Степени · урок 6 из 14 · практикум

Размеры объектов
и длительность процессов
в окружающем мире

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-111

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 6/14, единица R07.3 «Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире». Тип П (практикум).
Это второй урок по R07.3: новый материал был на ALG8U-108; перед этим — практикумы по степеням (ALG8U-109) и стандартному виду (ALG8U-110). Сегодня — не повторение определений, а пять типов прикладных задач и оценка точности.
Хронометраж (45 мин). Теория 14: титул 1 · цели 1 · шкала размеров 2 · образцы типов 1, 2, 3 и 5 — по 2 · шкала длительностей 1 · образец типа 4 — 1. Практика 31: разминки 2 + 2 · «сам» после каждого образца 3 + 3 + 3 + 2 + 2 · найди ошибку 2 · самопроверка 3 + 2 · закрепление 2 · самостоятельная 3 · ОГЭ 1 · итог 1.
Каждый образец учитель разбирает сам; задание «Ваша очередь» на слайде образца ученики решают на следующем слайде «Образец → сам» (оно там первое).
Если не успеваете: закрепление (слайд 20) — № 4–5 в ДЗ; самопроверка повышенного уровня (слайд 19) — только № 1–3.

R07.3

Цели урока

От атома до галактики — в степенях десяти

Записывать

размеры и длительности в стандартном виде, переводить единицы (ПР-5)

Вычислять

с числами в стандартном виде: «во сколько раз», $t = s : v$ (ПР-15)

Оценивать

порядок результата прикидкой до точного счёта (ПР-4, ПР-13)

Анализировать точность

границы и погрешность приближённых данных (ПР-5, ПР-4)

1 мин · теория
ПР-5: «Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерений».
ПР-15: «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем». ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений…». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде… Округлять…, выполнять прикидку результата вычислений, оценку значений числовых выражений».

повторение: R07.2

Разминка · устно

Приставки — это степени десяти

0, 00045

4, 5 \cdot 1 0^{- 4}

384000 км

3, 84 \cdot 1 0^{5} км

5 мкм = ? м

5 \cdot 1 0^{- 6} м

20 нм = ? м

2 \cdot 1 0^{- 8} м

повторение: R07.1–R07.2

Разминка · устно · блиц

Степени десяти: умножаем, делим, возводим

1 0^{5} \cdot 1 0^{- 8}

1 0^{- 3}

1 0^{9} : 1 0^{7}

1 0^{2}

1 0^{- 4} : 1 0^{- 6}

1 0^{2}

(1 0^{3})^{2}

1 0^{6}

(1 0^{- 2})^{3}

1 0^{- 6}

2 \cdot 1 0^{3} \cdot 4 \cdot 1 0^{2}

8 \cdot 1 0^{5}

\frac{6 \cdot 1 0 ^{8}}{3 \cdot 1 0 ^{5}}

2 \cdot 1 0^{3}

5 \cdot 1 0^{4} \cdot 4 \cdot 1 0^{- 1}

2 \cdot 1 0^{4}

R07.3

Шкала размеров · одно деление = × 10

Порядок величины — показатель степени

2 мин · теория
Шкала логарифмическая: равные отрезки — равные отношения (каждое деление — в 10 раз). Обычной линейкой такой диапазон не нарисовать.
Порядок числа $a \cdot 1 0^{n}$ ( $1 \leq a < 10$ ) — это $n$ . Значения на шкале округлены до порядка: эритроцит ≈ 7,5 мкм, вирус гриппа ≈ 100 нм, Эверест 8 849 м ≈ $1 0^{4}$ , Земля 12 742 км ≈ $1 0^{7}$ м, Солнце 1,39 млн км ≈ $1 0^{9}$ м, Солнечная система (орбита Нептуна) ≈ $9 \cdot 1 0^{12}$ м, Млечный Путь ≈ 100 000 св. лет ≈ $1 0^{21}$ м.
Вопрос: между какими объектами человек «посередине»? (По порядкам — ближе к середине между атомом и Солнцем.)

R07.3

Тип 1 · образец · «во сколько раз»

Во сколько раз Солнце больше Земли?

\frac{1 , 39 \cdot 1 0 ^{9}}{1 , 27 \cdot 1 0 ^{7}} = \frac{1 , 39}{1 , 27} \cdot 1 0^{9 - 7}

мантиссы делим, показатели вычитаем

\approx 1, 09 \cdot 1 0^{2} \approx 110

прикидка: 10⁹ : 10⁷ = 100

Ваша очередь. Эритроцит —

7, 5

мкм, вирус гриппа —

100

нм. Во сколько раз эритроцит больше? Сколько вирусов уложится в ряд на 1 мм?

2 мин · теория (учитель разбирает образец; «Ваша очередь» — на следующем слайде)
Шаги: 1) оба числа в одних единицах; 2) делим мантиссы и степени отдельно; 3) приводим к стандартному виду; 4) сверяем с прикидкой по порядкам.
$1, 39 : 1, 27 = 1, 0945 \dots$ Значит, ≈ 109–110 раз. На рисунке Земля — точка диаметром 2 пикселя рядом с кругом диаметром 400.
Ответы «Ваша очередь»: $7, 5 \cdot 1 0^{- 6} : 1 0^{- 7} = 75$ раз; $1 0^{- 3} : 1 0^{- 7} = 1 0^{4}$ вирусов.
Ошибка: не перевести мкм и нм в одни единицы и получить 0,075.

R07.3 · тип 1

Тип 1 · образец → сам

Во сколько раз больше?

база 1) Эритроцит —

7, 5

мкм, вирус гриппа —

100

нм. Во сколько раз эритроцит больше?в

75

раз база 2) Сколько вирусов по

100

нм уложится в ряд на

1

мм?

1 0^{4}

база 3) Бактерия —

2

мкм, атом —

1 0^{- 10}

м. Во сколько раз бактерия больше?в

2 \cdot 1 0^{4}

раз повыш. 4) Масса Солнца

1, 99 \cdot 1 0^{30}

кг, Земли —

5, 97 \cdot 1 0^{24}

кг. Во сколько раз Солнце тяжелее?

\approx 3, 3 \cdot 1 0^{5}

повыш. 5) Площадь Земли

5, 1 \cdot 1 0^{8}

км², России —

1, 71 \cdot 1 0^{7}

км². Какой процент поверхности Земли занимает Россия?

\approx 3, 4 %

R07.3

Тип 2 · образец · единицы площади и объёма

Квадрат и куб единицы — квадрат и куб степени

1 км^{2} = (1 0^{3} м)^{2} = 1 0^{6} м^{2}

1 мм^{3} = (1 0^{- 3} м)^{3} = 1 0^{- 9} м^{3}

Россия:

1, 71 \cdot 1 0^{7} км^{2} = 1, 71 \cdot 1 0^{13} м^{2}

Ваша очередь. Объём воды в Байкале

2, 36 \cdot 1 0^{4} км^{3}

. Сколько это

м^{3}

? Сколько литров? (

1 м^{3} = 1 0^{3}

л)

R07.3 · тип 2

Тип 2 · образец → сам

Переведите единицы площади и объёма

база 1)

5 см^{2} = ? м^{2}

5 \cdot 1 0^{- 4} м^{2}

база 2)

3 мм^{3} = ? м^{3}

3 \cdot 1 0^{- 9} м^{3}

база 3)

4, 2 км^{2} = ? см^{2}

4, 2 \cdot 1 0^{10} см^{2}

повыш. 4) Байкал:

2, 36 \cdot 1 0^{4} км^{3}

— сколько литров?

2, 36 \cdot 1 0^{16}

л повыш. 5) Капля

0, 05

мл

= ? м^{3}

5 \cdot 1 0^{- 8} м^{3}

Длина:

1 см = 1 0^{- 2}

м,

1 мм = 1 0^{- 3}

м,

1 км = 1 0^{5}

см

Объём:

1 мл = 1 см^{3}

,

1 м^{3} = 1 0^{3}

л

R07.3

Тип 3 · длительность процессов · всё в секундах

Шкала времени: от наносекунды до возраста Земли

R07.3

Тип 3 · образец · время = путь : скорость

Сколько идёт свет от Солнца до Земли?

t = \frac{s}{v} = \frac{1 , 5 \cdot 1 0 ^{11}}{3 \cdot 1 0 ^{8}} = 0, 5 \cdot 1 0^{3}

= 5 \cdot 1 0^{2} с = 500 с \approx 8 мин 20 с

Ваша очередь. Свет от Проксимы Центавра идёт 4,2 года. 1) Расстояние до неё в метрах? 2) Сколько лет летел бы к ней зонд со скоростью

1, 7 \cdot 1 0^{4}

м/с?

R07.3 · тип 3

Тип 3 · образец → сам · время = путь : скорость

Сколько времени займёт путь?

база 1) Радиосигнал до Луны:

s = 3, 84 \cdot 1 0^{8}

м,

v = 3 \cdot 1 0^{8}

м/с

1, 28

с база 2) Свет проходит

1

м. Сколько это наносекунд?

\approx 3, 3

нс база 3) Самолёт летит со скоростью

250

м/с вдоль экватора (

4 \cdot 1 0^{7}

м). Сколько часов?

1, 6 \cdot 1 0^{5}

с

\approx 44

ч повыш. 4) Улитка:

1, 5

мм/с. За сколько суток она проползёт

1

км?

\approx 7, 7

сут повыш. 5) Проксима: свет идёт

4, 2

года. Сколько лет лететь зонду со скоростью

1, 7 \cdot 1 0^{4}

м/с?

\approx 7, 5 \cdot 1 0^{4}

лет

R07.3

Тип 4 · образец · прикидка порядка

Сколько раз сердце ударит за 80 лет?

R07.3 · тип 4

Тип 4 · образец → сам

Сначала прикидка, потом точный ответ

база 1)

48 \cdot 2, 1 \cdot 1 0^{6}

\approx 1 0^{8}

;

1, 008 \cdot 1 0^{8}

база 2) Сколько раз ударит сердце за урок (

45

мин,

70

уд/мин)?

\approx 3, 5 \cdot 1 0^{3}

;

3, 15 \cdot 1 0^{3}

повыш. 3) Класс из

25

человек пьёт по

2

л воды в сутки. Сколько литров за год?

\approx 2 \cdot 1 0^{4}

;

1, 825 \cdot 1 0^{4}

повыш. 4) Сколько шагов по

0, 7

м до Луны (

3, 84 \cdot 1 0^{8}

м)?

\approx 5 \cdot 1 0^{8}

;

5, 5 \cdot 1 0^{8}

R07.3

Тип 5 · углублённо · точность приближения

Что скрывает запись 3,8·10⁵ км?

3, 75 \cdot 1 0^{5} \leq d < 3, 85 \cdot 1 0^{5}

\frac{0 , 05 \cdot 1 0 ^{5}}{3 , 8 \cdot 1 0 ^{5}} \approx 0, 013 = 1, 3 %

относительная погрешность — не больше

Ваша очередь. Расстояние Земля — Солнце меняется от

1, 47 \cdot 1 0^{11}

до

1, 52 \cdot 1 0^{11}

м. В каких границах время пути света?

2 мин · теория (учитель разбирает образец; «Ваша очередь» — на следующем слайде)
Последняя цифра в мантиссе показывает точность: 3,8·10⁵ — точность до 0,1·10⁵ = 10 000 км, значит, истинное значение в полуинтервале шириной 10 000 км. Запись 3,80·10⁵ означала бы точность до 1000 км.
Среднее расстояние Земля — Луна 384 400 км, оно действительно в этих границах.
Ответ: $1, 47 \cdot 1 0^{11} : 3 \cdot 1 0^{8} = 490$ с; $1, 52 \cdot 1 0^{11} : 3 \cdot 1 0^{8} \approx 507$ с — от 490 до ≈ 507 с, т. е. от 8 мин 10 с до ≈ 8 мин 27 с. Вывод: «500 с» на слайде 11 — верно с точностью около 2 %.
Ошибка: путать абсолютную погрешность (5000 км) и относительную (1,3 %).

R07.3 · тип 5

Тип 5 · образец → сам

Границы и погрешность приближённых данных

база 1) Длина

l \approx 2, 4 \cdot 1 0^{3}

м. В каких границах

l

?

2, 35 \cdot 1 0^{3} \leq l < 2, 45 \cdot 1 0^{3}

база 2) Какая запись точнее:

1, 5 \cdot 1 0^{8}

км или

1, 50 \cdot 1 0^{8}

км?вторая повыш. 3) Масса Луны

7, 35 \cdot 1 0^{22}

кг. Абсолютная и относительная погрешность — не больше?

5 \cdot 1 0^{19}

кг;

0, 07 %

повыш. 4) Земля — Солнце: от

1, 47 \cdot 1 0^{11}

до

1, 52 \cdot 1 0^{11}

м. Время пути света?от

490

до

\approx 507

с повыш. 5) Сторона квадрата

3, 2

см (до десятых). В каких границах площадь?

9, 9225 \leq S < 10, 5625

R07.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку — и исправьте

Сложение: показатели не складывают

2 \cdot 1 0^{5} + 3 \cdot 1 0^{4} = 5 \cdot 1 0^{9}

20 \cdot 1 0^{4} + 3 \cdot 1 0^{4} = 2, 3 \cdot 1 0^{5}

Ответ не в стандартном виде

3 \cdot 1 0^{8} \cdot 5 \cdot 1 0^{2} = 15 \cdot 1 0^{10}

15 \cdot 1 0^{10} = 1, 5 \cdot 1 0^{11}

Площадь: множитель — в квадрат

1 км^{2} = 1 0^{3} м^{2}

1 км^{2} = 1 0^{6} м^{2}

Деление: знак показателя

\frac{6 \cdot 1 0 ^{- 4}}{2 \cdot 1 0 ^{- 7}} = 3 \cdot 1 0^{- 11}

3 \cdot 1 0^{- 4 - (- 7)} = 3 \cdot 1 0^{3}

R07.3

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, ответ — в стандартном виде

1)

3 \cdot 1 0^{4} \cdot 2 \cdot 1 0^{- 6}

6 \cdot 1 0^{- 2}

2)

\frac{8 \cdot 1 0 ^{- 3}}{4 \cdot 1 0 ^{- 5}}

2 \cdot 1 0^{2}

3)

4 \cdot 1 0^{5} + 6 \cdot 1 0^{4}

4, 6 \cdot 1 0^{5}

4)

350 нм = ? м

3, 5 \cdot 1 0^{- 7}

5)

7 км^{2} = ? м^{2}

7 \cdot 1 0^{6}

6)

2

суток

= ?

с

1, 728 \cdot 1 0^{5}

R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный

Вычислите и решите

повыш. 1)

\frac{( 2 , 4 \cdot 1 0 ^{- 3} ) \cdot ( 5 \cdot 1 0 ^{6} )}{6 \cdot 1 0 ^{- 2}}

2 \cdot 1 0^{5}

повыш. 2)

(3 \cdot 1 0^{- 4})^{2}

9 \cdot 1 0^{- 8}

повыш. 3)

(2 \cdot 1 0^{3})^{3} \cdot 5 \cdot 1 0^{- 12}

4 \cdot 1 0^{- 2}

практика 4) Бамбук вырастает на

0, 9

м в сутки. Сколько это мм в секунду?

\approx 1, 04 \cdot 1 0^{- 2}

практика 5) Масса молекулы воды

3 \cdot 1 0^{- 26}

кг. Сколько молекул в

1

л (

1

кг) воды?

\approx 3, 3 \cdot 1 0^{25}

R07.3

Закрепление · задачи из жизни

Решите, ответ — в стандартном виде

базаТолщина волоса 0,08 мм. Запишите её в метрах.
базаМасса Земли $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ кг, масса Луны $7, 35 \cdot 1 0^{22}$ кг. Во сколько раз Земля тяжелее? Округлите до целых.
повыш.Сколько секунд в 1000 лет (по 365 суток)? Мантиссу округлите до сотых.

повыш.Расстояние до Марса — от $5, 5 \cdot 1 0^{7}$ до $4 \cdot 1 0^{8}$ км, скорость радиосигнала $3 \cdot 1 0^{5}$ км/с. В каких границах время ответа марсохода в одну сторону?
практикаЧеловек выпивает 2 л воды в сутки. Сколько кубометров за 70 лет?

R07.3

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта · ответ — в стандартном виде

Вариант 1

1)

0, 0036

3, 6 \cdot 1 0^{- 3}

2)

\frac{9 \cdot 1 0 ^{7}}{3 \cdot 1 0 ^{- 2}}

3 \cdot 1 0^{9}

3)

8 мм^{2} = ? м^{2}

8 \cdot 1 0^{- 6}

4) Свет до Венеры, с:

s = 4, 2 \cdot 1 0^{10}

м

1, 4 \cdot 1 0^{2}

Вариант 2

1)

52000000

5, 2 \cdot 1 0^{7}

2)

\frac{8 \cdot 1 0 ^{- 3}}{2 \cdot 1 0 ^{5}}

4 \cdot 1 0^{- 8}

3)

6 км^{3} = ? м^{3}

6 \cdot 1 0^{9}

4) Свет до Марса, с:

s = 7, 8 \cdot 1 0^{10}

м

2, 6 \cdot 1 0^{2}

R07.2–R07.3

Формат ОГЭ

Задание как в ОГЭ · линия 8

ОГЭ, линия 8 Найдите значение выражения

\frac{( 3 , 2 \cdot 1 0 ^{5} ) \cdot ( 1 , 5 \cdot 1 0 ^{- 2} )}{1 , 2 \cdot 1 0 ^{4}}

Подсказка-план

мантиссы: $3, 2 \cdot 1, 5 : 1, 2$
степени: $1 0^{5 + (- 2) - 4}$
ответ — десятичная дробь

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти, во сколько раз одно число в стандартном виде больше другого?
Почему $1 км^{2} \neq = 1 0^{3} м^{2}$ ?
Что означает последняя цифра в записи $3, 8 \cdot 1 0^{5}$ ?

Домашнее задание

Ноготь растёт на 0,1 мм в сутки. На сколько метров он вырос бы за 80 лет?
Диаметр атома водорода $\approx 1 0^{- 10}$ м. Сколько атомов в ряд на 1 см?
Луна — $3, 84 \cdot 1 0^{5}$ км. Сколько идёт свет?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-111 · Практикум: размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 6/14 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R07.3 «Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире» → 2, 5–23 · опора на R07.1–R07.2 → 3, 4, 17–19, 21, 22
Результаты	ПР-5 (запись больших и малых чисел степенями 10, разные системы измерений) → 2, 3, 5–12, 15, 16, 18, 20, 21, 23 · ПР-15 (преобразования со степенями с целым показателем) → 4, 6–9, 11, 17–19, 21, 22 · ПР-4 (сравнение, округление, вычисления) → 6, 7, 13–16, 20 · ПР-13 (задачи из практики и смежных предметов) → 6–16, 20, 23 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	определение и свойства степени — ALG8U-106, ALG8U-109, ALG8U-112; стандартный вид числа — ALG8U-107, ALG8U-110, ALG8U-113; новый материал по R07.3 — ALG8U-108
Время	теория 14 мин (слайды 1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15) · практика 31 мин (69 %): разминки, «образец → сам» после каждого из пяти типов, найди ошибку, самопроверка база и повышенный, закрепление, самостоятельная в двух вариантах, ОГЭ
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Размеры объектови длительность процессовв окружающем мире

От атома до галактики — в степенях десяти

Записывать

Вычислять

Оценивать

Анализировать точность

Приставки — это степени десяти

Степени десяти: умножаем, делим, возводим

Порядок величины — показатель степени

Во сколько раз Солнце больше Земли?

Во сколько раз больше?

Квадрат и куб единицы — квадрат и куб степени

Переведите единицы площади и объёма

Шкала времени: от наносекунды до возраста Земли

Сколько идёт свет от Солнца до Земли?

Сколько времени займёт путь?

Сколько раз сердце ударит за 80 лет?

Сначала прикидка, потом точный ответ

Что скрывает запись 3,8·10⁵ км?

Границы и погрешность приближённых данных

Найдите ошибку — и исправьте

Сложение: показатели не складывают

Ответ не в стандартном виде

Площадь: множитель — в квадрат

Деление: знак показателя

Вычислите, ответ — в стандартном виде

Вычислите и решите

Решите, ответ — в стандартном виде

Два варианта · ответ — в стандартном виде

Вариант 1

Вариант 2

Задание как в ОГЭ · линия 8

Подсказка-план

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-111 · Практикум: размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире

Размеры объектов
и длительность процессов
в окружающем мире