Функции · урок 12 из 15 · практикум

График функции:
модуль, отражения,
параметр

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-102

1 мин · теория
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 12/15, единица R06.2 «График функции». Тип — П (практикум), второй практикум по теме после ALG8U-097.
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин. Теория — сл. 1–2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 (разборы-образцы типов и сводка); практика — сл. 3–4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18–23.
Ход: разминка 2 + актуализация 1 (сл. 3–4) · четыре типа «образец → сам» (сл. 5–17) · ловушки и «найди ошибку» 3 (сл. 18–19) · задания 3,5 (сл. 20) · самостоятельная 4 (сл. 21) · ОГЭ 3 (сл. 22) · итог 1,5 (сл. 23).
Новое по сравнению с ALG8U-097: функции с модулем (метод промежутков), y = |f(x)| и y = f(|x|), обратная задача «формула по графику». Слайд 17 «Дополнительно» можно пропустить (+1 мин к самостоятельной).

R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить графики с модулем

раскрывать модуль на промежутках и собирать график из кусков (ПР-26)

Получать новые графики из известных

$y = ∣ f (x) ∣$ и $y = f (∣ x ∣)$ — отражением частей графика (ПР-26)

Исследовать уравнения графически

сколько корней у $f (x) = a$ в зависимости от $a$ (ПР-22)

Читать график

находить формулу, значения и свойства функции по её графику (ПР-25)

1 мин · теория
ПР-25: «понимать и использовать функциональные понятия и язык…, определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику». ПР-26: «строить графики функций, описывать свойства числовой функции по ее графику». ПР-22: «проводить исследования уравнений… с применением графических представлений».
Вопрос классу: какие графики вы уже умеете строить? (прямая $y = k x + b$ , $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , гипербола $y = \frac{k}{x}$ , кусочно-заданные.)

повторение: модуль числа

Разминка · устно

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

1

$∣ - 7∣$

7

2

$∣2 - 5∣$

3

3

$- ∣ - 4∣$

- 4

4

$∣ x ∣ = 3$ корни

x = \pm 3

5

$∣ x ∣ = - 2$ корни

нет корней

6

$∣ x ∣$ при $x < 0$ без модуля

- x

7

$y = ∣ x - 3∣$ значение при $x = 1$

2

8

$∣2 x + 6∣ = 0$ при каком $x$ ?

x = - 3

повторение: модуль числа

Вспомним · устно

Модуль: $∣ x ∣ = x$ при $x \geq 0$ , $∣ x ∣ = - x$ при $x < 0$

$∣ - 3, 5∣ = ?$ $∣3 - 10 ∣ = ?$
Лежат ли на графике $y = ∣ x ∣$ точки $(- 2; 2)$ и $(3; - 3)$ ?
Из каких двух прямых «склеен» график $y = ∣ x ∣$ ?

R06.2

Тип 1 · раскрываем модуль · образец

$y = x + ∣ x - 2∣$ : две формулы — один график

1. ноль модуля

x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2

2. при

x < 2

:

∣ x - 2∣ = 2 - x

y = x + 2 - x = 2

3. при

x \geq 2

:

∣ x - 2∣ = x - 2

y = 2 x - 2

Проверка стыка: обе формулы при

x = 2

дают

2

R06.2

Образец → сам · один модуль

Запишите без модуля и найдите $E (y)$

база $y = ∣ x + 1∣ + x$
$y = - 1$ при $x < - 1$ ; $y = 2 x + 1$ при $x \geq - 1$ ; $E = [- 1; + \infty)$
база $y = 2 x - ∣ x ∣$
$y = 3 x$ при $x < 0$ ; $y = x$ при $x \geq 0$ ; $E = (- \infty; + \infty)$
база $y = ∣ x - 3∣ - x$
$y = 3 - 2 x$ при $x < 3$ ; $y = - 3$ при $x \geq 3$ ; $E = [- 3; + \infty)$
повыш. $y = x ∣ x ∣$
$y = - x^{2}$ при $x < 0$ ; $y = x^{2}$ при $x \geq 0$ ; $E = (- \infty; + \infty)$

Как в образце

1) ноль модуля
2) знак слева и справа
3) две формулы
4) стык совпал?

R06.2

Тип 1 · два модуля · метод промежутков

$y = ∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣$ : три промежутка — три куска

промежуток	формула
I $x < - 2$	$y = - 3$
II $- 2 \leq x \leq 1$	$y = 2 x + 1$
III $x > 1$	$y = 3$

$E (y) = [- 3; 3]$ — «ступенька»

R06.2

Тип 1 · ваша очередь

Запишите без модуля и постройте

а)

y = ∣ x ∣ - x

б)

y = ∣ x - 3∣ + ∣ x + 1∣

в)

y = \frac{∣ x - 1∣}{x - 1}

Опора

нули модулей → промежутки → знаки → формулы → куски → проверка стыков

Вопрос к каждому

Множество значений $E (y)$ ?

R06.2

Тип 2 · модуль всей функции · образец

$y = ∣ x^{2} - 4∣$ : всё, что ниже оси $O x$ , — отражаем вверх

$x$	$0$	$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 3$
$x^{2} - 4$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$
$∣ x^{2} - 4∣$	$4$	$3$	$0$	$5$

Где

f (x) \geq 0

— без изменений; где

f (x) < 0

— симметрия относительно

O x

R06.2

Образец → сам · график $y = ∣ f (x) ∣$

Постройте: что отражаем, где «изломы», какое $E (y)$ ?

база $y = ∣2 x - 4∣$
«уголок», вершина $(2; 0)$ ; $E = [0; + \infty)$
база $y = ∣ x^{2} - 1∣$
изломы в $x = \pm 1$ , «горб» с вершиной $(0; 1)$ ; $E = [0; + \infty)$
база $y = \frac{6}{x}$
ветвь из III четверти уходит во II; $E = (0; + \infty)$
повыш. $y = ∣ x^{2} - 2 x - 3∣$
нули $- 1$ и $3$ , «горб» с вершиной $(1; 4)$ ; $E = [0; + \infty)$

Правило

где $f (x) \geq 0$ — без изменений;
где $f (x) < 0$ — отражаем относительно $O x$

R06.2

Тип 2 · исследование с параметром

Сколько корней у уравнения $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ?

$a$	корней
$a < 0$	0
$a = 0$	2
$0 < a < 4$	4
$a = 4$	3
$a > 4$	2

особые уровни: $0$ и $4$

R06.2

Задания с самопроверкой · уравнение $∣ f (x) ∣ = a$

Сколько корней? Решаем графически, проверяем алгеброй

база $∣ x^{2} - 9∣ = 5$ 4 корня
база $∣ x^{2} - 9∣ = 9$ 3 корня
база $∣ x^{2} - 9∣ = 12$ 2 корня

базаПри каких $a$ у $∣ x - 2∣ = a$ два корня? $a > 0$
повыш.При каких $a$ у $∣ x^{2} - 4 x ∣ = a$ ровно 4 корня? $0 < a < 4$

R06.2

Тип 3 · не перепутайте

Три графика из одной прямой $f (x) = x - 2$

$y = x - 2$

исходный

$y = ∣ x - 2∣$

низ — вверх, симметрично $O x$

$y = ∣ x ∣ - 2$

правую часть — влево, симметрично $O y$

R06.2

Задания с самопроверкой · $∣ f (x) ∣$ или $f (∣ x ∣)$

Какой график чей? Соотнесите формулы и графики

1)

y = x^{2} - 2∣ x ∣

2)

y = ∣ x^{2} - 2 x ∣

3)

y = x^{2} - 2∣ x ∣

А

2) $y = ∣ x^{2} - 2 x ∣$

Б

1) $y = x^{2} - 2∣ x ∣$

В

3) $y = x^{2} - 2∣ x ∣$

2 мин · практика
Ответ: 1 — Б, 2 — А, 3 — В. Класс голосует пальцами (1, 2, 3) под каждым графиком, затем щелчок открывает подпись.
Признаки: А не опускается ниже $O x$ и не симметричен относительно $O y$ — это $∣ f (x) ∣$ (нули $0$ и $2$ , «горб» $(1; 1)$ ). Б симметричен относительно $O y$ и уходит ниже оси — это $f (∣ x ∣)$ (нули $0$ , $\pm 2$ , минимумы $(\pm 1; - 1)$ ). В — оба свойства сразу: $f (∣ x ∣)$ , «горбы» $(\pm 1; 1)$ .
Проверка точкой: при $x = - 1$ получаем А: $∣1 + 2∣ = 3$ ; Б: $1 - 2 = - 1$ ; В: $∣1 - 2∣ = 1$ — совпадает с графиками.

R06.2

Тип 4 · обратная задача · формула по графику

Найдите $k$ гиперболы, $k$ и $b$ прямой, точку $B$

гипербола

y = \frac{k}{x}

через

A (2; - 3)

k = x y = 2 \cdot (- 3) = - 6

прямая

y = k x + b

:

b = 1

, через

(1; - 1)

- 1 = k + 1 \Rightarrow k = - 2

общие точки:

- \frac{6}{x} = - 2 x + 1

2 x^{2} - x - 6 = 0

x_{1} = 2

(точка

A

)

x_{2} = - 1, 5; B (- 1, 5; 4)

R06.2

Образец → сам · формула по точкам графика

Найдите коэффициенты и точки пересечения

базаГипербола $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(- 2; 5)$ . Найдите $k$ . $k = - 10$
базаПрямая проходит через $(0; 3)$ и $(2; - 1)$ . Её формула? $y = - 2 x + 3$
базаЛежит ли точка $(4; - 2, 5)$ на гиперболе из задания 1? да
повыш.Найдите точки пересечения $y = \frac{4}{x}$ и $y = x + 3$ . $(1; 4)$ и $(- 4; - 1)$

сверх R06.2

Дополнительно · заглянем в 9 класс

Сдвиги графика: $y = f (x - m) + n$

вправо на

m

y = f (x - m)

вверх на

n

(при

n < 0

— вниз)

y = f (x) + n

y = ∣ x - 2∣ - 1

: вершина «уголка» в

(2; - 1)

R06.2

Типичные ошибки практикума

Четыре ловушки — и как их обойти

1. «Модуль просто убираем»

$∣ x - 2∣ = x - 2$ — только при $x \geq 2$

при $x < 2$ : $∣ x - 2∣ = 2 - x$

2. Путают $∣ f (x) ∣$ и $f (∣ x ∣)$

$∣ x - 2∣$ — «уголок» в точке $(2; 0)$

$∣ x ∣ - 2$ — «уголок» в точке $(0; - 2)$

3. Кусок «на всю прямую»

каждая формула — только на своём промежутке; стыки проверяем подстановкой

4. Потеряли выколотые точки

$y = \frac{∣ x - 1∣}{x - 1}$ : при $x = 1$ функция не определена

R06.2

Найди ошибку

Два решения из тетрадей — где ошибка?

Ученик А: $y = ∣ x + 1∣ + ∣ x - 2∣$

«При $- 1 \leq x \leq 2$ : $y = (x + 1) + (x - 2) = 2 x - 1$ »

здесь $x - 2 \leq 0$ , $∣ x - 2∣ = 2 - x$ , поэтому $y = 3$

Ученик Б: $∣ x^{2} - 1∣ = 1$

«Прямая $y = 1$ пересекает график — 4 корня»

$x^{2} = 2$ или $x^{2} = 0$ : три корня $0; \pm 2$

R06.2

Закрепление · задания по уровням

Шесть заданий — от базы к олимпиаде

базаПостройте $y = ∣ x + 3∣$ . Наименьшее значение и при каком $x$ ?
базаЗапишите без модуля: $y = ∣2 x - 4∣$ .
повыш. $y = ∣ x ∣ + ∣ x - 4∣$ : наименьшее значение и где оно достигается?

повыш. $y = \frac{k}{x}$ проходит через $A (- 3; 4)$ . Проходит ли через $B (6; - 2)$ ?
практикаСклады на 2-м и 5-м км шоссе. $S (x) = ∣ x - 2∣ + ∣ x - 5∣$ . Где $S$ наименьшее? Где $S = 5$ ?
олимп.Сколько корней у $∣ x^{2} - 4∣ = x + 2$ ?

R06.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Без модуля: $y = ∣ x - 4∣ + x$ $4$ при $x < 4$ ; $2 x - 4$ при $x \geq 4$
$E (y)$ для $y = ∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣$ $[4; + \infty)$
Корней у $∣ x^{2} - 16∣ = 7$ ? 4
$y = \frac{k}{x}$ через $(3; - 4)$ ; $k = ?$ $- 12$

Вариант 2

Без модуля: $y = ∣ x + 2∣ - x$ $- 2 x - 2$ при $x < - 2$ ; $2$ при $x \geq - 2$
$E (y)$ для $y = ∣ x - 2∣ + ∣ x + 3∣$ $[5; + \infty)$
Корней у $∣ x^{2} - 25∣ = 25$ ? 3
$y = \frac{k}{x}$ через $(- 5; 2)$ ; $k = ?$ $- 10$

R06.2

Формат ОГЭ · линия 22 (функция и её график, часть 2)

Постройте $y = \frac{∣ x ∣ - 1}{x ^{2} - ∣ x ∣}$ . При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек?

ОДЗ:

∣ x ∣ (∣ x ∣ - 1) \neq = 0

x \neq = 0, x \neq = \pm 1

x^{2} = ∣ x ∣^{2}

y = \frac{∣ x ∣ - 1}{∣ x ∣ ( ∣ x ∣ - 1 )} = \frac{1}{∣ x ∣}

ответ

m \leq 0

или

m = 1

3 мин · практика
Класс решает 1,5 мин сам, затем решение открывается по шагам. График $y = \frac{1}{∣ x ∣}$ : ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ и её отражение относительно $O y$ (правило $f (∣ x ∣)$ со сл. 13). Выколоть точки $(1; 1)$ и $(- 1; 1)$ .
Прямая $y = m$ : при $m \leq 0$ общих точек нет ( $\frac{1}{∣ x ∣} > 0$ ); при $m = 1$ решения $∣ x ∣ = 1$ исключены — точек нет; при $m > 0$ , $m \neq = 1$ — две точки $x = \pm \frac{1}{m}$ .
Ответ: $(- \infty; 0] \cup {1}$ . Критерии ОГЭ: 2 балла — верный график и верный ответ; 1 балл — график верен, ответ неверен из-за потери $m = 1$ или граничного $m = 0$ .

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как раскрыть модуль при построении?
Чем $∣ f (x) ∣$ отличается от $f (∣ x ∣)$ ?
Как найти $k$ гиперболы по графику?

Домашнее задание

Постройте $y = ∣ x - 1∣ - ∣ x + 1∣$ , найдите $E (y)$ .
Сколько корней у $∣ x^{2} - 1∣ = a$ при разных $a$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-102 · Практикум: График функции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 12/15 · тип П (практикум, второй по единице R06.2; первый — ALG8U-097)
Единицы → слайды	R06.2 «График функции» → 3–22 (сл. 17 — «Дополнительно», сверх ФРП 8 класса) · теория 14 мин (сл. 1–2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17), практика 31 мин (сл. 3–4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18–23), 69 %
Результаты	ПР-26 (строить графики, описывать свойства по графику) → 5–10, 13–14, 18–21 · ПР-22 (исследование уравнений с графическими представлениями) → 7, 11–12, 19–22 · ПР-25 (значение функции, свойства по графику) → 3–4, 15–16, 20–21
Вне урока	чтение свойств функции по графику (возрастание, знакопостоянство) — ALG8U-103; реальные процессы — ALG8U-104; преобразования графиков системно — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

График функции:модуль, отражения,параметр

Сегодня вы научитесь

Строить графики с модулем

Получать новые графики из известных

Исследовать уравнения графически

Читать график

Отвечаем хором — ответ появляется по клику

Модуль: ∣x∣=x при x≥0, ∣x∣=−x при x<0

y=x+∣x−2∣: две формулы — один график

Запишите без модуля и найдите E(y)

Как в образце

y=∣x+2∣−∣x−1∣: три промежутка — три куска

Запишите без модуля и постройте

Опора

Вопрос к каждому

y=∣x2−4∣: всё, что ниже оси Ox, — отражаем вверх

Постройте: что отражаем, где «изломы», какое E(y)?

Правило

Сколько корней у уравнения ∣x2−4∣=a?

Сколько корней? Решаем графически, проверяем алгеброй

Три графика из одной прямой f(x)=x−2

y=x−2

y=∣x−2∣

y=∣x∣−2

Какой график чей? Соотнесите формулы и графики

А

Б

В

Найдите k гиперболы, k и b прямой, точку B

Найдите коэффициенты и точки пересечения

Сдвиги графика: y=f(x−m)+n

Четыре ловушки — и как их обойти

1. «Модуль просто убираем»

2. Путают ∣f(x)∣ и f(∣x∣)

3. Кусок «на всю прямую»

4. Потеряли выколотые точки

Два решения из тетрадей — где ошибка?

Ученик А: y=∣x+1∣+∣x−2∣

Ученик Б: ∣x2−1∣=1

Шесть заданий — от базы к олимпиаде

Два варианта — решаем молча, ответы по клику

Вариант 1

Вариант 2

Постройте y=x2−∣x∣∣x∣−1​. При каких m прямая y=m не имеет с графиком общих точек?

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-102 · Практикум: График функции

График функции:
модуль, отражения,
параметр

Модуль: $∣ x ∣ = x$ при $x \geq 0$ , $∣ x ∣ = - x$ при $x < 0$

$y = x + ∣ x - 2∣$ : две формулы — один график

Запишите без модуля и найдите $E (y)$

$y = ∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣$ : три промежутка — три куска

$y = ∣ x^{2} - 4∣$ : всё, что ниже оси $O x$ , — отражаем вверх

Постройте: что отражаем, где «изломы», какое $E (y)$ ?

Сколько корней у уравнения $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ?

Три графика из одной прямой $f (x) = x - 2$

$y = x - 2$

$y = ∣ x - 2∣$

$y = ∣ x ∣ - 2$

Найдите $k$ гиперболы, $k$ и $b$ прямой, точку $B$

Сдвиги графика: $y = f (x - m) + n$

2. Путают $∣ f (x) ∣$ и $f (∣ x ∣)$

Ученик А: $y = ∣ x + 1∣ + ∣ x - 2∣$

Ученик Б: $∣ x^{2} - 1∣ = 1$

Постройте $y = \frac{∣ x ∣ - 1}{x ^{2} - ∣ x ∣}$ . При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек?