Делимость · урок 2 из 7 · новый материал

Сравнения
целых чисел
по модулю

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R08 · ALG8U-121

0,5 мин · теория. Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R08 «Числа и вычисления: делимость» (7 ч), урок 2/7, единица R08.2 «Сравнения целых чисел по модулю натурального числа». Тип Н. Предыдущий урок ALG8U-120 — «Деление с остатком» (опираемся на запись $a = m q + r$ , $0 \leq r < m$ ). Следующие: ALG8U-122 «Свойства сравнений по модулю», ALG8U-123 «Остатки суммы и произведения» — сегодня их не доказываем.
Поминутно. Теория (14): титул 0,5 · цели 0,5 · проблема 2 · модель 2 · определение 2 · критерий 3 · смысл критерия 1 · классы 1 · отрицательные 1 · образец «найти модуль» 1. Практика (31): разминка 2 · актуализация 3 · образец → сам 3 · классы сам 2 · остатки сам 2 · верно ли 3 · самопроверка 3 · найди ошибку 2 · задания с самопроверкой 4 · самостоятельная 4 · ОГЭ 2 · рефлексия 1.
Рисунок: остатки при делении на 5 — пять «секторов» круга; числа 2, 7, 12, −3 попадают в один сектор.

R08.2

Цели урока

Ученик научится

Определять

числа, сравнимые по модулю $m$ : $a \equiv b (mod m)$ (ПР-7)

Доказывать

критерий: $a \equiv b (mod m) ⟺ m ∣ (a - b)$ (ПР-7)

Находить остаток

и для отрицательных чисел: $- 17 \equiv 3 (mod 5)$ (ПР-7)

Решать задачи

календарь, часы, поиск модуля $m$ (ПР-7)

0,5 мин · теория
ПР-7 (раздел «Делимость»): «Оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю, находить остатки суммы и произведения по данному модулю». Сегодня — первая часть: понятие остатка по модулю и сравнимости.
Виды деятельности ФРП: «Формулировать определения делимости нацело, чисел, сравнимых по данному модулю. Выполнять деление с остатком».
Обозначение $m ∣ n$ — « $m$ делит $n$ » — напомнить; если в классе не вводили, читать « $a - b$ делится на $m$ ».

разминка

Разминка · устно

Остатки и делители — в уме

38 : 5

остаток?

3

100 : 7

остаток?

2

45 : 9

остаток?

0

91 ⋮ 7

делится?

да:

7 \cdot 13

7 \cdot (- 3)

- 21

- 15 - (- 43)

28

кратное

4

ближайшее,

\leq - 10

- 12

делители

10

1, 2, 5, 10

повторение: ALG8U-120

Актуализация · деление с остатком

$a = m \cdot q + r, 0 \leq r < m$

$a$	$17$	$40$	$3$	$- 17$	$- 1$	$- 40$
$a = 5 q + r$	$5 \cdot 3 + 2$	$5 \cdot 8 + 0$	$5 \cdot 0 + 3$	$5 \cdot (- 4) + 3$	$5 \cdot (- 1) + 4$	$5 \cdot (- 8) + 0$

R08.2 · проблема

Проблемный вопрос

Сегодня четверг. Какой день будет через 100 дней?

100 = 7 \cdot 14 + 2

14 полных недель — снова четверг

+ 2

дня: чт → пт → сб

суббота

Для календаря

100

и

2

«одинаковы»: остаток при делении на 7 один

R08.2

Новый материал · модель

Раскрасим целые числа по остатку при делении на 5

R08.2

Определение

Числа, сравнимые по модулю $m$

Целые

a

и

b

сравнимы по модулю натурального

m

, если при делении на

m

они дают одинаковые остатки

a \equiv b (mod m)

читают: « $a$ сравнимо с $b$ по модулю $m$ »

17 \equiv 2 (mod 5)

17 = 5 \cdot 3 + 2

,

2 = 5 \cdot 0 + 2

- 1 \equiv 13 (mod 7)

остаток

6

у обоих

a \equiv 0 (mod m)

значит,

a

делится на

m

10 \neq \equiv 5 (mod 3)

остатки

1

и

2

— разные

R08.2

Образец → сам · по определению

Верно ли сравнение? Сравните остатки

Образец

26 \equiv 5 (mod 7)

?

$26 = 7 \cdot 3 + 5$

$5 = 7 \cdot 0 + 5$

остатки равны → верно

Сам

$31 \equiv 10 (mod 7)$ да: $3$ и $3$
$19 \equiv 4 (mod 6)$ нет: $1$ и $4$
$- 3 \equiv 9 (mod 4)$ да: $1$ и $1$
$40 \equiv 0 (mod 8)$ да: $0$ и $0$

R08.2 · теорема

Теорема (критерий сравнимости)

$a \equiv b (mod m) ⟺ (a - b) ⋮ m$

⇒ Пусть остатки равны: $r$

a = m q_{1} + r, b = m q_{2} + r

a - b = m (q_{1} - q_{2})

(a - b) ⋮ m

⇐ Пусть $a - b = mk$

a = m q_{1} + r_{1}, b = m q_{2} + r_{2}

r_{1} - r_{2} = m (k - q_{1} + q_{2})

кратно

m

- m < r_{1} - r_{2} < m

так как

0 \leq r_{1}, r_{2} < m

r_{1} - r_{2} = 0

3 мин · теория
Главный слайд урока. Доказательство «⇒» — устно с классом; «⇐» — учитель ведёт, ученики называют каждый следующий шаг.
Ключ «⇐»: единственное число, кратное $m$ , строго между $- m$ и $m$ , — это 0. Вопрос: «Почему нельзя $r_{1} - r_{2} = m$ ?» — оба остатка меньше $m$ , разность меньше $m$ .
Обозначение «⋮» — «делится на». Можно записать и так: $m ∣ (a - b)$ .
Значение: чтобы проверить сравнимость, не нужно искать остатки — достаточно одной разности.

R08.2

Смысл критерия

Сравнимые числа отстоят на целое число шагов $m$

- 6 \equiv 1 \equiv 8 (mod 7)

8 \neq \equiv 4 (mod 7)

:

8 - 4 = 4

R08.2

Следствие · классы остатков

По модулю 3 все целые числа делятся на 3 класса

класс	вид	числа
0	$3 k$	$- 6$	$- 3$	$0$	$3$	$6$	$\dots$
1	$3 k + 1$	$- 5$	$- 2$	$1$	$4$	$7$	$\dots$
2	$3 k + 2$	$- 4$	$- 1$	$2$	$5$	$8$	$\dots$

Каждое целое

a

сравнимо ровно с одним из чисел

0, 1, \dots, m - 1

— своим остатком

a \equiv r (mod m)

r

— остаток от деления

a

на

m

- 1 \equiv m - 1 (mod m)

удобная замена

R08.2

Сам · классы остатков

В какой класс по модулю $3$ попадёт число?

2026

класс

1

50

класс

2

99

класс

0

- 8

класс

1

- 1

класс

2

- 14

класс

1

3 k + 5

класс

2

3 k - 2

класс

1

R08.2

Отрицательные числа · два способа

Найдите остаток числа $- 47$ по модулю $6$

Способ 1. Деление с остатком

- 47 = 6 \cdot (- 8) + 1

6 \cdot (- 8) = - 48 \leq - 47

- 47 \equiv 1 (mod 6)

Способ 2. Прибавлять $m$

- 47 + 6 \cdot 8 = 1

прибавление кратного

m

не меняет класс

- 47 \equiv 1 (mod 6)

Проверка критерием:

- 47 - 1 = - 48 = 6 \cdot (- 8)

✓

R08.2

Сам · отрицательные числа

Найдите остаток любым из двух способов

- 13

по модулю

4

3

- 29

по модулю

5

1

- 7

по модулю

10

3

- 1

по модулю

11

10

- 36

по модулю

6

0

- 50

по модулю

8

6

- 100

по модулю

9

8

- 101

по модулю

7

4

R08.2 · закрепление

Закрепление · устно

Верно ли сравнение? Проверьте разностью

сравнение	разность	делится?	ответ
$47 \equiv 11 (mod 9)$	$36$	$36 = 9 \cdot 4$	да
$100 \equiv - 5 (mod 7)$	$105$	$105 = 7 \cdot 15$	да
$23 \equiv 2 (mod 4)$	$21$	не делится на $4$	нет
$- 13 \equiv - 41 (mod 14)$	$28$	$28 = 14 \cdot 2$	да
$2026 \equiv 1 (mod 5)$	$2025$	$2025 = 5 \cdot 405$	да
$a \equiv a + 12 (mod 8)$	$- 12$	не делится на $8$	нет

R08.2 · углублённо

Закрепление · образец решения

При каких натуральных $m$ верно $29 \equiv 5 (mod m)$ ?

29 - 5 = 24

по критерию

m

— делитель

24

24 = 2^{3} \cdot 3

m \in {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Модуль

m = 1

: любые два целых сравнимы

R08.2

Задания с самопроверкой

Решите и проверьте по клику

базаНайдите остаток от деления $- 38$ на $7$ . $4$
базаВерно ли, что $73 \equiv - 17 (mod 10)$ ? да: $90 ⋮ 10$
повыш.Найдите все натуральные $m$ : $50 \equiv - 6 (mod m)$ . $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$
жизньСейчас 15:00. Что покажут часы через 100 часов? 19:00
жизньЛампочки гирлянды идут по кругу: красная, жёлтая, зелёная, синяя. Какого цвета 75-я? зелёная

R08.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
остаток $- 23$ при делении на $5$ равен $- 3$	остаток $\geq 0$	$- 23 = 5 \cdot (- 5) + 2$ , остаток $2$
$- 2 \equiv 2 (mod 5)$	разность $- 4$ не делится на $5$	$- 2 \equiv 3 (mod 5)$
$29 \equiv 5 (mod m) \Rightarrow m ∣ 29$	делится разность	$m ∣ (29 - 5)$
$a \equiv b (mod m) \Rightarrow a = b$	равны остатки, не числа	$a = b + mk$

R08.2

Задания с самопроверкой · от базы к доказательству

Шесть заданий: решите, затем откройте ответы

базаНайдите остаток от деления $- 23$ на $6$ .
базаВерно ли, что $58 \equiv 13 (mod 9)$ ? Обоснуйте.
базаЗапишите три положительных и два отрицательных числа, сравнимых с $4$ по модулю $7$ .
повыш.Найдите все натуральные $m$ , при которых $50 \equiv 14 (mod m)$ .
повыш.Докажите: если $a \equiv b (mod 12)$ , то $a \equiv b (mod 4)$ .
практика1 января 2026 г. — четверг. Какой день недели 1 января 2027 г.?

Подсказки

1) $6 \cdot (- 4) = - 24$

2, 4, 5) критерий: разность

6) в 2026 г. $365$ дней

Ответы

1) $1$ 2) да

3) $11, 18, 25; - 3, - 10$

4) делители $36$ : 9 чисел

5) $a - b = 4 \cdot 3 k$ 6) пт

4 мин · практика
Задания 1–3 — все, 4–6 — по выбору; ответы открываются по клику, по одной строке.
1) −23 = 6 · (−4) + 1 → 1. Проверка: −23 − 1 = −24 = 6 · (−4) ✓.
2) 58 − 13 = 45 = 9 · 5 → да (оба дают остаток 4).
3) Например: 11, 18, 25 и −3, −10 (вид 7k + 4).
4) 50 − 14 = 36 = 2² · 3²; m ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} — 9 значений.
5) a − b = 12k = 4 · (3k) — делится на 4, значит, a ≡ b (mod 4). Обратное неверно: 5 ≡ 1 (mod 4), но 5 ≢ 1 (mod 12).
6) 365 = 7 · 52 + 1 → сдвиг на 1 день: пятница (проверено по календарю: 01.01.2027 — пятница).

R08.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Остаток от деления $- 31$ на $6$ . $5$
Верно ли, что $85 \equiv - 5 (mod 9)$ ? да
Все $m \in N$ : $45 \equiv 5 (mod m)$
$1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40$
Наименьшее $x > 50$ : $x \equiv 3 (mod 8)$ . $51$

Вариант 2

Остаток от деления $- 45$ на $7$ . $4$
Верно ли, что $62 \equiv - 8 (mod 12)$ ? нет
Все $m \in N$ : $38 \equiv - 4 (mod m)$
$1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$
Наименьшее $x > 70$ : $x \equiv 5 (mod 9)$ . $77$

R08.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12 (расчёт по формуле)

Остаток $r$ при делении $a$ на $m$ : $r = a - m \cdot q$

$q$ — неполное частное. Найдите $r$ , если $a = - 47$ , $m = 6$ , $q = - 8$ .

r = a - m \cdot q

Ответ — одно число в бланк.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит $a \equiv b (mod m)$ ?
Как проверить сравнение без остатков?
Какой остаток у $- 1$ по модулю $m$ ?

Домашнее задание

Найдите остаток от деления $- 50$ на $7$ .
Найдите все натуральные $m$ : $100 \equiv 37 (mod m)$ .
Найдите наименьшее трёхзначное $x \equiv 5 (mod 13)$ .
* Найдите все целые $x$ , $∣ x ∣ \leq 20$ : $x \equiv - 1 (mod 6)$ и $x \equiv 1 (mod 4)$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

1 мин · практика (рефлексия: ученики отвечают)
Ответы ДЗ: 1) −50 = 7 · (−8) + 6 → 6. Проверка: −50 − 6 = −56 = 7 · (−8) ✓.
2) 100 − 37 = 63 = 3² · 7 → m ∈ {1, 3, 7, 9, 21, 63}.
3) 100 = 13 · 7 + 9 → ближайшее с остатком 5: 13 · 8 + 5 = 109. Проверка: 96 = 13 · 7 + 5 — двузначное, следующее 109 ✓.
4*) x ≡ 5 (mod 6): −19, −13, −7, −1, 5, 11, 17; из них остаток 1 по mod 4 у −19 = 4 · (−5) + 1, −7 = 4 · (−2) + 1, 5, 17. Ответ: −19, −7, 5, 17 (шаг 12).
Следующий урок ALG8U-122 — «Свойства сравнений по модулю»: сравнения можно складывать и умножать, как равенства.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-121 · Сравнения целых чисел по модулю натурального числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R08 «Числа и вычисления: делимость», 7 ч · урок 2/7 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R08.2 «Сравнения целых чисел по модулю натурального числа» → 2, 5–22 · R08.1 «Деление с остатком» (повторение) → 3–4
Результаты	ПР-7 (оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю…) → 2–22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства сравнений (сложение, умножение, транзитивность) — ALG8U-122 (R08.3); остатки суммы и произведения — ALG8U-123 (R08.4)
Время	теория 14 мин (сл. 1–2, 5–7, 9–11, 13, 16) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сравненияцелых чиселпо модулю

Ученик научится

Определять

Доказывать

Находить остаток

Решать задачи

Остатки и делители — в уме

a=m⋅q+r,0≤r<m

Сегодня четверг. Какой день будет через 100 дней?

Раскрасим целые числа по остатку при делении на 5

Числа, сравнимые по модулю m

Верно ли сравнение? Сравните остатки

Образец

Сам

a≡b(modm)⟺(a−b) ⋮ m

Сравнимые числа отстоят на целое число шагов m

По модулю 3 все целые числа делятся на 3 класса

В какой класс по модулю 3 попадёт число?

Найдите остаток числа −47 по модулю 6

Найдите остаток любым из двух способов

Верно ли сравнение? Проверьте разностью

При каких натуральных m верно 29≡5(modm)?

Решите и проверьте по клику

Найдите ошибку

Шесть заданий: решите, затем откройте ответы

Подсказки

Ответы

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Остаток r при делении a на m: r=a−m⋅q

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-121 · Сравнения целых чисел по модулю натурального числа

Сравнения
целых чисел
по модулю

$a = m \cdot q + r, 0 \leq r < m$

Числа, сравнимые по модулю $m$

$a \equiv b (mod m) ⟺ (a - b) ⋮ m$

Сравнимые числа отстоят на целое число шагов $m$

В какой класс по модулю $3$ попадёт число?

Найдите остаток числа $- 47$ по модулю $6$

При каких натуральных $m$ верно $29 \equiv 5 (mod m)$ ?

Остаток $r$ при делении $a$ на $m$ : $r = a - m \cdot q$