Степени · урок 2 из 14 · новый материал

Стандартный
вид числа

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-107

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 2/14, единица R07.2 «Стандартный вид числа». Тип Н (новый материал).
Вчера (ALG8U-106) — степень с целым показателем и её свойства; завтра (ALG8U-108) — размеры объектов окружающего мира и длительность процессов (там — масштабы и единицы, сегодня их не разбираем). Практикум по стандартному виду — ALG8U-110.
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · проблема 1 (сл. 5) · определение 2 (сл. 6) · большие числа 2 (сл. 7) · малые числа 2 (сл. 8) · порядок числа 2 (сл. 10) · действия 2 (сл. 12) · сравнение, сложение, округление 1 (сл. 14) · единственность и число цифр 1 (сл. 16).
Практика (31 мин): разминка 2 (сл. 3) · степени 10 устно 2 (сл. 4) · образец «запись» 3 (сл. 9) · образец «порядок» 2 (сл. 11) · образец «действия» 3 (сл. 13) · образец «сравнение и сложение» 2 (сл. 15) · самопроверка 3 + 3 (сл. 17–18) · найди ошибку 2 (сл. 19) · закрепление 3 (сл. 20) · самостоятельная 4 (сл. 21) · ОГЭ 1 (сл. 22) · итог и ДЗ 1 (сл. 23).
Если не успеваете — задания 5–6 закрепления (сл. 20) и задачу 6 со слайда 18 перенесите в ДЗ.

R07.2

Цели урока

Ученик научится…

Записывать

большие и малые числа в виде $a \cdot 1 0^{n}$ и находить порядок числа (ПР-5)

Вычислять

произведение, частное и степень чисел в стандартном виде (ПР-15)

Сравнивать и оценивать

числа по порядку, складывать, округлять, делать прикидку (ПР-5)

Доказывать

единственность записи и считать цифры в больших числах (ПР-15)

1 мин · теория
ПР-5 «Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10, записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерений».
ПР-15 «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде (умножение, деление, возведение в степень)… выполнять прикидку результата вычислений, оценку значений числовых выражений».

повторение

Разминка · устно

Умножаем и делим на 10, 100, 1000 — ответ по клику

0, 37 \cdot 100

37

45 : 1000

0,045

2, 5 \cdot 1 0^{3}

2500

0, 08 \cdot 1 0^{4}

800

7200 : 1 0^{2}

72

6, 1 : 10

0,61

1000000

сколько цифр?7

0, 004

4 разделить на …1000

повторение

Актуализация · устно

Степени числа 10 — вспоминаем вчерашний урок

Вычислите	Ответ
$1 0^{- 3}$	$0, 001$
$1 0^{5} \cdot 1 0^{- 8}$	$1 0^{- 3}$
$1 0^{4} : 1 0^{- 2}$	$1 0^{6}$
$(1 0^{- 2})^{3}$	$1 0^{- 6}$
$3, 7 \cdot 1 0^{2}$	$370$

R07.2

Проблема

Как записать, прочитать и сравнить такие числа?

Масса Земли, кг

5 970 000 000 000 000 000 000 000

\approx 5, 97 \cdot 1 0^{24}

Масса электрона, кг

0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91

\approx 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}

Во сколько раз Земля тяжелее электрона? С нулями — долго и с ошибками. Со степенями 10 — одна строчка.

R07.2

Новый материал · определение

Стандартный вид числа

a \cdot 1 0^{n}

1 \leq a < 10, n \in Z

Целое

n

называют порядком числа. Так можно записать любое положительное число.

Запись	Стандартный вид?
$3, 2 \cdot 1 0^{5}$	да, $n = 5$
$32 \cdot 1 0^{4}$	нет: $a \geq 10$
$0, 32 \cdot 1 0^{6}$	нет: $a < 1$
$1 \cdot 1 0^{- 3}$	да, $n = - 3$
$10 \cdot 1 0^{2}$	нет: $a = 10$

2 мин · теория
Определение: стандартный вид положительного числа — запись $a \cdot 1 0^{n}$ , где $1 \leq a < 10$ , $n$ — целое. Число $n$ — порядок числа.
Ключ — двойное неравенство для $a$ : ровно одна ненулевая цифра до запятой. Число 10 уже не подходит.
Все три «нет» — одно и то же число $320000 = 3, 2 \cdot 1 0^{5}$ : показать, что запись «не та», хотя равенство верное. $10 \cdot 1 0^{2} = 1 \cdot 1 0^{3}$ .
Для отрицательных чисел пишут знак перед записью: $- 0, 004 = - 4 \cdot 1 0^{- 3}$ . Число 0 в стандартном виде не записывают.

R07.2

Новый материал · большие числа

Запятая влево на $n$ знаков — порядок $+ n$

4, 53 \cdot 1 0^{4} = 4, 53 \cdot 10000 = 45300

проверка

Порядок числа

\geq 1

= число цифр в целой части

- 1

Сам:

2026000

;

380 \cdot 1 0^{6}

;

71, 5

R07.2

Новый материал · малые числа

Запятая вправо на $n$ знаков — порядок $- n$

7, 2 \cdot 1 0^{- 4} = \frac{7 , 2}{10 000} = 0, 00072

проверка

Порядок числа

< 1

=

-

(место первой ненулевой цифры после запятой)

Сам:

0, 0305

;

0, 9

;

0, 045 \cdot 1 0^{- 3}

R07.2

Образец → сам

Запишите число в стандартном виде

Образец

6070000

запятая влево на 6 знаков

= 6, 07 \cdot 1 0^{6}

0, 0000403

запятая вправо на 5 знаков

= 4, 03 \cdot 1 0^{- 5}

Сам

$2026000$ $2, 026 \cdot 1 0^{6}$
$380 \cdot 1 0^{6}$ $3, 8 \cdot 1 0^{8}$
$71, 5$ $7, 15 \cdot 1 0^{1}$
$0, 0305$ $3, 05 \cdot 1 0^{- 2}$
$0, 9$ $9 \cdot 1 0^{- 1}$
$0, 045 \cdot 1 0^{- 3}$ $4, 5 \cdot 1 0^{- 5}$

R07.2

Новый материал · порядок числа

Порядок — номер «этажа» между степенями 10

1 0^{n} \leq x < 1 0^{n + 1} \Leftrightarrow порядок x равен n

2 мин · теория
Это строгое определение порядка (углублённый уровень): порядок $n$ — единственное целое, для которого $1 0^{n} \leq x < 1 0^{n + 1}$ . Разделив на $1 0^{n}$ , получаем $1 \leq a < 10$ — это и есть стандартный вид.
Шкала логарифмическая: равные отрезки — умножение на 10. Точки поставлены честно по масштабу.
Вопросы классу: какой порядок у числа 1? (0.) А у 10? (1 — левый конец «этажа» включён, правый нет.) У 0,099? ( $- 2$ .)
Числа от 1 до 10 (не включая 10) имеют порядок 0 — их стандартный вид $a \cdot 1 0^{0}$ .

R07.2

Образец → сам

Найдите порядок числа

Образец: $0, 00908$

1 0^{- 3} \leq 0, 00908 < 1 0^{- 2}

0, 00908 = 9, 08 \cdot 1 0^{- 3}

порядок

- 3

Сам

$1$ $0$
$10$ $1$
$0, 099$ $- 2$
$98765$ $4$
$0, 0005$ $- 4$

R07.2

Действия с числами в стандартном виде

Множители $a$ — отдельно, степени 10 — отдельно

(a \cdot 1 0^{n}) (b \cdot 1 0^{m}) = ab \cdot 1 0^{n + m}

Умножение

(3 \cdot 1 0^{5}) \cdot (4 \cdot 1 0^{- 2})

= 12 \cdot 1 0^{3}

$12 \geq 10$ — нормализуем

= 1, 2 \cdot 1 0^{4}

Деление

(1, 8 \cdot 1 0^{- 3}) : (6 \cdot 1 0^{4})

= 0, 3 \cdot 1 0^{- 7}

$0, 3 < 1$ — нормализуем

= 3 \cdot 1 0^{- 8}

Степень

(5 \cdot 1 0^{4})^{2}

= 25 \cdot 1 0^{8}

$(1 0^{4})^{2} = 1 0^{8}$

= 2, 5 \cdot 1 0^{9}

R07.2

Образец → сам

Вычислите, ответ — в стандартном виде

Образец

(2 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (7 \cdot 1 0^{8})

= (2 \cdot 7) \cdot 1 0^{- 3 + 8}

= 14 \cdot 1 0^{5}

$14 = 1, 4 \cdot 10$ — нормализуем

= 1, 4 \cdot 1 0^{6}

Сам

$(4 \cdot 1 0^{6}) \cdot (2, 5 \cdot 1 0^{- 2})$ $1 \cdot 1 0^{5}$
$(9 \cdot 1 0^{- 4}) : (3 \cdot 1 0^{- 9})$ $3 \cdot 1 0^{5}$
$(2, 4 \cdot 1 0^{5}) : (8 \cdot 1 0^{- 3})$ $3 \cdot 1 0^{7}$
$(2 \cdot 1 0^{4})^{3}$ $8 \cdot 1 0^{12}$
$(3 \cdot 1 0^{- 3})^{2}$ $9 \cdot 1 0^{- 6}$

R07.2

Сравнение · сложение · округление

Сначала смотрим на порядок

Сравнение

3, 1 \cdot 1 0^{- 5} ? 9, 8 \cdot 1 0^{- 6}

порядки: $- 5 > - 6$

3, 1 \cdot 1 0^{- 5} > 9, 8 \cdot 1 0^{- 6}

порядки равны — сравниваем $a$

Сложение

3, 2 \cdot 1 0^{5} + 4, 5 \cdot 1 0^{4}

= 3, 2 \cdot 1 0^{5} + 0, 45 \cdot 1 0^{5}

к общему порядку

= 3, 65 \cdot 1 0^{5}

Округление

149600000

км

= 1, 496 \cdot 1 0^{8}

до десятых в $a$

\approx 1, 5 \cdot 1 0^{8}

км

R07.2

Образец → сам

Сравните, сложите, округлите

Образец

6 \cdot 1 0^{4} + 3 \cdot 1 0^{3}

к общему порядку 4

= 6 \cdot 1 0^{4} + 0, 3 \cdot 1 0^{4}

= 6, 3 \cdot 1 0^{4}

Сам

Сравните: $4, 2 \cdot 1 0^{- 3}$ и $9, 9 \cdot 1 0^{- 4}$ $>$
Сравните: $5, 1 \cdot 1 0^{7}$ и $5, 01 \cdot 1 0^{7}$ $>$
$8 \cdot 1 0^{3} + 4 \cdot 1 0^{3}$ $1, 2 \cdot 1 0^{4}$
$7, 5 \cdot 1 0^{- 2} - 5 \cdot 1 0^{- 3}$ $7 \cdot 1 0^{- 2}$
$384400$ км, $a$ — до десятых $\approx 3, 8 \cdot 1 0^{5}$ км

R07.2 · углублённо

Доказательство и нестандартная задача

Почему запись единственна и сколько цифр в числе

Теорема: порядок единственный

a \cdot 1 0^{n} = b \cdot 1 0^{m}, n > m ?

b = a \cdot 1 0^{n - m} \geq 1 \cdot 10 = 10

но

b < 10

— противоречие

Значит, $n = m$ , а тогда и $a = b$ .

Сколько цифр в числе $2^{10} \cdot 5^{13}$ ?

= (2 \cdot 5)^{10} \cdot 5^{3} = 125 \cdot 1 0^{10}

= 1, 25 \cdot 1 0^{12}

порядок

12

→

13

цифр

Сам: сколько цифр в числе

4^{8} \cdot 5^{18}

?

R07.2

Задания с самопроверкой 1 · база

Решите — ответы откроются по клику

базаСтандартный вид: $0, 000012$ $1, 2 \cdot 1 0^{- 5}$
базаСтандартный вид: $607000000$ $6, 07 \cdot 1 0^{8}$
база $(1, 5 \cdot 1 0^{- 3}) \cdot (4 \cdot 1 0^{5})$ $6 \cdot 1 0^{2}$

база $(7, 2 \cdot 1 0^{6}) : (9 \cdot 1 0^{2})$ $8 \cdot 1 0^{3}$
базаПо возрастанию: $3 \cdot 1 0^{- 2}$ , $8 \cdot 1 0^{- 3}$ , $1, 2 \cdot 1 0^{- 2}$ $8 \cdot 1 0^{- 3}; 1, 2 \cdot 1 0^{- 2}; 3 \cdot 1 0^{- 2}$
практикаЛист бумаги толщиной $1 \cdot 1 0^{- 4}$ м. Толщина пачки из 500 листов? $5 \cdot 1 0^{- 2}$ м = 5 см

R07.2 · углублённо

Задания с самопроверкой 2 · повышенный уровень

Решите — ответы откроются по клику

повыш.Сколько цифр в числе $4^{8} \cdot 5^{18}$ ? 18
повыш. $(5 \cdot 1 0^{- 3})^{3} \cdot (4 \cdot 1 0^{8})$ $5 \cdot 1 0^{1}$
повыш. $2, 5 \cdot 1 0^{- 3} + 4 \cdot 1 0^{- 4}$ $2, 9 \cdot 1 0^{- 3}$

повыш.Порядок $x$ равен $- 2$ . Каким бывает порядок $x^{2}$ ? $- 4$ или $- 3$
практикаБактерия длиной $2 \cdot 1 0^{- 6}$ м. Сколько их уложится в ряд на 1 см? $5 \cdot 1 0^{3}$
повыш. $\frac{6 \cdot 1 0 ^{5}}{1 , 5 \cdot 1 0 ^{- 2}}$ $4 \cdot 1 0^{7}$

R07.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$45 \cdot 1 0^{3}$ — стандартный вид	$a \geq 10$	$4, 5 \cdot 1 0^{4}$
$0, 003 = 3 \cdot 1 0^{3}$	знак порядка	$3 \cdot 1 0^{- 3}$
$(3 \cdot 1 0^{4}) (5 \cdot 1 0^{3}) = 15 \cdot 1 0^{12}$	показатели умножили; нет нормализации	$1, 5 \cdot 1 0^{8}$
$2 \cdot 1 0^{5} + 3 \cdot 1 0^{4} = 5 \cdot 1 0^{9}$	сложили «по частям»	$2, 3 \cdot 1 0^{5}$
$7, 1 \cdot 1 0^{- 3} < 9, 2 \cdot 1 0^{- 4}$	сравнили только $a$	$>$

R07.2

Закрепление

Шесть заданий: от записи к исследованию

базаЗапишите в стандартном виде: $3080000$ ; $0, 000506$ .
базаВычислите: $(2, 5 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot (6 \cdot 1 0^{7})$ .
повыш.Вычислите: $(4, 8 \cdot 1 0^{- 2}) : (1, 6 \cdot 1 0^{- 6}) \cdot (5 \cdot 1 0^{- 3})^{2}$ .
повыш.Сколько цифр в числе $8^{5} \cdot 5^{17}$ ?
повыш.Порядок $x$ равен $5$ , порядок $y$ равен $- 3$ . Каким бывает порядок $x y$ ?
практикаСкорость света $3 \cdot 1 0^{5}$ км/с, от Солнца до Земли $1, 5 \cdot 1 0^{8}$ км. За сколько секунд свет доходит до Земли?

R07.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

Стандартный вид: $0, 0000805$ $8, 05 \cdot 1 0^{- 5}$
$(3, 5 \cdot 1 0^{- 4}) \cdot (2 \cdot 1 0^{9})$ $7 \cdot 1 0^{5}$
$(8 \cdot 1 0^{- 3})^{2} : (1, 6 \cdot 1 0^{- 7})$ $4 \cdot 1 0^{2}$
Сколько цифр в числе $2^{12} \cdot 5^{14}$ ? 14

Вариант 2

Стандартный вид: $41700000$ $4, 17 \cdot 1 0^{7}$
$(4, 5 \cdot 1 0^{6}) : (9 \cdot 1 0^{- 2})$ $5 \cdot 1 0^{7}$
$(6 \cdot 1 0^{- 2})^{2} : (1, 2 \cdot 1 0^{- 5})$ $3 \cdot 1 0^{2}$
Сколько цифр в числе $5^{10} \cdot 2^{13}$ ? 11

R07.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени и корни)

Найдите значение выражения

\frac{( 3 \cdot 1 0 ^{- 2} ) ^{3}}{9 \cdot 1 0 ^{- 7}}

(3 \cdot 1 0^{- 2})^{3} = 27 \cdot 1 0^{- 6}

27 : 9 = 3, 1 0^{- 6} : 1 0^{- 7} = 1 0^{1}

3 \cdot 1 0^{1} = 30

В бланк — обычное число: 30

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие условия на $a$ и $n$ в записи $a \cdot 1 0^{n}$ ?
Как найти порядок числа $0, 00049$ ?
Почему нельзя складывать «по частям»?

Домашнее задание

Стандартный вид: $72400000$ ; $0, 0000309$
$(1, 2 \cdot 1 0^{5}) (4 \cdot 1 0^{- 8})$ ; $\frac{( 6 \cdot 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{9 \cdot 1 0 ^{- 4}}$
* Сколько цифр в числе $2^{20} \cdot 5^{17}$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-107 · Стандартный вид числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 2/14 · тип Н (новый материал) · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R07.2 «Стандартный вид числа» → 2, 5–23 (практика: 3–4, 9, 11, 13, 15, 17–23)
Результаты	ПР-5 (запись больших и малых чисел с помощью степеней 10, округление) → 3, 5–11, 14, 15, 17–21, 23 · ПР-15 (степень с целым показателем, преобразования) → 4, 12, 13, 16–23 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства степени с целым показателем — ALG8U-106 (R07.1); размеры объектов и длительность процессов — ALG8U-108 (R07.3); практикум по стандартному виду — ALG8U-110
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Стандартныйвид числа

Ученик научится…

Записывать

Вычислять

Сравнивать и оценивать

Доказывать

Умножаем и делим на 10, 100, 1000 — ответ по клику

Степени числа 10 — вспоминаем вчерашний урок

Как записать, прочитать и сравнить такие числа?

Масса Земли, кг

Масса электрона, кг

Стандартный вид числа

Запятая влево на n знаков — порядок +n

Запятая вправо на n знаков — порядок −n

Запишите число в стандартном виде

Образец

Сам

Порядок — номер «этажа» между степенями 10

Найдите порядок числа

Образец: 0,00908

Сам

Множители a — отдельно, степени 10 — отдельно

Умножение

Деление

Степень

Вычислите, ответ — в стандартном виде

Образец

Сам

Сначала смотрим на порядок

Сравнение

Сложение

Округление

Сравните, сложите, округлите

Образец

Сам

Почему запись единственна и сколько цифр в числе

Теорема: порядок единственный

Сколько цифр в числе 210⋅513?

Решите — ответы откроются по клику

Решите — ответы откроются по клику

Найдите ошибку

Шесть заданий: от записи к исследованию

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Найдите значение выражения

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-107 · Стандартный вид числа

Стандартный
вид числа

Запятая влево на $n$ знаков — порядок $+ n$

Запятая вправо на $n$ знаков — порядок $- n$

Образец: $0, 00908$

Множители $a$ — отдельно, степени 10 — отдельно

Сколько цифр в числе $2^{10} \cdot 5^{13}$ ?