Функции · урок 14 из 15 · практикум

Графики функций,
отражающие
реальные процессы

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-104

1 мин · теория
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 14/15, единица R06.4 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы». Тип П (практикум). Новый материал — ALG8U-094 (путь пешехода, велосипедист, температура, баки, сосуды, такси, падение), первый практикум — ALG8U-099. Сегодня — новые типы: путь → скорость, встреча и обгон с параметром, сравнение тарифов (кусочные функции), нагревание с фазовыми переходами, обратная пропорциональность, «возможен ли график». Завтра — обобщение ALG8U-105.
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория (все теоретические слайды сохранены полностью) — титул 1, цели 1 (сл. 2), образцы: путь → скорость 2 (сл. 5), обгон 2 (сл. 7), тарифы 2 (сл. 10), обратная пропорциональность 2 (сл. 13), четыре ловушки 2 (сл. 18), итог и ДЗ 2 (сл. 22). Практика — разминка 2 (сл. 3), актуализация 2 (сл. 4), «ваша очередь» после каждого образца: турист 2,5 (сл. 6), велосипедисты 2,5 (сл. 8), параметр 3 (сл. 9), три тарифа 2,5 (сл. 11), нагревание 2 (сл. 12); задания с самопроверкой 2,5 + 2 (сл. 14, 15), «может ли быть» 1 (сл. 16), обратная задача 1 (сл. 17), найдите ошибку 2 (сл. 19), повышенный уровень и ОГЭ 2 (сл. 20), самостоятельная работа 4 (сл. 21).
Если не успеваете: сл. 16 и 17 — устно по 30 секунд, задачи сл. 20 — в ДЗ. Теорию не сокращать — сокращать паузы на практике.

R06.4

Цели урока

График — это модель процесса: читаем, строим, сравниваем

Читать график процесса

находить значение одной величины по другой, скорость изменения, среднюю скорость (ПР-25)

Строить модель

выражать формулой зависимость, в том числе кусочно (ПР-23)

Исследовать

встреча, обгон, выгодный тариф — через пересечение графиков; задачи с параметром (ПР-22)

Интерпретировать

переводить ответ с языка графика на язык жизни и обратно (ПР-23)

1 мин · теория
ПР-25: «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику».
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…».
Виды деятельности ФРП: «Исследовать примеры графиков, отражающих реальные процессы и явления. Приводить примеры процессов и явлений с заданными свойствами. Выражать формулой зависимость между величинами. Описывать характер изменения одной величины в зависимости от изменения другой».

повторение · R06.4

Разминка · устно

Скорость, путь, время, стоимость

180 км за 3 ч. Скорость? 60 км/ч
80 км/ч, 2,5 ч. Путь? 200 км
15 км при 5 км/ч. Время? 3 ч
Решите: $40 t = 25 t + 45$ $t = 3$

200 ₽ + 3 ₽/мин. Цена 100 мин? 500 ₽
В бак 20 л/мин. За 7 мин? 140 л
1 клетка — 30 км. А 4 клетки? 120 км
$y = \frac{120}{x}$ . Найдите $y (40)$ $3$

R06.4 · повторение

Актуализация · s — расстояние от дома

Какой график к какой истории?

1. Сходил в магазин и вернулся домой

2. Шёл в школу, постоял у светофора, пошёл дальше

3. Сидел у друга, потом пошёл домой

1 — Б, 2 — А, 3 — В. На каком участке Б скорость больше?

R06.4 · тип 1

Тип 1 · образец · велосипедист

По графику пути — скорость: $v = \frac{Δ s}{Δ t}$ на каждом участке

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
s — расстояние от дома. Участки: 0–1 ч: 12 км за 1 ч → 12 км/ч; 1–1,5 ч: стоянка → 0; 1,5–2,5 ч: 30 − 12 = 18 км за 1 ч → 18 км/ч; 2,5–4,5 ч: обратно 30 км за 2 ч → 15 км/ч.
Скорость берём по модулю (быстрота движения). На обратном пути s убывает, но скорость положительна — это частый вопрос класса. «Скорость удаления» на обратном пути равна −15 км/ч — можно упомянуть для сильных.
Главная мысль углублённого уровня: график v(t) «ступенчатый», и площадь под ним равна пройденному пути: 12·1 + 0 + 18·1 + 15·2 = 60 км. Это связь двух графиков одного процесса.
Вопрос: «Почему на графике s(t) нет вертикальных участков?» (нельзя мгновенно переместиться).

R06.4 · тип 1

Тип 1 · ваша очередь · турист

Турист ушёл от лагеря и вернулся

Скорость на участках OA, AB, BC
Средняя скорость за 4 ч
Средняя скорость в движении
Постройте график $v (t)$

v_{ср} = \frac{весь путь}{всё время}

R06.4 · тип 2

Тип 2 · образец · обгон

Из A: автобус — 60 км/ч, через 1 ч автомобиль — 90 км/ч

s_{1} = 60 t

автобус

s_{2} = 90 (t - 1), t \geq 1

автомобиль

60 t = 90 (t - 1)

точка пересечения — обгон

t = 3, s = 180

через 2 ч после выезда, в 180 км от A

R06.4 · тип 2

Тип 2 · ваша очередь · самопроверка

Два велосипедиста выехали из A

Кто выехал позже и на сколько?
2-й, на 1 ч
Скорость каждого?
50 км/ч и 75 км/ч
Когда и где 2-й догнал 1-го?
$t = 3$ ч, 150 км от A
Пешеход — 4 км/ч, через 2 ч за ним велосипедист — 12 км/ч. Где догонит?
в 12 км от A, при $t = 3$ ч

R06.4 · тип 2 · параметр

Тип 2 · исследование с параметром

При какой скорости $v$ автомобиль догонит автобус не дальше 240 км от A?

s_{2} = v (t - 1)

все прямые — из точки (1; 0)

60 t = 240 \Rightarrow t = 4

автобус в 240 км

v \cdot (4 - 1) \geq 240

v \geq 80

км/чпри

v \leq 60

не догонит никогда

3 мин · практика (исследование вместе с классом: ученики предлагают значения v и проверяют по графику)
Условие: автобус 60 км/ч выезжает в t = 0, автомобиль — через 1 ч со скоростью v. Графики автомобиля — «веер» прямых из точки (1; 0); чем больше v, тем круче прямая.
Граничная прямая проходит через точку (4; 240), где автобус пересекает линию 240 км: v = 240 : 3 = 80 км/ч. При v = 100 встреча в точке (2,5; 150): 60t = 100(t − 1) ⇒ t = 2,5. При v = 70 встреча в 420 км — вне рисунка (слишком далеко). При v = 60 прямые параллельны — не догонит; при v < 60 расстояние растёт.
Ответ: v ≥ 80 км/ч. Это пример ПР-22: исследование уравнения 60t = v(t − 1) графически (есть ли решение и где оно).

R06.4 · тип 3

Тип 3 · образец · кусочная функция

A: 300 ₽, включено 400 мин, далее 2 ₽/мин. B: 1,5 ₽/мин

A (x) = {300, 300 + 2 (x - 400), x \leq 400 x > 400

B (x) = 1, 5 x

1, 5 x = 300 \Rightarrow x = 200

1, 5 x = 2 x - 500 \Rightarrow x = 1000

A выгоднее при $200 < x < 1000$ мин

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Модель: A(x) — кусочная функция (до 400 мин постоянна, дальше растёт на 2 ₽ за минуту): 300 + 2(x − 400) = 2x − 500. B(x) = 1,5x — прямая пропорциональность.
Пересечения: на первом куске 1,5x = 300 ⇒ x = 200 (200 ≤ 400 — подходит); на втором 1,5x = 2x − 500 ⇒ x = 1000 (1000 > 400 — подходит). Проверка: A(1000) = 300 + 1200 = 1500, B(1000) = 1500.
Ответ читаем по рисунку: где фиолетовый график ниже розового. При x < 200 и x > 1000 выгоднее B, при 200 и 1000 — одинаково.
Ошибка: решать только одно уравнение 1,5x = 300 и не заметить второе пересечение — график сразу показывает, что их два.

R06.4 · тип 3

Тип 3 · ваша очередь · три тарифа

Какой тариф выбрать?

1	«Безлимит»: 600 ₽ в месяц
2	«Поминутный»: 120 ₽ + 0,8 ₽/мин
3	«Пакет»: 350 ₽ за 300 мин, далее 1,5 ₽/мин

Стоимость 500 мин по каждому тарифу
Сколько минут нужно, чтобы «Безлимит» был выгоднее «Поминутного»?
Запишите формулу «Пакета»

R06.4 · тип 4

Тип 4 · процесс с «полками»

Лёд нагревают на плитке: температура от времени

Сколько минут длилось плавление?
На сколько градусов в минуту нагревалась вода?
Когда $T = 50$ °C?

T = 10 (t - 5), 5 \leq t \leq 15

формула участка «вода»

«Полка» — тепло идёт на смену состояния, а не на нагрев

2 мин · практика
Ответы: 1) с 1-й по 5-ю минуту — 4 мин; 2) от 0 до 100 °C за 10 мин — 10 °C/мин; 3) 10(t − 5) = 50 ⇒ t = 10 мин.
Углубление: запишите формулу всего процесса — кусочная функция: T = −20 + 20t при 0 ≤ t ≤ 1; T = 0 при 1 < t ≤ 5; T = 10(t − 5) при 5 < t ≤ 15; T = 100 при 15 < t ≤ 20. Лёд нагревается быстрее воды (20 °C/мин против 10) — связь с физикой: у льда меньше удельная теплоёмкость.
Ошибка: считать, что на «полке» плитку выключили. Плитка работает — меняется агрегатное состояние.

R06.4 · R06.5

Реальный процесс · обратная пропорциональность

Дорога 120 км: время в пути от скорости

t = \frac{120}{v}

$v$	20	40	60	120
$t$	6	3	2	1

Каждый следующий час экономии «стоит» всё большей прибавки скорости

R06.4 · R06.5

Задания с самопроверкой · 1

Запишите формулу процесса и ответьте

базаСвеча 24 см сгорает равномерно за 6 ч. Запишите $h (t)$ . Когда останется 10 см?
$h = 24 - 4 t$ ; $t = 3, 5$ ч
базаВода 20 °C в чайнике нагревается на 16 °C в минуту. Запишите $T (t)$ . Когда закипит?
$T = 20 + 16 t$ ; $t = 5$ мин
базаБассейн 600 м³ наполняет насос, $q$ м³/ч. Запишите $t (q)$ . Найдите $t$ при $q = 50$ . $t = \frac{600}{q}$ ; 12 ч
повыш.5 рабочих делают работу за 12 дней. Сколько нужно рабочих, чтобы успеть за 7 дней? $d = \frac{60}{n} \leq 7 \Rightarrow n = 9$

R06.4

Задания с самопроверкой · 2 · чтение графика

Петя катался на велосипеде: s — расстояние от дома

базаГде был Петя через 15 мин? 6 км
базаСкорость на 1-м участке? 24 км/ч
базаСколько минут стоял? 10
повыш.Средняя скорость за поездку? 20 км/ч
повыш.Когда был в 5 км от дома?
на 12,5-й и 50-й мин

R06.4

Строгость · функция и реальность

Может ли процесс иметь такой график?

Ось времени «идёт только вперёд»: каждому моменту — ровно одно значение

1 мин · практика
Сначала дать классу по 20 секунд подумать над каждым рисунком, потом открыть подписи.
1) Вертикальный отрезок на графике расстояния — мгновенное перемещение, физически невозможно (и это уже не график функции: в момент скачка много значений). 2) Кривая «возвращается назад по времени»: при t, отмеченном пунктиром, три положения — не функция. 3) Ступенчатая функция — реальна: оплата за каждый начатый час, тариф такси по зонам, почтовый тариф по массе. Закрашенная точка — значение входит, пустая — нет.
Вопрос для сильных: «Может ли быть вертикальный скачок на графике стоимости?» (да — цена меняется скачком, но в каждой точке одно значение).

R06.4

Обратная задача · от свойств к процессу

Придумайте процесс с такими свойствами

$D (y) = [0; 60]$ мин
растёт на $[0; 10]$
постоянна на $[10; 40]$
убывает на $[40; 60]$
$y (0) = y (60) = 0$

Например: уровень воды в ванне — набрали, помылись, слили

1 мин · практика
Сначала эскиз графика (одна из возможных форм — ломаная), потом 2–3 истории от класса: уровень воды в ванне; расстояние от дома (дошёл до бассейна за 10 мин, плавал 30 мин, вернулся за 20 мин); громкость музыки на уроке физкультуры.
Вопрос: «Каким будет график, если вода сливается быстрее, чем набирается?» (правый участок круче левого — но здесь убывание длится 20 мин, рост 10 мин, значит слив медленнее). Это вид деятельности ФРП «Приводить примеры процессов и явлений с заданными свойствами».

R06.4

Типичные ошибки

Четыре ловушки графиков процессов

1. График пути — не дорога

«горка» — подъём в гору

«горка» — ушёл и вернулся

2. Средняя скорость

$\frac{v _{1} + v _{2}}{2}$

$\frac{s _{весь}}{t _{всё}}$

3. Горизонталь на $v (t)$

стоянка

скорость постоянна; стоянка — $v = 0$

4. Масштаб осей

считать клетки

читать подписи: 1 клетка = 60 км

R06.4

Найдите ошибку

Ученик составил модели так. Что не так?

Запись ученика	Ошибка	Верно
1) Туда 30 км/ч, обратно 20 км/ч: $v_{ср} = 25$ км/ч	среднее арифметическое	24 км/ч
2) Выехал через 2 ч после автобуса, 80 км/ч: $s = 80 t$	забыт сдвиг	$s = 80 (t - 2)$
3) Такси: посадка 100 ₽ + 25 ₽/км: $C = 125 x$	посадку умножили	$C = 100 + 25 x$
4) Путь 60 км: $t = 60 v$	$t$ и $v$ обратно пропорциональны	$t = \frac{60}{v}$
5) Бак 200 л, сливают 8 л/мин: $V = 8 t$	объём убывает	$V = 200 - 8 t$

R06.4

Задачи повышенного уровня · формат ОГЭ

Решите

базаМашина ехала 2 ч со скоростью 70 км/ч, стояла 0,5 ч, затем 1,5 ч ехала со скоростью 80 км/ч. Постройте график $s (t)$ и найдите среднюю скорость.
повыш.В пустой бак вода поступает по 20 л/мин. Через 4 мин открыли слив 30 л/мин, подача продолжается. Запишите $V (t)$ . Когда бак опустеет?
повыш.Пешеход вышел из A (5 км/ч), через $t_{0}$ ч за ним выехал велосипедист (15 км/ч). При каких $t_{0}$ он догонит пешехода не дальше 12 км от A?

практикаТарифы со сл. 11: при каком целом числе минут «Пакет» дешевле «Поминутного»?
ОГЭ, линия 21Первый велосипедист выехал из посёлка со скоростью 15 км/ч. Через час за ним выехал второй со скоростью 10 км/ч, ещё через час — третий. Найдите скорость третьего, если он догнал второго, а через 2 ч 20 мин после этого — первого.

2 мин · практика (формат ОГЭ, линия 21: разобрать 1–2 задачи по выбору учителя — например, 1 и 5; остальные — в ДЗ)
Ответы. 1) путь 140 + 120 = 260 км за 4 ч → 65 км/ч. 2) V = 20t при 0 ≤ t ≤ 4 (V(4) = 80 л); V = 80 − 10(t − 4) при t > 4; бак пуст при t = 12 мин. 3) пешеход в 12 км при t = 2,4 ч; велосипедист проезжает 12 км за 0,8 ч ⇒ выехать не позже 2,4 − 0,8 = 1,6 ч: 0 < t₀ ≤ 1,6 ч (при t₀ = 0 — выезжают вместе, догонять не нужно). 4) П(x) < М(x): при x ≤ 300: 350 < 120 + 0,8x ⇒ x > 287,5; при x > 300: 350 + 1,5(x − 300) < 120 + 0,8x ⇒ 0,7x < 220 ⇒ x < 314,28…; ответ: от 288 до 314 мин (проверка: x = 314: 371 < 371,2; x = 315: 372,5 > 372).
5) Пусть v км/ч — скорость третьего, τ — время после его выезда. В момент выезда третьего второй впереди на 10 км, первый — на 30 км. τ₁ = 10/(v − 10), τ₂ = 30/(v − 15), τ₂ − τ₁ = 7/3 ⇒ 7v² − 235v + 1500 = 0, D = 115², v = 25 или v = 60/7 < 15 (не догонит первого). Ответ: 25. Проверка: τ₁ = 2/3 ч, τ₂ = 3 ч, разность 2⅓ ч = 2 ч 20 мин.
На уроке — 1–2 задачи, остальные — в ДЗ. Задание 5 полезно проиллюстрировать тремя прямыми s(t) на одной координатной плоскости.

R06.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам

Вариант 1

Ехал 3 ч (36 км), стоял 1 ч, вернулся за 2 ч. Средняя скорость? 12 км/ч
150 ₽ + 4 ₽/мин. Формула $C (x)$ ; сколько минут на 550 ₽?
$C = 150 + 4 x$ ; 100 мин
Пешеход 5 км/ч, через 1 ч велосипедист 15 км/ч. Через сколько часов догонит? 0,5 ч
Путь 90 км: $t (v)$ ; при какой $v$ время 1,5 ч?
$t = \frac{90}{v}$ ; 60 км/ч

Вариант 2

Шёл 3 ч (12 км), стоял 1 ч, вернулся за 2 ч. Средняя скорость? 4 км/ч
200 ₽ + 3 ₽/мин. Формула $C (x)$ ; сколько минут на 500 ₽?
$C = 200 + 3 x$ ; 100 мин
Пешеход 6 км/ч, через 1 ч велосипедист 18 км/ч. Через сколько часов догонит? 0,5 ч
Путь 80 км: $t (v)$ ; при какой $v$ время 2 ч?
$t = \frac{80}{v}$ ; 40 км/ч

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: 1) путь 36 + 36 = 72 км, время 3 + 1 + 2 = 6 ч → 12 км/ч. 2) C = 150 + 4x; 150 + 4x = 550 ⇒ x = 100 мин. 3) 5t = 15(t − 1) ⇒ 10t = 15 ⇒ t = 1,5 ч от выхода пешехода; велосипедист в пути 0,5 ч (7,5 км от A: 15 · 0,5 = 5 · 1,5). 4) t = 90/v; 90/v = 1,5 ⇒ v = 60 км/ч.
Вариант 2: 1) путь 24 км, время 6 ч → 4 км/ч. 2) C = 200 + 3x; 200 + 3x = 500 ⇒ x = 100 мин. 3) 6t = 18(t − 1) ⇒ 12t = 18 ⇒ t = 1,5 ч; велосипедист в пути 0,5 ч (9 км от A). 4) t = 80/v; 80/v = 2 ⇒ v = 40 км/ч.
Ловушки: в 1) брать путь в одну сторону; в 3) отвечать 1,5 ч (это время пешехода). Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что на графике означает встреча двух объектов?
Как по графику $s (t)$ найти скорость?
Почему на графике процесса нет «петель»?

Домашнее задание

Такси: «Эконом» 100 ₽ + 20 ₽/км, «Комфорт» 250 ₽ + 15 ₽/км. С какого расстояния «Комфорт» дешевле? Постройте оба графика.
Из A и B (60 км) навстречу: из A в $t = 0$ — 20 км/ч, из B через 0,5 ч — со скоростью $v$ . При каких $v$ встреча дальше 30 км от A?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-104 · Практикум: примеры графиков функций, отражающих реальные процессы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 14/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.4 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы» → 3–22 (опора на R06.5 — сл. 13, 14)
Результаты	ПР-25 (функциональные понятия, значение по аргументу, свойства по графику) → 3–6, 8, 12, 13, 15, 16 · ПР-23 (модель задачи, интерпретация) → 7, 10–12, 14, 17, 19–21 · ПР-22 (исследование уравнений графически) → 9, 10, 20
Вне урока	свойства и графики $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ — ALG8U-095, ALG8U-100; обобщение темы «Функции» — ALG8U-105
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 7, 10, 13, 18, 22) · практика 31 мин (сл. 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14–17, 19–21) — 69 %
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графики функций,отражающиереальные процессы

График — это модель процесса: читаем, строим, сравниваем

Читать график процесса

Строить модель

Исследовать

Интерпретировать

Скорость, путь, время, стоимость

Какой график к какой истории?

По графику пути — скорость: v=ΔtΔs​ на каждом участке

Турист ушёл от лагеря и вернулся

Из A: автобус — 60 км/ч, через 1 ч автомобиль — 90 км/ч

Два велосипедиста выехали из A

При какой скорости v автомобиль догонит автобус не дальше 240 км от A?

A: 300 ₽, включено 400 мин, далее 2 ₽/мин. B: 1,5 ₽/мин

Какой тариф выбрать?

Лёд нагревают на плитке: температура от времени

Дорога 120 км: время в пути от скорости

Запишите формулу процесса и ответьте

Петя катался на велосипеде: s — расстояние от дома

Может ли процесс иметь такой график?

Придумайте процесс с такими свойствами

Четыре ловушки графиков процессов

1. График пути — не дорога

2. Средняя скорость

3. Горизонталь на v(t)

4. Масштаб осей

Ученик составил модели так. Что не так?

Решите

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-104 · Практикум: примеры графиков функций, отражающих реальные процессы

Графики функций,
отражающие
реальные процессы

По графику пути — скорость: $v = \frac{Δ s}{Δ t}$ на каждом участке

При какой скорости $v$ автомобиль догонит автобус не дальше 240 км от A?

3. Горизонталь на $v (t)$