Степени · урок 3 из 14

Размеры объектов
и длительность
процессов

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-108

Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 3/14, единица R07.3. Тип урока — Н.
1 мин · теория (оргмомент, тема)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Всего 45 мин.
Хронометраж: разминка 3 мин (сл. 3) · новый материал порциями «правило → сам»: теория сл. 2, 4, 6, 8, 10, 12–13, 15, 17–18 (13 мин), практика после каждого правила — сл. 5, 7, 9, 11, 14, 16, 19 (13 мин) · найди ошибку 2 (сл. 20) · задания с самопроверкой 7 (сл. 21–22) · самостоятельная работа 4 (сл. 23) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 24).
Опора — уроки ALG8U-106 (степень с целым показателем) и ALG8U-107 (стандартный вид числа).

R07.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Записывать реальные величины

большие и малые — степенями числа 10, с приставками СИ (ПР-5)

Вычислять со степенями

умножать, делить, возводить в степень числа в стандартном виде (ПР-15)

Прикидывать и округлять

оценивать порядок результата, точность приближения $π$ и корней (ПР-4)

Решать задачи из жизни

физика, астрономия, биология — через степени (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-5: «использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерений».
ПР-15: «применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем». ПР-4: «…для сравнения, округления и вычислений». ПР-13: «применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».

повторение: R07.1–R07.2

Разминка · устно

Стандартный вид и свойства степени

a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10, n \in Z

1 0^{m} \cdot 1 0^{n} = 1 0^{m + n}

1 0^{m} : 1 0^{n} = 1 0^{m - n}

(1 0^{m})^{n} = 1 0^{mn}

$384000$ км в стандартном виде $3, 84 \cdot 1 0^{5}$
$0, 0000001$ м в стандартном виде $1 0^{- 7}$
$45 \cdot 1 0^{3}$ в стандартном виде $4, 5 \cdot 1 0^{4}$
$1 0^{- 3} \cdot 1 0^{5}$ $1 0^{2}$
$1 0^{4} : 1 0^{- 2}$ $1 0^{6}$
$(1 0^{- 2})^{3}$ $1 0^{- 6}$
$(2 \cdot 1 0^{3})^{2}$ $4 \cdot 1 0^{6}$
$(5 \cdot 1 0^{- 4})^{2}$ $2, 5 \cdot 1 0^{- 7}$

R07.3

Проблема

Во сколько раз Земля больше атома?

d_{Земли} \approx 1, 27 \cdot 1 0^{7} м

d_{атома} \approx 1 \cdot 1 0^{- 10} м

на обычной прямой атом и Земля не поместятся вместе

Порядок числа

В записи $a \cdot 1 0^{n}$ показатель $n$ — порядок числа.

число	порядок
$1, 27 \cdot 1 0^{7}$	$7$
$1 \cdot 1 0^{- 10}$	$- 10$

Разность порядков

7 - (- 10) = 17

→ примерно в

1 0^{17}

раз

R07.3

Образец → сам

Порядок числа и сравнение

образец: что больше —

3 \cdot 1 0^{5}

или

8 \cdot 1 0^{4}

?

порядки:

5

и

4

5 > 4 \Rightarrow 3 \cdot 1 0^{5} > 8 \cdot 1 0^{4}

Порядки равны — сравниваем множители

a

Порядок числа $0, 0042$ $4, 2 \cdot 1 0^{- 3}$ ; $- 3$
Порядок числа $56000000$ $5, 6 \cdot 1 0^{7}$ ; $7$
Сравните $2, 1 \cdot 1 0^{- 6}$ и $9, 8 \cdot 1 0^{- 7}$ первое больше
повыш.Солнце $1, 4 \cdot 1 0^{9}$ м, Земля $1, 27 \cdot 1 0^{7}$ м. Во сколько раз (по порядкам)?
≈ в $1 0^{2}$ раз

R07.3

Размеры объектов

Шкала размеров: каждое деление — в 10 раз

R07.3

Сам · устно

Между какими степенями 10 лежит размер?

Муравей 5 мм $5 \cdot 1 0^{- 3}$ м: $1 0^{- 3}$ и $1 0^{- 2}$
Лист бумаги 0,1 мм $1 0^{- 4}$ м — ровно

Телебашня 540 м $5, 4 \cdot 1 0^{2}$ : $1 0^{2}$ и $1 0^{3}$
Москва — Владивосток 6400 км
$6, 4 \cdot 1 0^{6}$ м: $1 0^{6}$ и $1 0^{7}$

R07.3

Разные системы измерений

Приставки СИ — это степени десяти

приставка	множитель	пример
тера (Т)	$1 0^{12}$	ТБ
гига (Г)	$1 0^{9}$	ГГц
мега (М)	$1 0^{6}$	МВт
кило (к)	$1 0^{3}$	км
милли (м)	$1 0^{- 3}$	мм
микро (мк)	$1 0^{- 6}$	мкм
нано (н)	$1 0^{- 9}$	нм

перевести 250 нм в метры

250 нм = 250 \cdot 1 0^{- 9} м

= 2, 5 \cdot 1 0^{2} \cdot 1 0^{- 9} = 2, 5 \cdot 1 0^{- 7} м

площадь: приставка тоже в квадрате

1 км^{2} = (1 0^{3} м)^{2} = 1 0^{6} м^{2}

1 см^{3} = (1 0^{- 2} м)^{3} = 1 0^{- 6} м^{3}

R07.3

Образец → сам

Переведите в основные единицы

базаПроцессор 3,5 ГГц — в герцах $3, 5 \cdot 1 0^{9}$ Гц
база40 мкм — в метрах $4 \cdot 1 0^{- 5}$ м
база2 км² — в м² $2 \cdot 1 0^{6}$ м²
повыш.500 см³ — в м³ $5 \cdot 1 0^{- 4}$ м³
повыш.Во сколько раз 1 ТБ больше 1 МБ? в $1 0^{6}$ раз

R07.3

Длительность процессов

Шкала времени в секундах

R07.3

Сам · устно

Запишите в секундах в стандартном виде

1 час $3, 6 \cdot 1 0^{3}$ с
1 неделя $\approx 6, 05 \cdot 1 0^{5}$ с
урок 45 мин $2, 7 \cdot 1 0^{3}$ с

1 мс (миллисекунда) $1 0^{- 3}$ с
2 нс (наносекунды) $2 \cdot 1 0^{- 9}$ с
5 мкс (микросекунд) $5 \cdot 1 0^{- 6}$ с

R07.3

Сравнение величин

«Во сколько раз» — делим мантиссы и степени

отношение диаметров Земли и атома

\frac{1 , 27 \cdot 1 0 ^{7}}{1 \cdot 1 0 ^{- 10}}

= \frac{1 , 27}{1} \cdot 1 0^{7 - (- 10)}

= 1, 27 \cdot 1 0^{17}

Масштаб «на пальцах»

это в 800 раз дальше Солнца

R07.3

Образец решения

За сколько секунд свет Солнца доходит до Земли?

t = \frac{s}{v} = \frac{1 , 5 \cdot 1 0 ^{11}}{3 \cdot 1 0 ^{8}}

= 0, 5 \cdot 1 0^{3} = 5 \cdot 1 0^{2} с

500 с = \frac{500}{60} мин \approx 8, 3 мин

Мы видим Солнце таким, каким оно было ≈ 8 минут назад

R07.3

Образец → сам

Во сколько раз? За сколько секунд?

базаЭритроцит $7 \cdot 1 0^{- 6}$ м, вирус $1 \cdot 1 0^{- 7}$ м. Во сколько раз эритроцит больше? в 70 раз
базаГод $3, 15 \cdot 1 0^{7}$ с, сутки $8, 64 \cdot 1 0^{4}$ с. Во сколько раз год длиннее?
$\approx 3, 65 \cdot 1 0^{2}$ ≈ 365

повыш.До Марса $5, 6 \cdot 1 0^{10}$ м, свет $3 \cdot 1 0^{8}$ м/с. За сколько секунд дойдёт сигнал?
$\approx 1, 9 \cdot 1 0^{2}$ с ≈ 3 мин
повыш.Сколько атомов ( $1 0^{- 10}$ м) уложится в ряд на толщине волоса $7 \cdot 1 0^{- 5}$ м?
$7 \cdot 1 0^{5}$

R07.3

Прикидка результата

Сколько секунд в 80 годах? Оценим порядок

1) каждое число — до одной значащей цифры

80 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 8 \cdot 1 0^{1} \cdot 4 \cdot 1 0^{2} \cdot 2 \cdot 1 0^{1} \cdot 4 \cdot 1 0^{3}

2) мантиссы отдельно, степени отдельно

= (8 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 4) \cdot 1 0^{1 + 2 + 1 + 3} = 256 \cdot 1 0^{7}

3) в стандартный вид

\approx 2, 6 \cdot 1 0^{9} с \Rightarrow порядок 9

R07.3

Образец → сам

Прикиньте порядок результата

база $4900 \cdot 31000$ $\approx 1, 5 \cdot 1 0^{8}$ , порядок 8
практикаСколько секунд за год вы на уроках: 34 недели, 5 дней, 6 уроков по 45 мин?
$\approx 2, 7 \cdot 1 0^{6}$ с, порядок 6
повыш.Калькулятор: $0, 00051 \cdot 0, 0029 = 1, 479 \cdot 1 0^{- 5}$ . Верно ли?
нет: прикидка $1, 5 \cdot 1 0^{- 6}$ — ошибка в порядке

R07.3

Точность приближения иррационального числа

Длина экватора: сколько знаков $π$ нужно?

C = 2 π R, R = 6, 37 \cdot 1 0^{6} м

$π \approx$	$C$ , м	ошибка
$3$	$3, 822 \cdot 1 0^{7}$	≈ 1 800 км
$3, 14$	$4, 0004 \cdot 1 0^{7}$	≈ 20 км
$3, 1416$	$4, 00240 \cdot 1 0^{7}$	≈ 0,1 км

Вывод

$R$ дан с 3 значащими цифрами — его ошибка до 5 км даёт ошибку $C$ ≈ 30 км.

Ответ: $C \approx 4, 00 \cdot 1 0^{7}$ м

R07.3

Корень и стандартный вид · оценка

Как далеко виден горизонт?

d \approx 2 R h, R = 6, 4 \cdot 1 0^{6} м, h = 1, 7 м

2 R h = 21, 76 \cdot 1 0^{6}

— порядок чётный

21, 76 \cdot 1 0^{6} = 21, 76 \cdot 1 0^{3}

4, 6^{2} = 21, 16 < 21, 76 < 22, 09 = 4, 7^{2}

d \approx 4, 7 \cdot 1 0^{3} м \approx 4, 7 км

R07.3

Образец → сам

Точность и корень в стандартном виде

базаКолесо $R = 0, 35$ м. Найдите $C = 2 π R$ при $π \approx 3$ и при $π \approx 3, 14$ .
$2, 1$ м и $\approx 2, 2$ м — разница ≈ 10 см
база $4, 9 \cdot 1 0^{7}$ $7 \cdot 1 0^{3}$

база $9 \cdot 1 0^{- 6}$ $3 \cdot 1 0^{- 3}$
повыш.Как далеко виден горизонт с маяка высотой 20 м? $R = 6, 4 \cdot 1 0^{6}$ м
$1, 6 \cdot 1 0^{4}$ м = 16 км

R07.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Не стандартный вид

$0, 5 \cdot 1 0^{3}$ → $5 \cdot 1 0^{2}$

нужно $1 \leq a < 10$

Степени перемножили

$1 0^{3} \cdot 1 0^{4} = 1 0^{12}$ → $1 0^{7}$

показатели складывают

Площадь как длина

$1 км^{2} = 1 0^{3} м^{2}$ → $1 0^{6} м^{2}$

$(1 0^{3})^{2} = 1 0^{6}$

Лишняя точность

$C = 40023890$ м → $4, 00 \cdot 1 0^{7}$ м

не точнее исходных данных

R07.3

Задания с самопроверкой · 1

Решите

базаТолщина волоса 70 мкм. Запишите в метрах в стандартном виде. $7 \cdot 1 0^{- 5}$ м
базаСколько секунд в сутках? Ответ — в стандартном виде. $8, 64 \cdot 1 0^{4}$ с
повыш.До Луны $3, 84 \cdot 1 0^{5}$ км, скорость света $3 \cdot 1 0^{5}$ км/с. За сколько секунд дойдёт радиосигнал? $1, 28$ с

повыш.Масса Земли $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ кг, Луны — $7, 35 \cdot 1 0^{22}$ кг. Во сколько раз Земля тяжелее (до целых)? $81$
практикаСердце бьётся 70 раз в минуту. Прикиньте порядок числа ударов за 70 лет. порядок 9
ОГЭ, линия 6Найдите значение выражения $\frac{( 4 \cdot 1 0 ^{- 2} ) ^{2}}{8 \cdot 1 0 ^{- 5}}$ . $20$

R07.3

Задания с самопроверкой · 2

ОГЭ и задачи из жизни

ОГЭ, линия 6 $(6 \cdot 1 0^{2})^{2} \cdot (2 \cdot 1 0^{- 3})$ $720$
ОГЭ, линия 6 $\frac{1 , 8 \cdot 1 0 ^{- 4}}{6 \cdot 1 0 ^{- 6}}$ $30$
практикаФото 4 МБ, флешка 64 ГБ ( $1$ ГБ $= 1 0^{3}$ МБ). Сколько фото?
$1, 6 \cdot 1 0^{4}$ = 16 000

повыш.Класс $10 \times 6 \times 3$ м, плотность воздуха $1, 29$ кг/м³. Масса воздуха?
$\approx 2, 3 \cdot 1 0^{2}$ кг
повыш.Ноготь растёт на 0,1 мм в сутки. Скорость в м/с?
$\approx 1, 2 \cdot 1 0^{- 9}$ м/с

R07.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам

Вариант 1

25 нм — в метрах $2, 5 \cdot 1 0^{- 8}$ м
$(3 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot (4 \cdot 1 0^{9})$ $1, 2 \cdot 1 0^{6}$
Во сколько раз $6 \cdot 1 0^{8}$ больше $1, 5 \cdot 1 0^{5}$ ? в $4 \cdot 1 0^{3}$
3 км² — в м² $3 \cdot 1 0^{6}$ м²

Вариант 2

8 мкм — в метрах $8 \cdot 1 0^{- 6}$ м
$(5 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (6 \cdot 1 0^{7})$ $3 \cdot 1 0^{5}$
Во сколько раз $9 \cdot 1 0^{12}$ больше $4, 5 \cdot 1 0^{8}$ ? в $2 \cdot 1 0^{4}$
5 см² — в м² $5 \cdot 1 0^{- 4}$ м²

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое порядок числа?
Как сравнить два числа в стандартном виде?
Почему ответ не может быть точнее данных?

Домашнее задание

Сколько молекул в капле воды объёмом $5 \cdot 1 0^{- 8}$ м³, если в 1 м³ их $3, 3 \cdot 1 0^{28}$ ?
Площадь России $1, 71 \cdot 1 0^{7}$ км². Выразите в м².
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-108 · Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 3/14 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R07.3 «Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире» → 4–24: теория 4, 6, 8, 10, 12–13, 15, 17–18; практика 5, 7, 9, 11, 14, 16, 19–24 (опора на R07.1–R07.2 — разминка, сл. 3)
Результаты	ПР-5 (большие и малые числа, степени 10, разные системы измерений) → 4–11, 21, 23 · ПР-15 (преобразования со степенями) → 3, 12–16, 21–23 · ПР-4 (округление, оценка) → 15–19 · ПР-13 (задачи смежных предметов и практики) → 13–14, 16, 18–19, 21–22, 24
Вне урока	практикум по R07.3 — ALG8U-111; степень с целым показателем и стандартный вид — практикумы ALG8U-109, ALG8U-110; относительная погрешность — не вводится
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Размеры объектови длительностьпроцессов

Сегодня вы научитесь

Записывать реальные величины

Вычислять со степенями

Прикидывать и округлять

Решать задачи из жизни

Стандартный вид и свойства степени

Во сколько раз Земля больше атома?

Порядок числа

Порядок числа и сравнение

Шкала размеров: каждое деление — в 10 раз

Между какими степенями 10 лежит размер?

Приставки СИ — это степени десяти

Переведите в основные единицы

Шкала времени в секундах

Запишите в секундах в стандартном виде

«Во сколько раз» — делим мантиссы и степени

Масштаб «на пальцах»

За сколько секунд свет Солнца доходит до Земли?

Во сколько раз? За сколько секунд?

Сколько секунд в 80 годах? Оценим порядок

Прикиньте порядок результата

Длина экватора: сколько знаков π нужно?

Вывод

Как далеко виден горизонт?

Точность и корень в стандартном виде

Найдите ошибку

Не стандартный вид

Степени перемножили

Площадь как длина

Лишняя точность

Решите

ОГЭ и задачи из жизни

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-108 · Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире

Размеры объектов
и длительность
процессов

Длина экватора: сколько знаков $π$ нужно?