Степени · урок 13 из 14 · практикум

Практикум:
степень с целым
показателем

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-118

0 мин · титул · Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 13/14, единица R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства». Тип П (практикум), четвёртый и последний практикум по R07.1.
До этого: ALG8U-106 (определение и свойства), практикумы ALG8U-109 (вычисления, упрощение, сравнение), ALG8U-112 (переменный показатель, дроби с отрицательными показателями, неизвестный показатель), ALG8U-115; ALG8U-117 — практикум по размерам объектов. Следующий — ALG8U-119 «Обобщение и систематизация по теме „Алгебраические выражения: степени“».
Новое: разные основания (разложение на простые множители), выражения с $a + a^{- 1}$ , сравнение через общий показатель, уравнения с вынесением степени за скобки.
Хронометраж (45 мин): теория — цели 1 · карта приёмов 1 · образцы типов 1–4 по 3 (всего 14); практика — разминка 3 · тип 1 — 3 · тип 2 — 3 · тип 3 — 3 · тип 4 — 3 · задания с самопроверкой 3 · найди ошибку 2 · задача из жизни 2 · самостоятельная (2 варианта) 6 · ОГЭ 2 · итог 1 (всего 31).
Если не успеваете: слайд 8 — только задания а) и б); слайд 13 — задания 1–3, остальные в ДЗ.

R07.1

Цели урока

Четыре приёма для трудных степеней

Разные основания

раскладывать на простые множители и упрощать (ПР-15)

Сумма $a + a^{- 1}$

возводить в квадрат и куб, находить значения выражений (ПР-15, ПР-12)

Сравнение

больших степеней через общий показатель (ПР-15)

Уравнения

с неизвестным в показателе и задачи из практики (ПР-15, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-15 «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
ПР-12 «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений»; ПР-13 «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Применять свойства степени для преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».

повторение

Разминка · устно · 3 минуты

Шесть примеров — вспоминаем свойства

(\frac{2}{5})^{- 2}

\frac{25}{4} = 6, 25

0, 1^{- 3}

1000

(- 2)^{- 3}

- \frac{1}{8}

a^{- 3} \cdot a^{- 5} : a^{- 10}

a^{2}

(2 a^{- 2})^{- 3}

\frac{a ^{6}}{8}

6^{n} : 2^{n}

3^{n}

R07.1

План практикума · что видим → какой приём

Узнай тип — и приём подскажет решение

R07.1

Тип 1 · образец · разные основания

Найдите значение $\frac{1 2 ^{n + 1}}{2 ^{2 n + 1} \cdot 3 ^{n - 1}}$

показатель	у $2$	у $3$
числитель	$2 n + 2$	$n + 1$
знаменатель	$2 n + 1$	$n - 1$
разность	$1$	$2$

= \frac{2 ^{2 n + 2} \cdot 3 ^{n + 1}}{2 ^{2 n + 1} \cdot 3 ^{n - 1}}

12 = 2^{2} \cdot 3

= 2^{1} \cdot 3^{2}

вычли показатели у каждого основания

= 18

при любом

n \in Z

R07.1

Тип 1 · решаем сами · в парах

Разложите основания — и посчитайте

база

\frac{1 0 ^{- 5} \cdot 5 ^{7}}{2 ^{- 6} \cdot 5 ^{3}}

2^{1} \cdot 5^{- 1} = 0, 4

база

\frac{6 ^{- 4} \cdot 4 ^{3}}{3 ^{- 5} \cdot 2 ^{2}}

2^{0} \cdot 3^{1} = 3

повыш.

\frac{1 8 ^{n}}{2 ^{n - 1} \cdot 9 ^{n + 1}}

2^{1} \cdot 3^{- 2} = \frac{2}{9}

повыш.

\frac{2 0 ^{n} \cdot 5 ^{1 - n}}{4 ^{n - 1}}

2^{2} \cdot 5^{1} = 20

R07.1 · углублённо

Тип 2 · образец · сумма $a + a^{- 1}$

Известно: $a + a^{- 1} = 3$ . Найдите $a^{2} + a^{- 2}$

(a + a^{- 1})^{2} = a^{2} + 2 + a^{- 2}

средний член:

2 \cdot a \cdot a^{- 1} = 2

9 = a^{2} + a^{- 2} + 2

a^{2} + a^{- 2} = 7

a^{4} + a^{- 4} = 7^{2} - 2 = 47

ещё раз тот же приём

R07.1 · углублённо

Тип 2 · решаем сами

Квадрат и куб суммы со степенью $- 1$

база

x - x^{- 1} = 2

x^{2} + x^{- 2} = ?

6

повыш.

a + a^{- 1} = 3

a^{3} + a^{- 3} = ?

18

повыш.

y^{2} + y^{- 2} = 14, y > 0

y + y^{- 1} = ?

4

Подсказка к б): сумма кубов

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1}) (a^{2} - 1 + a^{- 2})

.

R07.1 · углублённо

Тип 3 · образец · общий показатель

Сравните $2^{- 300}$ и $3^{- 200}$

2^{- 300} = (2^{3})^{- 100} = 8^{- 100}

3^{- 200} = (3^{2})^{- 100} = 9^{- 100}

НОД(300; 200) = 100

8^{- 100} = (\frac{1}{8})^{100}, 9^{- 100} = (\frac{1}{9})^{100}

2^{- 300} > 3^{- 200}

Сам: сравните

5^{- 30}

и

2^{- 70}

. Подсказка: общий показатель

- 10

.

R07.1 · углублённо

Тип 3 · решаем сами · сравнение

Поставьте знак $>$ или $<$

база

а)

2^{- 60} \lor 5^{- 20}

8^{- 20} < 5^{- 20}

, знак

<

база

б)

2^{- 90} \lor 5^{- 40}

51 2^{- 10} > 62 5^{- 10}

, знак

>

повыш.

в)

2^{- 100} \lor 1 0^{- 30}

102 4^{- 10} < 100 0^{- 10}

, знак

<

повыш.

г)

(- 2)^{- 51} \lor (- 3)^{- 34}

«минус»

<

«плюс», знак

<

R07.1 · углублённо

Тип 4 · образец · неизвестный показатель

Найдите целое $x$ : $3^{x + 1} - 3^{x - 1} = \frac{8}{27}$

3^{x - 1} (3^{2} - 1) = \frac{8}{27}

вынесли наименьшую степень

3^{x - 1} = \frac{1}{27} = 3^{- 3}

разделили на

8

x - 1 = - 3

одно основание ⇒ равные показатели

x = - 2

Сам: найдите целое

x

:

2^{x + 3} + 2^{x} = \frac{9}{16}

.

R07.1 · углублённо

Тип 4 · решаем сами · неизвестный показатель

Найдите целое $x$

база

а)

2^{x + 1} + 2^{x} = \frac{3}{8}

2^{x} \cdot 3 = \frac{3}{8}

,

x = - 3

база

б)

3^{x + 2} - 3^{x} = \frac{8}{9}

3^{x} \cdot 8 = \frac{8}{9}

,

x = - 2

повыш.

в)

5^{x} + 5^{x - 1} = \frac{6}{125}

5^{x - 1} \cdot 6 = \frac{6}{125}

,

x = - 2

повыш.

г)

4^{x} = 8^{x + 1}

2^{2 x} = 2^{3 x + 3}

,

x = - 3

R07.1

Задания с самопроверкой · все типы

Решите — ответ откроется по клику

база $\frac{1 4 ^{n + 1}}{2 ^{n} \cdot 7 ^{n - 1}}$ $98$
база $0, 2^{- 3} \cdot 2 5^{- 1}$ $5$
повыш. $a + a^{- 1} = 5$ . Найдите $a^{2} + a^{- 2}$ . $23$
повыш. $\frac{9 ^{n + 1} \cdot 4 ^{n}}{6 ^{2 n} \cdot 3}$ $3$
повыш.Упростите $\frac{a ^{- 1} + b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}}$ . $\frac{ab}{b - a}$

R07.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$2^{- 5} \cdot 3^{- 5} = 6^{- 10}$	показатели не складывают при разных основаниях	$6^{- 5}$
$1 2^{n} = 2^{n} \cdot 3^{n}$	$12 = 2^{2} \cdot 3$ , а не $2 \cdot 3$	$2^{2 n} \cdot 3^{n}$
$(a + a^{- 1})^{2} = a^{2} + a^{- 2}$	потеряли удвоенное произведение	$a^{2} + 2 + a^{- 2}$
$3^{- 2} + 3^{- 2} = 3^{- 4}$	сложение ≠ умножение	$2 \cdot 3^{- 2} = \frac{2}{9}$
$2^{- 300} < 3^{- 200}$	«300 > 200» — но основания разные	знак $>$

R07.1 · практика

Задача из жизни · распад вещества

Масса $m = 80 \cdot 2^{- t}$ г ( $t$ — сутки от начала наблюдения)

базаНайдите $m (3)$ . $10$ г
базаЧто значит $m (- 1)$ ? Найдите. $160$ г сутки назад
повыш.При каком $t$ масса $0, 625$ г? $t = 7$
повыш.Во сколько раз уменьшится масса за 5 суток? в $32$ раза

R07.1

Самостоятельная работа · 6 минут

Два варианта — по всем типам практикума

Вариант 1

$\frac{1 5 ^{- 2} \cdot 3 ^{5}}{5 ^{- 3} \cdot 9}$ $15$
$b - b^{- 1} = 3$ ; $b^{2} + b^{- 2} = ?$ $11$
Сравните $3^{- 40}$ и $4^{- 30}$ . $<$
Целое $x$ : $5^{x + 2} - 5^{x} = \frac{24}{125}$ $- 3$

Вариант 2

$\frac{1 0 ^{- 3} \cdot 2 ^{5}}{5 ^{- 4} \cdot 4}$ $5$
$c - c^{- 1} = 4$ ; $c^{2} + c^{- 2} = ?$ $18$
Сравните $2^{- 50}$ и $5^{- 20}$ . $<$
Целое $x$ : $2^{x + 3} - 2^{x} = \frac{7}{16}$ $- 4$

R07.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени и корни)

Найдите значение выражения $\frac{2 ^{- 6} \cdot 6 ^{8}}{3 ^{7} \cdot 2 ^{3}}$

6^{8} = 2^{8} \cdot 3^{8}

разложили основание

2^{- 6 + 8 - 3} \cdot 3^{8 - 7} = 2^{- 1} \cdot 3

Ответ:

1, 5

В бланк ОГЭ — десятичная дробь:

1, 5

, а не

3/2

.

Сам: найдите значение

\frac{1 0 ^{- 4} \cdot 2 ^{6}}{5 ^{- 5}}

.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Зачем раскладывать основания на простые множители?
Чему равно $a \cdot a^{- 1}$ и где это пригодилось?
Как сравнить степени с разными основаниями и показателями?

Домашнее задание

$\frac{2 4 ^{n + 1}}{2 ^{3 n + 2} \cdot 3 ^{n}}$ ; сравните $7^{- 20}$ и $5 0^{- 10}$
$a + a^{- 1} = 4$ ; $a^{2} + a^{- 2} = ? a^{4} + a^{- 4} = ?$
* Целое $x$ : $2^{x + 2} - 2^{x - 1} = \frac{7}{32}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-118 · Практикум: Степень с целым показателем и ее свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 13/14 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства» → 2–18 (теория: 2, 4, 5, 7, 9, 11 — 14 мин; практика: 3, 6, 8, 10, 12–18 — 31 мин, 69 %)
Результаты	ПР-15 (понятие степени с целым показателем, преобразования выражений со степенями) → 2–18 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 7, 8, 13, 16 · ПР-13 (задачи из практики) → 15 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	стандартный вид числа (R07.2) и размеры объектов (R07.3) — ALG8U-116, ALG8U-117; обобщение по строке — ALG8U-119
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:степень с целымпоказателем

Четыре приёма для трудных степеней

Разные основания

Сумма a+a−1

Сравнение

Уравнения

Шесть примеров — вспоминаем свойства

Узнай тип — и приём подскажет решение

Найдите значение 22n+1⋅3n−112n+1​

Разложите основания — и посчитайте

Известно: a+a−1=3. Найдите a2+a−2

Квадрат и куб суммы со степенью −1

Сравните 2−300 и 3−200

Поставьте знак > или <

Найдите целое x: 3x+1−3x−1=278​

Найдите целое x

Решите — ответ откроется по клику

Найдите ошибку

Масса m=80⋅2−t г (t — сутки от начала наблюдения)

Два варианта — по всем типам практикума

Вариант 1

Вариант 2

Найдите значение выражения 37⋅232−6⋅68​

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-118 · Практикум: Степень с целым показателем и ее свойства

Практикум:
степень с целым
показателем

Сумма $a + a^{- 1}$

Найдите значение $\frac{1 2 ^{n + 1}}{2 ^{2 n + 1} \cdot 3 ^{n - 1}}$

Известно: $a + a^{- 1} = 3$ . Найдите $a^{2} + a^{- 2}$

Квадрат и куб суммы со степенью $- 1$

Сравните $2^{- 300}$ и $3^{- 200}$

Поставьте знак $>$ или $<$

Найдите целое $x$ : $3^{x + 1} - 3^{x - 1} = \frac{8}{27}$

Найдите целое $x$

Масса $m = 80 \cdot 2^{- t}$ г ( $t$ — сутки от начала наблюдения)

Найдите значение выражения $\frac{2 ^{- 6} \cdot 6 ^{8}}{3 ^{7} \cdot 2 ^{3}}$