Степени · урок 9 из 14 · практикум

Практикум:
размеры объектов
и длительность
процессов

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-114

Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 9/14, единица R07.3 «Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире». Тип П (практикум), второй практикум по этой единице. Было: ALG8U-108 (новый материал), ALG8U-111 (первый практикум), ALG8U-113 (стандартный вид). Дальше: ALG8U-115 — практикум по свойствам степени.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Теория (13): цели 1 (сл. 2) · образцы типов 1–4 по 3 мин, разбирает учитель (сл. 5, 7, 9, 11). Тексты образцов не сокращены — темп за счёт того, что ученики сразу решают сами.
Практика (32): блиц 2 (сл. 3) · шкала порядков 2 (сл. 4) · «решите сами» по типам 3 + 3 + 3 + 3 (сл. 6, 8, 10, 12) · самопроверка: база 3 (сл. 13), повышенный 3 (сл. 14) · найди ошибку 2 (сл. 15) · самостоятельная 3 + 2 (сл. 16–17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · рефлексия 1 (сл. 19).
Новое по сравнению с первым практикумом: квадратные и кубические единицы, отношение объёмов (куб отношения), относительная погрешность, прикидка порядка.

R07.3

Цели практикума

Четыре типа задач о реальных величинах

1Переводить

единицы с приставками, в том числе $км^{2}$ и $м^{3}$ (ПР-5)

2Сравнивать

«во сколько раз больше» — делим числа в стандартном виде (ПР-5, ПР-15)

3Считать время

процессов: $t = \frac{s}{v}$ , секунды в году (ПР-5, ПР-15)

4Оценивать

точность приближения и делать прикидку результата (ПР-4)

1 мин · теория
ПР-5: «Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерений». ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений…». ПР-15: «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде… Анализировать и делать выводы о точности приближения… Округлять…, выполнять прикидку результата вычислений, оценку значений числовых выражений».

повторение: ALG8U-108, 111, 113

Разминка · устно

Блиц: восемь вопросов за две минуты

$1 0^{5} \cdot 1 0^{- 8}$ $1 0^{- 3}$
$1 0^{12} : 1 0^{- 3}$ $1 0^{15}$
$(1 0^{- 2})^{3}$ $1 0^{- 6}$
$1 мм = ? м$ $1 0^{- 3} м$

$1 нм = ? м$ $1 0^{- 9} м$
$0, 00042$ — стандартный вид $4, 2 \cdot 1 0^{- 4}$
$35000000$ — стандартный вид $3, 5 \cdot 1 0^{7}$
$1 ч = ? с$ $3, 6 \cdot 1 0^{3}$

повторение: ALG8U-108, 111

Разминка · шкала порядков (размеры в метрах)

Каждая ступень — в 10 раз больше

R07.3 · тип 1

Тип 1 · образец · единицы и приставки

Переведите $1 км^{2}$ в $м^{2}$ и $7, 5 мкм$ в $мм$

приставка	множитель
гига (Г)	$1 0^{9}$
мега (М)	$1 0^{6}$
кило (к)	$1 0^{3}$
милли (м)	$1 0^{- 3}$
микро (мк)	$1 0^{- 6}$
нано (н)	$1 0^{- 9}$

1 км^{2} = (1 0^{3} м)^{2}

= 1 0^{6} м^{2}

квадрат — и у множителя

7, 5 мкм = 7, 5 \cdot 1 0^{- 6} м

= 7, 5 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{3} мм

1 м = 1 0^{3} мм

= 7, 5 \cdot 1 0^{- 3} мм

R07.3 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Запишите в стандартном виде

а) $0, 25 мм^{2}$ в $м^{2}$

0, 25 \cdot (1 0^{- 3})^{2}

2, 5 \cdot 1 0^{- 7} м^{2}

б) $3 л$ в $м^{3}$ ( $1 л = 1 дм^{3}$ )

3 \cdot (1 0^{- 1})^{3}

3 \cdot 1 0^{- 3} м^{3}

в) $450 нм$ (волна синего света) в $см$

4, 5 \cdot 1 0^{2} \cdot 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{2}

4, 5 \cdot 1 0^{- 5} см

Единица в квадрате — множитель в квадрате, в кубе — в кубе

R07.3 · тип 2

Тип 2 · образец · во сколько раз

Масса Земли $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ кг, Луны — $7, 35 \cdot 1 0^{22}$ кг

\frac{5 , 97 \cdot 1 0 ^{24}}{7 , 35 \cdot 1 0 ^{22}} = \frac{5 , 97}{7 , 35} \cdot 1 0^{24 - 22}

числа отдельно, степени отдельно

\approx 0, 812 \cdot 1 0^{2}

\approx 81

раз

прикидка:

\frac{6 \cdot 1 0 ^{24}}{7 \cdot 1 0 ^{22}} \approx 0, 9 \cdot 1 0^{2}

порядок — около сотни

R07.3 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Во сколько раз больше?

а) Диаметр Солнца $1, 39 \cdot 1 0^{9}$ м, Земли — $1, 27 \cdot 1 0^{7}$ м

\frac{1 , 39}{1 , 27} \cdot 1 0^{2}

\approx 109

раз

б) А во сколько раз больше объём Солнца?

\frac{V _{1}}{V _{2}} = (\frac{d _{1}}{d _{2}})^{3} \approx 10 9^{3}

\approx 1, 3 \cdot 1 0^{6}

в) Атом $\approx 1 \cdot 1 0^{- 10}$ м, его ядро $\approx 2 \cdot 1 0^{- 15}$ м

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 10 - (- 15)}

5 \cdot 1 0^{4}

раз

Размеры в

k

раз больше — площади в

k^{2}

, объёмы в

k^{3}

раз

R07.3 · тип 3

Тип 3 · образец · длительность процесса

За какое время свет Солнца долетает до Земли?

500 с = 8 мин 20 с

Мы видим Солнце таким, каким оно было 8 минут назад

R07.3 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Сколько длится процесс?

а) Свет от Луны: $s = 3, 84 \cdot 1 0^{8}$ м

\frac{3 , 84 \cdot 1 0 ^{8}}{3 \cdot 1 0 ^{8}}

1, 28 с

б) Световой год — путь света за 365 суток. Сколько это метров?

365 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 3, 15 \cdot 1 0^{7} с

\approx 9, 5 \cdot 1 0^{15} м

в) Сердце — 70 ударов в минуту. Сколько ударов за 70 лет?

70 \cdot 60 \cdot 24 \cdot 365 \cdot 70

\approx 2, 6 \cdot 1 0^{9}

t = \frac{s}{v}

·

1 год \approx 3, 15 \cdot 1 0^{7} с

·

1 сут = 8, 64 \cdot 1 0^{4} с

R07.3 · тип 4

Тип 4 · образец · точность приближения

149 597 871 км $\approx 1, 5 \cdot 1 0^{8}$ км. Насколько точно?

Δ = 150000000 - 149597871

абсолютная погрешность

Δ = 402129 \approx 4 \cdot 1 0^{5} км

ε = \frac{4 , 02 \cdot 1 0 ^{5}}{1 , 496 \cdot 1 0 ^{8}} \approx 0, 0027 \approx 0, 27 %

относительная погрешность

3 мин · теория (образец разбирает учитель)
Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значения (400 тыс. км — кажется много). Относительная — её доля от величины: 0,27 % — приближение очень хорошее.
Проверка: 150 000 000 − 149 597 871 = 402 129 ✓; 402 129 : 149 597 871 = 0,002688… ≈ 0,27 % ✓.
Вывод для класса: точность оценивают не абсолютной ошибкой, а относительной. Ошибка 400 тыс. км для расстояния до Солнца мала, а ошибка 1 мм при толщине волоса 0,08 мм огромна.
Если ученики спросят: в стандартном виде $1, 5 \cdot 1 0^{8}$ — две значащие цифры, $1, 50 \cdot 1 0^{8}$ — три (точность выше).

R07.3 · тип 4

Тип 4 · решите сами · сначала прикидка

Оцените, потом уточните

а) $(4, 8 \cdot 1 0^{7}) \cdot (2, 1 \cdot 1 0^{- 3})$

\approx 5 \cdot 2 \cdot 1 0^{4} = 1 0^{5}

1, 008 \cdot 1 0^{5}

б) $8, 1 \cdot 1 0^{9}$ человек на $1, 49 \cdot 1 0^{8} км^{2}$ суши. Сколько на $1 км^{2}$ ?

\approx \frac{8}{1 , 5} \cdot 10 \approx 50

\approx 54

в) Орбита Земли — окружность $R = 1, 5 \cdot 1 0^{11}$ м. Скорость Земли?

v = \frac{2 π R}{3 , 15 \cdot 1 0 ^{7}}

\approx 3 \cdot 1 0^{4} м / с

Прикидка: мантиссы — до одной цифры, и порядок ответа виден сразу

3 мин · практика (сначала прикидка, потом точный счёт; ответы — по клику)
а) Прикидка 10⁵; точно: 4,8 · 2,1 = 10,08 → 10,08 · 10⁴ = 1,008 · 10⁵ ✓ — прикидка подтвердилась.
б) 8,1 : 1,49 = 5,436… → 54,4 ≈ 54 чел./км² ✓.
в) π ≈ 3,14 — иррациональное число, берём приближение: 2 · 3,14 · 1,5 · 10¹¹ = 9,42 · 10¹¹ м; : 3,15 · 10⁷ ≈ 2,99 · 10⁴ ≈ 3 · 10⁴ м/с = 30 км/с ✓. Вопрос: «Хватит ли π ≈ 3?» — погрешность 4,5 %, ответ 2,9 · 10⁴, порядок тот же.
Ошибка в а): 10⁷ · 10⁻³ = 10⁻²¹ (перемножили показатели).

R07.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте по клику

база $2, 5 км$ в $см$ $2, 5 \cdot 1 0^{5} см$
база $36 см^{2}$ в $м^{2}$ $3, 6 \cdot 1 0^{- 3} м^{2}$
база $4 м^{3}$ в литрах $4 \cdot 1 0^{3} л$

база $\frac{9 \cdot 1 0 ^{12}}{3 \cdot 1 0 ^{4}}$ $3 \cdot 1 0^{8}$
база $(2 \cdot 1 0^{- 5}) \cdot (4 \cdot 1 0^{9})$ $8 \cdot 1 0^{4}$
практикаПешеход идёт $5$ км/ч. Сколько часов идти $4 \cdot 1 0^{4}$ км (длина экватора)? $8 \cdot 1 0^{3}$ ч

3 мин · практика
1) 2,5 км = 2,5 · 10³ м = 2,5 · 10³ · 10² см = 2,5 · 10⁵ см. 2) 1 см² = (10⁻² м)² = 10⁻⁴ м²; 36 · 10⁻⁴ = 3,6 · 10⁻³ м². 3) 1 м³ = 10³ дм³ = 10³ л; 4 м³ = 4 · 10³ л = 4000 л.
4) 9 : 3 = 3; 10¹² : 10⁴ = 10⁸ → 3 · 10⁸. 5) 2 · 4 = 8; 10⁻⁵ · 10⁹ = 10⁴ → 8 · 10⁴. 6) 4 · 10⁴ : 5 = 0,8 · 10⁴ = 8 · 10³ ч (около 333 суток без остановок: 8000 : 24 ≈ 333).
Ученики решают в тетради, учитель открывает ответы по одному; поднятой рукой отмечают, кто решил верно. Ошибка во 2): «36 · 10⁻² м²» — квадрат не применили к множителю.

R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень · все четыре типа

Шесть задач о реальном мире

базаТолщина волоса 80 мкм. Запишите её в метрах и в миллиметрах. $8 \cdot 1 0^{- 5}$ м; $8 \cdot 1 0^{- 2}$ мм
базаСкорость света $3 \cdot 1 0^{8}$ м/с. Выразите её в м/ч. $1, 08 \cdot 1 0^{12}$ м/ч
повыш.Объём капли 0,05 мл. Сколько капель в $1 м^{3}$ ? $2 \cdot 1 0^{7}$
повыш.Масса атома водорода $1, 67 \cdot 1 0^{- 27}$ кг. Сколько атомов в 1 г водорода? $\approx 6, 0 \cdot 1 0^{23}$
практикаСвет от звезды Проксима Центавра идёт к нам 4,2 года. Найдите расстояние в км. $\approx 4, 0 \cdot 1 0^{13}$ км
повыш.Радиусы Земли и Луны $6, 4 \cdot 1 0^{3}$ и $1, 7 \cdot 1 0^{3}$ км. Во сколько раз больше площадь поверхности Земли? $\approx 14$ раз

Подсказки

3) $1 мл = 1 см^{3}$

5) св. год $\approx 9, 5 \cdot 1 0^{12}$ км

6) площадь — как квадрат радиуса

R07.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$1 км^{2} = 1 0^{3} м^{2}$	не возвели множитель в квадрат	$1 0^{6} м^{2}$
$5 мкм = 5 \cdot 1 0^{- 3} м$	микро — это не милли	$5 \cdot 1 0^{- 6} м$
$\frac{6 \cdot 1 0 ^{24}}{3 \cdot 1 0 ^{8}} = 2 \cdot 1 0^{3}$	показатели делят, а надо вычитать	$2 \cdot 1 0^{16}$
$1 сут = 8, 64 \cdot 1 0^{5} с$	86 400 — пять цифр	$8, 64 \cdot 1 0^{4} с$
ответ: $12 \cdot 1 0^{5}$	не стандартный вид	$1, 2 \cdot 1 0^{6}$

R07.3

Самостоятельная работа · вариант 1 · 5 минут

Вариант 1 — решите

база $0, 8 мм^{2}$ в $м^{2}$ $8 \cdot 1 0^{- 7} м^{2}$
базаВо сколько раз $6 \cdot 1 0^{9}$ больше $1, 5 \cdot 1 0^{6}$ ? $4 \cdot 1 0^{3}$

повыш.До Сатурна $1, 43 \cdot 1 0^{12}$ м. Сколько секунд идёт свет? $\approx 4, 8 \cdot 1 0^{3}$ с
практикаОбъём Мирового океана $1, 34 \cdot 1 0^{9} км^{3}$ . Сколько это литров? $1, 34 \cdot 1 0^{21}$ л

R07.3

Самостоятельная работа · вариант 2 · 5 минут

Вариант 2 — решите

база $2, 5 см^{3}$ в $м^{3}$ $2, 5 \cdot 1 0^{- 6} м^{3}$
базаВо сколько раз $8 \cdot 1 0^{12}$ больше $2 \cdot 1 0^{5}$ ? $4 \cdot 1 0^{7}$

повыш.До Юпитера $6, 3 \cdot 1 0^{11}$ м. Сколько секунд идёт свет? $2, 1 \cdot 1 0^{3}$ с
практикаОбъём озера Байкал $2, 36 \cdot 1 0^{4} км^{3}$ . Сколько это литров? $2, 36 \cdot 1 0^{16}$ л

R07.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12 (расчёт по формуле)

Сколько секунд идёт радиосигнал до Марса?

Время $t$ (в секундах), за которое радиосигнал проходит расстояние $s$ (в метрах), вычисляется по формуле $t = \frac{s}{c}$ , где $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ м/с. Найдите $t$ , если $s = 7, 2 \cdot 1 0^{10}$ м.

t = \frac{s}{c}

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $1 км^{2} \neq = 1 0^{3} м^{2}$ ?
Как найти «во сколько раз»?
Чем относительная погрешность лучше абсолютной?

Домашнее задание

Сколько секунд в сутках? в неделе? (стандартный вид)
Масса Солнца $1, 99 \cdot 1 0^{30}$ кг. Во сколько раз она больше массы Земли?
* Центр Галактики — в $2, 6 \cdot 1 0^{20}$ м. Сколько лет идёт оттуда свет?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-114 · Практикум: размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 9/14 · тип П (практикум), второй практикум по R07.3
Единицы → слайды	R07.3 «Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире» → 1–19
Результаты	ПР-5 (записи больших и малых чисел, разные системы измерений) → 2–10, 13–19 · ПР-15 (преобразования со степенями с целым показателем) → 3, 5–10, 12, 13, 16–18 · ПР-4 (округление, прикидка, точность) → 11, 12, 14 · хронометраж: теория 13 мин (сл. 2, 5, 7, 9, 11), практика 32 мин (71 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства степени — ALG8U-115 (R07.1); стандартный вид как отдельный навык — ALG8U-116 (R07.2); логарифмическая шкала — только как иллюстрация, без определения логарифма
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:размеры объектови длительностьпроцессов

Четыре типа задач о реальных величинах

1Переводить

2Сравнивать

3Считать время

4Оценивать

Блиц: восемь вопросов за две минуты

Каждая ступень — в 10 раз больше

Переведите 1 км2 в м2 и 7,5 мкм в мм

Запишите в стандартном виде

Масса Земли 5,97⋅1024 кг, Луны — 7,35⋅1022 кг

Во сколько раз больше?

За какое время свет Солнца долетает до Земли?

Сколько длится процесс?

149 597 871 км ≈1,5⋅108 км. Насколько точно?

Оцените, потом уточните

Решите и проверьте по клику

Шесть задач о реальном мире

Подсказки

Найдите ошибку

Вариант 1 — решите

Вариант 2 — решите

Сколько секунд идёт радиосигнал до Марса?

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-114 · Практикум: размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире

Практикум:
размеры объектов
и длительность
процессов

Переведите $1 км^{2}$ в $м^{2}$ и $7, 5 мкм$ в $мм$

Масса Земли $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ кг, Луны — $7, 35 \cdot 1 0^{22}$ кг

149 597 871 км $\approx 1, 5 \cdot 1 0^{8}$ км. Насколько точно?