Степени · урок 14 из 14 · обобщение

Алгебраические
выражения:
степени.
Обобщение

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-119

Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 14/14, единицы R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства», R07.2 «Стандартный вид числа», R07.3 «Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире». Тип О (обобщение и систематизация). Было: ALG8U-106–108 (новый материал), ALG8U-109–118 (практикумы). Дальше: ALG8U-120 — «Деление с остатком» (строка R08).
1 мин · теория (организационный момент). Хронометраж урока: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14): титул 1 (сл. 1) · цели 1 (сл. 2) · карта темы 1 (сл. 4) · определение 1 (сл. 5) · свойства 2 (сл. 7) · доказательство 2 (сл. 9) · образец преобразования 1 (сл. 10) · стандартный вид 1 (сл. 12) · действия 2 (сл. 14) · реальная задача и точность 2 (сл. 16).
Практика (31): разминка 2 (сл. 3) · образец → сам: отрицательная степень 2 (сл. 6) · образец → сам: свойства 2 (сл. 8) · задания R07.1 4 (сл. 11) · образец → сам: стандартный вид 2 (сл. 13) · действия, самопроверка 3 (сл. 15) · задачи из жизни 3 (сл. 17) · найди ошибку 2 (сл. 18) · итоговые задания 4 (сл. 19) · самостоятельная работа 4 (сл. 20) · ОГЭ 2 (сл. 21) · итог и ДЗ 1 (сл. 22).
Если не успеваете: на сл. 11 оставить а), б), г); на сл. 19 — задания 1, 3, 5, остальные в ДЗ. Теоретические слайды не пропускать.

R07.1 · R07.2 · R07.3

Цели урока

Собираем тему «Степени» в одну систему

1Определение

степени с целым показателем: $a^{0}$ , $a^{- n}$ (ПР-15)

2Свойства

доказывать и применять для преобразований (ПР-15)

3Стандартный вид

записывать числа и действовать с ними (ПР-5)

4Реальные величины

считать, делать прикидку, оценивать точность (ПР-5, ПР-4)

1 мин · теория
ПР-15: «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем». ПР-5: «Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерений». ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений…».
Виды деятельности ФРП строки: формулировать определение, записывать свойства в символической форме, выполнять действия с числами в стандартном виде, делать прикидку и оценку.

повторение: R07.1 · R07.3

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

2^{- 3}

вычислите

\frac{1}{8}

(- 3)^{- 2}

вычислите

\frac{1}{9}

(\frac{2}{5})^{- 1}

вычислите

\frac{5}{2} = 2, 5

7^{0} \cdot 5^{- 1}

вычислите

\frac{1}{5} = 0, 2

a^{5} \cdot a^{- 8}

упростите

a^{- 3}

(x^{- 2})^{- 4}

упростите

x^{8}

1 0^{- 3}

десятичной дробью

0, 001

1 кмсколько это мм?

1 0^{6}

мм

R07 · карта темы

Карта темы · 14 уроков на одном рисунке

Как связаны части темы

R07.1

Определение · почему именно так

Шаг вниз — деление на основание

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a \neq = 0, n \in N

. Выражения

0^{0}

и

0^{- 2}

не имеют смысла

1 мин · теория
Вопрос: «Что происходит с показателем при каждом шаге вниз? А со значением?» — показатель уменьшается на 1, значение делится на 2. Продолжаем закономерность за ноль — получаем определение.
Определение выбрано так, чтобы сохранились все свойства степени с натуральным показателем: $a^{n} \cdot a^{- n} = a^{0} = 1$ .
Ошибка: $2^{- 3} = - 8$ или $- \frac{1}{8}$ . Минус в показателе — «перевернуть», а не «сменить знак».
Вопрос на углубление: «Почему $0^{- 2}$ не определено?» — было бы $\frac{1}{0 ^{2}} = \frac{1}{0}$ .

R07.1 · образец → сам

Образец → сам · отрицательный показатель

Вычислите

Образец: $(\frac{2}{3})^{- 3} - 3^{- 1} \cdot 9$

(\frac{2}{3})^{- 3} = (\frac{3}{2})^{3} = \frac{27}{8}

3^{- 1} \cdot 9 = \frac{9}{3} = 3

\frac{27}{8} - 3 = \frac{3}{8}

✓

Сам

$5^{- 2} \cdot 50$ $2$
$(\frac{1}{3})^{- 2} - 2^{- 2} \cdot 4$ $8$
$(- 2)^{- 3} \cdot 16$ $- 2$
$(\frac{5}{2})^{- 2} + 0, 2^{- 1}$ $5, 16$

R07.1

Сводная таблица · $a \neq = 0, b \neq = 0, m, n \in Z$

Свойства степени с целым показателем

Свойство	Формула	Пример
умножение	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$3^{5} \cdot 3^{- 7} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$
деление	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$x^{- 2} : x^{- 6} = x^{4}$
степень степени	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(y^{- 3})^{- 2} = y^{6}$
степень произведения	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 c)^{- 3} = \frac{1}{8 c ^{3}}$
степень дроби	$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$(\frac{2}{3})^{- 2} = \frac{9}{4}$
следствие	$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$	$(\frac{1}{5})^{- 3} = 125$

R07.1 · образец → сам

Образец → сам · свойства степени

Упростите

Образец: $(a^{- 3})^{2} \cdot a^{8} : a^{- 1}$

(a^{- 3})^{2} = a^{- 6}

a^{- 6} \cdot a^{8} = a^{2}

a^{2} : a^{- 1} = a^{2 - (- 1)} = a^{3}

✓

Сам

$x^{- 7} \cdot x^{4} \cdot x^{5}$ $x^{2}$
$(b^{- 2})^{- 3} : b^{4}$ $b^{2}$
$\frac{c ^{- 3} \cdot c ^{- 4}}{c ^{- 10}}$ $c^{3}$
$(2 m^{- 2})^{- 2}$ $\frac{m ^{4}}{4}$

R07.1 · доказательство

Углублённо · почему свойство верно для любых целых

Докажем: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $m, n \in Z$

1)

m, n \in N

— доказано в 7 классеесли

m = 0

или

n = 0

— сразу из

a^{0} = 1

2)

n = - k

:

a^{m} \cdot a^{- k} = \frac{a ^{m}}{a ^{k}} = a^{m - k}

при

m < k

:

\frac{1}{a ^{k - m}} = a^{- (k - m)} = a^{m - k}

3)

a^{- p} \cdot a^{- k} = \frac{1}{a ^{p} a ^{k}} = \frac{1}{a ^{p + k}} = a^{- p - k}

Все случаи разобраны — свойство верно для любых целых

m, n

R07.1 · образец

Образец · преобразование выражения

Упростите $\frac{( x ^{- 2} y ^{3} ) ^{- 3}}{x ^{4} y ^{- 5}} \cdot x^{- 1} y^{2}$

(x^{- 2} y^{3})^{- 3} = x^{6} y^{- 9}

степень произведения, степень степени

\frac{x ^{6} y ^{- 9}}{x ^{4} y ^{- 5}} = x^{6 - 4} y^{- 9 - (- 5)} = x^{2} y^{- 4}

деление: вычитаем показатели

x^{2} y^{- 4} \cdot x^{- 1} y^{2} = x^{1} y^{- 2}

умножение: складываем

= \frac{x}{y ^{2}}

R07.1 · решите сами

Степень с целым показателем · четыре задания

От вычисления к доказательству

базаа) Вычислите $\frac{9 ^{- 3} \cdot 2 7 ^{2}}{3 ^{- 4}}$

\frac{3 ^{- 6} \cdot 3 ^{6}}{3 ^{- 4}} = 3^{4} = 81

повыш.б) Упростите $(\frac{2 a ^{- 3}}{b ^{2}})^{- 2} \cdot 4 a^{- 5} b^{- 3}$

\frac{a ^{6} b ^{4}}{4} \cdot 4 a^{- 5} b^{- 3} = ab

повыш.в) Сравните $2^{- 30}$ и $3^{- 20}$

8^{- 10} = \frac{1}{8 ^{10}} > \frac{1}{9 ^{10}} = 9^{- 10}

углубл.г) Докажите, что при любом $n \in Z$ $\frac{2 ^{n + 2} - 2 ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n - 1}} = 2$

\frac{2 ^{n} ( 4 - 1 )}{3 \cdot 2 ^{n - 1}} = 2^{n - (n - 1)} = 2

R07.2

Стандартный вид числа

$a \cdot 1 0^{n}$ , где $1 \leq a < 10$ , $n \in Z$

R07.2 · образец → сам

Образец → сам · стандартный вид

Запишите число в стандартном виде

Образец

0, 00406 = 4, 06 \cdot 1 0^{- 3}

запятая вправо на 3 → $n = - 3$

52 \cdot 1 0^{3} = 5, 2 \cdot 10 \cdot 1 0^{3} = 5, 2 \cdot 1 0^{4}

мантисса $52 \geq 10$ — переносим 10 в степень

Сам

$27000000$ $2, 7 \cdot 1 0^{7}$
$0, 000085$ $8, 5 \cdot 1 0^{- 5}$
$0, 32 \cdot 1 0^{- 4}$ $3, 2 \cdot 1 0^{- 5}$
$640 \cdot 1 0^{- 8}$ $6, 4 \cdot 1 0^{- 6}$

R07.2

Действия с числами в стандартном виде

Мантиссы отдельно, степени 10 — отдельно

× умножение

(2, 5 \cdot 1 0^{- 4}) (6 \cdot 1 0^{7}) = 15 \cdot 1 0^{3} = 1, 5 \cdot 1 0^{4}

: деление

\frac{4 , 2 \cdot 1 0 ^{5}}{7 \cdot 1 0 ^{- 3}} = 0, 6 \cdot 1 0^{8} = 6 \cdot 1 0^{7}

^ возведение в степень

(3 \cdot 1 0^{- 4})^{3} = 27 \cdot 1 0^{- 12} = 2, 7 \cdot 1 0^{- 11}

+ сложение $3, 2 \cdot 1 0^{5} + 4 \cdot 1 0^{4}$ — сначала один порядок

3, 2 \cdot 1 0^{5} + 0, 4 \cdot 1 0^{5} = 3, 6 \cdot 1 0^{5}

Последний шаг — привести мантиссу к виду

1 \leq a < 10

R07.2 · самопроверка

Задания с самопроверкой · ответ по клику

Вычислите, ответ — в стандартном виде

Базовый уровень

$(4 \cdot 1 0^{- 3}) (2 \cdot 1 0^{8})$ $8 \cdot 1 0^{5}$
$(5 \cdot 1 0^{6}) (3 \cdot 1 0^{- 2})$ $1, 5 \cdot 1 0^{5}$
$\frac{9 \cdot 1 0 ^{- 2}}{3 \cdot 1 0 ^{- 6}}$ $3 \cdot 1 0^{4}$

Повышенный уровень

$\frac{1 , 2 \cdot 1 0 ^{4}}{4 \cdot 1 0 ^{- 5}}$ $3 \cdot 1 0^{8}$
$(2 \cdot 1 0^{- 3})^{4}$ $1, 6 \cdot 1 0^{- 11}$
$6, 1 \cdot 1 0^{- 4} - 9 \cdot 1 0^{- 5}$ $5, 2 \cdot 1 0^{- 4}$

R07.3

Реальные величины · алгоритм расчёта

Сколько молекул воды в стакане (200 г)?

2 мин · теория (демонстрационный пример — алгоритм)
Алгоритм решения любой задачи R07.3: единицы → модель (формула) → прикидка порядка → расчёт в стандартном виде → округление по смыслу.
Проверка: 0,2 : 3 = 0,0667; 10⁰ : 10⁻²⁶ = 10²⁶; 0,0667 · 10²⁶ = 6,67 · 10²⁴ ≈ 6,7 · 10²⁴ ✓. Прикидка: 0,2 ≈ 10⁻¹, 3 · 10⁻²⁶ ≈ 10⁻²⁶ (по порядку) → 10²⁵; ответ того же порядка (6,7 · 10²⁴ ≈ 0,67 · 10²⁵) ✓.
Относительная погрешность округления: (6,7 − 6,667) : 6,667 ≈ 0,005 = 0,5 %. Но масса молекулы дана с одной значащей цифрой (3 · 10⁻²⁶; точнее 2,99 · 10⁻²⁶), поэтому честнее ответ «около 7 · 10²⁴» — обсудить с классом.
Межпредметная связь: химия (количество вещества, число Авогадро) — 200 г воды ≈ 11 моль.

R07.3 · задачи из жизни

Задачи из жизни · прикидка → расчёт

Решите по алгоритму

базаСкорость света $3 \cdot 1 0^{8}$ м/с, от Солнца до Земли $1, 5 \cdot 1 0^{11}$ м. Сколько секунд идёт свет? $500$ с ≈ 8 мин
базаЛист бумаги толщиной 0,1 мм. Какой высоты стопка из $1 0^{6}$ листов? $100$ м
повыш.Масса пылинки $7 \cdot 1 0^{- 10}$ кг. Сколько пылинок в 1 г пыли? $\approx 1, 4 \cdot 1 0^{6}$

Алгоритм

1) единицы → СИ

2) формула

3) прикидка порядка

4) расчёт

5) округление

R07.1 · R07.2

Типичные ошибки всей темы

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$2^{- 3} = - 8$	минус в показателе — не знак числа	$\frac{1}{8}$
$(- 2)^{- 2} = - \frac{1}{4}$	чётная степень — знак «+»	$\frac{1}{4}$
$(a^{- 2})^{3} = a^{1}$	показатели надо умножать	$a^{- 6}$
$3^{4} \cdot 3^{- 6} = 9^{- 2}$	основание не меняется	$3^{- 2}$
$a^{- 1} + b^{- 1} = (a + b)^{- 1}$	нет свойства для суммы	$\frac{a + b}{ab}$
$45 \cdot 1 0^{- 7}$ — стандартный вид	$a \geq 10$	$4, 5 \cdot 1 0^{- 6}$

R07.1 · R07.2 · R07.3

Итоговые задания · все единицы темы · ответы по клику

Шесть заданий

базаВычислите $5^{- 2} + (\frac{1}{2})^{- 3} - 7^{0}$ .
базаЗапишите в стандартном виде $0, 00058$ и $72300000$ .
повыш.Упростите $\frac{( 3 x ^{- 2} ) ^{- 3} \cdot 9 x ^{- 4}}{x ^{3}}$ .
повыш.Найдите значение $\frac{1 2 ^{- 5} \cdot 6 ^{8}}{2 ^{- 2} \cdot 3 ^{4}}$ .
практикаДиаметр эритроцита 7,5 мкм. Сколько эритроцитов уложится в ряд длиной 1 см?
углубл.Докажите, что $\frac{3 ^{n + 1} + 3 ^{n}}{4 \cdot 3 ^{n - 2}}$ не зависит от $n \in Z$ .

Подсказки

4) $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $6 = 2 \cdot 3$

5) $1 мкм = 1 0^{- 6} м$

6) вынесите $3^{n}$

Ответы

1) $7, 04$ 2) $5, 8 \cdot 1 0^{- 4}$ ; $7, 23 \cdot 1 0^{7}$

3) $\frac{1}{3 x}$ 4) $\frac{1}{3}$

5) $\approx 1, 3 \cdot 1 0^{3}$ 6) $9$

R07.1 · R07.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$(\frac{1}{4})^{- 1} + 2^{- 2} \cdot 12$ $7$
$\frac{a ^{- 5} \cdot ( a ^{2} ) ^{4}}{a ^{- 1}}$ $a^{4}$
$(3 \cdot 1 0^{- 5}) (4 \cdot 1 0^{9})$ $1, 2 \cdot 1 0^{5}$
$\frac{6 ^{- 3} \cdot 2 ^{5}}{3 ^{- 4}}$ $12$

Вариант 2

$(\frac{1}{3})^{- 1} + 2^{- 3} \cdot 16$ $5$
$\frac{b ^{- 6} \cdot ( b ^{3} ) ^{3}}{b ^{- 2}}$ $b^{5}$
$\frac{8 \cdot 1 0 ^{- 3}}{2 \cdot 1 0 ^{- 7}}$ $4 \cdot 1 0^{4}$
$\frac{1 5 ^{- 2} \cdot 3 ^{4}}{5 ^{- 3}}$ $45$

R07.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени и корни)

Найдите значение выражения

\frac{( a ^{- 3} ) ^{4} \cdot a ^{16}}{a ^{2}}

при $a = 0, 4$

a^{- 12 + 16 - 2} = a^{2} = 0, 16

· ответ:

0, 16

рефлексия · ДЗ

Итог темы «Степени»

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Зачем определили $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ именно так?
Как перемножить числа в стандартном виде?
Зачем нужна прикидка?

Домашнее задание

Упростите $(a^{- 2} b)^{3} \cdot (a b^{- 2})^{- 2}$ .
Масса Земли $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ кг, объём $1, 08 \cdot 1 0^{21} м^{3}$ . Найдите плотность.
* Найдите $n$ : $4^{n} \cdot 8^{- 1} = 2^{- 5}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-119 · Обобщение и систематизация по теме «Алгебраические выражения: степени»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 14/14 · тип О (обобщение и систематизация)
Единицы → слайды	R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства» → 3–11, 18–21 · R07.2 «Стандартный вид числа» → 4, 12–15, 18–20, 22 · R07.3 «Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире» → 3, 4, 16, 17, 19, 22
Результаты	ПР-15 (понятие степени с целым показателем, преобразования) → 2, 3, 5–11, 18–22 · ПР-5 (записи больших и малых чисел, реальные величины) → 2, 12–17, 19, 20, 22 · ПР-4 (округление, прикидка, вычисления) → 16, 17 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	деление с остатком и сравнения по модулю — ALG8U-120 и далее (R08); степень с рациональным показателем — за пределами 8 класса
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Алгебраическиевыражения:степени.Обобщение

Собираем тему «Степени» в одну систему

1Определение

2Свойства

3Стандартный вид

4Реальные величины

Считаем в уме — ответ по клику

Как связаны части темы

Шаг вниз — деление на основание

Вычислите

Образец: (32​)−3−3−1⋅9

Сам

Свойства степени с целым показателем

Упростите

Образец: (a−3)2⋅a8:a−1

Сам

Докажем: am⋅an=am+n, m,n∈Z

Упростите x4y−5(x−2y3)−3​⋅x−1y2

От вычисления к доказательству

a⋅10n, где 1≤a<10, n∈Z

Запишите число в стандартном виде

Образец

Сам

Мантиссы отдельно, степени 10 — отдельно

Вычислите, ответ — в стандартном виде

Базовый уровень

Повышенный уровень

Сколько молекул воды в стакане (200 г)?

Решите по алгоритму

Алгоритм

Найдите ошибку

Шесть заданий

Подсказки

Ответы

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Найдите значение выражения

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-119 · Обобщение и систематизация по теме «Алгебраические выражения: степени»

Алгебраические
выражения:
степени.
Обобщение

Образец: $(\frac{2}{3})^{- 3} - 3^{- 1} \cdot 9$

Образец: $(a^{- 3})^{2} \cdot a^{8} : a^{- 1}$

Докажем: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $m, n \in Z$

Упростите $\frac{( x ^{- 2} y ^{3} ) ^{- 3}}{x ^{4} y ^{- 5}} \cdot x^{- 1} y^{2}$

$a \cdot 1 0^{n}$ , где $1 \leq a < 10$ , $n \in Z$