Делимость · урок 1 из 7

Деление
с остатком

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R08 · ALG8U-120

0,5 мин · теория
Паспорт: R08 «Числа и вычисления: делимость» (7 ч), урок 1/7, единица R08.1 «Деление с остатком». Тип Н (новый материал).
До этого: ALG8U-119 — обобщение по теме «Степени». Дальше: ALG8U-121 «Сравнения целых чисел по модулю натурального числа», ALG8U-122 «Свойства сравнений», ALG8U-123 «Остатки суммы и произведения».
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14 (все теоретические слайды, выводы и доказательства сохранены полностью); практика — разминка (3), «вспомним» (4), «образец → сам» после каждого нового правила (7, 11, 13, 15), найдите ошибку (16), задания с самопроверкой (17, 18, 19), формат ОГЭ (20), самостоятельная работа (21), рефлексия и ДЗ (22).
Если не успеваете: доказательство единственности (сл. 9) провести устно по рисунку, задание 4 на сл. 18 и задание 3 на сл. 15 перенести в ДЗ.

R08.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Формулировать

определение делимости нацело и теорему о делении с остатком (ПР-7)

Доказывать

существование и единственность неполного частного и остатка (ПР-7)

Выполнять деление с остатком

в том числе для отрицательного делимого (ПР-7)

Рассуждать по остаткам

разбивать целые числа на классы $3 k$ , $3 k + 1$ , $3 k + 2$ (ПР-7)

повторение

Разминка · устно

Кратные, частное, ближайшее кратное

$7 \cdot 8 = ?$ $56$
$96 : 8 = ?$ $12$
Наибольшее кратное $6$ , не больше $50$ $48$
Наименьшее кратное $4$ , большее $30$ $32$

Ближайшее кратное $5$ левее $- 13$ $- 15$
$3 \cdot (- 4) + 2 = ?$ $- 10$
Сколько полных недель в $50$ днях? $7$
$k (k + 1)$ — чётное или нечётное? чётное

повторение

Вспомним · устно

Верна ли запись деления с остатком?

47 = 6 \cdot 7 + 5

да

47 = 5 \cdot 8 + 7

нет:

7 > 5

100 = 7 \cdot 13 + 9

нет:

9 > 7

84 = 12 \cdot 7 + 0

да, нацело

Остаток всегда меньше делителя: при делении на

5

возможны только

0, 1, 2, 3, 4

Вопрос: а как разделить с остатком

- 17

на

5

? Остаток

- 2

подойдёт?

R08.1

Проблема · смотрим на числовую прямую

Где стоит $- 17$ среди кратных пяти?

R08.1

Новое · теорема о делении с остатком

Для любого целого $a$ и натурального $b$

a = b \cdot q + r, 0 \leq r < b

где $q$ и $r$ — целые, и такая пара единственна

a ⋮ b ⟺ r = 0 ⟺ a = b \cdot q

Буква	Название
$a$	делимое
$b$	делитель
$q$	неполное частное
$r$	остаток

R08.1

Образец → сам · запись деления с остатком

Запишите деление с остатком

Образец: $59 : 8$

1) наибольшее кратное $8$ , не больше $59$ : $8 \cdot 7 = 56$

2) $r = 59 - 56 = 3$ , $0 \leq 3 < 8$ ✓

59 = 8 \cdot 7 + 3

Сами: запишите $a = b q + r$

$83 : 9$ $83 = 9 \cdot 9 + 2$
$7 : 12$ $7 = 12 \cdot 0 + 7$
$96 : 16$ $96 = 16 \cdot 6 + 0$
$- 56 : 8$ $- 56 = 8 \cdot (- 7) + 0$

R08.1 · доказательство

Доказательство · существование

Почему $q$ и $r$ всегда найдутся

1)

b q \leq a

— наибольшее такое кратное

b

кратные идут через

b

— такое найдётся

2)

b (q + 1) > a

, итак

b q \leq a < b q + b

3)

r = a - b q

, тогда

0 \leq r < b

вычли

b q

из всех частей

a = b q + r, 0 \leq r < b

■

R08.1 · доказательство

Доказательство · единственность

Две разные пары $(q; r)$ быть не может

Пусть

a = b q_{1} + r_{1} = b q_{2} + r_{2}

,

0 \leq r_{1}, r_{2} < b

b (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1}

перенесли слагаемые

- b < r_{2} - r_{1} < b

оба остатка — на отрезке длины меньше

b

кратное

b

в интервале

(- b; b)

— только

0

r_{1} = r_{2}, q_{1} = q_{2}

■

R08.1

Алгоритм · отрицательное делимое

Делим модуль, затем «переходим через ноль»

$a : b$	$∣ a ∣ : b$	$q$	$r$	проверка
$- 17 : 5$	$3$ , ост. $2$	$- 4$	$3$	$- 20 + 3$
$- 30 : 7$	$4$ , ост. $2$	$- 5$	$5$	$- 35 + 5$
$- 1 : 4$	$0$ , ост. $1$	$- 1$	$3$	$- 4 + 3$
$- 42 : 6$	$7$ , ост. $0$	$- 7$	$0$	$- 42 + 0$

∣ a ∣ = b q^{'} + r^{'}, r^{'} \neq = 0

q = - q^{'} - 1, r = b - r^{'}

Если

r^{'} = 0

:

q = - q^{'}

,

r = 0

.

R08.1

Образец → сам · отрицательное делимое

Найдите $q$ и $r$

Образец: $- 38 : 6$

1) $38 = 6 \cdot 6 + 2$ : $q^{'} = 6$ , $r^{'} = 2$

2) $q = - 6 - 1 = - 7$ , $r = 6 - 2 = 4$

- 38 = 6 \cdot (- 7) + 4

Сами: $q$ и $r$

$- 29 : 4$ $q = - 8, r = 3$
$- 50 : 8$ $q = - 7, r = 6$
$- 3 : 7$ $q = - 1, r = 4$
$- 45 : 9$ $q = - 5, r = 0$

R08.1

Следствие · классы остатков

Каждое целое число — ровно одного из видов

R08.1

Образец → сам · классы остатков

Какого вида число?

Образец: $- 11$ при делении на $3$

ближайшее кратное $3$ слева: $- 12 = 3 \cdot (- 4)$

$- 11 = 3 \cdot (- 4) + 1$ , $r = 1$

вид

3 k + 1

,

k = - 4

Сами

Вид числа $2024$ : $3 k$ , $3 k + 1$ или $3 k + 2$ ? $3 k + 2$
Вид числа $- 7$ при делении на $3$ ? $3 k + 2$
Число $4 k + 3$ чётное или нечётное? нечётное
Остаток от деления $3 k + 5$ на $3$ ? $2$

R08.1 · углублённо

Применение · доказательство перебором остатков

Какие остатки даёт $n^{2}$ при делении на $3$ ?

$n$	$n^{2}$	остаток
$3 k$	$9 k^{2} = 3 \cdot 3 k^{2}$	0
$3 k + 1$	$9 k^{2} + 6 k + 1 = 3 (3 k^{2} + 2 k) + 1$	1
$3 k + 2$	$9 k^{2} + 12 k + 4 = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1$	1

n^{2}

даёт остаток
только

0

или

1

Значит, число вида

3 m + 2

— не квадрат:

2, 5, 8, 2024

…

R08.1 · углублённо

Образец → сам · перебор остатков

Доказываем, разбирая все классы

Образец: $n (n + 1)$ — чётное

$n$	$n (n + 1)$
$2 k$	$2 k (2 k + 1)$ — кратно $2$
$2 k + 1$	$(2 k + 1) (2 k + 2) = 2 (2 k + 1) (k + 1)$

других классов нет ⇒ чётно при любом $n$ ■

Сами

Остатки $n^{2}$ при делении на $5$ ? $0, 1, 4$
Может ли квадрат иметь вид $5 m + 2$ ? нет
Докажите: $n^{3} - n$ делится на $3$ . разобрать $3 k, 3 k \pm 1$

R08.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$- 23 = 5 \cdot (- 4) + (- 3)$	остаток отрицательный	$5 \cdot (- 5) + 2$
$38 = 6 \cdot 5 + 8$	остаток $8 \geq 6$	$6 \cdot 6 + 2$
$- 12 : 4$ — остаток $4$	делится нацело	$4 \cdot (- 3) + 0$
$3 : 8 = 0$ , остатка нет	остаток равен делимому	$8 \cdot 0 + 3$

R08.1

Задания с самопроверкой · база

Найдите неполное частное $q$ и остаток $r$

100 : 7

q = 14, r = 2

- 100 : 7

q = - 15, r = 5

5 : 9

q = 0, r = 5

- 5 : 9

q = - 1, r = 4

Практика: сегодня понедельник. Какой день недели будет через

100

дней?

R08.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Рассуждаем через запись $a = b q + r$

базаЧисло $a$ при делении на $6$ даёт остаток $4$ . Какой остаток при делении $a$ на $3$ ? $1$
повыш.Найдите все натуральные числа, которые при делении на $7$ дают неполное частное, равное остатку. $8, 16, \dots, 48$
практика $250$ учеников рассаживают в автобусы по $45$ мест. Сколько нужно автобусов? $6$
повыш.Докажите: квадрат нечётного числа при делении на $8$ даёт остаток $1$ . $8 m + 1$

R08.1 · практика

Задания с самопроверкой · задачи из жизни

Где здесь деление с остатком?

базаСейчас $15 : 00$ . Сколько будет на часах через $100$ часов? $19 : 00$
базаКарандаши кладут по $12$ в коробку. Сколько полных коробок из $150$ карандашей и сколько останется? $12$ кор., ост. $6$
повыш.Лампочки гирлянды повторяются (см. справа). Какого цвета $50$ -я лампочка? жёлтая
повыш.1 января 2026 г. — четверг. Какой день недели 1 января 2027 г.? пятница

R08.1 · ОГЭ

В формате ОГЭ · линия 21 · текстовая задача

Сколько было тетрадей?

Тетради раздали поровну

7

ученикам — осталось

5

. Если бы тетрадей было на

9

больше, их можно было бы раздать поровну

8

ученикам без остатка. Сколько тетрадей, если их меньше

60

?

N = 7 k + 5, N + 9 = 8 m

N \in {5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54}

все

7 k + 5 < 60

N + 9

кратно

8

только при

N = 47

R08.1

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

$q$ и $r$ : $87 : 6$ $14; 3$
$q$ и $r$ : $- 87 : 6$ $- 15; 3$
$a$ при делении на $10$ даёт остаток $7$ . Остаток от деления $a$ на $5$ ? $2$
Какие остатки даёт $n^{2} + 1$ при делении на $3$ ? $1$ или $2$

Вариант 2

$q$ и $r$ : $94 : 8$ $11; 6$
$q$ и $r$ : $- 94 : 8$ $- 12; 2$
$a$ при делении на $12$ даёт остаток $9$ . Остаток от деления $a$ на $4$ ? $1$
Какие остатки даёт $n^{2} + 2$ при делении на $3$ ? $2$ или $0$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие два условия на $q$ и $r$ в записи $a = b q + r$ ?
Почему остаток от $- 17$ при делении на $5$ равен $3$ ?
Сколько разных остатков при делении на $b$ ?

Домашнее задание

Найдите $q$ и $r$ : $2026 : 9$ ; $- 2026 : 9$
Докажите: $n^{2}$ при делении на $4$ даёт остаток $0$ или $1$
* Докажите, что $2027$ нельзя представить в виде $x^{2} + y^{2}$ , $x, y \in Z$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_index.htm

1,5 мин · практика
Рефлексия 1 мин, ДЗ 0,5 мин. Ответы на вопросы: $q \in Z$ и $0 \leq r < b$ ; $- 17 = 5 \cdot (- 4) + 3$ , ближайшее кратное слева — $- 20$ ; ровно $b$ : $0, 1, \dots, b - 1$ .
ДЗ 1) $2026 = 9 \cdot 225 + 1$ ; $- 2026 = 9 \cdot (- 226) + 8$ (проверка: $- 2034 + 8 = - 2026$ ).
ДЗ 2) $n = 2 k$ : $4 k^{2}$ , остаток $0$ ; $n = 2 k + 1$ : $4 (k^{2} + k) + 1$ , остаток $1$ .
ДЗ 3*) Сумма двух квадратов даёт при делении на $4$ остаток $0$ , $1$ или $2$ , а $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ — остаток $3$ . Подсказка: по остаткам сумма — тема ALG8U-123, сейчас достаточно перебрать четыре случая чётности $x$ , $y$ .
Следующий урок ALG8U-121 — «Сравнения целых чисел по модулю натурального числа».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-120 · Деление с остатком

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R08 «Числа и вычисления: делимость», 7 ч · урок 1/7 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R08.1 «Деление с остатком» → 2–22
Результаты	ПР-7 (оперировать понятием остатка по модулю) → 2–22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	сравнения по модулю — ALG8U-121 (R08.2); свойства сравнений — ALG8U-122 (R08.3); остатки суммы и произведения — ALG8U-123 (R08.4)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Делениес остатком

Сегодня вы научитесь

Формулировать

Доказывать

Выполнять деление с остатком

Рассуждать по остаткам

Кратные, частное, ближайшее кратное

Верна ли запись деления с остатком?

Где стоит −17 среди кратных пяти?

Для любого целого a и натурального b

Запишите деление с остатком

Образец: 59:8

Сами: запишите a=bq+r

Почему q и r всегда найдутся

Две разные пары (q;r) быть не может

Делим модуль, затем «переходим через ноль»

Найдите q и r

Образец: −38:6

Сами: q и r

Каждое целое число — ровно одного из видов

Какого вида число?

Образец: −11 при делении на 3

Сами

Какие остатки даёт n2 при делении на 3?

Доказываем, разбирая все классы

Образец: n(n+1) — чётное

Сами

Найдите ошибку

Найдите неполное частное q и остаток r

Рассуждаем через запись a=bq+r

Где здесь деление с остатком?

Сколько было тетрадей?

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-120 · Деление с остатком

Деление
с остатком

Где стоит $- 17$ среди кратных пяти?

Для любого целого $a$ и натурального $b$

Образец: $59 : 8$

Сами: запишите $a = b q + r$

Почему $q$ и $r$ всегда найдутся

Две разные пары $(q; r)$ быть не может

Найдите $q$ и $r$

Образец: $- 38 : 6$

Сами: $q$ и $r$

Образец: $- 11$ при делении на $3$

Какие остатки даёт $n^{2}$ при делении на $3$ ?

Образец: $n (n + 1)$ — чётное

Найдите неполное частное $q$ и остаток $r$

Рассуждаем через запись $a = b q + r$