Степени · урок 7 из 14 · практикум

Практикум:
степень с целым
показателем

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-112

1 мин · теория. Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 7/14, единица R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства». Тип П (практикум), второй практикум по R07.1.
До этого: ALG8U-106 (определение и свойства), ALG8U-109 (первый практикум: вычисления и упрощение по свойствам), ALG8U-111 (практикум по размерам объектов). Следующий — ALG8U-113 «Практикум: Стандартный вид числа».
Новое по сравнению с ALG8U-109: переменный показатель, дроби с отрицательными показателями, неизвестный показатель, сравнение и знак степени.
Хронометраж (45 мин): титул 1 · цели 1 · разминка 3 · карта типов 1 · тип 1: образец 2 + задания 3 · тип 2: образец 3 + задания 3 · тип 3: образец 2 + задания 3 · сравнение: образец 2 + задания 2 · ошибки 2 · знак: образец 2 + задания 2 · самопроверка 3 · тренировка 3 · самостоятельная (2 варианта) 4 · ОГЭ 2 · итог и ДЗ 1. Теория (титул, цели, карта, образцы) — 14 мин, практика — 31 мин.
Если не успеваете: на слайде 14 (знак степени) разобрать только первый случай, слайд 15 — в ДЗ; задания 5–6 тренировки (слайд 17) — в ДЗ.

R07.1

Цели урока

Три типа заданий повышенной сложности

Выносить степень

за скобки в выражениях с переменным показателем $n$ (ПР-15)

Упрощать дроби

с отрицательными показателями, учитывая допустимые значения (ПР-15, ПР-12, ПР-9)

Находить показатель

и сравнивать степени, приводя к одному основанию (ПР-15)

Исследовать знак

степени с целым показателем и решать задачи из практики (ПР-15, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-15 «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
ПР-12 «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений»; ПР-9 «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»; ПР-13 «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Применять свойства степени для преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».

повторение

Разминка · устно · 3 минуты

Шесть примеров — по одному на свойство

4^{- 2}

\frac{1}{16}

(\frac{3}{2})^{- 3}

\frac{8}{27}

a^{- 4} \cdot a^{9}

a^{5}

(a^{- 2})^{- 3}

a^{6}

\frac{x ^{3}}{x ^{- 2}}

x^{5}

2^{n} \cdot 2^{3}

2^{n + 3} = 8 \cdot 2^{n}

R07.1

План практикума · что видим → какой приём

Узнай тип — и приём подскажет решение

R07.1

Тип 1 · образец · переменный показатель

Найдите значение $\frac{2 ^{n + 3} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n - 1}}$

= \frac{2 ^{n - 1} ( 2 ^{4} - 2 ^{2} )}{2 ^{n - 1}}

вынесли

2^{n - 1}

за скобки

= 16 - 4

сократили на

2^{n - 1} \neq = 0

= 12

при любом

n \in Z

R07.1

Тип 1 · решаем сами · в парах

Ответ не зависит от $n$ — найдите его

\frac{3 ^{n + 2} + 3 ^{n}}{3 ^{n - 1}}

3^{n - 1} (27 + 3) : 3^{n - 1} = 30

\frac{5 ^{n + 1} - 5 ^{n - 1}}{2 \cdot 5 ^{n}}

\frac{5 ^{n - 1} \cdot 24}{10 \cdot 5 ^{n - 1}} = 2, 4

\frac{6 ^{n}}{2 ^{n + 1} \cdot 3 ^{n - 2}}

2^{n - n - 1} \cdot 3^{n - n + 2} = \frac{9}{2} = 4, 5

\frac{7 ^{n} - 7 ^{n - 2}}{7 ^{n - 1} + 7 ^{n - 2}}

\frac{7 ^{n - 2} ( 49 - 1 )}{7 ^{n - 2} ( 7 + 1 )} = 6

R07.1 · углублённо

Тип 2 · образец · дробь с отрицательными показателями

Упростите $\frac{a ^{- 2} - 4 b ^{- 2}}{a ^{- 1} - 2 b ^{- 1}}$ — двумя способами

Способ 1: разность квадратов

a^{- 2} - 4 b^{- 2} = (a^{- 1})^{2} - (2 b^{- 1})^{2}

= \frac{( a ^{- 1} - 2 b ^{- 1} ) ( a ^{- 1} + 2 b ^{- 1} )}{a ^{- 1} - 2 b ^{- 1}}

= a^{- 1} + 2 b^{- 1} = \frac{b + 2 a}{ab}

Способ 2: умножить на $a^{2} b^{2}$

= \frac{b ^{2} - 4 a ^{2}}{a b ^{2} - 2 a ^{2} b}

числитель и знаменатель

\cdot a^{2} b^{2}

= \frac{( b - 2 a ) ( b + 2 a )}{ab ( b - 2 a )}

= \frac{b + 2 a}{ab}

Условия:

a \neq = 0, b \neq = 0, b \neq = 2 a

R07.1

Тип 2 · решаем сами

Упростите, указав допустимые значения

база

(x^{- 1} + y^{- 1}) (x + y)^{- 1}

\frac{1}{x y}

повыш.

(\frac{a ^{- 1} - b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}})^{- 1}

\frac{a + b}{ab}

повыш.

\frac{x ^{- 3} + 1}{x ^{- 2} - x ^{- 1} + 1}

\frac{x + 1}{x}

Подсказка к 3: сумма кубов

t^{3} + 1 = (t + 1) (t^{2} - t + 1)

, где

t = x^{- 1}

.

R07.1 · углублённо

Тип 3 · образец · неизвестный показатель

Найдите целое $n$ : $9^{n} \cdot 27 = 3^{- 5}$

(3^{2})^{n} \cdot 3^{3} = 3^{- 5}

одно основание:

9 = 3^{2}, 27 = 3^{3}

3^{2 n + 3} = 3^{- 5}

2 n + 3 = - 5

равные степени тройки ⇒ равные показатели

n = - 4

Сам: найдите целое

n

: а)

(\frac{2}{3})^{n} = \frac{27}{8}

; б)

5^{n - 1} = 0, 04

; в)

4^{n} = 0, 125

.

R07.1

Тип 3 · решаем сами · одно основание

Найдите целое $n$

база

2^{n} = \frac{1}{32}

2^{n} = 2^{- 5}, n = - 5

база

(\frac{1}{4})^{n} = 64

4^{- n} = 4^{3}, n = - 3

база

0, 00 1^{n} = 1 0^{6}

1 0^{- 3 n} = 1 0^{6}, n = - 2

повыш.

4^{n} \cdot 8 = 2^{- 9}

2^{2 n + 3} = 2^{- 9}, n = - 6

повыш.

\frac{2 5 ^{n}}{5 ^{n + 1}} = 125

5^{n - 1} = 5^{3}, n = 4

повыш.

3^{n} + 3^{n + 1} = \frac{4}{9}

4 \cdot 3^{n} = \frac{4}{9}, n = - 2

R07.1

Тип 3 · образец · сравнение степеней

Основание больше $1$ или меньше $1$ ?

Сравните

(\frac{2}{5})^{- 4}

и

2, 5^{3}

(\frac{2}{5})^{- 4} = (\frac{5}{2})^{4} = 2, 5^{4}

одно основание

2, 5 > 1

4 > 3 \Rightarrow (\frac{2}{5})^{- 4} > 2, 5^{3}

0, 5^{- 10} = 2^{10} = 1024 > 729 = 3^{6}

основания разные — считаем

Сам: сравните

(\frac{3}{7})^{- 5}

и

(\frac{3}{7})^{- 8}

.

R07.1

Тип 3 · решаем сами · сравнение

Поставьте знак $>$ , $<$ или $=$

база

0, 7^{- 3} □ 0, 7^{- 2}

0, 7^{- 3} > 0, 7^{- 2}

база

(- 2)^{- 5} □ (- 2)^{- 4}

(- 2)^{- 5} < (- 2)^{- 4}

повыш.

(\frac{5}{4})^{- 6} □ (\frac{4}{5})^{5}

(\frac{4}{5})^{6} < (\frac{4}{5})^{5}

повыш.

2^{- 30} □ 3^{- 20}

8^{- 10} > 9^{- 10}

R07.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$2^{n + 1} - 2^{n} = 2$	вычли показатели у разности	$2^{n} (2 - 1) = 2^{n}$
$3^{n} + 3^{n} + 3^{n} = 9^{n}$	сложили основания	$3 \cdot 3^{n} = 3^{n + 1}$
$\frac{2 ^{n + 2}}{2 ^{n - 1}} = 2^{1}$	не раскрыли скобку со знаком «−»	$2^{3} = 8$
$a^{- 1} + b^{- 1} = \frac{1}{a + b}$	степень суммы ≠ сумма степеней	$\frac{a + b}{ab}$
$(- 3)^{- 2} = - \frac{1}{9}$	чётный показатель — знак «+»	$\frac{1}{9}$

R07.1 · углублённо

Углублённо · исследование знака степени

Когда $(x - 3)^{n}$ положительно при целом $n < 0$ ?

R07.1 · углублённо

Знак степени · решаем сами

При каких $x$ верно неравенство?

база

(x + 5)^{- 2} > 0

x \neq = - 5

база

(x - 1)^{- 3} < 0

x < 1

повыш.

(4 - x)^{- 5} > 0

x < 4

повыш.

x^{- 2} \cdot (x - 2)^{- 1} > 0

x > 2

R07.1

Задания с самопроверкой · база и повышенный уровень

Упростите или найдите значение

база

\frac{1 0 ^{n + 2}}{1 0 ^{n - 1}}

1 0^{3} = 1000

база

(\frac{a ^{- 3}}{b ^{2}})^{- 2}

a^{6} b^{4}

база

\frac{( x ^{- 2} ) ^{3} \cdot x ^{8}}{x ^{- 1}}

x^{3}

повыш.

\frac{2 ^{n + 2} \cdot 3 ^{n + 1}}{6 ^{n}}

4 \cdot 3 = 12

повыш.

\frac{a ^{- 1} - a}{1 - a ^{- 1}}

- (a + 1)

повыш.

\frac{9 ^{n} - 3 ^{2 n - 1}}{3 ^{2 n + 1}}

\frac{2}{9}

R07.1

Тренировка по всем типам · 3 минуты

Шесть заданий — по всем типам практикума

базаНайдите значение: $\frac{2 ^{n + 4} - 2 ^{n + 2}}{3 \cdot 2 ^{n}}$ .
базаУпростите: $\frac{x ^{- 1} - y ^{- 1}}{x ^{- 1} y ^{- 1}}$ .
повыш.Найдите целое $n$ : $8^{n} \cdot 4 = 2^{- 7}$ .
повыш.Сравните: $(\frac{1}{3})^{- 12}$ и $5^{8}$ .
повыш.Упростите: $\frac{a ^{- 2} - 9}{a ^{- 1} + 3} \cdot \frac{a}{1 - 3 a}$ .
практикаПлощадь ряски $S = 64 \cdot 2^{t}$ м², $t$ — часы от начала наблюдения. Найдите $S (- 4)$ и $t$ , при котором $S = 1$ .

R07.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$\frac{3 ^{n + 3} - 3 ^{n + 1}}{8 \cdot 3 ^{n}}$ $3$
$\frac{x ^{- 2} - y ^{- 2}}{x ^{- 1} + y ^{- 1}}$ $\frac{y - x}{x y}$
целое $n$ : $1 6^{n} \cdot 2 = 8^{- 1}$ $n = - 1$
сравните $(\frac{1}{2})^{- 9}$ и $3^{6}$ $<$

Вариант 2

$\frac{5 ^{n + 2} + 5 ^{n}}{13 \cdot 5 ^{n}}$ $2$
$\frac{a ^{- 2} - b ^{- 2}}{a ^{- 1} - b ^{- 1}}$ $\frac{a + b}{ab}$
целое $n$ : $2 7^{n} \cdot 9 = 3^{- 4}$ $n = - 2$
сравните $(\frac{1}{3})^{- 5}$ и $2^{8}$ $<$

R07.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени и корни)

Найдите значение $\frac{a ^{- 6} \cdot ( a ^{2} ) ^{- 4}}{a ^{- 17}}$ при $a = 0, 2$

a^{- 6 + (- 8) - (- 17)} = a^{3}

сначала упрощаем

0, 2^{3} = 0, 008

Ответ:

0, 008

В бланк ОГЭ — десятичная дробь:

0, 008

, а не

\frac{1}{125}

.

Сам: найдите

\frac{( b ^{- 3} ) ^{4} \cdot b ^{7}}{b ^{- 9}}

при

b = 2

.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какую степень выносят за скобки?
Как избавиться от отрицательных показателей в дроби?
Почему из $3^{m} = 3^{k}$ следует $m = k$ ?

Домашнее задание

$\frac{3 ^{n + 1} - 3 ^{n - 1}}{3 ^{n} + 3 ^{n - 1}}$
$\frac{4 a ^{- 2} - b ^{- 2}}{2 a ^{- 1} + b ^{- 1}}$ ; целое $n$ : $2 5^{n} \cdot 125 = 5^{- 1}$
* Докажите: $2^{n + 2} + 2^{n + 1} + 2^{n}$ делится на $7$ при $n \in N$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-112 · Практикум: Степень с целым показателем и ее свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 7/14 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства» → 2–20
Результаты	ПР-15 (понятие степени с целым показателем, преобразования выражений со степенями) → 2–20 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 7, 8, 16–18, 20 · ПР-9 (допустимые значения переменных) → 7, 8, 14, 15 · ПР-13 (задачи из практики) → 17 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	стандартный вид числа — ALG8U-113 (R07.2); размеры объектов и длительность процессов — ALG8U-114 (R07.3); следующий практикум по R07.1 — ALG8U-115
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:степень с целымпоказателем

Три типа заданий повышенной сложности

Выносить степень

Упрощать дроби

Находить показатель

Исследовать знак

Шесть примеров — по одному на свойство

Узнай тип — и приём подскажет решение

Найдите значение 2n−12n+3−2n+1​

Ответ не зависит от n — найдите его

Упростите a−1−2b−1a−2−4b−2​ — двумя способами

Способ 1: разность квадратов

Способ 2: умножить на a2b2

Упростите, указав допустимые значения

Найдите целое n: 9n⋅27=3−5

Найдите целое n

Основание больше 1 или меньше 1?

Поставьте знак >, < или =

Найдите ошибку

Когда (x−3)n положительно при целом n<0?

При каких x верно неравенство?

Упростите или найдите значение

Шесть заданий — по всем типам практикума

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Найдите значение a−17a−6⋅(a2)−4​ при a=0,2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-112 · Практикум: Степень с целым показателем и ее свойства

Практикум:
степень с целым
показателем

Найдите значение $\frac{2 ^{n + 3} - 2 ^{n + 1}}{2 ^{n - 1}}$

Ответ не зависит от $n$ — найдите его

Упростите $\frac{a ^{- 2} - 4 b ^{- 2}}{a ^{- 1} - 2 b ^{- 1}}$ — двумя способами

Способ 2: умножить на $a^{2} b^{2}$

Найдите целое $n$ : $9^{n} \cdot 27 = 3^{- 5}$

Найдите целое $n$

Основание больше $1$ или меньше $1$ ?

Поставьте знак $>$ , $<$ или $=$

Когда $(x - 3)^{n}$ положительно при целом $n < 0$ ?

При каких $x$ верно неравенство?

Найдите значение $\frac{a ^{- 6} \cdot ( a ^{2} ) ^{- 4}}{a ^{- 17}}$ при $a = 0, 2$