Степени · урок 1 из 14 · новый материал

Степень
с целым показателем
и её свойства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R07 · ALG8U-106

0,5 мин · теория
Паспорт: R07 «Алгебраические выражения: степени» (14 ч), урок 1/14, единица R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства». Тип Н (новый материал).
Перед этим — обобщение по теме «Функции» (ALG8U-105); следующий урок — «Стандартный вид числа» (ALG8U-107), практикум по этой теме — ALG8U-109.
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (все теоретические слайды сохранены полностью): титул 0,5 · цели 0,5 · проблема (5) 1,5 · определение (6) 2,5 · свойства (9) 1,5 · доказательство (10) 2,5 · график (11) 1 · образцы учителя (12, 14) по 1 · углублённые приёмы (16) 1,5.
Практика: разминка (3) 2 · актуализация (4) 1,5 · примеры по определению (7) 1,5 · «образец → сам» (8) 2 · «ваша очередь» после каждого образца (13, 15, 17) 3 + 2,5 + 2,5 · найдите ошибку (18) 1,5 · самопроверка база и повышенный (19, 20) по 2,5 · закрепление (21) 3 · самостоятельная по вариантам (22) 4 · ОГЭ (23) 2 · итог (24) 1.
Если не успеваете: доказательство (слайд 10) — только случай 1, случай 2 — в ДЗ; задания 5–7 слайда 15 и слайд 20 — в ДЗ.

R07.1

Цели урока

Расширяем степень на все целые показатели

Определять

$a^{0}$ и $a^{- n}$ так, чтобы свойства степени сохранились (ПР-15)

Доказывать

свойства степени с целым показателем (ПР-15)

Преобразовывать

выражения со степенями, в том числе дробные (ПР-15, ПР-12)

Вычислять и сравнивать

значения выражений со степенями (ПР-15, ПР-13)

0,5 мин · теория
ПР-15 «Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем».
ПР-12 «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений»; ПР-13 «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Формулировать определение степени с целым показателем. Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать примерами свойства степени с целым показателем. Применять свойства степени для преобразования выражений…».

повторение

Разминка · устно

Степени, дроби и знаки — в темпе

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$2^{n}$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$
$3^{n}$	$3$	$9$	$27$	$81$	$243$
$5^{n}$	$5$	$25$	$125$	$625$	$3125$
$1 0^{n}$	$10$	$100$	$1 0^{3}$	$1 0^{4}$	$1 0^{5}$

Таблица — опора на весь урок: числа

4, 8, 9, 25, 27, 125

сразу видим как степени.

$(- 3)^{3}$ и $- 3^{2}$ $- 27$ и $- 9$
$(- 1)^{10}$ и $- 1^{10}$ $1$ и $- 1$
$(\frac{3}{4})^{2}$ ; $0, 2^{3}$ $\frac{9}{16}$ ; $0, 008$
$1 : \frac{2}{5}$ $\frac{5}{2} = 2, 5$
$a^{3} \cdot a^{5} : a^{4}$ $a^{4}$
$81$ — степень числа $3$ ; $0, 01$ — числа $0, 1$ $3^{4}$ ; $0, 1^{2}$
$(2^{3})^{2}$ и $2^{3^{2}}$ — равны? нет: $64$ и $512$

повторение

Актуализация · устно · натуральный показатель

Пять свойств, которые мы знаем с 7 класса

Свойство	Пример	Ответ
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \cdot 2^{4}$	$2^{7} = 128$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}, m > n$	$5^{8} : 5^{6}$	$5^{2} = 25$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(3^{2})^{3}$	$3^{6} = 729$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$4^{5} \cdot 0, 2 5^{5}$	$(4 \cdot 0, 25)^{5} = 1$
$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$(\frac{2}{3})^{3}$	$\frac{8}{27}$

R07.1

Проблема · продолжим закономерность

Уменьшаем показатель на 1 — значение делится на 2

R07.1

Новый материал · определение

Чтобы деление степеней работало при любых $m$ и $n$

a^{0} = 1, a \neq = 0

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a \neq = 0, n \in N

0^{0}

и

0^{- n}

не определены: делить на

0

нельзя.

2,5 мин · теория
Логика: хотим, чтобы $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ работало всегда. При $m = n$ : $\frac{a ^{n}}{a ^{n}} = 1$ и $= a^{0}$ — значит, $a^{0} = 1$ . При $m < n$ : сокращение даёт $\frac{1}{a ^{n - m}}$ , формула — $a^{m - n}$ . Отсюда $a^{- k} = \frac{1}{a ^{k}}$ .
Это определение, а не теорема: мы его вводим, а потом доказываем, что все пять свойств остаются верными (слайд 10).
Вопрос классу: почему $0^{- 2}$ не имеет смысла? ( $\frac{1}{0 ^{2}} = \frac{1}{0}$ .) Почему $0^{0}$ не определяют? (Его пришлось бы получить как $\frac{0 ^{n}}{0 ^{n}}$ .)
Следствие: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ и $\frac{1}{a ^{- n}} = a^{n}$ — степень можно переносить из числителя в знаменатель, меняя знак показателя.

R07.1

Новый материал · вычисляем по определению

Отрицательный показатель «переворачивает» дробь

(\frac{a}{b})^{- n} = \frac{1}{( \frac{a}{b} ) ^{n}} = \frac{b ^{n}}{a ^{n}} = (\frac{b}{a})^{n}

5^{- 2}

\frac{1}{25}

(- 2)^{- 3}

- \frac{1}{8}

(\frac{2}{3})^{- 2}

\frac{9}{4} = 2, 25

0, 1^{- 3}

1 0^{3} = 1000

(- 7, 3)^{0}

1

\frac{1}{3 ^{- 4}}

3^{4} = 81

R07.1 · образец → сам

Образец → сам · вычисляем по определению

Сначала каждую степень — в число, потом действия

2^{- 2} + (\frac{1}{3})^{- 1} - 5^{0}

= \frac{1}{4} + 3 - 1

по определению: степень — в знаменатель, дробь перевернуть, нулевая степень — единица

= 2 \frac{1}{4} = 2, 25

Сам: вычислите

база $4^{- 3}$ $\frac{1}{64}$
база $(- \frac{1}{2})^{- 5}$ $(- 2)^{5} = - 32$
база $(1 \frac{1}{2})^{- 2}$ $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$
повыш. $1 0^{- 1} + 0, 5^{- 2} - 3^{0}$ $0, 1 + 4 - 1 = 3, 1$
повыш.Запишите степенью: $\frac{1}{27}$ (основание $3$ ), $0, 001$ (основание $10$ )
$3^{- 3}$ ; $1 0^{- 3}$

R07.1

Новый материал · свойства

Свойства те же — но теперь для любых целых $m$ , $n$

Свойство ( $a \neq = 0, b \neq = 0; m, n \in Z$ )	Пример
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$a^{- 7} \cdot a^{4} = a^{- 3}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$a^{2} : a^{- 5} = a^{7}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(a^{- 3})^{- 2} = a^{6}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 x)^{- 3} = \frac{1}{8} x^{- 3}$
$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$(\frac{x}{y})^{- 1} = \frac{y}{x}$

R07.1 · углублённо

Доказательство · сводим к натуральным показателям

Почему $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ при отрицательном $n$ ?

Случай 1: $m = p, n = - q$ ; $p, q \in N$

a^{p} \cdot a^{- q} = a^{p} \cdot \frac{1}{a ^{q}} = \frac{a ^{p}}{a ^{q}}

по определению

p \geq q : \frac{a ^{p}}{a ^{q}} = a^{p - q}

свойство 7 класса и

a^{0} = 1

p < q : \frac{a ^{p}}{a ^{q}} = \frac{1}{a ^{q - p}} = a^{- (q - p)} = a^{p - q}

Случай 2: $m = - p, n = - q$

a^{- p} \cdot a^{- q} = \frac{1}{a ^{p}} \cdot \frac{1}{a ^{q}} = \frac{1}{a ^{p + q}}

= a^{- (p + q)} = a^{(- p) + (- q)}

Итог:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

для всех

m, n \in Z

Сам: докажите

(a^{- p})^{- q} = a^{pq}

.

R07.1

Наглядно · степени двойки и одной второй

$2^{- n} = (\frac{1}{2})^{n}$ : точки симметричны, все выше нуля

R07.1

Закрепление · образец 1 · упрощение

Упростите $(a^{- 3} b^{2})^{- 2} \cdot a^{- 5} b^{3}$

(a^{- 3} b^{2})^{- 2} = a^{6} b^{- 4}

(ab)^{n}

и

(a^{m})^{n}

a^{6} b^{- 4} \cdot a^{- 5} b^{3} = a^{6 - 5} b^{- 4 + 3}

группируем одинаковые основания

= a^{1} b^{- 1}

= \frac{a}{b}

Сам: упростите

\frac{( x ^{- 2} y ) ^{3}}{x ^{- 8} y ^{5}}

.

R07.1 · ваша очередь

Ваша очередь · упрощение по образцу 1

Упростите; ответ — без отрицательных показателей

база $a^{- 5} \cdot a^{8}$ $a^{3}$
база $x^{- 3} : x^{- 7}$ $x^{4}$
база $(b^{- 2})^{4} \cdot b^{9}$ $b$
база $(2 m^{- 3})^{- 2}$ $\frac{m ^{6}}{4}$

повыш. $(x^{- 1} y^{2})^{- 3} \cdot x^{- 4} y^{5}$ $\frac{1}{x y}$
повыш. $\frac{12 a ^{- 3} b ^{4}}{4 a ^{- 5} b ^{6}}$ $\frac{3 a ^{2}}{b ^{2}}$

1) раскрыть скобки · 2) собрать одинаковые основания · 3) сложить показатели · 4) убрать отрицательные показатели

R07.1

Закрепление · образец 2 · вычисление

Приводим к одному основанию — и считаем устно

\frac{2 ^{- 3} \cdot 4 ^{2}}{8 ^{- 1}}

= \frac{2 ^{- 3} \cdot ( 2 ^{2} ) ^{2}}{( 2 ^{3} ) ^{- 1}} = \frac{2 ^{- 3} \cdot 2 ^{4}}{2 ^{- 3}}

4 = 2^{2}, 8 = 2^{3}

= 2^{- 3 + 4 - (- 3)} = 2^{4}

= 16

0, 2^{- 2} \cdot 2 5^{- 1} \cdot 5^{3}

= (5^{- 1})^{- 2} \cdot (5^{2})^{- 1} \cdot 5^{3}

0, 2 = \frac{1}{5} = 5^{- 1}

= 5^{2} \cdot 5^{- 2} \cdot 5^{3} = 5^{3}

= 125

Сам: вычислите

\frac{9 ^{- 2} \cdot 2 7 ^{3}}{3 ^{4}}

.

R07.1 · ваша очередь

Ваша очередь · вычисление по образцу 2

Приведите к одному основанию и вычислите

база $3^{- 5} \cdot 3^{7}$ $9$
база $\frac{2 ^{- 4}}{2 ^{- 7}}$ $8$
база $(5^{- 2})^{- 1} \cdot 5^{- 3}$ $0, 2$
база $\frac{4 ^{- 3} \cdot 8 ^{3}}{2 ^{2}}$ $2$

повыш. $0, 2 5^{- 2} \cdot 1 6^{- 1}$ $1$
повыш. $\frac{1 0 ^{- 3} \cdot 10 0 ^{3}}{0 , 1 ^{- 1}}$ $100$
повыш. $\frac{6 ^{- 3} \cdot 9 ^{2}}{2 ^{- 4}}$ $6$

R07.1 · углублённо

Углублённо · степени в дробях и сравнение

Два нестандартных приёма

\frac{a ^{- 1} + b ^{- 1}}{a ^{- 2} - b ^{- 2}}

= \frac{a + b}{ab} : \frac{b ^{2} - a ^{2}}{a ^{2} b ^{2}}

a^{- 1} = \frac{1}{a}

, общий знаменатель

= \frac{( a + b ) \cdot a ^{2} b ^{2}}{ab ( b - a ) ( b + a )}

= \frac{ab}{b - a}

Сравните

2^{- 30}

и

3^{- 20}

2^{- 30} = (2^{3})^{- 10} = 8^{- 10}

3^{- 20} = (3^{2})^{- 10} = 9^{- 10}

\frac{1}{8 ^{10}} > \frac{1}{9 ^{10}}

меньше знаменатель — больше дробь

2^{- 30} > 3^{- 20}

R07.1 · ваша очередь

Ваша очередь · углублённо · дроби и сравнение

Тем же приёмом: к дробям — и к общему показателю

Упростите

повыш. $\frac{x ^{- 2} - 4}{x ^{- 1} + 2}$ $\frac{1 - 2 x}{x}$
сложно $\frac{a ^{- 1} - b ^{- 1}}{a b ^{- 1} - b a ^{- 1}}$ $- \frac{1}{a + b}$

Сравните

повыш. $2^{- 40}$ и $5^{- 20}$ $2^{- 40} > 5^{- 20}$
повыш. $3^{- 15}$ и $5^{- 10}$ $3^{- 15} < 5^{- 10}$
базаПо возрастанию:
$2^{- 3}$ , $(- 2)^{- 3}$ , $2^{0}$ , $(\frac{1}{2})^{- 3}$
$(- 2)^{- 3} < 2^{- 3} < 2^{0} < (\frac{1}{2})^{- 3}$

R07.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$2^{- 3} = - 8$	минус в показателе — не знак числа	$\frac{1}{8}$
$a^{5} \cdot a^{- 2} = a^{- 10}$	показатели перемножили	$a^{3}$
$- 2^{0} = 1$	в степень возводят только $2$	$- 1$
$(a + b)^{- 1} = a^{- 1} + b^{- 1}$	степень суммы не раскрывается	$\frac{1}{a + b}$
$(\frac{3}{4})^{- 1} = - \frac{3}{4}$	дробь не перевернули	$\frac{4}{3}$

R07.1 · самопроверка

Задания с самопроверкой · база

Решите в тетради, затем сверьтесь с ответом

база $(\frac{2}{5})^{- 2}$ $6, 25$
база $(- 0, 5)^{- 3}$ $- 8$
база $8^{- 2} \cdot 2^{5}$ $\frac{1}{2}$

базаУпростите: $\frac{c ^{- 4} \cdot c ^{6}}{c ^{- 3}}$ $c^{5}$
базаСтепенью числа $2$ : $\frac{1}{32}$ ; $0, 125$ ; $4^{- 3}$
$2^{- 5}$ ; $2^{- 3}$ ; $2^{- 6}$
база $x^{- 2} + x^{0}$ при $x = \frac{1}{3}$ $10$

R07.1 · самопроверка

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Преобразования посложнее

повыш.Упростите: $(\frac{3 x ^{- 2}}{y ^{- 3}})^{- 2} \cdot \frac{x ^{- 3}}{y ^{- 5}}$ $\frac{x}{9 y}$
повыш.Вычислите: $\frac{1 5 ^{- 4} \cdot 3 ^{6}}{5 ^{- 5}}$ $45$

повыш.Упростите:
$(a^{- 1} + b^{- 1}) (a + b)^{- 1}$ $\frac{1}{ab}$
повыш.Найдите $n$ : $2^{n} \cdot 4^{- 3} = \frac{1}{8}$ $n = 3$
сложноДокажите, что $\frac{3 ^{- 2} + 3 ^{- 3}}{3 ^{- 4}}$ — целое число
$= 9 + 3 = 12$

R07.1

Закрепление · работа в парах

Шесть заданий — от определения до сравнения

базаВычислите: $3^{- 2} + (\frac{1}{2})^{- 3} - 7^{0}$ . $\frac{64}{9}$
базаУпростите: $\frac{x ^{- 4} \cdot x ^{7}}{x ^{- 2}}$ . $x^{5}$
повыш.Упростите: $(\frac{2 a ^{- 2}}{b ^{3}})^{- 3} \cdot 4 a^{- 5} b^{- 8}$ . $\frac{ab}{2}$
повыш.Вычислите: $\frac{6 ^{- 5} \cdot 2 ^{7}}{3 ^{- 6} \cdot 4 ^{- 1}}$ . $48$
повыш.Упростите: $\frac{x ^{- 2} - y ^{- 2}}{x ^{- 1} - y ^{- 1}}$ . Сравните: $5^{- 40}$ и $3^{- 60}$ . $\frac{x + y}{x y}$ ; $5^{- 40} > 3^{- 60}$
практикаЧисло бактерий $N (t) = 1000 \cdot 2^{t}$ , $t$ — часы от начала наблюдения. Найдите $N (- 3)$ . Что это значит? $125$

R07.1 · самостоятельная

Самостоятельная работа · 3 минуты + взаимопроверка

По вариантам: одинаковые задания — разные числа

Задание	Вариант 1	Вариант 2
1. Вычислите	$2^{- 3} + (\frac{1}{4})^{- 1}$ $4 \frac{1}{8}$	$3^{- 2} + (\frac{1}{5})^{- 1}$ $5 \frac{1}{9}$
2. Упростите	$(2 x^{- 3} y)^{- 2} \cdot 8 x^{- 5} y^{3}$ $2 x y$	$(3 a^{2} b^{- 1})^{- 2} \cdot 18 a^{3} b^{- 4}$ $\frac{2}{a b ^{2}}$
3. Вычислите	$\frac{6 ^{- 2} \cdot 2 ^{5}}{3 ^{- 3}}$ $24$	$\frac{1 0 ^{- 3} \cdot 5 ^{5}}{2 ^{- 4}}$ $50$
4. Сравните	$2^{- 60}$ и $3^{- 40}$ $2^{- 60} > 3^{- 40}$	$3^{- 30}$ и $5^{- 20}$ $3^{- 30} < 5^{- 20}$

R07.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени и корни)

Найдите значение выражения $\frac{a ^{12} \cdot a ^{- 15}}{a ^{- 5}}$ при $a = 4$

a^{12 + (- 15) - (- 5)} = a^{2}

сначала упрощаем, потом подставляем

4^{2} = 16

Ответ:

16

Подставлять

4

сразу — долго:

4^{12} = 16777216

.

Сам: найдите значение

\frac{( 2 ^{- 3} ) ^{2}}{2 ^{- 9}}

.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $a^{0} = 1$ ?
Чему равно $a^{- n}$ и при каких $a$ ?
Как доказать свойство для целых показателей?

Домашнее задание

$(\frac{2}{3})^{- 2} - (- \frac{1}{3})^{- 3} + (- 5)^{0}$
$(3 x^{- 2} y^{3})^{- 2} \cdot 9 x^{- 3} y^{5}$
* Докажите: $\frac{a ^{- 1} - b ^{- 1}}{a ^{- 1} + b ^{- 1}} = \frac{b - a}{b + a}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_stepen_celaya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-106 · Степень с целым показателем и ее свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R07 «Алгебраические выражения: степени», 14 ч · урок 1/14 · тип Н (новый материал) · теория 13,5 мин / практика 31,5 мин (70 %)
Единицы → слайды	R07.1 «Степень с целым показателем и ее свойства» → 2–24 (теория: 5, 6, 9–12, 14, 16; практика: 3, 4, 7, 8, 13, 15, 17–24)
Результаты	ПР-15 (понятие степени с целым показателем, преобразования выражений со степенями) → 2–24 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 16, 17, 20, 21, 24 · ПР-13 (преобразования для решения задач, в том числе из практики) → 14–17, 19–23 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	стандартный вид числа — ALG8U-107 (R07.2); размеры объектов и длительность процессов — ALG8U-108 (R07.3); практикум по R07.1 — ALG8U-109
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Степеньс целым показателеми её свойства

Расширяем степень на все целые показатели

Определять

Доказывать

Преобразовывать

Вычислять и сравнивать

Степени, дроби и знаки — в темпе

Пять свойств, которые мы знаем с 7 класса

Уменьшаем показатель на 1 — значение делится на 2

Чтобы деление степеней работало при любых m и n

Отрицательный показатель «переворачивает» дробь

Сначала каждую степень — в число, потом действия

Сам: вычислите

Свойства те же — но теперь для любых целых m, n

Почему am⋅an=am+n при отрицательном n?

Случай 1: m=p, n=−q; p,q∈N

Случай 2: m=−p, n=−q

2−n=(21​)n: точки симметричны, все выше нуля

Упростите (a−3b2)−2⋅a−5b3

Упростите; ответ — без отрицательных показателей

Приводим к одному основанию — и считаем устно

Приведите к одному основанию и вычислите

Два нестандартных приёма

Тем же приёмом: к дробям — и к общему показателю

Упростите

Сравните

Найдите ошибку

Решите в тетради, затем сверьтесь с ответом

Преобразования посложнее

Шесть заданий — от определения до сравнения

По вариантам: одинаковые задания — разные числа

Найдите значение выражения a−5a12⋅a−15​ при a=4

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-106 · Степень с целым показателем и ее свойства

Степень
с целым показателем
и её свойства

Чтобы деление степеней работало при любых $m$ и $n$

Свойства те же — но теперь для любых целых $m$ , $n$

Почему $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ при отрицательном $n$ ?

Случай 1: $m = p, n = - q$ ; $p, q \in N$

Случай 2: $m = - p, n = - q$

$2^{- n} = (\frac{1}{2})^{n}$ : точки симметричны, все выше нуля

Упростите $(a^{- 3} b^{2})^{- 2} \cdot a^{- 5} b^{3}$

Найдите значение выражения $\frac{a ^{12} \cdot a ^{- 15}}{a ^{- 5}}$ при $a = 4$