Функции · урок 13 из 15 · практикум

Чтение свойств
функции по графику:
сложные случаи

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-103

Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 13/15, единица R06.3 «Чтение свойств функции по ее графику». Тип П (практикум), второй практикум по этой единице. Было: ALG8U-093 (новый материал: D, E, нули, знаки, монотонность, наибольшее/наименьшее, f(x) = a), ALG8U-098 (первый практикум), ALG8U-102 (практикум «График функции»). Дальше: ALG8U-104 (графики реальных процессов), ALG8U-105 (обобщение по теме).
1 мин · теория. Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Хронометраж: титул 1 т · цели 1 т (сл. 2) · разминка 3 п + блиц 2 п (сл. 3–4) · тип 1 «число корней f(x) = a»: образец 3 т, задание в парах 3 п, сам 2 п (сл. 5–7) · тип 2 «f(x) ≥ g(x)»: образец 2 т, сам 2 п (сл. 8–9) · тип 3 «(x − c)·f(x) ≤ 0»: образец 2 т (сл. 10) · задание на типы 2–3 3 п (сл. 11) · тип 4 «выколотая точка»: образец 3 т, сам 2 п, ОГЭ-22 3 п (сл. 12–14) · типичные ошибки 1 т (сл. 15) · найди ошибку 2 п (сл. 16) · «Дополнительно» 1 т (сл. 17) · комплексное задание 3 п (сл. 18) · самостоятельная по вариантам 4 п (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 2 п (сл. 20). Теоретические слайды (образцы, ошибки, «Дополнительно») оставлены полностью; время освобождено за счёт темпа показа, а практика добавлена.
На титуле: функция f из образца (сл. 5); прямая y = 0 пересекает график в 4 точках — один из «особых» случаев урока (конец графика лежит на прямой).

R06.3

Цели урока

Четыре типа задач на чтение графика

1Параметр

число корней $f (x) = a$ при всех $a$ (ПР-22, ПР-26)

2Два графика

решать $f (x) \geq g (x)$ по рисунку (ПР-24, ПР-25)

3Знаки

решать $(x - c) \cdot f (x) \leq 0$ методом интервалов (ПР-24, ПР-26)

4Выколотые точки

свойства $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ , линия 22 ОГЭ (ПР-25, ПР-22)

1 мин · теория
ПР-25: «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». ПР-26: «…описывать свойства числовой функции по ее графику». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-24: «…давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства».
Вид деятельности ФРП: «Описывать свойства функции на основе ее графического представления»; «Использовать функционально-графические представления для решения и исследования уравнений».

повторение: R06.3

Актуализация · устно

Разминка: паспорт функции $f$

Вопрос	Ответ
$D (f)$	$[- 6; 5]$
$E (f)$	$[- 3; 3]$
$f (0)$	$1$
$f (x) = 3$	$x = - 6; - 1$
возрастает	на $[- 4; - 1]$ и на $[2; 5]$

повторение: R06.3

Разминка · блиц · устно

Шесть быстрых вопросов по графику $f$

$f (- 4) = ?$ $- 1$
$f (2) = ?$ $- 3$
Наибольшее значение $f$ ? $3$
Корней у $f (x) = - 3$ ? один
Знак $f (4)$ ? минус
Сколько раз $f$ меняет знак? 3

2 мин · практика
Устно, в темпе: вопрос — 15–20 секунд, отвечают хором или поднятой карточкой, затем ответ кликом. График тот же, что на разминке (сл. 3): вершины (−6; 3), (−4; −1), (−1; 3), (2; −3), (5; 0), концы закрашены.
1) f(−4) = −1 (вершина). 2) f(2) = −3 (вершина). 3) Наибольшее 3 — в точках x = −6 и x = −1. 4) f(x) = −3 — только x = 2, один корень.
5) На [2; 5] f(x) = x − 5, f(4) = −1 < 0 — минус. 6) Нули −4,5; −3,25; 0,5; 5 (3 − 2(x + 6) = 0 ⇒ x = −4,5; −1 + 4/3·(x + 4) = 0 ⇒ x = −3,25; 3 − 2(x + 1) = 0 ⇒ x = 0,5). Знак меняется в −4,5, −3,25 и 0,5 — 3 раза; в x = 5 график кончается, смены знака нет.

R06.3 · тип 1

Тип 1 · образец · «лента» параметра

Сколько корней у $f (x) = a$ при каждом $a$ ?

3 мин · теория (образец разбирает учитель)
Корни f(x) = a — абсциссы общих точек графика и прямой y = a. Прямую двигаем снизу вверх; число точек меняется только на «особых» уровнях: ординаты вершин и концов графика (−3, −1, 0, 3). Их и отмечаем сначала (4 шага рисунка).
Проверка уровней: a = 3 — x = −6 и −1 (2 корня); a = 0 — x = −4,5; −3,25; 0,5; 5 (4 корня, последний — конец графика); a = −1 — x = −4; 1; 4 (3 корня); a = −3 — x = 2 (1 корень).
Между уровнями берём «пробное» значение: a = 1 — 3 корня; a = −0,5 — 4 корня; a = −2 — 2 корня.
Итог (лента): a < −3 или a > 3 — 0; a = −3 — 1; −3 < a < −1 — 2; a = −1 — 3; −1 < a ≤ 0 — 4; 0 < a < 3 — 3; a = 3 — 2. Тонкость: a = 0 входит в «4 корня» (конец (5; 0) — точка графика), поэтому на ленте у нуля закрашенная точка.
Вопрос классу: при каких a корней нечётное число? (a = −3, a = −1, 0 < a < 3.)

R06.3 · тип 1

Тип 1 · задание · в парах

Горизонтальный участок и выколотый конец

базаЧисло корней: $g (x) = 1$ ; $g (x) = 3$ .
повыш.При каких $a$ уравнение $g (x) = a$ имеет ровно один корень?
повыш.Ровно два корня? Бесконечно много?
исслед.Постройте «ленту» $a \to$ число корней.

3 мин · практика (в парах)
Вершины g: (−5; −2) закрашена, (−3; 2), (0; 2), (2; −2), (5; 4) — выколота. Формулы участков: 2x + 8; 2; 2 − 2x; 2x − 6.
1) g(x) = 1: x = −3,5; 0,5; 3,5 — 3 корня. g(x) = 3: только 2x − 6 = 3, x = 4,5 — 1 корень.
2) Ровно один корень при 2 < a < 4 (a = 4 не подходит: точка (5; 4) выколота).
3) Ровно два: a = −2 (x = −5 и x = 2). Бесконечно много: a = 2 (весь отрезок [−3; 0]).
4) a < −2 — 0; a = −2 — 2; −2 < a < 2 — 3; a = 2 — бесконечно много; 2 < a < 4 — 1; a ≥ 4 — 0.
Типичная ошибка: при a = 2 отвечают «2 корня» (видят только вершины) или включают a = 4.

R06.3 · тип 1

Тип 1 · сам · с самопроверкой

Сколько корней у $u (x) = a$ ?

базаЧисло корней: $u (x) = 1$ ; $u (x) = - 3$ . 3; 1
повыш.При каких $a$ ровно 3 корня?
$0 \leq a < 2$
повыш.Ровно 2 корня?
$- 3 < a < 0$ или $2 \leq a < 3$
повыш.Ровно один корень? $a = \pm 3$

2 мин · практика
Самостоятельно по «ленте», как на образце (сл. 5); ответы — кликом, каждый ставит себе «+». Вершины u: (−4; 0) закрашена, (−2; 3), (1; −3), (4; 2) — выколота. Особые уровни: −3, 0, 2, 3.
1) u(x) = 1: по одной точке на каждом из трёх звеньев (значения [0; 3], [−3; 3], [−3; 2)) — 3 корня. u(x) = −3: только вершина x = 1 — 1 корень.
Лента: a < −3 — 0; a = −3 — 1; −3 < a < 0 — 2 (левое звено от 0 до 3 не достаёт); 0 ≤ a < 2 — 3 (при a = 0 корень x = −4 — закрашенный конец); 2 ≤ a < 3 — 2 (при a = 2 правый конец выколот); a = 3 — 1 (x = −2); a > 3 — 0.
2) 0 ≤ a < 2. 3) −3 < a < 0 или 2 ≤ a < 3. 4) a = −3 и a = 3. Ловушки: включить a = 2 в «3 корня» (выколотый конец) и потерять a = 0.

R06.3 · тип 2

Тип 2 · образец · два графика

Решите неравенство $f (x) \geq g (x)$

1) общие точки:

x = - 2; x = 2

f

выше

g

[- 5; - 2]

3) касание:

f (2) = g (2)

Ответ:

[- 5; - 2] \cup {2}

2 мин · теория (образец)
f — ломаная (−5; 3), (−1; −1), (2; 2), (5; −1); g(x) = 0,5x + 1. Неравенство f(x) ≥ g(x) ⇔ точки графика f не ниже графика g.
Шаг 1. Абсциссы общих точек: −2 (f(−2) = 0 = g(−2)) и 2 (f(2) = 2 = g(2)). Шаг 2. Слева от −2 график f выше. Шаг 3. В точке x = 2 графики касаются: f(2) = g(2), а рядом f ниже. Точку x = 2 надо включить отдельно!
Ответ: x ∈ [−5; −2] ∪ {2}. Для строгого f(x) > g(x): x ∈ [−5; −2). Для f(x) ≤ g(x): x ∈ [−2; 5].
Вопрос классу: почему число 2 не входит в ответ f(x) > g(x)? (Там равенство.)

R06.3 · тип 2

Тип 2 · сам · с самопроверкой

Решите неравенства по рисунку

база $s (x) \geq 1$
$[- 4; - 3, 5] \cup {1}$
база $s (x) < 1$
$(- 3, 5; 1) \cup (1; 4]$
повыш. $s (x) \geq - x - 2$
${- 4} \cup [- 1; 4]$

2 мин · практика
По образцу сл. 8: общие точки → где график s выше → отдельные точки касания. Ответы кликом. Вершины s: (−4; 2), (−2; −2), (1; 1), (4; −2), концы закрашены; звенья y = −2x − 6, y = x, y = 2 − x.
1) Прямая y = 1: −2x − 6 = 1 ⇒ x = −3,5; на втором и третьем звене только вершина (1; 1) — касание. s ≥ 1 на [−4; −3,5] и в точке 1. Ответ [−4; −3,5] ∪ {1}.
2) Дополнение: (−3,5; 1) ∪ (1; 4]. Число 1 не входит — там равенство.
3) y = −x − 2: −2x − 6 = −x − 2 ⇒ x = −4 (левый конец); x = −x − 2 ⇒ x = −1; 2 − x = −x − 2 — решений нет. На (−4; −1) s ниже (x = −2: −2 < 0), правее −1 — выше (x = 0: 0 ≥ −2). Ответ {−4} ∪ [−1; 4] — изолированная точка в конце области определения.

R06.3 · тип 3

Тип 3 · образец · знаки по графику

Решите неравенство $(x - 2) \cdot p (x) \leq 0$

нули:

- 3; 1; 2; 3

знаки перемножаем

[- 5; - 3] \cup [1; 2] \cup [3; 5]

2 мин · теория (образец)
p — ломаная (−5; 2), (−1; −2), (2; 1), (5; −2). Нули p: −3; 1; 3 (по графику). Нуль множителя x − 2: x = 2.
Строка 1 — знаки p(x) по графику (выше/ниже оси Ox). Строка 2 — знаки x − 2. Строка 3 — знак произведения: «плюс на минус даёт минус».
Неравенство нестрогое, поэтому все нули входят. Концы D(p) = [−5; 5] тоже входят (точки закрашены).
Ответ: x ∈ [−5; −3] ∪ [1; 2] ∪ [3; 5]. Проверка: x = 0 — (−2)·p(0) = (−2)·(−1) = 2 > 0, не входит ✓; x = 4 — 2·p(4) = 2·(−1) < 0, входит ✓.

R06.3 · типы 2–3

Типы 2–3 · задание

Функция $g$ и прямая $y = x + 2$

базаРешите $g (x) \geq 0$ .
повыш.Решите $g (x) \geq x + 2$ .
повыш.Решите $(x + 2) \cdot g (x) \leq 0$ .
исслед.Решите $\frac{g ( x )}{x + 2} \geq 0$ .

3 мин · практика
Та же g, что на сл. 6; D(g) = [−5; 5). Нули g: −4; 1; 3.
1) g(x) ≥ 0: x ∈ [−4; 1] ∪ [3; 5). Ошибка — писать «5]»: точка (5; 4) выколота.
2) Прямая y = x + 2 проходит через вершину (0; 2) и в других точках с графиком g не пересекается (2x + 8 = x + 2 ⇒ x = −6 ∉ D; 2x − 6 = x + 2 ⇒ x = 8 ∉ D). Левее 0 график g выше прямой. Ответ: x ∈ [−5; 0].
3) Знаки g: − на [−5; −4), + на (−4; 1), − на (1; 3), + на (3; 5). Знаки x + 2: − при x < −2. Произведение: +, −, +, −, + на [−5; −4), (−4; −2), (−2; 1), (1; 3), (3; 5). Ответ: x ∈ [−4; −2] ∪ [1; 3].
4) Знак дроби тот же, что у произведения, но x ≠ −2: x ∈ [−5; −4] ∪ (−2; 1] ∪ [3; 5). Проверка x = −5: g(−5)/(−3) = (−2)/(−3) > 0 ✓.

R06.3 · тип 4

Тип 4 · образец · выколотая точка

Свойства функции $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$

y = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2, x \neq = 2

точка

(2; 4)

выколота

\Rightarrow E (y)

y \neq = 4

y = k x

без общих точек:

k = 1

k = 2

— прямая через «дырку»

3 мин · теория (образец)
Сначала область определения: x ≠ 2 (ПР-9). Сокращаем дробь — получаем прямую y = x + 2 без точки с абсциссой 2; её ордината 2 + 2 = 4.
Свойства: D: x ≠ 2; E: y ≠ 4; нуль x = −2; y > 0 при x ∈ (−2; 2) ∪ (2; +∞); возрастает на (−∞; 2) и на (2; +∞).
y = kx без общих точек: kx = x + 2 ⇔ (k − 1)x = 2. При k = 1 решений нет (прямые параллельны). При k ≠ 1 x = 2/(k − 1); общей точки нет, если это x = 2, т. е. k = 2 (прямая y = 2x проходит через выколотую точку). Ответ: k = 1; k = 2.
Вопрос классу: сколько общих точек у графика с прямой y = 4? (Ни одной.)

R06.3 · тип 4

Тип 4 · сам · с самопроверкой

Функция $y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ : постройте эскиз и ответьте

базаОбласть определения и выколотая точка. $x \neq = - 3$ ; $(- 3; - 6)$
базаМножество значений. $y \neq = - 6$
повыш.Нули; при каких $x$ функция отрицательна? $x = 3$ ; $(- \infty; - 3) \cup (- 3; 3)$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет с графиком общих точек? $k = 1$ ; $k = 2$

2 мин · практика
По образцу сл. 12. Сначала область определения: x + 3 ≠ 0. Затем y = (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3, x ≠ −3. Выколотая точка: x = −3, y = −3 − 3 = −6.
1) x ≠ −3; точка (−3; −6). 2) y ≠ −6 — других «потерянных» значений у прямой нет. 3) Нуль x = 3 (x = −3 — не нуль, не входит в D). y < 0 при x < 3, x ≠ −3: (−∞; −3) ∪ (−3; 3).
4) kx = x − 3 ⇔ (k − 1)x = −3. k = 1 — решений нет (параллельные прямые). k ≠ 1: x = −3/(k − 1); общей точки нет, если x = −3, т. е. k − 1 = 1, k = 2 (прямая y = 2x проходит через (−3; −6)). Ответ: k = 1; k = 2.

R06.3 · формат ОГЭ

Тип 4 · задание · формат ОГЭ, линия 22

При каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку?

y = \frac{2 x + 4}{x ^{2} + 2 x}

= \frac{2 ( x + 2 )}{x ( x + 2 )} = \frac{2}{x}, x \neq = 0, x \neq = - 2

k x = \frac{2}{x} \Rightarrow x^{2} = \frac{2}{k}

Ответ:

k = 0, 5

3 мин · практика
Сначала ученики пробуют сами (1,5 мин), затем открываем шаги. Задание части 2 ОГЭ по математике, линия 22 (2 балла): построить график и найти k.
Выколотая точка: x = −2, y = 2/(−2) = −1, т. е. (−2; −1).
kx = 2/x ⇔ x² = 2/k. При k ≤ 0 решений нет. При k > 0 два корня ±√(2/k) — две общие точки, если ни одна не выколота. Ровно одна точка, если −√(2/k) = −2: 2/k = 4, k = 0,5. Тогда точки (2; 1) и (−2; −1), вторая выколота.
Критерии (по образцу ФИПИ): 2 балла — график построен верно (с выколотой точкой), верно найдено k; 1 балл — график верен, ответ неверен или неполон; 0 — иначе. Частая потеря балла — не отмечена выколотая точка.

R06.3

Типичные ошибки

Где теряют баллы

Неверно	Верно
✗ возрастает на $[- 4; - 1] \cup [2; 5]$	✓ возрастает на $[- 4; - 1]$ и на $[2; 5]$
✗ $f \geq g$ : $[- 5; - 2]$	✓ $[- 5; - 2] \cup {2}$ — точка касания
✗ $g (x) = 2$ : два корня	✓ бесконечно много — горизонтальный участок
✗ $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ : $E = R$	✓ $y \neq = 4$ — точка $(2; 4)$ выколота

R06.3 · найди ошибку

Найдите ошибку

Ученик описал функцию $y = g (x)$ . Где он ошибся?

запись 1 $D (g) = [- 5; 5]$ ошибка: $[- 5; 5)$ — точка $(5; 4)$ выколота
запись 2 $E (g) = [- 2; 4]$ ошибка: $[- 2; 4)$ — значение 4 не принимается
запись 3 $g (x) \geq 2$ при $x \in [- 3; 0] \cup [4; 5)$ верно: участок $y = 2$ и $2 x - 6 \geq 2$
запись 4 $g (x) = - 2$ имеет один корень $x = 2$ ошибка: два корня, $x = - 5$ и $x = 2$

2 мин · практика
Класс голосует по каждой записи «верно / ошибка» и объясняет, затем учитель открывает разбор кликом. Запись 3 верная — проверка, что ученики не ищут ошибку «везде». График тот же, что на сл. 6 и 11: вершины (−5; −2) закрашена, (−3; 2), (0; 2), (2; −2), (5; 4) — выколота.
1) Правый конец — пустой кружок: D(g) = [−5; 5). 2) Наибольшее значение не достигается: E(g) = [−2; 4). 3) g = 2 на всём отрезке [−3; 0]; на звене 2x − 6 ≥ 2 ⇔ x ≥ 4, с учётом x < 5 — [4; 5); на звеньях 2x + 8 и 2 − 2x значения меньше 2 (кроме вершин). Верно. 4) Уровень −2 — ордината закрашенного конца (−5; −2) и вершины (2; −2): два корня.

R06.3 · дополнительно

Дополнительно

График $y = ∣ f (x) ∣$ и уравнение $∣ f (x) ∣ = 2$

1часть ниже

O x

отражаем вверх

2прямая

y = 2

5

корней

∣ f (x) ∣ = 2 ⟺ f (x) = 2

или

f (x) = - 2

1 мин · теория (можно пропустить)
Можно пропустить. Сверх обязательного: преобразования графиков систематически изучаются в 9 классе.
|f(x)| = f(x), если f(x) ≥ 0, и −f(x), если f(x) < 0 — участки ниже оси Ox симметрично отражаются вверх (розовая линия), серая пунктирная — исходный график f со сл. 5.
Корни: f(x) = 2 при x = −5,5; −1,75; −0,5 и f(x) = −2 при x = 1,5; 3. Итого 5 корней.
Вопрос сильным ученикам: при каких a уравнение |f(x)| = a имеет ровно 7 корней? (0 < a < 1: f(x) = a даёт 3 корня, f(x) = −a — 4 корня.) При a = 1 — 6 корней (f(x) = 1: x = −5; −2,5; 0; f(x) = −1: x = −4; 1; 4), при 1 < a < 3 — 5.

R06.3

Комплексное задание · в парах

Исследуйте функцию $h$ по графику

базаНайдите $D (h)$ , $E (h)$ и нули $h$ .
базаРешите $h (x) < 0$ .
повыш.При каких $a$ уравнение $h (x) = a$ имеет ровно 4 корня? ровно 2?
повыш.Решите $h (x) \geq x - 2$ .
исслед.Решите $(x - 1) \cdot h (x) \geq 0$ .

3 мин · практика (в парах, затем ответы из заметок)
Вершины h: (−4; 2) закрашена, (−2; −2), (0; 2), (4; −2), (6; 2) — выколота.
1) D(h) = [−4; 6); E(h) = [−2; 2]; нули: −3; −1; 2; 5.
2) h(x) < 0: x ∈ (−3; −1) ∪ (2; 5).
3) Ровно 4 корня при −2 < a < 2. Ровно 2 корня при a = −2 (x = −2; 4) и a = 2 (x = −4; 0; точка (6; 2) выколота).
4) Прямая y = x − 2 пересекает график только в точке (2; 0) (2 − x = x − 2 ⇒ x = 2; на других участках решения вне участков). Левее 2 график выше прямой. Ответ: x ∈ [−4; 2].
5) Знаки h: + на [−4; −3), − на (−3; −1), + на (−1; 2), − на (2; 5), + на (5; 6). Знак x − 1: − при x < 1. Произведение: −, +, −, +, −, + на [−4; −3), (−3; −1), (−1; 1), (1; 2), (2; 5), (5; 6). Ответ: x ∈ [−3; −1] ∪ [1; 2] ∪ [5; 6).

R06.3 · самостоятельная

Самостоятельная работа · 2 варианта

Одинаковые типы заданий — разные графики

Вариант 1 · $y = w (x)$

Вариант 2 · $y = v (x)$

Задание	Вариант 1	Вариант 2
1. $D$ и $E$	$[- 4; 3)$ ; $[- 2; 2]$	$(- 3; 4]$ ; $[- 2; 2]$
2. Нули; где функция отрицательна?	$- 3; 0; 2$ ; $(- 3; 0) \cup (2; 3)$	$- 2; 0; 3$ ; $(- 3; - 2) \cup (0; 3)$
3. В1: ровно 2 корня у $w (x) = a$ ; В2: ровно 3 у $v (x) = a$	$- 2 < a \leq - 1$ ; $a = 1$	$- 1 < a < 1$
4. В1: $(x + 1) w (x) \leq 0$ ; В2: $(x - 1) v (x) \leq 0$	$[- 4; - 3] \cup [- 1; 0] \cup [2; 3)$	$[- 2; 0] \cup [1; 3]$

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Вариант 1 (w: (−4; 2) закрашена → (−2; −2) → (1; 1) → (3; −1) выколота; звенья y = −2x − 6, y = x, y = 2 − x): 1) D = [−4; 3), E = [−2; 2] (2 — в закрашенной точке (−4; 2)). 2) Нули: −2x − 6 = 0 ⇒ −3; x = 0; 2 − x = 0 ⇒ 2. w < 0 на (−3; 0) ∪ (2; 3).
В1, 3) Лента: a = 2 — 1; 1 < a < 2 — 1; a = 1 — 2 (x = −3,5 и вершина x = 1); −1 < a < 1 — 3; a = −1 — 2 (x = −2,5; −1; правый конец выколот); −2 < a < −1 — 2; a = −2 — 1. Ответ: −2 < a ≤ −1; a = 1. 4) Знаки w: +, −, +, − на [−4; −3), (−3; 0), (0; 2), (2; 3); x + 1 < 0 при x < −1. Произведение: − на [−4; −3), + на (−3; −1), − на (−1; 0), + на (0; 2), − на (2; 3). С нулями: [−4; −3] ∪ [−1; 0] ∪ [2; 3).
Вариант 2 (v(x) = w(−x) — зеркальный график: (4; 2) закрашена → (2; −2) → (−1; 1) → (−3; −1) выколота; звенья y = 2x − 6, y = −x, y = x + 2): 1) D = (−3; 4], E = [−2; 2]. 2) Нули 3; 0; −2; v < 0 на (−3; −2) ∪ (0; 3). 3) Лента та же, что у w: ровно 3 корня при −1 < a < 1. 4) Знаки v: − (−3; −2), + (−2; 0), − (0; 3), + (3; 4]; x − 1 < 0 при x < 1. Произведение: + , −, +, −, + на (−3; −2), (−2; 0), (0; 1), (1; 3), (3; 4]. С нулями −2, 0, 1, 3: [−2; 0] ∪ [1; 3].
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2. Проверка В2 п. 4: x = 2 — (1)·v(2) = −2 ≤ 0 ✓; x = 0,5 — (−0,5)·v(0,5) = (−0,5)(−0,5) > 0, не входит ✓.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие уровни $a$ «особые» в задаче о числе корней?
Откуда в ответе берётся отдельная точка ${x_{0}}$ ?
Что сделать первым с функцией-дробью?

Домашнее задание

ОГЭ-22: $y = \frac{x + 3}{x ^{2} + 3 x}$ ; при каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку?
Нарисуйте график, для которого $f (x) = 1$ имеет ровно 3 корня, а $f (x) \geq 0$ при $x \in [- 2; 4] \cup {6}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_giperbola.htm

2 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Рефлексия устно: особые уровни — ординаты вершин и концов; отдельная точка — касание графиков или изолированный нуль; первым — область определения.
ДЗ 1: y = 1/x, x ≠ 0, x ≠ −3; выколота (−3; −1/3). kx = 1/x ⇔ x² = 1/k; ровно одна точка при 1/k = 9, k = 1/9 (точки (3; 1/3) и выколотая (−3; −1/3)).
ДЗ 2 — открытое, ответы разные. Пример: ломаная (−3; −1), (−2; 0), (0; 2), (2; 0), (3; 1), (4; 0), (5; −1), (6; 0), (7; −1). Проверка: f ≥ 0 на [−2; 4] (нули −2; 2; 4) и в точке 6; f(x) = 1 при x = −1; 1; 3 — ровно 3 корня.
Тренажёр углублённого уровня по строке R06 (urok/trainers.json).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-103 · Практикум: Чтение свойств функции по ее графику

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 13/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.3 «Чтение свойств функции по ее графику» → 2–20
Результаты	ПР-25 (функциональный язык, свойства по графику) → 3, 4, 8, 12, 13, 15, 16, 18, 19 · ПР-26 (свойства числовой функции по графику) → 3–7, 10, 11, 16, 18, 19 · ПР-22 (исследование уравнений графически, число корней) → 5–7, 13, 14, 17–19 · ПР-24 (графическая иллюстрация решений неравенств) → 8–11, 18, 19 · опора: ПР-9 (допустимые значения дроби) → 12–14
Вне урока	способы задания функций — ALG8U-091/096/101; построение графиков — ALG8U-092/097/102; реальные процессы — ALG8U-104; обобщение — ALG8U-105; преобразования графиков, $y = ∣ f (x) ∣$ (сл. 17 «Дополнительно») — 9 класс
Время	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 8, 10, 12, 15, 17) · практика 31 мин (сл. 3, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18–20) — 69 %
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Чтение свойствфункции по графику:сложные случаи

Четыре типа задач на чтение графика

1Параметр

2Два графика

3Знаки

4Выколотые точки

Разминка: паспорт функции f

Шесть быстрых вопросов по графику f

Сколько корней у f(x)=a при каждом a?

Горизонтальный участок и выколотый конец

Сколько корней у u(x)=a?

Решите неравенство f(x)≥g(x)

Решите неравенства по рисунку

Решите неравенство (x−2)⋅p(x)≤0

Функция g и прямая y=x+2

Свойства функции y=x−2x2−4​

Функция y=x+3x2−9​: постройте эскиз и ответьте

При каких k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку?

Где теряют баллы

Ученик описал функцию y=g(x). Где он ошибся?

График y=∣f(x)∣ и уравнение ∣f(x)∣=2

Исследуйте функцию h по графику

Одинаковые типы заданий — разные графики

Вариант 1 · y=w(x)

Вариант 2 · y=v(x)

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-103 · Практикум: Чтение свойств функции по ее графику

Чтение свойств
функции по графику:
сложные случаи

Разминка: паспорт функции $f$

Шесть быстрых вопросов по графику $f$

Сколько корней у $f (x) = a$ при каждом $a$ ?

Сколько корней у $u (x) = a$ ?

Решите неравенство $f (x) \geq g (x)$

Решите неравенство $(x - 2) \cdot p (x) \leq 0$

Функция $g$ и прямая $y = x + 2$

Свойства функции $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$

Функция $y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ : постройте эскиз и ответьте

При каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку?

Ученик описал функцию $y = g (x)$ . Где он ошибся?

График $y = ∣ f (x) ∣$ и уравнение $∣ f (x) ∣ = 2$

Исследуйте функцию $h$ по графику

Вариант 1 · $y = w (x)$

Вариант 2 · $y = v (x)$