Степени · урок 5 из 14 · практикум

Стандартный вид числа:
действия, порядок,
число цифр

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-110

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 5/14, единица R07.2 «Стандартный вид числа». Тип — П (практикум). Новый материал был на уроке ALG8U-107.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 3 (сл. 3–4) · тип 1: образцы 2 + «сам» 2 (сл. 5–7) · тип 2: образец 2 + «образец → сам» 3 (сл. 8–9) · тип 3: 1 + 2 (сл. 10–11) · тип 4: 2 + 2 (сл. 12–13) · тип 5: 2 + 2 (сл. 14–15) · тип 6: 2 + 1 (сл. 16–17) · карта действий 1 (сл. 18) · самопроверка 3 (сл. 19) · найди ошибку 2 (сл. 20) · задачи из жизни 2 (сл. 21) · закрепление 3 (сл. 22) · самостоятельная работа 4 (сл. 23) · ОГЭ 1 (сл. 24) · итог и ДЗ 1 (сл. 25).
Теория (14 мин): сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 — все образцы, правила, доказательство и сводка сохранены полностью; «Ваша очередь» на этих слайдах — короткая проверка понимания перед слайдом «сам».
Если класс слабее — сл. 16–17 (порядок произведения) показать кратко, задание 5 со сл. 22 перенести в ДЗ, сэкономленное время отдать самостоятельной работе.

R07.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать в стандартном виде

большие и малые числа — через $a \cdot 1 0^{n}$ , $1 \leq a < 10$ (ПР-5)

Выполнять действия

умножать, делить, возводить в степень числа в стандартном виде (ПР-15)

Складывать и сравнивать

приводить числа к одному порядку (ПР-5, ПР-15)

Оценивать результат

предсказывать порядок ответа и число цифр без вычислений (ПР-15)

разминка

Разминка · устно

Степени десяти — в уме

1 0^{3} \cdot 1 0^{- 5}

1 0^{- 2}

1 0^{- 4} : 1 0^{2}

1 0^{- 6}

(1 0^{- 3})^{2}

1 0^{- 6}

2^{3} \cdot 5^{3}

1000

1 0^{- 2}

десятичной дробью

0, 01

0, 001

степенью 10

1 0^{- 3}

3, 6 \cdot 100

360

4, 5 : 1000

0, 0045

R07.2 · повторение

Вспомним · устно

Стандартный вид: $a \cdot 1 0^{n}$ , где $1 \leq a < 10$ , $n \in Z$

3, 5 \cdot 1 0^{4}

0, 7 \cdot 1 0^{- 2}

12 \cdot 1 0^{3}

1 \cdot 1 0^{- 6}

10 \cdot 1 0^{2}

R07.2

Тип 1 · запись в стандартном виде · образец

Считаем прыжки запятой

влево на

k

→

1 0^{k}

; вправо на

k

→

1 0^{- k}

Ваша очередь:

0, 000906

;

72000000000

R07.2

Тип 1 · множитель вне $[1; 10)$ · образец

Нормализация: множитель и порядок — как качели

множитель больше 10

47 \cdot 1 0^{6} = 4, 7 \cdot 1 0^{1} \cdot 1 0^{6} = 4, 7 \cdot 1 0^{7}

множитель меньше 1

0, 35 \cdot 1 0^{- 4} = 3, 5 \cdot 1 0^{- 1} \cdot 1 0^{- 4} = 3, 5 \cdot 1 0^{- 5}

два шага сразу

0, 0062 \cdot 1 0^{9} = 6, 2 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 1 0^{9} = 6, 2 \cdot 1 0^{6}

Ваша очередь: $250 \cdot 1 0^{- 7}$ , $0, 08 \cdot 1 0^{3}$

R07.2

Сам · тип 1

Запишите в стандартном виде

450000

4, 5 \cdot 1 0^{5}

0, 0072

7, 2 \cdot 1 0^{- 3}

93000000

9, 3 \cdot 1 0^{7}

0, 00005

5 \cdot 1 0^{- 5}

38 \cdot 1 0^{4}

3, 8 \cdot 1 0^{5}

0, 6 \cdot 1 0^{- 3}

6 \cdot 1 0^{- 4}

520 \cdot 1 0^{- 8}

5, 2 \cdot 1 0^{- 6}

0, 014 \cdot 1 0^{6}

1, 4 \cdot 1 0^{4}

R07.2

Тип 2 · умножение и деление · образец

Множители — отдельно, степени 10 — отдельно

деление: те же три шага

\frac{2 , 4 \cdot 1 0 ^{- 3}}{8 \cdot 1 0 ^{5}} = 0, 3 \cdot 1 0^{- 8} = 3 \cdot 1 0^{- 9}

Ваша очередь

$(2, 5 \cdot 1 0^{- 6}) \cdot (4 \cdot 1 0^{9})$
$(6 \cdot 1 0^{4}) : (1, 2 \cdot 1 0^{- 3})$

R07.2

Образец → сам · тип 2

Умножьте и разделите — три шага

Образец

(4 \cdot 1 0^{- 5}) \cdot (3, 5 \cdot 1 0^{8})

1. множители: $4 \cdot 3, 5 = 14$

2. степени: $1 0^{- 5} \cdot 1 0^{8} = 1 0^{3}$

3. нормализуем:

14 \cdot 1 0^{3} = 1, 4 \cdot 1 0^{4}

Сам

$(2 \cdot 1 0^{3}) \cdot (4, 5 \cdot 1 0^{- 7})$ $9 \cdot 1 0^{- 4}$
$(8 \cdot 1 0^{6}) \cdot (5 \cdot 1 0^{- 2})$ $4 \cdot 1 0^{5}$
$(9 \cdot 1 0^{- 4}) : (3 \cdot 1 0^{2})$ $3 \cdot 1 0^{- 6}$
$(1, 2 \cdot 1 0^{5}) : (4 \cdot 1 0^{- 3})$ $3 \cdot 1 0^{7}$

R07.2

Тип 3 · возведение в степень · образец

$(a \cdot 1 0^{n})^{k} = a^{k} \cdot 1 0^{nk}$

объём кубика с ребром 2 мм

(2 \cdot 1 0^{- 3})^{3} = 8 \cdot 1 0^{- 9} м^{3}

после возведения — снова нормализуем

(5 \cdot 1 0^{4})^{3} = 125 \cdot 1 0^{12} = 1, 25 \cdot 1 0^{14}

Ваша очередь: $(3 \cdot 1 0^{- 2})^{4}$ , $(4 \cdot 1 0^{5})^{2} \cdot (5 \cdot 1 0^{- 8})$

R07.2

Образец → сам · тип 3

Возведите в степень и нормализуйте

Образец

(4 \cdot 1 0^{- 2})^{3}

множитель в куб, показатель умножаем на 3:

= 64 \cdot 1 0^{- 6}

= 6, 4 \cdot 1 0^{- 5}

Сам

$(3 \cdot 1 0^{4})^{2}$ $9 \cdot 1 0^{8}$
$(2 \cdot 1 0^{- 3})^{4}$ $1, 6 \cdot 1 0^{- 11}$
$(5 \cdot 1 0^{- 2})^{3}$ $1, 25 \cdot 1 0^{- 4}$
$(1, 5 \cdot 1 0^{3})^{2} \cdot (4 \cdot 1 0^{- 5})$ $9 \cdot 1 0^{1}$

R07.2

Тип 4 · сложение и сравнение · образец

Складывать можно только при одном порядке

3, 2 \cdot 1 0^{5} + 4, 5 \cdot 1 0^{4} = 3, 2 \cdot 1 0^{5} + 0, 45 \cdot 1 0^{5} = 3, 65 \cdot 1 0^{5}

Сравнение: сначала порядки, при равных — множители

$7, 1 \cdot 1 0^{- 5} \lor 9 \cdot 1 0^{- 6}$
$- 5 > - 6 \Rightarrow 7, 1 \cdot 1 0^{- 5} > 9 \cdot 1 0^{- 6}$

2 мин · теория
Число с меньшим порядком переписываем под больший порядок: $4, 5 \cdot 1 0^{4} = 0, 45 \cdot 1 0^{5}$ — это «выравнивание столбиком» (полосы на рисунке).
Вопрос: почему при сравнении порядок важнее множителя? Потому что $a < 10$ : любое число порядка $- 6$ меньше $1 0^{- 5}$ , а число порядка $- 5$ не меньше $1 0^{- 5}$ .
Задание устно: $6, 4 \cdot 1 0^{- 3} - 5 \cdot 1 0^{- 4}$ (ответ $5, 9 \cdot 1 0^{- 3}$ ); расположить по возрастанию $2, 3 \cdot 1 0^{6}$ , $9, 8 \cdot 1 0^{5}$ , $1, 02 \cdot 1 0^{6}$ (ответ $9, 8 \cdot 1 0^{5} < 1, 02 \cdot 1 0^{6} < 2, 3 \cdot 1 0^{6}$ ).
Ошибка: $2 \cdot 1 0^{5} + 3 \cdot 1 0^{4} = 5 \cdot 1 0^{9}$ — сложили как при умножении.

R07.2

Образец → сам · тип 4

Приведите к одному порядку

Образец

5, 2 \cdot 1 0^{- 3} - 8 \cdot 1 0^{- 4}

$8 \cdot 1 0^{- 4} = 0, 8 \cdot 1 0^{- 3}$ :

= 5, 2 \cdot 1 0^{- 3} - 0, 8 \cdot 1 0^{- 3}

= 4, 4 \cdot 1 0^{- 3}

Сам

$4 \cdot 1 0^{6} + 3 \cdot 1 0^{5}$ $4, 3 \cdot 1 0^{6}$
$7, 5 \cdot 1 0^{- 2} + 2, 5 \cdot 1 0^{- 3}$ $7, 75 \cdot 1 0^{- 2}$
$9, 6 \cdot 1 0^{8} + 4 \cdot 1 0^{7}$ $1 \cdot 1 0^{9}$
$8, 3 \cdot 1 0^{- 4} \lor 1, 2 \cdot 1 0^{- 3}$ $<$

R07.2 · углублённо

Тип 5 · сколько цифр? · образец

Соберите пары $2 \cdot 5 = 10$

2^{18} \cdot 5^{20} = (2 \cdot 5)^{18} \cdot 5^{2} = 25 \cdot 1 0^{18} = 2, 5 \cdot 1 0^{19}

порядок

n \geq 0

→ в записи

n + 1

цифра до запятой

\frac{1}{2 ^{10} \cdot 5 ^{12}} = \frac{1}{25 \cdot 1 0 ^{10}} = 4 \cdot 1 0^{- 12}

→ 11 нулей после запятой

R07.2 · углублённо

Образец → сам · тип 5

Сколько цифр в записи числа?

Образец

2^{9} \cdot 5^{11}

пары $2 \cdot 5$ : $(2 \cdot 5)^{9} \cdot 5^{2}$

= 25 \cdot 1 0^{9}

«25» и 9 нулей → 11 цифр

Сам

$2^{10} \cdot 5^{10}$ 11 цифр
$2^{7} \cdot 5^{9}$ 9 цифр
$2^{15} \cdot 5^{12}$ 13 цифр
$4^{5} \cdot 5^{12}$ 12 цифр

R07.2 · углублённо

Тип 6 · прикидка · доказываем

Порядок произведения: $n + m$ или $n + m + 1$

1 \leq a < 10, 1 \leq b < 10 \Rightarrow 1 \leq ab < 100

Прикидка:

(6, 1 \cdot 1 0^{7}) (2, 9 \cdot 1 0^{- 3}) \approx 6 \cdot 3 \cdot 1 0^{4} = 1, 8 \cdot 1 0^{5}

(точно

1, 769 \cdot 1 0^{5}

)

2 мин · теория
Доказательство: перемножаем почленно верные неравенства с положительными частями $1 \leq a < 10$ и $1 \leq b < 10$ , получаем $1 \leq ab < 100$ . Тогда $(a \cdot 1 0^{n}) (b \cdot 1 0^{m}) = ab \cdot 1 0^{n + m}$ , и при $ab \geq 10$ нормализация добавляет 1 к порядку.
Вопрос: какой порядок у частного $\frac{a \cdot 1 0 ^{n}}{b \cdot 1 0 ^{m}}$ ? Так как $0, 1 < \frac{a}{b} < 10$ , порядок $n - m$ при $a \geq b$ и $n - m - 1$ при $a < b$ . Проверка на сл. 8: $2, 4 < 8$ , порядок $- 3 - 5 - 1 = - 9$ — верно.
Прикидка нужна для самопроверки: если в ответе вышел порядок 3 или 7 — ошибка в показателях. Точно: $6, 1 \cdot 2, 9 = 17, 69$ , $17, 69 \cdot 1 0^{4} = 1, 769 \cdot 1 0^{5}$ .

R07.2 · углублённо

Сам · тип 6 · устно

Порядок результата — без вычислений

(2 \cdot 1 0^{5}) (3 \cdot 1 0^{4})

n = 9

(5 \cdot 1 0^{- 3}) (4 \cdot 1 0^{7})

n = 5

(7 \cdot 1 0^{6}) (8 \cdot 1 0^{- 2})

n = 5

\frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{6 \cdot 1 0 ^{2}}

n = 5

R07.2

Сводка · карта действий

Четыре действия — четыре правила

действие	правило	пример
умножение	$ab \cdot 1 0^{n + m}$	$(3 \cdot 1 0^{4}) (4 \cdot 1 0^{- 7}) = 1, 2 \cdot 1 0^{- 2}$
деление	$\frac{a}{b} \cdot 1 0^{n - m}$	$\frac{9 \cdot 1 0 ^{2}}{3 \cdot 1 0 ^{- 5}} = 3 \cdot 1 0^{7}$
степень	$a^{k} \cdot 1 0^{nk}$	$(2 \cdot 1 0^{- 5})^{2} = 4 \cdot 1 0^{- 10}$
сложение	к одному порядку	$5 \cdot 1 0^{3} + 7 \cdot 1 0^{2} = 5, 7 \cdot 1 0^{3}$

R07.2

Задания с самопроверкой

База, повышенный, углублённый

база $\frac{6 \cdot 1 0 ^{- 2}}{1 , 5 \cdot 1 0 ^{- 6}}$ $4 \cdot 1 0^{4}$
база $(2, 5 \cdot 1 0^{3}) \cdot (6 \cdot 1 0^{- 8})$ $1, 5 \cdot 1 0^{- 4}$
повыш. $\frac{( 6 \cdot 1 0 ^{4} ) ^{2}}{9 \cdot 1 0 ^{- 2}}$ $4 \cdot 1 0^{10}$
повыш.По возрастанию: $4 \cdot 1 0^{- 5}$ , $3, 9 \cdot 1 0^{- 4}$ , $0, 5 \cdot 1 0^{- 4}$ 1-е, 3-е, 2-е
угл.Сколько цифр в записи числа $2 5^{7} \cdot 2^{16}$ ? 15

R07.2

Осторожно · типичные ошибки

Найдите ошибку

1. Знак порядка

$0, 0042 = 4, 2 \cdot 1 0^{3}$

$0, 0042 = 4, 2 \cdot 1 0^{- 3}$

2. Степень только у 10

$(3 \cdot 1 0^{4})^{2} = 3 \cdot 1 0^{8}$

$(3 \cdot 1 0^{4})^{2} = 9 \cdot 1 0^{8}$

3. Сложение как умножение

$2 \cdot 1 0^{5} + 3 \cdot 1 0^{4} = 5 \cdot 1 0^{9}$

$= 2, 3 \cdot 1 0^{5}$

4. Забыли нормализовать

$(5 \cdot 1 0^{3}) (4 \cdot 1 0^{2}) = 20 \cdot 1 0^{5}$

$= 2 \cdot 1 0^{6}$

R07.2 · практика

Задачи из жизни

Большие и малые величины

космосМасса Земли $6 \cdot 1 0^{24}$ кг, масса Луны $7, 35 \cdot 1 0^{22}$ кг. Во сколько раз Земля тяжелее Луны? ≈ в 82 раза
бытТолщина листа бумаги $1 \cdot 1 0^{- 4}$ м. Какова толщина пачки из $5 \cdot 1 0^{2}$ листов? $5 \cdot 1 0^{- 2}$ м = 5 см
биологияДиаметр эритроцита $7, 5 \cdot 1 0^{- 6}$ м. Сколько эритроцитов уложится в ряд на отрезке 3 см? $4 \cdot 1 0^{3}$

R07.2

Закрепление · в тетради

Решите

базаВ стандартном виде: $0, 00063$ ; $5400000$ ; $0, 48 \cdot 1 0^{- 3}$
база $(1, 5 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot (6 \cdot 1 0^{9})$ ; $(7, 2 \cdot 1 0^{3}) : (9 \cdot 1 0^{- 5})$
повыш. $(4 \cdot 1 0^{- 3})^{3} \cdot (2, 5 \cdot 1 0^{7})$ $1, 6$

повыш.Сравните $3, 1 \cdot 1 0^{- 7} + 9 \cdot 1 0^{- 8}$ и $4 \cdot 1 0^{- 7}$ равны
угл.Сколько цифр в записи числа $4^{12} \cdot 5^{25}$ ? 25
практикаСвет проходит $3 \cdot 1 0^{8}$ м за 1 с. За сколько секунд он дойдёт от Солнца ( $1, 5 \cdot 1 0^{11}$ м)? 500 с

R07.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$0, 00084$ — в стандартном виде $8, 4 \cdot 1 0^{- 4}$
$(3 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot (7 \cdot 1 0^{9})$ $2, 1 \cdot 1 0^{6}$
$(2 \cdot 1 0^{- 2})^{3} : (4 \cdot 1 0^{- 9})$ $2000$
$6, 2 \cdot 1 0^{5} + 3, 8 \cdot 1 0^{4}$ $6, 58 \cdot 1 0^{5}$

Вариант 2

$57000000$ — в стандартном виде $5, 7 \cdot 1 0^{7}$
$(4 \cdot 1 0^{6}) \cdot (6 \cdot 1 0^{- 11})$ $2, 4 \cdot 1 0^{- 4}$
$(3 \cdot 1 0^{- 3})^{2} : (1, 8 \cdot 1 0^{- 8})$ $500$
$4, 7 \cdot 1 0^{- 3} + 5, 3 \cdot 1 0^{- 4}$ $5, 23 \cdot 1 0^{- 3}$

R07.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · задание 8

Найдите значение выражения

\frac{( 4 \cdot 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{8 \cdot 1 0 ^{- 9}}

1. Степень

$(4 \cdot 1 0^{- 3})^{2} = 16 \cdot 1 0^{- 6}$

2. Деление

$\frac{16}{8} \cdot 1 0^{- 6 - (- 9)} = 2 \cdot 1 0^{3}$

3. Ответ числом

в бланк — без степеней

R07.2

Итог урока · домашнее задание

Что стало ясно?

Какое действие самое коварное — и почему?

Как без вычислений узнать порядок произведения?

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Домашнее задание

базаВ стандартном виде: $0, 00072 \cdot 1 0^{5}$
повыш. $(8 \cdot 1 0^{- 4})^{2} : (1, 6 \cdot 1 0^{- 5})$
угл.Сколько цифр у $8^{10} \cdot 5^{28}$ ?

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-110 · Практикум: Стандартный вид числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 5/14 · тип П (практикум по единице R07.2; новый материал — ALG8U-107)
Единицы → слайды	R07.2 «Стандартный вид числа» → 3–25 (сл. 14–17 — углублённые приёмы в пределах единицы); теория — сл. 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18; практика — сл. 3, 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19–25
Результаты	ПР-5 (записи больших и малых чисел через степени 10) → 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 21, 22, 23 · ПР-15 (преобразования выражений со степенями с целым показателем) → 3, 8–11, 14–20, 22–24
Вне урока	свойства степени с целым показателем системно — ALG8U-109, ALG8U-112; размеры объектов и длительность процессов — ALG8U-108, ALG8U-111; приближения и округление — далее по строке
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Стандартный вид числа:действия, порядок,число цифр

Сегодня вы научитесь

Записывать в стандартном виде

Выполнять действия

Складывать и сравнивать

Оценивать результат

Степени десяти — в уме

Стандартный вид: a⋅10n, где 1≤a<10, n∈Z

Считаем прыжки запятой

Нормализация: множитель и порядок — как качели

Запишите в стандартном виде

Множители — отдельно, степени 10 — отдельно

Ваша очередь

Умножьте и разделите — три шага

Образец

Сам

(a⋅10n)k=ak⋅10nk

Возведите в степень и нормализуйте

Образец

Сам

Складывать можно только при одном порядке

Приведите к одному порядку

Образец

Сам

Соберите пары 2⋅5=10

Сколько цифр в записи числа?

Образец

Сам

Порядок произведения: n+m или n+m+1

Порядок результата — без вычислений

Четыре действия — четыре правила

База, повышенный, углублённый

Найдите ошибку

1. Знак порядка

2. Степень только у 10

3. Сложение как умножение

4. Забыли нормализовать

Большие и малые величины

Решите

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Найдите значение выражения

1. Степень

2. Деление

3. Ответ числом

Что стало ясно?

Домашнее задание

ALG8U-110 · Практикум: Стандартный вид числа

Стандартный вид числа:
действия, порядок,
число цифр

Стандартный вид: $a \cdot 1 0^{n}$ , где $1 \leq a < 10$ , $n \in Z$

$(a \cdot 1 0^{n})^{k} = a^{k} \cdot 1 0^{nk}$

Соберите пары $2 \cdot 5 = 10$

Порядок произведения: $n + m$ или $n + m + 1$