Степени · урок 10 из 14 · практикум
Практикум:
Алгебра · 8 класс · углублённый уровеньALG8U-115
½ ¼ ⅛
2 − 1 + 2 − 2 + … < 1
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 10/14, единица R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства». Тип П. Это третий урок по R07.1 после ALG8U-106 (новый материал), 109 и 112 (практикумы): здесь — новые типы заданий: суммы степеней, переменный показатель, нахождение показателя, доказательство оценки. Следующий урок ALG8U-116 — практикум «Стандартный вид числа».
Хронометраж. Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · образцы, которые разбирает учитель: тип 1 — 3 (сл. 4), тип 2 — 3 (сл. 6), тип 3 — 3 (сл. 9), тип 4 — 4 (сл. 12). Практика (31 мин): разминка 3 (сл. 3) · «образец → сам» после каждого типа 10 (сл. 5, 7, 10, 13) · самопроверка 3 (сл. 8) · блиц 2 (сл. 11) · найди ошибку 2 (сл. 14) · задания с самопроверкой 3 (сл. 15) · самостоятельная работа 5 (сл. 16) · ОГЭ 2 (сл. 17) · итог и ДЗ 1 (сл. 18).
Рисунок: квадрат площади 1 делим пополам, остаток снова пополам… Части — 2 − 1 , 2 − 2 , 2 − 3 , …
R07.1
Цели практикума
Четыре новых типа заданий
1 Выносить за скобкименьшую степень в сумме: 3 − 4 + 3 − 5 = 4 ⋅ 3 − 5 (ПР-15)
2 Работать с n в показателе: 2 5 n − 2 = 5 2 n − 4 (ПР-15, ПР-12)
3 Находить показательиз равенства степеней с одним основанием (ПР-15)
4 Доказыватьоценку суммы степеней: 2 − 1 + … + 2 − n < 1 (ПР-15, ПР-13)
ПР-15: «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Применять свойства степени для преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
Каждый тип: образец по шагам → задание того же типа. Если класс слабее — тип 4 только образцом.
повторение: ALG8U-106, 109
Разминка · устно
Запишите степенью с основанием 2
−3 −2 −1 0 1 2 3
n
8 1
4 1
2 1
1
2
4
8
шаг вправо — умножение на 2, шаг влево — деление на 2
www.reknow.ru
число 32 0 , 125 4 − 3 1 6 n 0 , 5 − n 2 n ⋅ 2 n степень 2 2 5 2 − 3 2 − 6 2 4 n 2 n 2 2 n
Устно, по цепочке. Показатель — номер «ступеньки» на прямой.
Ответы: 32 = 2⁵; 0,125 = 1/8 = 2⁻³; 4⁻³ = (2²)⁻³ = 2⁻⁶; 16ⁿ = (2⁴)ⁿ = 2⁴ⁿ; 0,5⁻ⁿ = (2⁻¹)⁻ⁿ = 2ⁿ; 2ⁿ · 2ⁿ = 2²ⁿ.
Последний столбец — заготовка к ошибке «2ⁿ + 2ⁿ = 4ⁿ»: спросить, чему равно 2ⁿ + 2ⁿ (= 2 · 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹).
R07.1 · тип 1
Тип 1 · образец · сумма степеней
Найдите значение 3 ⋅ 2 − 12 2 − 9 + 2 − 10
числитель
2 − 10
2 − 10
2 − 9
2 − 10
= 3 ⋅ 2 − 10
знаменатель
= 3 ⋅ 2 − 12
2 − 10 = 4 ⋅ 2 − 12 (в 4 раза больше)
www.reknow.ru
= 3 ⋅ 2 − 12 2 − 10 ( 2 + 1 ) выносим меньшую степень 2 − 10
= 2 − 10 − ( − 12 ) = 2 2
= 4
Вопрос: «Какая степень меньше — 2⁻⁹ или 2⁻¹⁰?» Меньше 2⁻¹⁰ (показатель меньше при основании 2 > 1). Её и выносим: 2⁻⁹ = 2⁻¹⁰ · 2¹.
Рисунок: 2⁻⁹ — две «плитки» 2⁻¹⁰, всего в числителе 3 плитки; знаменатель — 3 плитки по 2⁻¹², каждая вчетверо меньше. Отношение 4.
Проверка: 2⁻⁹ + 2⁻¹⁰ = 3/1024; 3 · 2⁻¹² = 3/4096; (3/1024) : (3/4096) = 4 ✓.
Ошибка: «2⁻⁹ + 2⁻¹⁰ = 2⁻¹⁹» — сумму путают с произведением.
R07.1 · тип 1
Тип 1 · решите сами
Вынесите меньшую степень за скобки
а) 4 ⋅ 3 − 6 3 − 4 + 3 − 5
4 ⋅ 3 − 6 3 − 5 ( 3 + 1 )
3 1 = 3
б) 5 − 9 5 − 7 − 5 − 8
5 − 9 5 − 8 ( 5 − 1 )
4 ⋅ 5 = 20
в) 2 − 21 + 2 − 22 2 − 20 − 2 − 22
2 − 22 ( 2 + 1 ) 2 − 22 ( 4 − 1 )
= 1
Свойства степени — для произведения; сумму сначала превращаем в произведение
Трое у доски, остальные в тетрадях.
а) 3⁻⁴ = 3 · 3⁻⁵; 3⁻⁵ · 4 / (4 · 3⁻⁶) = 3. Проверка: 3⁻⁴ + 3⁻⁵ = 4/243; 4 · 3⁻⁶ = 4/729; (4/243) : (4/729) = 3 ✓.
б) 5⁻⁷ = 5 · 5⁻⁸; 4 · 5⁻⁸ / 5⁻⁹ = 4 · 5 = 20. Проверка: (1/78125 − 1/390625) = 4/390625; 4/390625 · 1953125 = 20 ✓.
в) 2⁻²⁰ = 4 · 2⁻²², 2⁻²¹ = 2 · 2⁻²²; 3/3 = 1.
Ошибка в б): выносят 5⁻⁷ и получают 5⁻⁷(1 − 5⁻¹) — тоже верно, но дальше дроби; выгоднее выносить меньшую степень.
R07.1 · тип 2
Тип 2 · образец · переменный показатель
Упростите 12 5 n − 1 5 n + 1 ⋅ 2 5 n − 2 n ∈ Z
множитель как степень 5 вклад в показатель 5 n + 1 5 n + 1 + ( n + 1 ) 2 5 n − 2 5 2 n − 4 + ( 2 n − 4 ) 12 5 n − 1 5 3 n − 3 − ( 3 n − 3 ) итог 5 0 n + 1 + 2 n − 4 − 3 n + 3 = 0
= 5 0 = 1
n n
n = 2 : 12 5 1 5 3 ⋅ 2 5 0 = 1 проверка числом
Алгоритм тот же, что с числами: всё к основанию 5, потом «бухгалтерия» показателей. Отличие: показатели — выражения с n, их складываем как многочлены.
Главная ловушка — скобки при вычитании: −(3n − 3) = −3n + 3.
Проверка ещё одним n: n = 0: 5 · 25⁻² / 125⁻¹ = 5 · 125 / 625 = 1 ✓. Отрицательное n = −1: 5⁰ · 25⁻³ / 125⁻² = 125²/25³ = 15625/15625 = 1 ✓.
Ошибка: «25ⁿ⁻² = 5ⁿ⁻⁴» — умножили на 2 только второй член показателя.
R07.1 · тип 2
Тип 2 · решите сами
Показатели с n
а) 8 n − 1 ⋅ 2 4 − 2 n 4 n ⋅ 2 3 − n
2 2 n + 3 − n − 3 n + 3 − 4 + 2 n
2 2 = 4
б) 2 n − 1 ⋅ 3 n + 1 6 n
2 n − 1 ⋅ 3 n + 1 2 n ⋅ 3 n 6 n = 2 n ⋅ 3 n
2 ⋅ 3 − 1 = 3 2
в) 8 ⋅ 3 n − 1 3 n + 2 − 3 n
8 ⋅ 3 n − 1 3 n ( 9 − 1 ) тип 1 + тип 2
3 1 = 3
В парах.
а) 4ⁿ = 2²ⁿ, 8ⁿ⁻¹ = 2³ⁿ⁻³; показатель: 2n + (3 − n) − (3n − 3) − (4 − 2n) = 2. Ответ 4. Проверка n = 1: 4 · 4 / (1 · 4) = 4 ✓.
б) показатель у 2: n − (n − 1) = 1; у 3: n − (n + 1) = −1 → 2/3. Проверка n = 1: 6/(1 · 9) = 2/3 ✓.
в) 3ⁿ⁺² = 9 · 3ⁿ; 8 · 3ⁿ / (8 · 3ⁿ⁻¹) = 3. Проверка n = 1: (27 − 3)/(8 · 1) = 3 ✓.
Ошибка в б): «6ⁿ / (2ⁿ⁻¹ · 3ⁿ⁺¹) = 6⁰» — умножать степени с разными основаниями и разными показателями нельзя.
R07.1 · типы 1–2
Задания с самопроверкой · база
Вычислите или упростите (n ∈ Z
повыш. Упростите 3 ⋅ 2 n − 1 2 n + 3 − 2 n + 1 4
Решают сами, ответы открываются по одному — класс поднимает руки «совпало».
1) 2⁻⁶(2 + 1)/2⁻⁷ = 3 · 2 = 6. Проверка: 2⁻⁵ + 2⁻⁶ = 3/64; 3/64 · 128 = 6 ✓.
2) 3⁻³(3 − 1)/(2 · 3⁻⁴) = 3. Проверка: 1/9 − 1/27 = 2/27; 2 · 3⁻⁴ = 2/81; (2/27) : (2/81) = 3 ✓.
3) три одинаковых слагаемых: 3 · 3⁻⁴ = 3⁻³ = 1/27 (а не 3⁻¹² и не 9⁻⁴). Проверка: 3/81 = 1/27 ✓.
4) 9ⁿ = 3²ⁿ; 2n − (2n − 1) = 1 → 3. Проверка n = 1: 9/3 = 3 ✓.
5) (n + 2) + (n − 1) − 2n = 1 → 2. Проверка n = 1: 8 · 1/4 = 2 ✓.
6) 15ⁿ = 3ⁿ · 5ⁿ; 5ⁿ⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ = 5. Проверка n = 1: 15/(3 · 1) = 5 ✓.
Повыш.: 2ⁿ⁺¹(4 − 1)/(3 · 2ⁿ⁻¹) = 2² = 4. Проверка n = 1: (16 − 4)/(3 · 1) = 4 ✓.
R07.1 · тип 3
Тип 3 · образец · найти показатель
Найдите целое n 8 − 1 4 n ⋅ 2 − 3 = 16 1
2 − 3 2 2 n ⋅ 2 − 3 = 2 2 n левая часть — степень 2
16 1 = 2 − 4 правая часть — тоже
2 2 n = 2 − 4 ⇒ 2 n = − 4
n = − 2
2 2 n
2 − 4
2 n = − 4
основание
одно — 2
www.reknow.ru
Идея: если a > 0, a ≠ 1 и aᵐ = aᵏ, то m = k: разные показатели дают разные «ступеньки» лестницы из разминки (при a > 1 с ростом показателя степень растёт).
Вопрос: почему нужно a ≠ 1? 1⁵ = 1⁷, а 5 ≠ 7.
Проверка: 4⁻² = 1/16; 1/16 · 1/8 = 1/128; деление на 8⁻¹ — умножение на 8 → 1/16 ✓.
Ошибка: «4ⁿ = 2ⁿ⁺²» — вместо (2²)ⁿ = 2²ⁿ.
R07.1 · тип 3
Тип 3 · решите сами
Одно основание слева и справа
б) ( 0 , 2 ) n = 125
5 − n = 5 3 0 , 2 = 5 − 1
n = − 3
в) 125 2 5 n ⋅ 5 − 1 = 5 − 6
5 2 n − 4 = 5 − 6
n = − 1
Проверка — подстановкой найденного n
Самостоятельно.
а) 81 = 3⁴, 1/81 = 3⁻⁴ → n = −4. Проверка: 3⁻⁴ = 1/81 ✓.
б) (5⁻¹)ⁿ = 5⁻ⁿ; −n = 3 → n = −3. Проверка: 0,2⁻³ = 5³ = 125 ✓.
в) 2n − 1 − 3 = −6 → 2n = −2 → n = −1. Проверка: 25⁻¹ · 5⁻¹ / 125 = 1/(25 · 5 · 125) = 1/15625 = 5⁻⁶ ✓.
Ошибка в б): «n = 3» — забыли, что 0,2 = 5⁻¹, а не 5.
R07.1 · тип 3
Блиц · устно
Найдите целое n
Устно, по цепочке; учитель открывает ответ после каждого.
1) 64 = 2⁶. 2) 1/32 = 2⁻⁵. 3) 0,001 = 10⁻³. 4) 4ⁿ = 2²ⁿ = 2⁻⁴ → n = −2 (проверка 4⁻² = 1/16 ✓). 5) (3⁻¹)ⁿ = 3⁻ⁿ = 3³ → n = −3 (проверка (1/3)⁻³ = 27 ✓). 6) 1 = 5⁰ → n + 1 = 0 → n = −1. 7) 2n = 2 → n = 1. 8) 3²ⁿ = 3⁶ → n = 3 (проверка 9³ = 729 = 3⁶ ✓).
Ловушка 6): «n = 0» — забыли, что в показателе n + 1.
R07.1 · тип 4
Тип 4 · образец · доказательство
Докажите: 2 − 1 + 2 − 2 + … + 2 − n < 1
2 − 1
2 − 2
2 − 3
2 − 4
пусто2 − 4
www.reknow.ru
S = 2 − 1 + 2 − 2 + … + 2 − n
2 S = 1 + 2 − 1 + … + 2 − ( n − 1 ) умножили каждое слагаемое на 2
2 S − S = 1 − 2 − n остальные слагаемые взаимно уничтожились
S = 1 − 2 − n < 1 так как 2 − n > 0
Сначала рисунок (n = 4): квадрат площади 1; части 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 — пустой остаток ровно 1/16 = 2⁻⁴. Гипотеза: остаток всегда 2⁻ⁿ.
Доказательство — приём «умножить на основание и вычесть»: при умножении на 2 каждое 2⁻ᵏ превращается в 2⁻⁽ᵏ⁻¹⁾; слагаемые 2⁻¹, …, 2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ есть в обеих суммах.
Проверка n = 3: 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 = 1 − 1/8 ✓.
Ошибка: «сумма бесконечно растёт, значит, когда-то станет больше 1» — растёт, но каждое добавление закрывает лишь половину остатка.
R07.1 · тип 4
Тип 4 · решите сами
Приём «умножить на основание и вычесть»
а) Докажите: 3 − 1 + 3 − 2 + … + 3 − n < 2 1
3 S − S = 1 − 3 − n
S = 2 1 − 3 − n < 2 1
б) Сравните 1 − ( 2 − 1 + 2 − 2 + … + 2 − 10 ) 0 , 001
= 2 − 10 = 1024 1
1024 1 < 1000 1 = 0 , 001
суммы 3 − 1 + 3 − 2 + … 1/2
S 1
S 2
S 3
0
3 1
9 4
2 1
www.reknow.ru
а) S = 3⁻¹ + … + 3⁻ⁿ; 3S = 1 + 3⁻¹ + … + 3⁻⁽ⁿ⁻¹⁾; 3S − S = 2S = 1 − 3⁻ⁿ; S = (1 − 3⁻ⁿ)/2 < 1/2, так как 3⁻ⁿ > 0. Проверка n = 2: 1/3 + 1/9 = 4/9 = (1 − 1/9)/2 ✓, 4/9 < 1/2 ✓.
б) По образцу 1 − S = 2⁻¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,00098 < 0,001. Ответ: первое число меньше.
Ошибка в а): «3S − S = S» — забыли, что разность равна 2S.
Если не хватает времени — б) устно.
R07.1
Типичные ошибки
Найдите ошибку
Запись ученика Что не так Верно 2 n + 2 n = 4 n сложили основания 2 ⋅ 2 n = 2 n + 1 3 − 4 + 3 − 5 = 3 − 9 сумма — не произведение 4 ⋅ 3 − 5 2 n ⋅ 3 n = 6 2 n показатели не складывают 6 n 5 n − 1 5 n + 1 = 5 2 n ошибка в скобках 5 ( n + 1 ) − ( n − 1 ) = 25 4 n = 2 n + 2 степень в степень — умножить 2 2 n
Ученики называют ошибку, учитель открывает столбцы по шагам.
Контрпримеры при n = 1: 2 + 2 = 4, а 4¹ = 4 — совпало случайно! Берём n = 2: 4 + 4 = 8 ≠ 16. Мораль: один пример не доказывает равенство.
Строка 4: при n = 2: 125/5 = 25, а 5⁴ = 625 ✓ ошибка видна.
R07.1
Задания с самопроверкой · все четыре типа
Шесть заданий от базы к доказательству
база Вычислите 8 ⋅ 7 − 5 7 − 3 + 7 − 4 7 база Упростите 8 n 2 n + 3 ⋅ 4 n − 1 2 база Найдите целое n 9 2 7 n = 3 − 8 n = − 2 повыш. Упростите 2 n + 1 ⋅ 5 n − 2 1 0 n 12 , 5 практика Масса вещества каждый час уменьшается вдвое; сейчас 1 г. Сколько было 3 ч назад и будет через 5 ч? Ответ — степенью 2. 2 3 = 8 2 − 5 повыш. Докажите, что 10 ⋅ 3 n − 1 3 n + 2 + 3 n n = 3
Подсказки
1, 6) вынести меньшую степень
4) 1 0 n = 2 n ⋅ 5 n
5) масса через t 2 − t
Решают в тетрадях, после каждого задания учитель открывает ответ кликом — класс сверяет. 1) 7⁻⁴(7 + 1)/(8 · 7⁻⁵) = 7. Проверка: 7⁻³ + 7⁻⁴ = 8/2401; 8 · 7⁻⁵ = 8/16807; отношение 16807/2401 = 7 ✓.
2) показатель (n + 3) + (2n − 2) − 3n = 1 → 2. Проверка n = 1: 16 · 1 / 8 = 2 ✓.
3) 3n − 2 = −8 → n = −2. Проверка: 27⁻² / 9 = 1/(729 · 9) = 1/6561 = 3⁻⁸ ✓.
4) 2ⁿ5ⁿ/(2ⁿ⁺¹5ⁿ⁻²) = 2⁻¹ · 5² = 12,5. Проверка n = 2: 100/(8 · 1) = 12,5 ✓.
5) 3 ч назад (t = −3): 2³ = 8 г; через 5 ч: 2⁻⁵ г = 1/32 г = 0,03125 г. Здесь отрицательный показатель — «время назад».
6) 3ⁿ(9 + 1)/(10 · 3ⁿ⁻¹) = 3 при любом целом n. Проверка n = 1: (27 + 3)/(10 · 1) = 3 ✓.
R07.1
Самостоятельная работа · 5 минут
Два варианта — решаем молча, ответы по клику
Вариант 1
Вычислите 3 ⋅ 2 − 10 2 − 7 + 2 − 8 4
Упростите 2 7 n 3 n + 1 ⋅ 9 n − 1 1/3
Найдите n 8 n = 64 1 n = − 2
Упростите 24 ⋅ 5 n − 2 5 n + 1 − 5 n − 1 5
Вариант 2
Вычислите 4 ⋅ 3 − 8 3 − 5 + 3 − 6 9
Упростите 8 n 2 n − 1 ⋅ 4 n + 1 2
Найдите n ( 0 , 5 ) n = 32 n = − 5
Упростите 5 ⋅ 2 n − 1 2 n + 2 + 2 n 2
Ряды делятся по вариантам; 4 мин решение, 1 мин — взаимопроверка соседом по открытым ответам. Оценка: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) 2⁻⁸(2 + 1)/(3 · 2⁻¹⁰) = 2² = 4; проверка: 3/256 : 3/1024 = 4 ✓. 2) (n + 1) + (2n − 2) − 3n = −1 → 3⁻¹ = 1/3; проверка n = 1: 9 · 1/27 = 1/3 ✓. 3) 2³ⁿ = 2⁻⁶ → n = −2; проверка 8⁻² = 1/64 ✓. 4) 5ⁿ⁻¹(25 − 1)/(24 · 5ⁿ⁻²) = 5; проверка n = 1: 24 : (24/5) = 5 ✓.
Вариант 2: 1) 3⁻⁶(3 + 1)/(4 · 3⁻⁸) = 3² = 9; проверка: 4/729 : 4/6561 = 9 ✓. 2) (n − 1) + (2n + 2) − 3n = 1 → 2; проверка n = 1: 1 · 16/8 = 2 ✓. 3) 2⁻ⁿ = 2⁵ → n = −5; проверка 0,5⁻⁵ = 32 ✓. 4) 2ⁿ(4 + 1)/(5 · 2ⁿ⁻¹) = 2; проверка n = 1: (8 + 2)/(5 · 1) = 2 ✓.
R07.1 · формат ОГЭ
Формат ОГЭ · линия 8 (степени и корни)
Найдите значение выражения
2 − 13 4 − 3 ⋅ 2 − 5
Ответ — одно число в бланк. Сначала одно основание, потом показатели.
Ответ: 4
1. Всё — к основанию 2
4 = 2 2
2. Числитель : знаменатель
сложить, затем вычесть
3. Возвести 2 в степень
и записать число
www.reknow.ru
Самостоятельно, ответ на листочках; ответ открывается кликом.
Решение: 4⁻³ = 2⁻⁶; показатель −6 − 5 − (−13) = 2; 2² = 4. Ответ: 4.
Проверка: 4⁻³ = 1/64, 2⁻⁵ = 1/32, произведение 1/2048 = 2⁻¹¹; 2⁻¹¹ : 2⁻¹³ = 2² = 4 ✓.
Типичные неверные ответы: 8 (4⁻³ записали как 2⁻⁵ — сложили 2 и −3 вместо умножения), 32 (4⁻³ = 2⁻³), 2⁻²⁴ (при вычитании −13 не сменили знак).
рефлексия · ДЗ
Итог практикума
Проверьте себя и потренируйтесь
Ответьте одной фразой
Какую степень выносить за скобки? Почему из 2 m = 2 k m = k Чему равно 2 n + 2 n
Домашнее задание
Вычислите 6 ⋅ 5 − 9 5 − 6 − 5 − 8
Упростите 3 n − 1 ⋅ 2 2 n + 1 1 2 n
Найдите n ( 0 , 25 ) n ⋅ 8 = 2 9
* Докажите: 4 − 1 + 4 − 2 + … + 4 − n < 3 1
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm
Ответы ДЗ: 1) 5⁻⁸(25 − 1)/(6 · 5⁻⁹) = 4 · 5 = 20. Проверка: 5⁻⁶ − 5⁻⁸ = 24/390625; 6 · 5⁻⁹ = 6/1953125; отношение 24 · 5/6 = 20 ✓.
2) 12ⁿ = 2²ⁿ · 3ⁿ → 3¹ · 2⁻¹ = 1,5. Проверка n = 1: 12/(1 · 8) = 1,5 ✓.
3) 2⁻²ⁿ · 2³ = 2⁹ → −2n + 3 = 9 → n = −3. Проверка: 0,25⁻³ = 64; 64 · 8 = 512 = 2⁹ ✓.
4*) 4S − S = 1 − 4⁻ⁿ → S = (1 − 4⁻ⁿ)/3 < 1/3.
Следующий урок ALG8U-116 — практикум «Стандартный вид числа»: вынесение степени 10 и действия с показателями понадобятся там.
Паспорт соответствия · скрытый слайд
ALG8U-115 · Практикум: степень с целым показателем и ее свойства
Поле Значение ФРП «Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 Строка, урок R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 10/14 · тип П (практикум) Единицы → слайды R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства» → 1–18 Результаты ПР-15 (понятие степени с целым показателем, преобразования выражений со степенями) → 2–18 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 6, 7, 8, 15, 16, 18 · ПР-13 (применение преобразований для решения задач) → 12, 13, 15 · кодификатора REQ у курса нет Вне урока стандартный вид числа — ALG8U-116 (R07.2); размеры объектов и длительность процессов — ALG8U-117 (R07.3); формула суммы геометрической прогрессии — 9 класс (здесь только приём на конкретных суммах) Хронометраж теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) Проверки автопроверка: pending · методист: pending