15) получить 2 ≡ 5 (mod 15), разделив на 5? (Нет: 5 − 2 = 3. Но 2 ≡ 5 (mod 3) — делим всё.)

R08.3

Сам · деление · устно

Верно ли выполнено деление?

$15 \equiv 35 (mod 4)$ ⇒ (на 5) $3 \equiv 7 (mod 4)$ верно
$12 \equiv 30 (mod 9)$ ⇒ (на 6) $2 \equiv 5 (mod 9)$ неверно
$20 \equiv 8 (mod 12)$ ⇒ (всё на 4) $5 \equiv 2 (mod 3)$ верно
$21 \equiv 7 (mod 14)$ ⇒ (на 7) $3 \equiv 1 (mod 14)$ неверно

R08.3

Главный вывод · ответ на проблемный вопрос

В сумме, разности, произведении, степени числа можно заменять сравнимыми

R08.3 · образец 1

Образец · степень и отрицательный представитель

Докажите, что $2^{100} - 1$ делится на $3$

2 \equiv - 1 (mod 3)

2 - (- 1) = 3

2^{100} \equiv (- 1)^{100} = 1

возводим в степень

2^{100} - 1 \equiv 1 - 1 = 0

вычитаем

1 \equiv 1

3 ∣ 2^{100} - 1

R08.3

Сам · по образцу 1 · в тетради

Докажите делимость через $\equiv 1$ или $\equiv - 1$

база $1 0^{n} - 1$ делится на $9$ $10 \equiv 1 (mod 9)$
база $4^{25} + 1$ делится на $5$ $4 \equiv - 1 (mod 5)$
повыш. $3^{2 n} - 1$ делится на $8$ $9 \equiv 1 (mod 8)$
повыш. $2^{60} - 1$ делится на $7$ $2^{3} \equiv 1 (mod 7)$

2,5 мин · практика
Запись решения — как в образце: три строки сравнений и вывод. По клику открывается ключевая идея, полное решение проговаривает ученик.
1) 10 ≡ 1 (mod 9) ⇒ 10ⁿ ≡ 1 ⇒ 10ⁿ − 1 ≡ 0. Проверка n = 2: 99 = 9 · 11 ✓.
2) 4 ≡ −1 (mod 5) ⇒ 4²⁵ ≡ (−1)²⁵ = −1 ⇒ 4²⁵ + 1 ≡ 0. Проверка малым нечётным показателем: 4³ + 1 = 65 = 5 · 13 ✓.
3) 3²ⁿ = 9ⁿ, 9 ≡ 1 (mod 8) ⇒ 9ⁿ − 1 ≡ 0. Проверка n = 2: 80 = 8 · 10 ✓.
4) 2³ = 8 ≡ 1 (mod 7) ⇒ 2⁶⁰ = (2³)²⁰ ≡ 1 ⇒ 2⁶⁰ − 1 ≡ 0. Подсказка, если застряли: «найдите степень двойки, сравнимую с 1».

R08.3 · образец 2

Образец · перебор остатков

Докажите: $n^{3} + 2 n$ делится на $3$ при любом целом $n$

остаток $n$	$n^{3}$	$2 n$	$n^{3} + 2 n$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$2$	$3 \equiv 0$
$2$	$8 \equiv 2$	$4 \equiv 1$	$3 \equiv 0$

Любое целое

n

сравнимо с одним из чисел

0, 1, 2

— проверяем три случая, а не бесконечно много

или

n \equiv - 1

:

- 1 - 2 = - 3 \equiv 0

R08.3

Сам · по образцу 2 · перебор остатков

Докажите при любом целом $n$

база $n^{2} + n$ делится на $2$ $n \equiv 0, 1$ : $0; 2 \equiv 0$
база $n^{3} - n$ делится на $3$ $n \equiv 0, \pm 1$ : всё $\equiv 0$
повыш.Какие остатки при делении на $4$ даёт $n^{2}$ ? $0$ и $1$
повыш. $n^{2} + 2$ не делится на $4$ остатки $2$ и $3$

R08.3

Закрепление · задания с самопроверкой

Решите

база $a \equiv 3$ , $b \equiv 4 (mod 7)$ . Найдите остатки от деления на 7 чисел $a + b$ , $ab$ , $2 a - b$ . $0; 5; 2$
база $a \equiv b (mod 6)$ . Докажите, что $a^{2} + 5 a \equiv b^{2} + 5 b (mod 6)$ . св-ва 4, 5
повыш.Докажите, что $5^{2 n} - 1$ делится на $24$ при натуральном $n$ . $2 5^{n} \equiv 1$
повыш.Докажите, что $n^{2} + 1$ не делится на $3$ ни при каком целом $n$ . остатки $1, 2$
практикаСегодня среда. Какой день недели будет через $2^{20}$ дней? воскресенье

Подсказки

3) $5^{2 n} = 2 5^{n}$ , $25 \equiv 1$

4) перебор остатков

5) $2^{3} = 8 \equiv 1 (mod 7)$

4 мин · практика
3 мин решают в тетради, затем ответы открываются по клику по одному, класс сверяет. 1) a + b ≡ 7 ≡ 0; ab ≡ 12 ≡ 5; 2a − b ≡ 6 − 4 = 2. Ответ: 0; 5; 2. Проверка a = 10, b = 11: 21 → 0; 110 = 7 · 15 + 5 → 5; 9 → 2 ✓.
2) a ≡ b ⇒ a² ≡ b² (степень), 5a ≡ 5b (умножение на 5), сложили (свойство 4).
3) 25 ≡ 1 (mod 24) ⇒ 25ⁿ ≡ 1 ⇒ 25ⁿ − 1 ≡ 0. Проверка n = 1: 24 ✓; n = 2: 624 = 24 · 26 ✓.
4) n ≡ 0: n² + 1 ≡ 1; n ≡ 1: 2; n ≡ 2: 5 ≡ 2. Остатка 0 нет.
5) 2²⁰ = (2³)⁶ · 2² ≡ 1 · 4 = 4 (mod 7); среда + 4 дня = воскресенье. Проверка: 2²⁰ = 1 048 576 = 7 · 149 796 + 4 ✓.
Ошибка в 5): «20 ≡ 6 (mod 7), значит 2²⁰ ≡ 2⁶» — показатель по модулю 7 заменять нельзя (сл. 11). Здесь 2⁶ = 64 ≡ 1 — ответ «четверг» неверен.

R08.3

Задания с самопроверкой

База и повышенный уровень

базаНайдите остаток от деления $3^{100}$ на $4$ . $1$
базаНе вычисляя произведение, найдите остаток от деления $1234 \cdot 5678$ на $9$ . $8$
повыш.Докажите, что $2^{2 n + 1} + 1$ делится на $3$ при натуральном $n$ . $2 \equiv - 1$ , степень нечётна
повыш.Найдите последнюю цифру числа $7^{2026}$ . $9$
повыш.Найдите остаток от деления $5^{100} + 6^{100}$ на $7$ . $3$

3 мин · практика
2 мин решают, затем ответы открываются по одному, класс сверяет. Минимум — задания 1–3.
1) 3 ≡ −1 (mod 4) ⇒ 3¹⁰⁰ ≡ 1. Проверка: 3² = 9 = 4 · 2 + 1 ✓.
2) 1234 ≡ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ≡ 1; 5678 ≡ 26 ≡ 8 (mod 9) ⇒ 8. Проверка: 1234 · 5678 = 7 006 652, сумма цифр 26 ≡ 8 ✓.
3) 2 ≡ −1 (mod 3), 2n + 1 нечётно ⇒ 2²ⁿ⁺¹ ≡ −1 ⇒ 2²ⁿ⁺¹ + 1 ≡ 0. Проверка n = 1: 9 ✓.
4) 7⁴ = 2401 ≡ 1 (mod 10); 2026 = 4 · 506 + 2 ⇒ 7²⁰²⁶ ≡ 7² = 49 ≡ 9. Последняя цифра 9.
5) 5³ = 125 ≡ −1 (mod 7) ⇒ 5¹⁰⁰ = (5³)³³ · 5 ≡ −5 ≡ 2; 6 ≡ −1 ⇒ 6¹⁰⁰ ≡ 1; сумма ≡ 3. Проверка: 125 = 7 · 18 − 1 ✓.

R08.3

Найди ошибку

Какие рассуждения неверны и почему?

Петя: остаток $2^{10}$ при делении на 7

$10 \equiv 3 (mod 7) \Rightarrow 2^{10} \equiv 2^{3} = 8 \equiv 1$

✗ показатель заменять нельзя; верно:

2^{10} = (2^{3})^{3} \cdot 2 \equiv 2

Маша: сокращение

$18 \equiv 6 (mod 12) \Rightarrow$ (на 6) $3 \equiv 1 (mod 12)$

✗

НОД (6, 12) \neq = 1

; верно:

3 \equiv 1 (mod 2)

Коля: сложение

$a \equiv 2 (mod 5)$ , $b \equiv 3 (mod 4)$ $\Rightarrow$ $a + b \equiv 5 \equiv 0$

✗ модули разные — складывать нельзя

Оля: замена основания

$9 \equiv 2 (mod 7) \Rightarrow 9^{15} \equiv 2^{15} (mod 7)$

✓ верно: основание заменять можно

2 мин · практика
Пары обсуждают 1 мин, затем называют ошибку; учитель открывает разбор по одной карточке.
Петя: 2¹⁰ = 1024 = 7 · 146 + 2 — остаток 2, а не 1. Правильно: 2³ ≡ 1 ⇒ 2⁹ ≡ 1 ⇒ 2¹⁰ ≡ 2.
Маша: 3 − 1 = 2 не делится на 12. Делить всё (и модуль) на 6: 3 ≡ 1 (mod 2) — верно.
Коля: контрпример a = 2, b = 7 (7 ≡ 3 (mod 4)): a + b = 9 не делится на 5 — вывод не следует. Складывать можно только сравнения по одному модулю.
Оля: верно — по следствию «возведение в степень». Кто считает, что ошибка есть, пусть сверит с сл. 11.

R08.3

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Остаток $38 \cdot 47$ при делении на $9$ $4$
Остаток $5^{40}$ при делении на $6$ $1$
Докажите: $8^{n} - 1$ делится на $7$ $8 \equiv 1$
Докажите: $n^{3} + 5 n$ делится на $3$ перебор

Вариант 2

Остаток $29 \cdot 53$ при делении на $8$ $1$
Остаток $3^{41}$ при делении на $4$ $3$
Докажите: $1 3^{n} - 1$ делится на $12$ $13 \equiv 1$
Докажите: $n^{3} - 4 n$ делится на $3$ перебор

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
Вариант 1: 1) 38 ≡ 2, 47 ≡ 2 (mod 9) ⇒ 4; проверка 1786 = 9 · 198 + 4 ✓. 2) 5 ≡ −1 (mod 6) ⇒ 5⁴⁰ ≡ 1. 3) 8 ≡ 1 (mod 7) ⇒ 8ⁿ − 1 ≡ 0. 4) n ≡ 0: 0; n ≡ 1: 1 + 5 = 6 ≡ 0; n ≡ 2: 8 + 10 = 18 ≡ 0.
Вариант 2: 1) 29 ≡ 5, 53 ≡ 5 (mod 8) ⇒ 25 ≡ 1; проверка 1537 = 8 · 192 + 1 ✓. 2) 3 ≡ −1 (mod 4) ⇒ 3⁴¹ ≡ −1 ≡ 3. 3) 13 ≡ 1 (mod 12) ⇒ 13ⁿ − 1 ≡ 0. 4) n ≡ 0: 0; n ≡ 1: 1 − 4 = −3 ≡ 0; n ≡ 2: 8 − 8 = 0.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». В заданиях 3–4 засчитывать только запись со ссылкой на свойства сравнений.

R08.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 6 (вычисления) · проверка по модулю 9

Найдите значение выражения $37 \cdot 46 - 29 \cdot 58$

37 \cdot 46 - 29 \cdot 58

Ответ — одно число. Проверьте его остатками по модулю 9: число $\equiv$ сумме своих цифр.

2 мин · практика
Самостоятельно. Решение: 37 · 46 = 1702; 29 · 58 = 1682; 1702 − 1682 = 20. Ответ: 20.
Проверка по модулю 9: 37 ≡ 3 + 7 = 10 ≡ 1; 46 ≡ 10 ≡ 1; 29 ≡ 11 ≡ 2; 58 ≡ 13 ≡ 4. 1 · 1 − 2 · 4 = −7 ≡ 2; 20 ≡ 2 ✓.
Обоснование признака: число 10a + b ≡ 1 · a + b (mod 9), так как 10 ≡ 1; для любого числа — по свойствам 4, 5 и степени.
Важно: проверка по модулю 9 ловит большинство ошибок, но не все (например, перестановку цифр: 20 и 02 дают один остаток). Типичный неверный ответ: 30 (ошибка 1702 − 1682) — даёт остаток 3 и проверку не проходит.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие действия со сравнениями по одному модулю разрешены?
Когда можно делить обе части сравнения?
Почему достаточно перебрать $m$ остатков?

Домашнее задание

$a \equiv 2$ , $b \equiv 6 (mod 9)$ . Остаток $a^{2} + b$ при делении на 9?
Докажите: $1 1^{n} - 4^{n}$ делится на $7$ .
Остаток от деления $6^{100}$ на $7$ ?
* Докажите: $n^{5} - n$ делится на $5$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика (рефлексия)
Ответы ДЗ: 1) 4 + 6 = 10 ≡ 1 → остаток 1. Проверка a = 2, b = 6: 10 = 9 + 1 ✓.
2) 11 ≡ 4 (mod 7) ⇒ 11ⁿ ≡ 4ⁿ ⇒ разность ≡ 0. Проверка n = 2: 121 − 16 = 105 = 7 · 15 ✓.
3) 6 ≡ −1 (mod 7) ⇒ 6¹⁰⁰ ≡ 1 → остаток 1.
4*) Перебор n ≡ 0, ±1, ±2 (mod 5): 0; 1 − 1 = 0; 32 − 2 = 30 ≡ 0; (−1)⁵ + 1 = 0; −32 + 2 = −30 ≡ 0 ✓.
Тренажёр — общий раздел углублённой алгебры 8 класса (отдельного тренажёра по сравнениям пока нет). Следующий урок ALG8U-123 «Остатки суммы и произведения по данному модулю».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-122 · Свойства сравнений по модулю

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R08 «Числа и вычисления: делимость», 7 ч · урок 3/7 · тип Н · теория 13,5 мин / практика 31,5 мин (70 %)
Единицы → слайды	R08.3 «Свойства сравнений по модулю» → 5–25: теория 5–7, 9, 11, 13, 15, 16, 18; практика 8, 10, 12, 14, 17, 19–25 (опора на R08.1–R08.2 — сл. 3–4)
Результаты	ПР-7 (остаток по модулю, свойства сравнений) → 2–25 · ПР-13 (применение преобразований для решения задач) → 16–24 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	остатки суммы и произведения как алгоритм, таблицы остатков, последние цифры — ALG8U-123 (R08.4); практикумы — ALG8U-124 и далее; доказательство правила сокращения на взаимно простой множитель опирается на основную теорему арифметики — только упоминание
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойствасравненийпо модулю

Сегодня вы научитесь

Доказывать свойства

Складывать и умножать

Знать границы

Доказывать делимость

Остатки и сравнения — в уме

a≡b(modm)⟺m∣(a−b)

Делится ли 1001⋅1002+1003 на 5 — без вычислений?

Рефлексивность, симметричность, транзитивность

Сравнения по одному модулю можно почленно складывать

Складываем и вычитаем сравнения

Сравнения по одному модулю можно почленно умножать

Умножаем сравнения — большие числа не нужны

Прибавить, умножить, возвести в степень

Возводим в степень: ищем удобного представителя

Делить обе части сравнения можно не всегда

✗ Неверно

✓ НОД(k,m)=1

✓ Делим всё

Верно ли выполнено деление?

В сумме, разности, произведении, степени числа можно заменять сравнимыми

Докажите, что 2100−1 делится на 3

Докажите делимость через ≡1 или ≡−1

Докажите: n3+2n делится на 3 при любом целом n

Докажите при любом целом n

Решите

Подсказки

База и повышенный уровень

Какие рассуждения неверны и почему?

Петя: остаток 210 при делении на 7

Маша: сокращение

Коля: сложение

Оля: замена основания

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Найдите значение выражения 37⋅46−29⋅58

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-122 · Свойства сравнений по модулю

Свойства
сравнений
по модулю

$a \equiv b (mod m) ⟺ m ∣ (a - b)$

Делится ли $1001 \cdot 1002 + 1003$ на $5$ — без вычислений?

✓ $НОД (k, m) = 1$

Докажите, что $2^{100} - 1$ делится на $3$

Докажите делимость через $\equiv 1$ или $\equiv - 1$

Докажите: $n^{3} + 2 n$ делится на $3$ при любом целом $n$

Докажите при любом целом $n$

Петя: остаток $2^{10}$ при делении на 7

Найдите значение выражения $37 \cdot 46 - 29 \cdot 58$