Степени · урок 12 из 14 · практикум

Размеры объектов
и длительность процессов:
считаем по порядку

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-117

1 мин · теория
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 12/14, единица R07.3. Тип урока — П (практикум), третий практикум по R07.3 (после ALG8U-111 и ALG8U-114).
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Теория (14 мин): титул 1 · цели 1 · план 1 · образцы типов 1–4: 3 + 3 + 2 + 3 (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11) — все образцы и схема сохранены полностью.
Практика (31 мин): разминка 4 (сл. 3) · «решите сами» по типам 1–4: 3 + 3 + 3 + 3 (сл. 6, 8, 10, 12) · найди ошибку 2 (сл. 13) · самопроверка: база 3 (сл. 14), повышенный уровень и ОГЭ 5 (сл. 15) · самостоятельная работа, 2 варианта 4 (сл. 16) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 17).
Опора — ALG8U-108 (шкалы размеров и времени, приставки СИ, прикидка, точность $π$ ). Новое в этом практикуме: перевод объёмов, степени двойки ( $2^{10} \approx 1 0^{3}$ ), оценки по порядку величины, точность приближения корня.
На титуле: бумагу складывают пополам — толщина удваивается. Вопрос-интрига: хватит ли 42 сгибов, чтобы достать до Луны? Ответ — на сл. 8.

R07.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить величины

объёмы и массы — в стандартный вид, в разных единицах (ПР-5)

Считать со степенями

в том числе со степенями двойки: $2^{10} \approx 1 0^{3}$ (ПР-15)

Оценивать и округлять

порядок результата, точность приближения корня (ПР-4)

Моделировать

задачи биологии, географии, физики — через степени (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-5: «использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерений».
ПР-15: «применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
ПР-4: «использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений…». ПР-13: «применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».

повторение: R07.1–R07.3

Вспомним · устно

Разминка: степени и единицы

(a \cdot 1 0^{m})^{n} = a^{n} \cdot 1 0^{mn}

a \cdot 1 0^{2 k} = a \cdot 1 0^{k}

1 км = 1 0^{3} м, 1 мм = 1 0^{- 3} м

1 л = 1 дм^{3} = 1 0^{- 3} м^{3}

$1 км^{3}$ — сколько это $м^{3}$ ?
$1 мм^{3}$ — сколько это $м^{3}$ ?
$2^{10} = ?$ Округлите до степени 10.
$9 \cdot 1 0^{- 6}$ · $4, 9 \cdot 1 0^{7}$
$0, 1 мм$ — сколько это м?
$1 мл$ — сколько это $м^{3}$ ?

R07.3

План практикума

Один алгоритм — четыре типа задач

R07.3

Тип 1 · образец решения

Какова масса воды в Байкале?

1) объём — в

м^{3}

V = 2, 36 \cdot 1 0^{4} \cdot 1 0^{9} = 2, 36 \cdot 1 0^{13} м^{3}

2) масса

m = ρ V

m = 1 0^{3} \cdot 2, 36 \cdot 1 0^{13} = 2, 36 \cdot 1 0^{16} кг

3) смена единиц:

1 т = 1 0^{3}

кг

m = 2, 36 \cdot 1 0^{13} т

R07.3

Тип 1 · решите сами

Мировой океан и Ладога

а) Ладожское озеро

$V = 908 км^{3}$ , $ρ = 1 0^{3} кг / м^{3}$ .
Найдите массу воды в кг.

б) Мировой океан

$V = 1, 34 \cdot 1 0^{9} км^{3}$ , $ρ = 1, 03 \cdot 1 0^{3} кг / м^{3}$ .
Масса — с тремя значащими цифрами.

в) Углублённо

Масса Земли $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ кг.
Какую долю (в %) составляет масса океана?

R07.3

Тип 2 · образец решения

Бактерия делится каждые 20 мин. Сколько их за сутки?

1) делений за сутки

n = 24 \cdot 3 = 72

2) выделяем

2^{10}

2^{72} = 2^{2} \cdot (2^{10})^{7}

3)

2^{10} \approx 1 0^{3}

\approx 4 \cdot (1 0^{3})^{7} = 4 \cdot 1 0^{21}

Точно:

2^{72} \approx 4, 72 \cdot 1 0^{21}

— порядок тот же

R07.3

Тип 2 · решите сами

Сложить лист бумаги 42 раза — и до Луны?

а) Оценка

Найдите порядок числа $2^{30}$ и $2^{64}$ , используя $2^{10} \approx 1 0^{3}$ .

б) Бумага

Толщина листа $0, 1$ мм. Каждый сгиб удваивает толщину. Хватит ли 42 сгибов до Луны ( $3, 84 \cdot 1 0^{8}$ м)?

R07.3

Тип 3 · образец решения

Сколько клеток в теле человека? Оценим

1) объём тела: плотность ≈ как у воды

V = \frac{70}{1 0 ^{3}} = 7 \cdot 1 0^{- 2} м^{3}

2) объём клетки

v \approx (1 0^{- 5})^{3} = 1 0^{- 15} м^{3}

3) число клеток

N \approx \frac{7 \cdot 1 0 ^{- 2}}{1 0 ^{- 15}} = 7 \cdot 1 0^{13}

Учёные:

\approx 3 \cdot 1 0^{13}

— порядок совпал

2 мин · теория
Оценка по порядку величины (задача Ферми): грубые допущения — тело из воды, клетка — кубик 10 мкм — но порядок ответа верный.
Почему не точно: эритроциты (большинство клеток) меньше — около 7 мкм, есть межклеточное вещество. Оценка «до порядка» — честный ответ: $N \sim 1 0^{13}$ .
Вопрос классу: что изменится, если ребро клетки 20 мкм? (Объём в $2^{3} = 8$ раз больше, клеток ≈ $9 \cdot 1 0^{12}$ — порядок 12.) Вывод: ошибка в размере в 2 раза даёт ошибку в числе в 8 раз.

R07.3

Тип 3 · решите сами

Оцените порядок величины

а) Капли в ведре

Ведро — 10 л, одна капля — 0,05 мл. Сколько капель в ведре?

б) Бумага до вершины Эвереста

Лист — 0,1 мм, Эверест — 8848 м. Сколько листов в стопке? Сколько пачек по 500 листов?

в) Оценка с двух сторон

Сердце делает 60–90 ударов в минуту. Между какими степенями 10 лежит число ударов за год?

1 0^{k} < N < 1 0^{k + 1}

R07.3

Тип 4 · образец · точность приближения

Квадратное поле 2 км². Найдите сторону с точностью до 1 м

a = 2 \cdot 1 0^{6} = 2 \cdot 1 0^{3} м

$2 \approx$	$a$ , м	ошибка
$1, 4$	$1400$	≈ 14 м
$1, 41$	$1410$	≈ 4 м
$1, 414$	$1414$	≈ 0,2 м

1, 41 4^{2} < 2 < 1, 41 5^{2}

R07.3

Тип 4 · решите сами

Корни и $π$ с нужной точностью

а) Участок

Квадратный участок площадью $3 \cdot 1 0^{4} м^{2}$ . Найдите сторону с точностью до 1 м, оценив $3$ с двух сторон.

б) Скорость Земли

Орбита — окружность радиуса $1, 5 \cdot 1 0^{11}$ м, год ≈ $3, 15 \cdot 1 0^{7}$ с. Найдите скорость в км/с.

R07.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Объём как длина

$1 км^{3} = 1 0^{3} м^{3}$ → $1 0^{9} м^{3}$

$(1 0^{3})^{3} = 1 0^{9}$

«≈» как «=»

$2^{70} = 1 0^{21}$ → $2^{70} \approx 1, 18 \cdot 1 0^{21}$

$1, 02 4^{7} \approx 1, 18$ — ошибка растёт

Нечётный порядок под корнем

$9 \cdot 1 0^{- 7} = 3 \cdot 1 0^{- 3, 5}$ → $90 \cdot 1 0^{- 8}$

делаем порядок чётным

Точность после $\times 1 0^{n}$

$2 \approx 1, 4 \Rightarrow a = 1400 м$

ошибка $\approx 0, 014 \cdot 1 0^{3} = 14$ м

R07.3

Задания с самопроверкой · база

Шесть быстрых заданий — ответ по клику

а) в

м^{3}

5 км^{3}

5 \cdot 1 0^{9} м^{3}

б) оцените

2^{20} \approx ?

\approx 1 0^{6}

в) в

м^{3}

3 л

3 \cdot 1 0^{- 3} м^{3}

г) вычислите

1, 6 \cdot 1 0^{7}

4 \cdot 1 0^{3}

д) в

м^{3}

2, 4 мм^{3}

2, 4 \cdot 1 0^{- 9} м^{3}

е) масса воды, кг

1 км^{3}

1 0^{12}

кг

R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень и ОГЭ

Решите — ответ появится по клику

базаОбъём Онежского озера $285 км^{3}$ . Выразите в $м^{3}$ в стандартном виде. $2, 85 \cdot 1 0^{11}$
базаНайдите порядок числа $2^{40}$ , используя $2^{10} \approx 1 0^{3}$ . $\approx 1 0^{12}$
повыш.Сторона квадрата площадью $5 \cdot 1 0^{6} м^{2}$ — с точностью до 1 м. $2236$ м

повыш.Пылинка — $4 \cdot 1 0^{- 10}$ кг. Сколько пылинок в 1 г? $2, 5 \cdot 1 0^{6}$
практикаЧеловек моргает раз в 4 с, кроме 8 ч сна. Оцените порядок числа морганий за год. $\approx 5 \cdot 1 0^{6}$
ОГЭ, линия 12Энергия $E = \frac{m v ^{2}}{2}$ . Найдите $E$ (в Дж) при $m = 6 \cdot 1 0^{- 3}$ кг, $v = 8 \cdot 1 0^{2}$ м/с. $1920$

5 мин · практика
Работают в тетрадях; после каждого задания учитель открывает ответ кликом, класс сверяет. Задания 1–4 — всем, 5–6 — кто успел.
Ответы: 1) $285 \cdot 1 0^{9} = 2, 85 \cdot 1 0^{11}$ м³.
2) $2^{40} = (2^{10})^{4} \approx 1 0^{12}$ (точно $1, 0995 \cdot 1 0^{12}$ ) — порядок 12. 3) $a = 5 \cdot 1 0^{3}$ ; $2, 23 6^{2} = 4, 999696 < 5 < 5, 004169 = 2, 23 7^{2}$ → $2236 < a < 2237$ ; точно $2236, 07$ → $a \approx 2236$ м.
4) $1$ г $= 1 0^{- 3}$ кг; $\frac{1 0 ^{- 3}}{4 \cdot 1 0 ^{- 10}} = 0, 25 \cdot 1 0^{7} = 2, 5 \cdot 1 0^{6}$ . 5) В сутки $16$ ч $= 57600$ с, $57600 : 4 = 14400$ морганий; за год $14400 \cdot 365 = 5256000 \approx 5, 3 \cdot 1 0^{6}$ — порядок 6.
6) Формат линии 12 ОГЭ (расчёт по формуле): $v^{2} = 64 \cdot 1 0^{4}$ ; $E = \frac{6 \cdot 1 0 ^{- 3} \cdot 64 \cdot 1 0 ^{4}}{2} = 192 \cdot 1 0^{1} = 1920$ Дж. Ответ: 1920.

R07.3

Самостоятельная работа

Два варианта — по четыре задания

Вариант 1

Объём Каспийского моря $78200 км^{3}$ . Выразите в $м^{3}$ . $7, 82 \cdot 1 0^{13}$
Порядок числа $2^{33}$ (через $2^{10} \approx 1 0^{3}$ ). $\approx 8 \cdot 1 0^{9}$
Сторона квадрата площадью $6 \cdot 1 0^{4} м^{2}$ — с точностью до 1 м. $245$ м
Порядок числа секунд в 1000 годах (год $\approx 3, 15 \cdot 1 0^{7}$ с). $1 0^{10}$

Вариант 2

Объём Чёрного моря $547000 км^{3}$ . Выразите в $м^{3}$ . $5, 47 \cdot 1 0^{14}$
Порядок числа $2^{45}$ (через $2^{10} \approx 1 0^{3}$ ). $\approx 3, 2 \cdot 1 0^{13}$
Сторона квадрата площадью $3 \cdot 1 0^{6} м^{2}$ — с точностью до 1 м. $1732$ м
Порядок числа минут в 100 годах (в году 365 сут). $1 0^{7}$

4 мин · практика
Варианты — по партам. Затем ответы по клику, взаимопроверка соседом. Задания идут по типам 1, 2, 4, 3.
В-1: 1) $7, 82 \cdot 1 0^{4} \cdot 1 0^{9} = 7, 82 \cdot 1 0^{13}$ м³. 2) $2^{33} = 2^{3} \cdot (2^{10})^{3} \approx 8 \cdot 1 0^{9}$ (точно $8, 59 \cdot 1 0^{9}$ ) — порядок 9. 3) $a = 6 \cdot 1 0^{2}$ ; $2, 44 9^{2} = 5, 997601 < 6 < 6, 0025 = 2, 45 0^{2}$ → $244, 9 < a < 245$ → $a \approx 245$ м (точно $244, 95$ ). 4) $3, 15 \cdot 1 0^{7} \cdot 1 0^{3} = 3, 15 \cdot 1 0^{10}$ — порядок 10.
В-2: 1) $5, 47 \cdot 1 0^{5} \cdot 1 0^{9} = 5, 47 \cdot 1 0^{14}$ м³. 2) $2^{45} = 2^{5} \cdot (2^{10})^{4} \approx 32 \cdot 1 0^{12} = 3, 2 \cdot 1 0^{13}$ (точно $3, 52 \cdot 1 0^{13}$ ) — порядок 13. 3) $a = 3 \cdot 1 0^{3}$ ; $1, 73 2^{2} = 2, 999824 < 3 < 3, 003289 = 1, 73 3^{2}$ → $1732 < a < 1733$ ; $1, 732 5^{2} = 3, 0016 > 3$ → $a < 1732, 5$ → $a \approx 1732$ м (точно $1732, 05$ ). 4) $365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 100 = 52560000 \approx 5, 3 \cdot 1 0^{7}$ — порядок 7.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $1 км^{3} = 1 0^{9} м^{3}$ ?
Чему примерно равно $2^{10}$ и в чём подвох?
Сколько знаков корня нужно для точности 1 м?

Домашнее задание

Оцените порядок числа $2^{50}$ и проверьте калькулятором.
Площадь Москвы $\approx 2, 56 \cdot 1 0^{3} км^{2}$ . Найдите сторону квадрата той же площади с точностью до 1 км.
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-117 · Практикум: Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 12/14 · тип П
Единицы → слайды	R07.3 «Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире» → 4–17 (опора на R07.1–R07.2 — сл. 3)
Результаты	ПР-5 (большие и малые числа, разные единицы измерений) → 3, 5–6, 10, 14–16 · ПР-15 (преобразования со степенями) → 3, 7–8, 13–16 · ПР-4 (округление, оценка, точность) → 9–16 · ПР-13 (задачи смежных предметов и практики) → 5–12, 15–17
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11 — без сокращений) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 6, 8, 10, 12–17)
Вне урока	шкалы размеров и времени, приставки СИ — ALG8U-108; практикум по степеням с целым показателем — ALG8U-118; обобщение строки R07 — ALG8U-119; относительная погрешность как понятие — не вводится
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Размеры объектови длительность процессов:считаем по порядку

Сегодня вы научитесь

Переводить величины

Считать со степенями

Оценивать и округлять

Моделировать

Разминка: степени и единицы

Один алгоритм — четыре типа задач

Какова масса воды в Байкале?

Мировой океан и Ладога

а) Ладожское озеро

б) Мировой океан

в) Углублённо

Бактерия делится каждые 20 мин. Сколько их за сутки?

Сложить лист бумаги 42 раза — и до Луны?

а) Оценка

б) Бумага

Сколько клеток в теле человека? Оценим

Оцените порядок величины

а) Капли в ведре

б) Бумага до вершины Эвереста

в) Оценка с двух сторон

Квадратное поле 2 км². Найдите сторону с точностью до 1 м

Корни и π с нужной точностью

а) Участок

б) Скорость Земли

Найдите ошибку

Объём как длина

«≈» как «=»

Нечётный порядок под корнем

Точность после ×10n

Шесть быстрых заданий — ответ по клику

Решите — ответ появится по клику

Два варианта — по четыре задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-117 · Практикум: Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире

Размеры объектов
и длительность процессов:
считаем по порядку

Корни и $π$ с нужной точностью

Точность после $\times 1 0^{n}$