Степени · урок 4 из 14 · практикум

Практикум:
степень с целым
показателем

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-109

1 мин · теория
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 4/14, единица R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства». Тип П (практикум). Новый материал: ALG8U-106 (определение и свойства), 107 (стандартный вид), 108 (размеры объектов). Следующий урок ALG8U-110 — практикум «Стандартный вид числа».
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · устная разминка 3 (сл. 3, практика) · повторение свойств 3 (сл. 4, теория) · образцы типов 1–4 — 8 (сл. 5, 8, 11, 14, теория, по 2 мин) · «решите сами» 11 (сл. 6, 9, 12, 15, практика) · самопроверка по типам 6 (сл. 7, 10, 13) · найди ошибку 2 (сл. 16) · задания с самопроверкой 3 (сл. 17) · ОГЭ 1 (сл. 18) · самостоятельная работа 5 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 20).
Рисунок: каждый шаг вправо — деление на 2: $2^{3}, 2^{2}, 2^{1}, 2^{0}, 2^{- 1}, 2^{- 2}$ . Это и есть смысл отрицательного показателя.

R07.1

Цели практикума

Четыре типа заданий — четыре умения

1Вычислять

сводя все степени к одному основанию: $9^{- 4} = 3^{- 8}$ (ПР-15)

2Упрощать

одночлены — «бухгалтерия показателей» по каждой букве (ПР-15)

3Не путать

$a^{- 1} + b^{- 1}$ — это дроби, а не $(a + b)^{- 1}$ (ПР-15, ПР-12)

4Сравнивать

степени и определять знак без вычислений (ПР-15)

1 мин · теория
ПР-15: «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений» (тип 3 опирается на строку R04).
Виды деятельности ФРП: «Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать примерами свойства степени с целым показателем. Применять свойства степени для преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
Каждый тип: образец по шагам (учитель) → «решите сами» → самопроверка по клику.

повторение: ALG8U-106

Разминка · устно

Ответьте быстро

1

2^{- 1} = ?

\frac{1}{2}

2

1 0^{- 3} = ?

0, 001

3

(- 5)^{0} = ?

1

4

(\frac{1}{3})^{- 2} = ?

9

5

0, 5^{- 3} = ?

8

6

4^{- 1} \cdot 4^{3} = ?

16

7

\frac{1}{16}

— степень числа 2?

2^{- 4}

8Знак

(- 2)^{- 3}

?«−»:

- \frac{1}{8}

повторение: ALG8U-106

Повторение · определение и свойства

Лестница степеней и пять свойств

Свойство	Пример
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$5^{- 7} \cdot 5^{9} = 25$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$3^{- 2} : 3^{- 5} = 27$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(2^{- 2})^{- 3} = 64$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 \cdot 5)^{- 2} = 0, 01$
$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$	$(\frac{2}{3})^{- 2} = \frac{9}{4}$

3 мин · теория
Учитель показывает, класс подсказывает примеры. Сначала лестница: «Как получить следующую ступеньку?» — делением на 2. Продолжаем вниз: $2^{0} = 1$ , $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ — определение не «придумано», а продолжает закономерность.
Примеры: 5^(−7+9) = 5² = 25; 3^(−2−(−5)) = 3³ = 27; 2^((−2)(−3)) = 2⁶ = 64; 10^(−2) = 0,01; (3/2)² = 9/4.
Вопрос: почему $a \neq = 0$ ? $0^{- 1} = \frac{1}{0}$ — не имеет смысла. Выражение $0^{0}$ тоже не определено.
Ошибка: « $2^{- 1} = - 2$ » — путают отрицательный показатель с отрицательным числом.

R07.1 · тип 1

Тип 1 · образец · вычисление

Найдите значение $\frac{9 ^{- 4} \cdot 2 7 ^{3}}{3 ^{- 2}}$

R07.1 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Одно основание — и считаем показатели

а) $\frac{4 ^{- 3} \cdot 8 ^{2}}{2 ^{- 5}}$

\frac{2 ^{- 6} \cdot 2 ^{6}}{2 ^{- 5}}

2^{5} = 32

б) $\frac{2 5 ^{- 2} \cdot 12 5 ^{3}}{5 ^{4}}$

\frac{5 ^{- 4} \cdot 5 ^{9}}{5 ^{4}}

5^{1} = 5

в) $(0, 2)^{- 3} \cdot 2 5^{- 1} \cdot 5^{- 2}$

5^{3} \cdot 5^{- 2} \cdot 5^{- 2}

0, 2 = \frac{1}{5} = 5^{- 1}

5^{- 1} = 0, 2

Десятичная дробь — тоже степень:

0, 2 = 5^{- 1}, 0, 25 = 2^{- 2}, 0, 01 = 1 0^{- 2}

R07.1 · тип 1

Тип 1 · задания с самопроверкой

Вычислите

база $\frac{2 ^{- 3} \cdot 4 ^{2}}{8 ^{- 1}}$ $2^{- 3 + 4 + 3} = 2^{4} = 16$
база $2 7^{- 2} \cdot 9^{4}$ $3^{- 6} \cdot 3^{8} = 3^{2} = 9$

повыш. $\frac{6 ^{- 3} \cdot 2 ^{5}}{3 ^{- 4} \cdot 4 ^{2}}$ $2^{- 2} \cdot 3^{1} = \frac{3}{4} = 0, 75$
повыш. $(0, 25)^{- 2} \cdot 8^{- 3} \cdot 16$ $2^{4} \cdot 2^{- 9} \cdot 2^{4} = 2^{- 1} = 0, 5$

R07.1 · тип 2

Тип 2 · образец · упрощение

Упростите $(\frac{2 a ^{- 3}}{b ^{2}})^{- 2} \cdot 4 a^{- 5} b^{- 7}$

множитель	число	$a$	$b$
$(2 a^{- 3} b^{- 2})^{- 2}$	$2^{- 2}$	$6$	$4$
$4 a^{- 5} b^{- 7}$	$2^{2}$	$- 5$	$- 7$
итог (сумма)	$2^{0} = 1$	$1$	$- 3$

= a^{1} b^{- 3} = \frac{a}{b ^{3}}

при

a = 0, 5, b = - 0, 5

:

\frac{0 , 5}{- 0 , 125} = - 4

Степень произведения — каждому множителю, и числу тоже

2 мин · теория
«Бухгалтерия показателей»: для каждой буквы — свой столбец; степень в степень — умножаем, произведение — складываем.
Первый множитель: 2a⁻³/b² = 2a⁻³b⁻²; в степени −2: 2⁻², a^((−3)(−2)) = a⁶, b^((−2)(−2)) = b⁴.
Проверка числом при a = 0,5, b = −0,5: 2a⁻³ = 2 · 8 = 16; b² = 0,25; 16/0,25 = 64; 64⁻² = 1/4096. 4a⁻⁵ = 4 · 32 = 128; b⁻⁷ = (−2)⁷ = −128; 128 · (−128) = −16384; −16384/4096 = −4 ✓.
Ошибка: возводят в −2 только буквы, а число 2 оставляют: получают лишний множитель 2·4 = 8.

R07.1 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Упростите и найдите значение

а) $\frac{( x ^{- 2} y ) ^{3}}{x ^{- 4} y ^{- 1}}$ при $x = 0, 25, y = 0, 5$

\frac{x ^{- 6} y ^{3}}{x ^{- 4} y ^{- 1}} = x^{- 2} y^{4}

= \frac{y ^{4}}{x ^{2}} = \frac{0 , 0625}{0 , 0625}

= 1

б) $(3 m^{- 2} n^{3})^{- 2} \cdot 9 m^{- 3} n^{5}$
при $m = 0, 5, n = - 2$

3^{- 2} m^{4} n^{- 6} \cdot 9 m^{- 3} n^{5}

= m n^{- 1} = \frac{m}{n}

\frac{0 , 5}{- 2} = - 0, 25

R07.1 · тип 2

Тип 2 · задания с самопроверкой

Упростите

база $a^{- 3} \cdot a^{7} : a^{2}$ $a^{2}$
база $(x^{- 2})^{3} \cdot x^{8}$ $x^{2}$

повыш. $\frac{( 2 a ^{- 1} b ^{2} ) ^{3}}{4 a ^{- 5} b ^{4}}$ $2 a^{2} b^{2}$
повыш. $(\frac{x ^{- 3}}{3 y ^{2}})^{- 2} \cdot \frac{y ^{- 3}}{9 x ^{6}}$ $y$

R07.1 · тип 3

Тип 3 · образец · сумма степеней

Упростите $\frac{a ^{- 1} + b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}}$

= \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a ^{2}} - \frac{1}{b ^{2}}} = \frac{\frac{a + b}{ab}}{\frac{b ^{2} - a ^{2}}{a ^{2} b ^{2}}}

переходим к дробям

= \frac{( a + b ) \cdot a ^{2} b ^{2}}{ab ( b - a ) ( b + a )}

= \frac{ab}{b - a}

a \neq = 0, b \neq = 0, a \neq = \pm b

2 мин · теория
Главное: свойства степени работают для произведения и частного, но не для суммы. Сумму степеней с отрицательным показателем переписываем дробями и работаем как в строке R04.
Контрпример к ловушке: a = 1, b = 1: a⁻¹ + b⁻¹ = 2, а (a + b)⁻¹ = 0,5.
Допустимые значения: a ≠ 0, b ≠ 0 (иначе a⁻¹, b⁻¹ не определены), знаменатель a⁻² − b⁻² ≠ 0 ⇔ a² ≠ b² ⇔ a ≠ ±b.
Ошибка: « $\frac{a ^{- 1} + b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a + b}$ » — «перевернули» показатели почленно, это неверно.

R07.1 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Переходим к дробям — упрощаем

а) $\frac{x ^{- 1} - y ^{- 1}}{x ^{- 1} y ^{- 1}}$

\frac{y - x}{x y} \cdot x y

= y - x

б) $\frac{1 + x ^{- 1}}{1 - x ^{- 2}}$

\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{x}{x - 1}

x \neq = 0, x \neq = \pm 1

в) $(a^{- 1} + b^{- 1})^{- 1}$

(\frac{a + b}{ab})^{- 1}

= \frac{ab}{a + b}

a, b \neq = 0, a \neq = - b

R07.1 · тип 3

Тип 3 · задания с самопроверкой

Перейдите к дробям и упростите

база $x^{- 1} + x^{- 2}$ $\frac{x + 1}{x ^{2}}$
база $\frac{a ^{- 1}}{a ^{- 1} + 1}$ $\frac{1}{a + 1}$

повыш. $\frac{a ^{- 2} - 4}{a ^{- 1} + 2}$ $a^{- 1} - 2 = \frac{1 - 2 a}{a}$
повыш. $(x^{- 1} - y^{- 1}) (x - y)^{- 1}$ $- \frac{1}{x y}$

R07.1 · тип 4

Тип 4 · образец · сравнение и знак

Сравните $5^{- 12}$ и $2 5^{- 7}$ ; знак $(- 3)^{- 5}$

2 5^{- 7} = 5^{- 14}

\frac{1}{5 ^{12}} > \frac{1}{5 ^{14}}

больше знаменатель — меньше дробь

5^{- 12} > 2 5^{- 7}

(- 3)^{- 5} = \frac{1}{( - 3 ) ^{5}} < 0

нечётный показатель — знак основания

2 мин · теория
Приём сравнения: привести к одному основанию (или к одному показателю). При основании больше 1 с ростом показателя степень растёт (розовые точки), при основании от 0 до 1 — убывает (синие).
Рисунок — только точки: показатель целый, «кривую» между ними строить пока нельзя.
Знак: при a > 0 любая степень положительна; при a < 0 знак зависит от чётности показателя: (−3)⁻⁴ > 0, (−3)⁻⁵ < 0.
Ошибка: «5⁻¹² < 5⁻¹⁴, потому что −12 < −14» — неверно: −12 > −14, и 5⁻¹² больше.

R07.1 · тип 4

Тип 4 · решите сами

Показатель, сравнение, знак

а) $(\frac{2}{3})^{n} = \frac{27}{8}$ ; $n$ — ?

(\frac{3}{2})^{3} = (\frac{2}{3})^{- 3}

n = - 3

б) Сравните $2^{- 30}$ и $3^{- 20}$

8^{- 10}

и

9^{- 10}

общий показатель

- 10

2^{- 30} > 3^{- 20}

в) Знак $(- 0, 7)^{- 4} \cdot (- 2)^{- 3}$

(+) \cdot (-)

чётный · нечётный

< 0

R07.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$2^{- 3} = - 8$	знак показателя ≠ знак числа	$\frac{1}{8}$
$3 a^{- 2} = \frac{1}{3 a ^{2}}$	показатель только у $a$	$\frac{3}{a ^{2}}$
$(2 x^{- 3})^{- 2} = 2 x^{6}$	число не возвели	$\frac{x ^{6}}{4}$
$(a + b)^{- 1} = a^{- 1} + b^{- 1}$	свойства — не для суммы	$\frac{1}{a + b}$
$(\frac{2}{5})^{- 2} = - \frac{4}{25}$	дробь не перевернули	$\frac{25}{4}$

R07.1

Задания с самопроверкой · все четыре типа

Шесть заданий от базы к исследованию

базаВычислите $\frac{3 ^{- 7} \cdot 9 ^{4}}{2 7 ^{- 1}}$ . $81$
базаУпростите $\frac{a ^{- 5} \cdot ( a ^{2} ) ^{- 3}}{a ^{- 12}}$ . $a$
повыш.Упростите $(0, 5 x^{- 2} y^{3})^{- 2} \cdot \frac{y ^{5}}{4 x ^{3}}$ . $\frac{x}{y}$
повыш.Упростите $\frac{a ^{- 2} - b ^{- 2}}{a ^{- 1} - b ^{- 1}}$ . $\frac{a + b}{ab}$
практикаЛист толщиной $2^{- 13}$ м сложили пополам 10 раз. Какова толщина пачки? Сколько сложений дадут 1 м? $\frac{1}{8}$ м; $13$
повыш.Сравните $(\frac{1}{3})^{- 50}$ и $2^{75}$ . первое больше

Подсказки

4) разность квадратов

5) каждое сложение — $\cdot 2$

6) общий показатель $25$

3 мин · практика
Фронтально: ученик называет ответ, учитель открывает его кликом. При нехватке времени задания 5–6 — в ДЗ.
1) 3^(−7 + 8 + 3) = 3⁴ = 81. Проверка: 9⁴ = 6561, 3⁻⁷ = 1/2187 → 3; 3 · 27 = 81 ✓.
2) a^(−5 − 6 + 12) = a (a ≠ 0).
3) 0,5⁻² = 4; 4x⁴y⁻⁶ · y⁵/(4x³) = x y⁻¹ = x/y. Проверка x = 1, y = 2: (0,5 · 8)⁻² = 1/16; 32/4 = 8; 8/16 = 0,5 = 1/2 ✓.
4) $\frac{( b ^{2} - a ^{2} ) / ( a ^{2} b ^{2} )}{( b - a ) / ( ab )} = \frac{a + b}{ab}$ , a, b ≠ 0, a ≠ b. Проверка a = 1, b = 2: 0,75/0,5 = 1,5 = 3/2 ✓.
5) 2⁻¹³ · 2¹⁰ = 2⁻³ = 1/8 м = 12,5 см; 2⁻¹³ · 2ⁿ = 1 → n = 13 сложений. (2⁻¹³ м ≈ 0,12 мм — как обычная бумага.)
6) (1/3)⁻⁵⁰ = 3⁵⁰ = 9²⁵; 2⁷⁵ = 8²⁵ → (1/3)⁻⁵⁰ > 2⁷⁵.

R07.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени и корни)

Найдите значение выражения при $a = 2$

\frac{a ^{12} \cdot ( a ^{- 3} ) ^{5}}{a ^{- 6}}

Ответ — одно число в бланк. Сначала упростите, потом подставьте.

R07.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — по заданию каждого типа

Вариант 1

Вычислите $\frac{4 ^{- 2} \cdot 8 ^{3}}{2 ^{4}}$ $2$
Упростите $(2 x^{- 3} y)^{- 2} \cdot 8 x^{- 5} y^{3}$ $2 x y$
Упростите $\frac{a ^{- 1} - b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}}$ $\frac{ab}{a + b}$
Сравните $3^{- 20}$ и $5^{- 15}$ $3^{- 20} > 5^{- 15}$

Вариант 2

Вычислите $\frac{9 ^{- 2} \cdot 2 7 ^{3}}{3 ^{4}}$ $3$
Упростите $(3 a^{- 2} b)^{- 2} \cdot 9 a^{- 3} b^{4}$ $a b^{2}$
Упростите $\frac{x ^{- 2} - y ^{- 2}}{x ^{- 1} + y ^{- 1}}$ $\frac{y - x}{x y}$
Сравните $2^{- 40}$ и $3^{- 24}$ $2^{- 40} < 3^{- 24}$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) 2^(−4 + 9 − 4) = 2 (проверка: 512/16 = 32; 32/16 = 2 ✓); 2) 2⁻²x⁶y⁻² · 8x⁻⁵y³ = 2xy (проверка x = y = 1: 1/4 · 8 = 2 ✓); 3) ((b − a)/(ab)) : ((b² − a²)/(a²b²)) = ab/(a + b), a, b ≠ 0, a ≠ ±b (проверка a = 1, b = 2: 0,5/0,75 = 2/3 ✓); 4) 3⁻²⁰ = 81⁻⁵, 5⁻¹⁵ = 125⁻⁵, 81 < 125 ⇒ 3⁻²⁰ > 5⁻¹⁵ (≈ 2,9·10⁻¹⁰ и 3,3·10⁻¹¹ ✓).
Вариант 2: 1) 3^(−4 + 9 − 4) = 3 (проверка: 19683/81 = 243; 243/81 = 3 ✓); 2) 3⁻²a⁴b⁻² · 9a⁻³b⁴ = ab² (проверка a = b = 1: 1/9 · 9 = 1 ✓); 3) ((y² − x²)/(x²y²)) : ((x + y)/(xy)) = (y − x)/(xy), x, y ≠ 0, x ≠ −y (проверка x = 1, y = 2: 0,75/1,5 = 0,5 = 1/2 ✓); 4) 2⁻⁴⁰ = 32⁻⁸, 3⁻²⁴ = 27⁻⁸, 32 > 27 ⇒ 2⁻⁴⁰ < 3⁻²⁴ (≈ 9,1·10⁻¹³ и 3,5·10⁻¹² ✓).
Ответы открывать после сдачи / для взаимопроверки в парах. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $2^{- 1}$ положительно?
Как сравнить $2^{- 30}$ и $3^{- 20}$ ?
Почему $(a + b)^{- 1} \neq = a^{- 1} + b^{- 1}$ ?

Домашнее задание

Вычислите $\frac{1 6 ^{- 2} \cdot 8 ^{3}}{4 ^{- 1}}$ .
Упростите $\frac{x ^{- 2} + 2 x ^{- 1} y ^{- 1} + y ^{- 2}}{x ^{- 1} + y ^{- 1}}$ .
* Сравните $2^{- 100}$ и $5^{- 40}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

1 мин · практика
Ответы рефлексии: 2⁻¹ = 1/2 — дробь из положительных чисел; привести к общему показателю −10: 8⁻¹⁰ и 9⁻¹⁰; свойства степени — для произведения и частного, контрпример a = b = 1.
Ответы ДЗ: 1) 2⁻⁸ · 2⁹ : 2⁻² = 2³ = 8. Проверка: 512/256 = 2; 2 · 4 = 8 ✓.
2) Числитель — квадрат суммы: (x⁻¹ + y⁻¹)²; ответ x⁻¹ + y⁻¹ = (x + y)/(xy), x, y ≠ 0, x ≠ −y. Проверка x = 1, y = 2: (1 + 1 + 0,25)/1,5 = 1,5 = 3/2 ✓.
3*) 2⁻¹⁰⁰ = 32⁻²⁰, 5⁻⁴⁰ = 25⁻²⁰; 32²⁰ > 25²⁰ → 2⁻¹⁰⁰ < 5⁻⁴⁰.
Следующий урок ALG8U-110 — практикум «Стандартный вид числа»: там понадобятся действия со степенями 10.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-109 · Практикум: степень с целым показателем и ее свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 4/14 · тип П (практикум) · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства» → 1–20
Результаты	ПР-15 (понятие степени с целым показателем, преобразования выражений со степенями) → 2–20 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 11–13, 17, 19, 20 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	стандартный вид числа — ALG8U-110 (R07.2); размеры объектов и длительность процессов — ALG8U-111 (R07.3); степень с рациональным показателем — за пределами 8 класса
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:степень с целымпоказателем

Четыре типа заданий — четыре умения

1Вычислять

2Упрощать

3Не путать

4Сравнивать

Ответьте быстро

Лестница степеней и пять свойств

Найдите значение 3−29−4⋅273​

Одно основание — и считаем показатели

Вычислите

Упростите (b22a−3​)−2⋅4a−5b−7

Упростите и найдите значение

Упростите

Упростите a−2−b−2a−1+b−1​

Переходим к дробям — упрощаем

Перейдите к дробям и упростите

Сравните 5−12 и 25−7; знак (−3)−5

Показатель, сравнение, знак

Найдите ошибку

Шесть заданий от базы к исследованию

Подсказки

Найдите значение выражения при a=2

Два варианта — по заданию каждого типа

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-109 · Практикум: степень с целым показателем и ее свойства

Практикум:
степень с целым
показателем

Найдите значение $\frac{9 ^{- 4} \cdot 2 7 ^{3}}{3 ^{- 2}}$

Упростите $(\frac{2 a ^{- 3}}{b ^{2}})^{- 2} \cdot 4 a^{- 5} b^{- 7}$

Упростите $\frac{a ^{- 1} + b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}}$

Сравните $5^{- 12}$ и $2 5^{- 7}$ ; знак $(- 3)^{- 5}$

Найдите значение выражения при $a = 2$