Функции · урок 15 из 15 · обобщение

Функции:
вся тема
на одной карте

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-105

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 15/15 — последний урок строки, тип О (обобщение и систематизация). Единицы R06.1–R06.5. Перед ним — практикумы ALG8U-101…104; после — R07 «Степень с целым показателем» (ALG8U-106).
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин. Вся теория (сл. 1, 2, 4–7, 13, 21: цели, карта темы, способы задания, галерея графиков, сводная таблица монотонности, образец графического решения, итог) сохранена полностью; практика добавлена: разминка, «сам по образцу» после чтения графика и после графического метода, задания с самопроверкой, самостоятельная в двух вариантах.
Хронометраж: орг. момент 1 · цели 1 · разминка 2 (сл. 3) · карта темы 3 (сл. 4) · способы задания 2 (сл. 5) · галерея 2 (сл. 6) · сводная таблица 2 (сл. 7) · свойства по графику 3 + сам по образцу 2 (сл. 8–9) · $D (f)$ 2 · $E (f)$ 2 · самопроверка 3 (сл. 10–12) · графический метод: образец 2 + сам 3 (сл. 13–14) · параметр 2 (сл. 15) · реальный процесс 2 (сл. 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · самопроверка 2 (сл. 18) · самостоятельная 4 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · итог и ДЗ 1 (сл. 21).
Если не хватает времени: сл. 16 — только вопросы 1 и 4, задания 5–6 сл. 18 и ОГЭ (сл. 20) — в ДЗ.

R06.1–R06.5

Цели урока

Собрать тему «Функции» в одну систему

Язык функций

$D (f)$ , $E (f)$ , нули, промежутки знакопостоянства и монотонности — по формуле и по графику (ПР-25)

Графики

$y = k x$ , $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ — строить и описывать свойства (ПР-26)

Исследование

сколько корней у уравнения — по пересечению графиков, в том числе с параметром (ПР-22)

Модели

выражать формулой зависимость величин в реальном процессе (ПР-23)

1 мин · теория
ПР-25 «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику».
ПР-26 «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по ее графику».
ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-23 — переход от словесной формулировки к модели.
Вопрос классу: какое из четырёх умений вы считаете самым слабым у себя? Вернёмся к ответу на рефлексии.

R06.1 · R06.5 · подготовка

Разминка · устно

Назовите ответ — без записи

f (x) = x^{2} - 3

f (- 2) = ?

1

y = x

y (49) = ?

7

y = \frac{12}{x}

,

y = - 3

x = ?

x = - 4

куб числа

(- 3)^{3}

- 27

на графике

y = x

?

(4; - 2)

нет

где не определена?

\frac{5}{x + 3}

x = - 3

решите

x^{2} = 9

x = \pm 3

растёт или убывает?

y = - 2 x

убывает

R06.1–R06.5

Карта темы

Четыре ветви одной темы

3 мин · теория
Ветви появляются по щелчку. Перед каждой спросить: «Что сюда относится?» — и только потом показать.
Определение: функция — зависимость, при которой каждому значению $x$ из области определения соответствует ровно одно значение $y$ . Вопрос: является ли окружность графиком функции? (Нет: одному $x$ соответствуют два $y$ .)
Каждая ветвь — отдельный блок урока: способы (сл. 5), функции (сл. 6–7), свойства (сл. 8–12), применения (сл. 13–16).

R06.1 · R06.4

Способы задания функции

Одна функция — четыре записи

2 мин · теория
Вопросы: какая это зависимость? (обратная пропорциональность, $k = 12$ ). Почему $v > 0$ ? (скорость положительна — область определения задаёт смысл задачи, а не только формула).
Чем каждый способ удобен: формула — любое значение точно; таблица — сразу видно значения; график — наглядно видны свойства; описание — смысл.
Углублённо: таблица задаёт функцию только в своих точках; соединять точки линией можно, лишь когда известна формула или смысл.

R06.5

Изученные функции

Шесть графиков, которые надо узнавать сразу

y = k x

D = R, E = R

y = x^{2}

D = R, E = [0; + \infty)

y = x^{3}

D = R, E = R

y = x

D = E = [0; + \infty)

y = \frac{k}{x}, k > 0

D = E : x \neq = 0, y \neq = 0

y = \frac{k}{x}, k < 0

D = E : x \neq = 0, y \neq = 0

R06.3 · R06.5

Сводная таблица свойств

Монотонность: где растёт, где убывает

Функция	Возрастает	Убывает	Нули
$y = k x, k > 0$	на $R$	—	$x = 0$
$y = x^{2}$	на $[0; + \infty)$	на $(- \infty; 0]$	$x = 0$
$y = x^{3}$	на $R$	—	$x = 0$
$y = x$	на $[0; + \infty)$	—	$x = 0$
$y = \frac{k}{x}, k > 0$	—	на $(- \infty; 0)$ и на $(0; + \infty)$	нет

Гипербола убывает на каждом промежутке, но не на всей

D

:

- 1 < 1

, а

f (- 1) = - k < f (1) = k

.

2 мин · теория
Определение: $f$ возрастает на промежутке, если для любых $x_{1} < x_{2}$ из него $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .
Углублённо — доказательство для $x^{3}$ : $x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1}^{2}) > 0$ при $x_{1} < x_{2}$ , так как вторая скобка положительна (при $x_{1} \neq = x_{2}$ хотя бы одно не равно 0). Спросить сильных учеников, почему вторая скобка положительна.
Для $k < 0$ : $y = k x$ убывает на $R$ , $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из промежутков.
Ошибка: писать «убывает на $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ » — объединять промежутки монотонности нельзя (контрпример на слайде).

R06.3

Свойства по графику

Прочитайте всё, что умеете

$D (f)$	$[- 5; 6]$
$E (f)$	$[- 2; 4]$
нули	$- 4; - 1; 2$
$f > 0$	$(- 4; - 1) \cup (2; 6]$
$f < 0$	$[- 5; - 4) \cup (- 1; 2)$
растёт	$[- 5; - 3]$ , $[1; 4]$
убывает	$[- 3; 1]$ , $[4; 6]$
наиб./наим.	$4$ при $x = 4$ ; $- 2$

3 мин · практика
Ученики заполняют таблицу в тетради 2 минуты, затем проверка по щелчкам. Подсветка на оси (зелёная — $f > 0$ , красная — $f < 0$ ) и нули появляются вместе с ответами.
Наименьшее значение $- 2$ достигается дважды: при $x = - 5$ и при $x = 1$ .
Ошибки: путать $D$ (по оси $x$ ) и $E$ (по оси $y$ ); включать нули в промежутки знакопостоянства; писать промежутки монотонности по $y$ .
Дополнительный вопрос: сколько корней у уравнения $f (x) = 3$ ? (Два: на $[1; 4]$ и на $[4; 6]$ .) А $f (x) = - 2$ ? (Два: $x = - 5$ и $x = 1$ .)

R06.3

Свойства по графику · сам по образцу · самопроверка

Прочитайте другой график — по тому же плану

$D (f)$	$[- 4; 5]$
$E (f)$	$[- 2; 4]$
нули	$- 3; 1; 4$
$f > 0$	$(- 3; 1) \cup (4; 5]$
растёт	$[- 4; - 1]$ , $[2; 5]$
убывает	$[- 1; 2]$
$f (0)$	$2$
$f (x) = 1$	3 корня

2 мин · практика
Работают по образцу сл. 8: 1 мин заполняют таблицу в тетради, затем проверка по щелчкам (нули и прямая $y = 1$ появляются на графике).
Ответы. Ломаная через $(- 4; - 2)$ , $(- 1; 4)$ , $(2; - 2)$ , $(5; 1)$ . $D = [- 4; 5]$ , $E = [- 2; 4]$ . Нули: на первом звене $- 2 + 2 (x + 4) = 0$ → $x = - 3$ ; на втором $4 - 2 (x + 1) = 0$ → $x = 1$ ; на третьем $- 2 + (x - 2) = 0$ → $x = 4$ . $f > 0$ на $(- 3; 1) \cup (4; 5]$ , $f < 0$ на $[- 4; - 3) \cup (1; 4)$ . Растёт на $[- 4; - 1]$ и $[2; 5]$ , убывает на $[- 1; 2]$ . $f (0) = 4 - 2 = 2$ .
$f (x) = 1$ : $x = - 2, 5$ ; $x = 0, 5$ ; $x = 5$ (конец отрезка, $f (5) = 1$ — входит) — три корня. Наибольшее значение $4$ при $x = - 1$ , наименьшее $- 2$ при $x = - 4$ и $x = 2$ — спросить устно.
Ошибка: потерять корень $x = 5$ на границе $D$ .

R06.1 · область определения

Область определения

$D (f)$ : выписываем все ограничения

y = \frac{x - 2}{x - 5}

$x - 2 \geq 0, x - 5 \neq = 0$

$[2; 5) \cup (5; + \infty)$

y = 4 - x + x + 1

$4 - x \geq 0, x + 1 \geq 0$

$[- 1; 4]$

y = \frac{3}{x ^{2} - 4 x}

$x (x - 4) \neq = 0$

$x \neq = 0, x \neq = 4$

Знаменатель

\neq = 0

· под корнем

\geq 0

· ограничения по смыслу задачи

R06.3 · множество значений

Множество значений

$E (f)$ : «тень» графика на оси $y$

Функция	$E (f)$
$y = \frac{6}{x}, x \in [1; 3]$	$[2; 6]$
$y = x^{2} + 1$	$[1; + \infty)$
$y = 3 - x$	$(- \infty; 3]$
$y = x^{3}, x \in [- 1; 2]$	$[- 1; 8]$

R06.1 · R06.3

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Область определения и множество значений

Найдите $D (f)$

база $y = \frac{x + 1}{x ^{2} - 9}$ $(- \infty; - 3) \cup (- 3; 3) \cup (3; + \infty)$
база $y = 2 x - 6$ $[3; + \infty)$
повыш. $y = \frac{x + 4}{x ^{2} - 1}$ $[- 4; - 1) \cup (- 1; 1) \cup (1; + \infty)$

Найдите $E (f)$

база $y = x^{2} - 5$ $[- 5; + \infty)$
повыш. $y = 2 + x - 1$ $[2; + \infty)$
повыш. $y = x^{2}, x \in [- 3; 2]$ $[0; 9]$

3 мин · практика
2 мин самостоятельно, затем самопроверка всем классом — ответы по клику, ученики ставят «+» на полях.
1) $x^{2} - 9 \neq = 0$ → $x \neq = \pm 3$ . 2) $2 x - 6 \geq 0$ → $x \geq 3$ . 3) $x + 4 \geq 0$ и $x^{2} - 1 \neq = 0$ → $x \geq - 4$ , $x \neq = \pm 1$ .
4) $x^{2} \geq 0$ → $x^{2} - 5 \geq - 5$ , значение $- 5$ при $x = 0$ . 5) $x - 1 \geq 0$ принимает все значения от $0$ → $y \geq 2$ . 6) Функция не монотонна на $[- 3; 2]$ : наименьшее $0$ при $x = 0$ , наибольшее $(- 3)^{2} = 9$ → $[0; 9]$ .
Ловушка в 6): взять значения на концах $f (- 3) = 9$ , $f (2) = 4$ и ответить $[4; 9]$ — забыли вершину. Сравнить с замечанием к сл. 11.

R06.5 · графический метод

Функции и уравнения

Решите уравнение $x = 6 - x$

1. Пересечение

графики пересекаются в $(4; 2)$

2. Проверка

$4 = 2 = 6 - 4$ — верно

3. Других корней нет

левая часть возрастает, правая убывает

R06.2 · R06.5 · графический метод

Функции и уравнения · сам по образцу · самопроверка

Сколько корней? Найдите их графически

$x = 2 - x$ $x = 1$ ; один: ↗ и ↘
$x^{3} = 10 - x$ $x = 2$ ; один: ↗ и ↘
$\frac{6}{x} = x + 1$ два: $x = 2$ , $x = - 3$
$x^{2} = \frac{8}{x}$ $x = 2$ ; один

3 мин · практика
По образцу сл. 13: построить эскизы, найти точку пересечения, проверить подстановкой, объяснить, почему других корней нет. 2 мин работы, затем ответы по клику; рисунок справа — проверка задания 3 (точки пересечения появляются по клику).
1) $x = 1$ : $1 = 1 = 2 - 1$ ; левая часть возрастает, правая убывает — корень единственный. 2) $x = 2$ : $8 = 10 - 2$ ; $x^{3}$ возрастает, $10 - x$ убывает — один корень.
3) Гипербола и прямая пересекаются дважды: $x = 2$ ( $3 = 3$ ) и $x = - 3$ ( $- 2 = - 2$ ). Алгебраически: $x^{2} + x - 6 = 0$ , $x \neq = 0$ . Приём «одна растёт, другая убывает» не работает: гипербола убывает только на каждом промежутке отдельно.
4) $x^{2} = \frac{8}{x}$ ⇔ $x^{3} = 8$ , $x \neq = 0$ → $x = 2$ (проверка $4 = 4$ ). При $x < 0$ левая часть положительна, правая отрицательна — пересечений нет.

R06.5 · исследование

Исследование с параметром

Сколько корней у уравнения $f (x) = a$ ?

$a$	корней
$a < 0$	$0$
$0 < a < 1$	$3$
$a = 1$	$2$
$a > 1$	$1$
$a = 0$	$1$

2 мин · практика
Ученики называют число корней для каждого случая, строка таблицы открывается по клику. $f (x) = x^{2}$ при $x \leq 1$ , $f (x) = \frac{1}{x}$ при $x > 1$ ; в точке $x = 1$ значение $1$ (закрашенная точка). Прямая $y = a$ «едет» снизу вверх — считаем точки пересечения.
$0 < a < 1$ : $x = \pm a$ (оба $\leq 1$ ) и $x = \frac{1}{a} > 1$ — три корня. $a = 1$ : $x = - 1$ , $x = 1$ ; у ветви $\frac{1}{x}$ решение $x = 1$ не подходит ( $x > 1$ ) — два корня. $a > 1$ : только $x = - a$ . $a = 0$ : $x = 0$ (гипербола 0 не принимает).
Ошибка: забыть пограничные значения $a = 0$ и $a = 1$ . Именно они чаще всего спрашиваются в задании 22 ОГЭ.

R06.4

График реального процесса

Поездка: расстояние от дома

Скорость на каждом участке?
Сколько длилась стоянка?
Формула $s (t)$ при $t \in [1, 5; 3]$ ?
Когда автомобиль был в 30 км от дома?

типичные ошибки

Найдите ошибку

Четыре ловушки темы

« $y = \frac{2}{x}$ убывает на $D$ »

Нет: на каждом из промежутков $(- \infty; 0)$ и $(0; + \infty)$ отдельно.

« $E (x - 1) = [0; + \infty)$ »

Нет: $x \geq 0$ , значит, $E = [- 1; + \infty)$ .

« $y = \frac{x ^{2} - x}{x}$ — это $y = x - 1$ »

Только при $x \neq = 0$ : на графике точка $(0; - 1)$ выколота.

«Точка $(- 2; - 8)$ не на графике $y = x^{3}$ »

На графике: $(- 2)^{3} = - 8$ . Куб отрицательного числа отрицателен.

R06.1–R06.5

Задания с самопроверкой · база, повышенный, эксперт

По всем единицам темы

база Найдите $D (f)$ : $y = \frac{x + 3}{x ^{2} - x}$ . $[- 3; 0) \cup (0; 1) \cup (1; + \infty)$
база Принадлежит ли графику $y = x$ точка $B (9; - 3)$ ? А графику $y = x^{3}$ — точка $A (- 2; - 8)$ ? $B$ — нет, $A$ — да
повыш. Найдите $E (f)$ : $y = \frac{8}{x}, x \in [2; 8]$ . $[1; 4]$
повыш. Сколько корней у уравнения $x^{3} = \frac{1}{x}$ ? Ответ обоснуйте графиками. два: $\pm 1$
практика Бак на 60 л наполняется со скоростью $v$ л/мин. Задайте формулой время $t (v)$ ; найдите $t (4)$ . $t = \frac{60}{v}$ ; 15 мин
эксперт При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком $y = - \frac{2}{x}$ ? $k \geq 0$

R06.1–R06.5

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$D (f)$ : $y = \frac{x + 2}{x - 3}$ $[- 2; 3) \cup (3; + \infty)$
$E (f)$ : $y = \frac{10}{x}, x \in [2; 5]$ $[2; 5]$
Сколько корней у $x = x - 2$ ? один: $x = 4$
Лежит ли $A (- 3; 27)$ на графике $y = x^{3}$ ? нет

Вариант 2

$D (f)$ : $y = \frac{4 - x}{x + 1}$ $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 4]$
$E (f)$ : $y = \frac{12}{x}, x \in [3; 6]$ $[2; 4]$
Сколько корней у $x = x - 6$ ? один: $x = 9$
Лежит ли $B (- 4; 2)$ на графике $y = - \frac{8}{x}$ ? да

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах (ответы по клику).
Вариант 1: 1) $x + 2 \geq 0$ , $x \neq = 3$ → $[- 2; 3) \cup (3; + \infty)$ . 2) $\frac{10}{x}$ убывает: $f (2) = 5$ , $f (5) = 2$ → $[2; 5]$ . 3) $x$ растёт медленнее прямой: одна точка пересечения $x = 4$ ( $2 = 4 - 2$ ); алгебраически $x \geq 2$ , $x = x^{2} - 4 x + 4$ → $x = 1$ (не подходит: $1 - 2 < 0$ ) или $x = 4$ . 4) $(- 3)^{3} = - 27 \neq = 27$ — нет.
Вариант 2: 1) $4 - x \geq 0$ , $x \neq = - 1$ → $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 4]$ . 2) убывает: $f (3) = 4$ , $f (6) = 2$ → $[2; 4]$ . 3) $x \geq 6$ , $x = x^{2} - 12 x + 36$ → $x = 4$ (не подходит) или $x = 9$ ( $3 = 9 - 6$ ) — один корень. 4) $- \frac{8}{- 4} = 2$ — да.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Задания: 1 — область определения, 2 — множество значений, 3 — графическое решение, 4 — точка на графике.

ОГЭ · линия 22

Формат ОГЭ · задание 22

Выколотая точка решает всё

Постройте график функции

y = \frac{4 x - 4}{x ^{2} - x}

и определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

y = \frac{4 ( x - 1 )}{x ( x - 1 )} = \frac{4}{x}, x \neq = 1

$k x = \frac{4}{x}$ → две точки при $k > 0$ ; одна выпадет, если она — $(1; 4)$ .

2 мин · практика (формат ОГЭ)
Ответ: $k = 4$ (при нехватке времени — в ДЗ).
Решение: $D$ : $x \neq = 0$ , $x \neq = 1$ . После сокращения — гипербола $y = \frac{4}{x}$ без точки $(1; 4)$ . Уравнение $k x = \frac{4}{x}$ ⇔ $x^{2} = \frac{4}{k}$ : при $k \leq 0$ общих точек нет, при $k > 0$ — две, симметричные относительно $O$ . Ровно одна остаётся, когда вторая — выколотая $(1; 4)$ : $k \cdot 1 = 4$ , $k = 4$ ; тогда остаётся точка $(- 1; - 4)$ .
Критерии ОГЭ (2 балла): график построен верно (с выколотой точкой), значение $k$ найдено верно. Без выколотой точки — 0 баллов.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графику найти $D (f)$ и $E (f)$ ?
Почему $y = \frac{1}{x}$ не убывает на всей $D$ ?
Как доказать, что корень единственный?

Домашнее задание

$D (f)$ : $y = 6 - x + \frac{1}{x + 2}$
Постройте $y = \frac{2 x ^{2} - 2 x}{x ^{3} - x ^{2}}$ ; при каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком одну общую точку?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-105 · Обобщение и систематизация по теме «Функции»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 15/15 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R06.1 → 3, 4, 5, 10, 12, 19 · R06.2 → 6, 13, 14, 20 · R06.3 → 7, 8, 9, 11, 12, 19 · R06.4 → 5, 16, 18 · R06.5 → 3, 6, 7, 13–15, 18, 20
Результаты	ПР-25 → 3–5, 8–12, 17, 19 · ПР-26 → 6–9, 14, 20 · ПР-22 → 13–15, 18–20 · ПР-23 → 5, 16, 18 · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Вне урока	степень с целым показателем — ALG8U-106; квадратичная функция и преобразования графиков — 9 класс
ОГЭ	линия 22 (сл. 20)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Функции:вся темана одной карте

Собрать тему «Функции» в одну систему

Язык функций

Графики

Исследование

Модели

Назовите ответ — без записи

Четыре ветви одной темы

Одна функция — четыре записи

Шесть графиков, которые надо узнавать сразу

Монотонность: где растёт, где убывает

Прочитайте всё, что умеете

Прочитайте другой график — по тому же плану

D(f): выписываем все ограничения

E(f): «тень» графика на оси y

Область определения и множество значений

Найдите D(f)

Найдите E(f)

Решите уравнение x​=6−x

1. Пересечение

2. Проверка

3. Других корней нет

Сколько корней? Найдите их графически

Сколько корней у уравнения f(x)=a?

Поездка: расстояние от дома

Четыре ловушки темы

«y=x2​ убывает на D»

«E(x​−1)=[0;+∞)»

«y=xx2−x​ — это y=x−1»

«Точка (−2;−8) не на графике y=x3»

По всем единицам темы

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Выколотая точка решает всё

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-105 · Обобщение и систематизация по теме «Функции»

Функции:
вся тема
на одной карте

$D (f)$ : выписываем все ограничения

$E (f)$ : «тень» графика на оси $y$

Найдите $D (f)$

Найдите $E (f)$

Решите уравнение $x = 6 - x$

Сколько корней у уравнения $f (x) = a$ ?

« $y = \frac{2}{x}$ убывает на $D$ »

« $E (x - 1) = [0; + \infty)$ »

« $y = \frac{x ^{2} - x}{x}$ — это $y = x - 1$ »

«Точка $(- 2; - 8)$ не на графике $y = x^{3}$ »