Функции · урок 9 из 15 · практикум

Графики
реальных
процессов

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-099

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 9/15, единица R06.4 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы». Тип П (практикум). Новый материал по этой единице был на уроке ALG8U-094; вчера (ALG8U-098) — практикум по чтению свойств функции по графику; завтра (ALG8U-100) — практикум по прямой и обратной пропорциональности.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин. Теория (сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 16: словарь графика, образцы учителя по четырём типам, встреча, сводка ошибок) сохранена полностью; практика добавлена после каждого образца: разминка, «сам по образцу», самопроверка, найди ошибку, самостоятельная в двух вариантах, ОГЭ.
Хронометраж: орг. момент 1 · цели 1 · разминка 3 (сл. 3) · актуализация 2 (сл. 4) · тип 1: образец 2 + сам 3 (сл. 5–6) · тип 2: образец 2 + сам 2 (сл. 7–8) · тип 3: образец 2 + сам 2 (сл. 9–10) · тип 4: образец 2 + сам 2 + сосуды 2 (сл. 11–13) · встреча: образец 1 + сам 2 (сл. 14–15) · ошибки 1 + найди ошибку 2 (сл. 16–17) · самопроверка 3 + 2 (сл. 18–19) · самостоятельная 4 (сл. 20) · ОГЭ 3 (сл. 21) · итог 1 (сл. 22).
Если не хватает времени: сл. 19 — только вопросы 1–2, задачу ОГЭ (сл. 21) — в ДЗ.

R06.4

Цели урока

Читать процесс по графику — и строить график по процессу

Читать

значения, наибольшее и наименьшее, промежутки роста и убывания (ПР-25)

Вычислять

скорость изменения величины по наклону графика: $v = \frac{Δ s}{Δ t}$ (ПР-25)

Строить

график и кусочную формулу по описанию процесса (ПР-26)

Моделировать

задачу графиками и уравнением, проверять ответ по смыслу (ПР-23)

1 мин · теория
ПР-25 «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику».
ПР-26 «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по ее графику». ПР-23 «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
Виды деятельности ФРП: «Исследовать примеры графиков, отражающих реальные процессы и явления. Приводить примеры процессов и явлений с заданными свойствами. Выражать формулой зависимость между величинами. Описывать характер изменения одной величины в зависимости от изменения другой».

R06.4 · подготовка

Разминка · устно

Назовите ответ — без записи

150 км за 3 ч — скорость

150 : 3

50 км/ч

20 м/с в течение 10 с — путь

20 \cdot 10

200 м

60 км за 1,5 ч — скорость

60 : 1, 5

40 км/ч

40 мин — какая часть часа?

40 : 60

\frac{2}{3}

ч

C = 150 + 30 (s - 3)

C (5) = ?

210

решите уравнение

4 t = 30 - 11 t

t = 2

было

- 5^{\circ}

, стало

6^{\circ}

потеплело на?

на 11°

клетка — 2 ч

6 клеток

12 ч

повторение · ALG8U-094

Актуализация · словарь графика

Что «говорит» каждый участок графика

Ось

t

— время, ось

y

— величина.

Круче — быстрее

крутизна участка = скорость изменения

Вопрос

где величина менялась быстрее: на подъёме или на спуске?

2 мин · теория
Повторяем словарь урока ALG8U-094: возрастание/убывание функции = величина растёт/уменьшается; горизонтальный участок = величина не меняется; верхняя точка — наибольшее значение.
Ответ на вопрос: на подъёме величина выросла на 4 деления за 3 деления времени (≈1,33 за единицу), на спуске уменьшилась на 3 за 3 (1 за единицу) — подъём круче, рост быстрее.
Ошибка: «чем выше график, тем быстрее» — путают значение величины и скорость её изменения.

R06.4 · тип 1

Тип 1 · чтение графика · образец

Температура воздуха за сутки

Наибольшая, наименьшая? 6° в 14 ч; −5° в 4 ч
Когда росла? с 4 до 14 ч
Сколько часов $T > 0$ ? с 8 до 20 ч — 12 ч
Перепад за сутки? $6 - (- 5) = 1 1^{\circ}$

2 мин · теория (образец учителя)
Алгоритм: 1) прочитать подписи осей и цену деления (по t — 2 ч на клетку, по T — 1°); 2) найти нужную точку или участок; 3) ответить в единицах величины.
Ответы появляются по клику вместе с выделением на графике (сначала зона T > 0, затем max/min).
Типичная ошибка в вопросе 3: считают клетки (6), а не часы (12). Вторая ошибка: перепад 6 − 5 = 1 — забыли про знак.
Вопрос классу: где температура росла быстрее всего? (С 10 до 12 ч: на 3° за 2 ч.)

R06.4 · тип 1

Тип 1 · сам по образцу · самопроверка

Заряд телефона в течение дня

Заряд в 12:00? 50 %
Сколько часов заряжали? 1 ч
На сколько % в час рос заряд? 40 %
Когда разряд шёл быстрее всего? 17:00–19:00
повыш.Когда заряд был 70 %? 10:40; 16:00

3 мин · практика
2 мин в парах, затем проверка всем классом — ответы по клику. Ответы: 1) 50 %; 2) 1 ч (с 13:00 до 14:00); 3) (90 − 50) : 1 = 40 % в час.
4) Сравниваем скорости разряда: 8–10 ч — 10 %/ч, 10–12 ч — 15 %/ч, 14–17 ч — 30 : 3 = 10 %/ч, 17–19 ч — 40 : 2 = 20 %/ч. Ответ: с 17:00 до 19:00.
5) Дважды: на участке 10–12 ч заряд падает на 15 % в час, от 80 до 70 % — 10 : 15 = 2/3 ч = 40 мин → 10:40; на участке 14–17 ч — от 90 до 70 % за 20 : 10 = 2 ч → 16:00. Ответ: 10:40 и 16:00.
С 12:00 до 13:00 и с 19:00 до 20:00 заряд не меняется — телефон выключен. Спросить: что происходит на этих участках?

R06.4 · тип 2

Тип 2 · движение · образец

Скорость = наклон графика пути

v = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{10}{2} = 5

горизонталь:

v = 0

v_{ср} = \frac{32}{10} = 3, 2

а не $\frac{5 + 3 + 4}{3} = 4$

2 мин · теория (образец учителя)
Турист вышел из лагеря; s — расстояние от лагеря. Скорость на участке = изменение s : изменение t. Участок 3–5 ч: (16 − 10) : 2 = 3 км/ч; обратно 6–10 ч: 16 : 4 = 4 км/ч (график убывает — турист возвращается).
Средняя скорость = весь путь : всё время = (16 + 16) : 10 = 3,2 км/ч. Привалы входят во «всё время».
Углублённо: средняя скорость — не среднее арифметическое скоростей (4 км/ч — неверно), так как участки длятся разное время и есть привалы.
Ошибка: путь за всё время = 16 км (наибольшее значение s). Нет: туда 16 и обратно 16.

R06.4 · тип 2

Тип 2 · сам по образцу · самопроверка

Автомобиль: путь от города

Скорость до остановки? 60 км/ч
Сколько минут стоял? 30 мин
Скорость после остановки? 80 км/ч
Средняя скорость за 4 ч? 60 км/ч
повыш.Задайте $s (t)$ формулой на каждом участке.

R06.4 · тип 3

Тип 3 · график скорости · углублённо

Путь = площадь под графиком скорости

S = v \cdot t

— площадь прямоугольника

100 + 400 + 100 = 600

м

S = \frac{40 + 20}{2} \cdot 20 = 600

2 мин · теория (образец учителя)
Поезд метро: 10 с разгоняется до 20 м/с, 20 с едет равномерно, 10 с тормозит. При постоянной скорости путь s = vt — это площадь прямоугольника под графиком. Тот же принцип работает и для наклонных участков: площадь треугольника 1/2 · 10 · 20 = 100 м.
Вся фигура — трапеция с основаниями 40 и 20 и высотой 20: площадь 600 м. Средняя скорость 600 : 40 = 15 м/с.
Главная ошибка: на графике v(t) горизонтальный участок — это НЕ остановка, а равномерное движение. Остановка — участок на оси t (v = 0).

R06.4 · тип 3

Тип 3 · сам по образцу · самопроверка

Автомобиль: график скорости за 50 с

Когда ехал равномерно? с 10 до 30 с
Путь за первые 10 с? 100 м
Путь с 10 до 30 с? 400 м
повыш.Путь с 30 до 40 с? 150 м
повыш.Весь путь и $v_{ср}$ ? 750 м; 15 м/с

2 мин · практика
Работают по образцу слайда 9: путь = площадь под графиком v(t). Ответы и закрашенные фигуры появляются по клику.
1) Горизонтальный участок v = 20 м/с — с 10 до 30 с (не стоял!). 2) Треугольник: 1/2 · 10 · 20 = 100 м. 3) Прямоугольник: 20 · 20 = 400 м.
4) Трапеция с основаниями 20 и 10, высота 10: (20 + 10) : 2 · 10 = 150 м. 5) Ещё 10 · 10 = 100 м с 40 до 50 с; всего 100 + 400 + 150 + 100 = 750 м; средняя 750 : 50 = 15 м/с.
Ошибка: средняя = (0 + 20 + 10) : 3 или «среднее по графику на глаз» — нет, только весь путь : всё время.

R06.4 · тип 4

Тип 4 · от описания к формуле и графику · образец

Такси: 150 руб. за посадку (до 3 км), далее 30 руб./км

C (s) = {150, 150 + 30 (s - 3), 0 < s \leq 3 s > 3

C (7) = 150 + 30 \cdot 4 = 270

150 + 30 (s - 3) = 420

s = 12

км

2 мин · теория (образец учителя)
Шаги: 1) выделить участки, где правило разное (до 3 км и после); 2) записать формулу на каждом участке; 3) построить график по двум-трём точкам; 4) ответить на вопрос формулой или по графику.
Проверка: C(12) = 150 + 30 · 9 = 420 ✓. В точке s = 3 оба выражения дают 150 — график непрерывен.
Вопрос классу: сколько км можно проехать на 200 руб.? 150 + 30(s − 3) = 200 → s = 3 5/3 = 4 2/3 км (≈ 4,7 км).
Ошибка: C(7) = 150 + 30 · 7 = 360 — забыли, что первые 3 км входят в посадку.

R06.4 · тип 4

Тип 4 · сам по образцу такси · самопроверка

Прокат велосипеда: 120 руб. за первый час, далее 50 руб./ч

Цена за 0,5 ч? 120 руб.
Цена за 4 ч? 270 руб.
повыш.Формула $C (t)$ и график? см. график
повыш.На сколько часов хватит 420 руб.? 7 ч

R06.4 · тип 4

Тип 4 · задание · исследование

Вода льётся равномерно. Какой график — какой сосуд?

2 мин · практика (исследование)
h — высота уровня воды, t — время; воды в секунду поступает одинаково.
Ответ: 1–В (цилиндр — уровень растёт равномерно), 2–Г (расширяется кверху — сначала быстро, потом медленно), 3–А (сужается кверху — сначала медленно, потом всё быстрее), 4–Б (широкий низ, узкий верх — два прямолинейных участка, второй круче).
Почему: чем шире сосуд на данной высоте, тем медленнее поднимается уровень при той же порции воды.
Сосуд 4: нижняя часть шире верхней примерно в 3 раза, поэтому вверху уровень растёт примерно в 3 раза быстрее.
Вопрос «приведите пример»: процесс, который сначала быстрый, потом медленный (остывание чая, рост числа подписчиков нового канала).

R06.4

Графики и уравнение · образец

Встреча — точка пересечения графиков

$A B = 30$ км, навстречу: 4 и 11 км/ч

s_{1} = 4 t, s_{2} = 30 - 11 t

4 t = 30 - 11 t

t = 2, s = 8

км

R06.4

Графики и уравнение · сам по образцу · самопроверка

$A B = 60$ км: из A — 12 км/ч, из B навстречу — 18 км/ч

По графику: когда и где встреча? 2 ч; 24 км от A
Формулы $s_{1} (t)$ , $s_{2} (t)$ ? $12 t; 60 - 18 t$
Уравнение и проверка? $12 t = 60 - 18 t$
повыш.Когда между ними 15 км? 1,5 ч и 2,5 ч

R06.4

Внимание

Четыре типичные ошибки

График пути — не траектория

это зависимость $s$ от $t$ , а не дорога на карте

Горизонталь: $s (t)$ или $v (t)$ ?

на $s (t)$ — стоит; на $v (t)$ — едет равномерно

Средняя скорость

$v_{ср} = \frac{S _{весь}}{t _{всё}}$ , а не среднее скоростей

Цена деления

одна клетка — это 1 ч, 2 ч или 30 мин? Читайте шкалу

R06.4

Найди ошибку · решения учеников

Где ошибка? Исправьте

Средняя скорость

Половину пути — 60 км/ч, половину — 40 км/ч.

$v_{ср} = \frac{60 + 40}{2} = 50$

$\frac{2 S}{\frac{S}{60} + \frac{S}{40}} = 48$ км/ч

Такси

150 руб. до 3 км, далее 30 руб./км.

$C (8) = 150 + 30 \cdot 8 = 390$

$C (8) = 150 + 30 \cdot 5 = 300$ руб.

График $v (t)$

$v = 20$ м/с с 10 до 30 с.

«Автомобиль стоял 20 с»

ехал равномерно: $20 \cdot 20 = 400$ м

R06.4

Задания с самопроверкой · база, повышенный, олимпиадный

Пять заданий — от базы к олимпиаде

базаПо графику сл. 5: в какие часы было $2^{\circ}$ ? 10 и 18 ч
база2 ч со скоростью 70 км/ч и 3 ч — 60 км/ч. Средняя скорость? 64 км/ч
повыш.Половину пути — 10 км/ч, половину — 15 км/ч. Средняя скорость? 12 км/ч
повыш.Тариф: 300 руб. включают 400 мин, далее 2 руб./мин. $C (m)$ ? Сколько минут за 520 руб.? 510 мин
олимп.Разгон 4 с, равномерно, торможение 4 с; всего 20 с, путь 320 м. Наибольшая скорость? 20 м/с

Подсказки

3) путь — $2 S$

4) кусочная формула

5) площадь трапеции

3 мин · практика
2 мин самостоятельно, затем самопроверка всем классом — ответы по клику, ученики ставят «+» на полях.
1) 10 ч и 18 ч (две точки на уровне 2°).
2) (2 · 70 + 3 · 60) : 5 = 320 : 5 = 64 км/ч.
3) Путь 2S, время S/10 + S/15 = S/6; v = 2S : (S/6) = 12 км/ч (не 12,5!).
4) C(m) = 300 при 0 ≤ m ≤ 400; C(m) = 300 + 2(m − 400) при m > 400. 300 + 2(m − 400) = 520 → m − 400 = 110 → m = 510 мин. Проверка: 300 + 220 = 520 ✓.
5) График v(t) — трапеция с основаниями 20 и 20 − 8 = 12 с, высота v: (20 + 12) : 2 · v = 16v = 320 → v = 20 м/с. При нехватке времени — в ДЗ.

R06.4 · самопроверка

Задания с самопроверкой · задача из жизни

Спортзал: какой абонемент выгоднее?

А — 2000 руб. в месяц без ограничений; Б — 400 руб. в месяц + 200 руб. за посещение. $n$ — число посещений в месяц.

базаЦена 5 посещений по Б? 1400 руб.
базаФормула $C_{Б} (n)$ ? $400 + 200 n$
повыш.При каком $n$ цены равны? $n = 8$
повыш.Когда выгоднее А? $n \geq 9$
повыш.Почему график — точки? $n$ — целое

2 мин · практика (задача из жизни)
Самостоятельно 1 мин, затем самопроверка — ответы по клику.
1) 400 + 200 · 5 = 1400 руб. 2) C_Б(n) = 400 + 200n, C_А(n) = 2000. 3) 400 + 200n = 2000 → n = 8 (на графике точки А и Б совпадают при n = 8).
4) При n ≥ 9 абонемент Б дороже 2000 руб. (400 + 1800 = 2200), значит выгоднее А; при n ≤ 7 выгоднее Б; при n = 8 одинаково.
5) Число посещений — натуральное число (или 0), поэтому график — отдельные точки, а не сплошная линия. Это отличие от тарифа такси, где расстояние — любое положительное число.

R06.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Турист прошёл 18 км за 4 ч, из них 1 ч отдыхал. Средняя скорость? 4,5 км/ч
2 ч — 80 км/ч, 1 ч — 50 км/ч. Средняя скорость? 70 км/ч
$v (t)$ : разгон от 0 до 12 м/с за 6 с, затем 10 с равномерно. Путь? 156 м
Такси: 120 руб. до 2 км, далее 25 руб./км. Сколько км за 320 руб.? 10 км

Вариант 2

Велосипедист проехал 42 км за 4 ч, из них 0,5 ч стоял. Средняя скорость? 10,5 км/ч
3 ч — 60 км/ч, 1 ч — 100 км/ч. Средняя скорость? 70 км/ч
$v (t)$ : разгон от 0 до 16 м/с за 8 с, затем 5 с равномерно. Путь? 144 м
Такси: 200 руб. до 4 км, далее 35 руб./км. Сколько км за 515 руб.? 13 км

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах (ответы по клику).
Вариант 1: 1) 18 : 4 = 4,5 км/ч (привал входит во время); 2) (160 + 50) : 3 = 70 км/ч; 3) 1/2 · 6 · 12 + 12 · 10 = 36 + 120 = 156 м; 4) 120 + 25(s − 2) = 320 → s − 2 = 8 → s = 10 км.
Вариант 2: 1) 42 : 4 = 10,5 км/ч; 2) (180 + 100) : 4 = 70 км/ч; 3) 1/2 · 8 · 16 + 16 · 5 = 64 + 80 = 144 м; 4) 200 + 35(s − 4) = 515 → s − 4 = 9 → s = 13 км.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Задания: 1–2 — средняя скорость, 3 — путь как площадь, 4 — кусочная формула.

R06.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21

Задача на движение: график подсказывает уравнение

Велосипедист выехал из пункта A со скоростью 12 км/ч. Через 1 ч вслед за ним из A выехал мотоциклист со скоростью 36 км/ч. На каком расстоянии от A мотоциклист догонит велосипедиста?

ответ — в километрах; решение записать полностью

План

$s_{1} (t)$ и $s_{2} (t)$ — расстояния от A

Догнал

$s_{1} (t) = s_{2} (t)$

12 t = 36 (t - 1)

24 t = 36, t = 1, 5

Ответ:

18

3 мин · практика
2 мин ученики решают в тетрадях, затем решение открывается по клику. Решение: пусть t ч — время велосипедиста до встречи; s₁ = 12t, s₂ = 36(t − 1). 12t = 36(t − 1) → 12t = 36t − 36 → 24t = 36 → t = 1,5 ч. s = 12 · 1,5 = 18 км.
Проверка: мотоциклист ехал 0,5 ч: 36 · 0,5 = 18 км ✓. Ответ: 18.
График: прямая s = 12t и прямая s = 36(t − 1), начинающаяся в точке (1; 0); пересечение (1,5; 18).
Критерии (2 балла): верная модель, решение, ответ. Ошибка: 36t = 12(t − 1) — перепутали, кто выехал позже.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графику пути найти скорость?
Что значит горизонталь на $s (t)$ и на $v (t)$ ?
Что означает точка пересечения графиков?

Домашнее задание

Такси: 100 руб. до 2 км, далее 25 руб./км. $C (s)$ , $C (10)$ ; сколько км за 500 руб.?
$A B = 24$ км, навстречу 5 и 7 км/ч: где встретятся? Графически и уравнением
* Нарисуйте $h (t)$ для круглой колбы
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-099 · Практикум: примеры графиков функций, отражающих реальные процессы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 9/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.4 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы» → 2–22
Результаты	ПР-25 (функциональный язык, значение по аргументу, свойства по графику) → 3–10, 13, 16–18 · ПР-26 (построение графиков, свойства по графику) → 11–15, 18, 19, 22 · ПР-23 (модель задачи, интерпретация) → 11, 12, 14, 15, 18–21 · ПР-22 (графическое исследование уравнений) → 14, 15, 19, 21 · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	способы задания функции — ALG8U-096; построение графика — ALG8U-097; свойства по графику — ALG8U-098; прямая и обратная пропорциональность, $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ — ALG8U-100 (R06.5); второй практикум по R06.4 — ALG8U-104
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графикиреальныхпроцессов

Читать процесс по графику — и строить график по процессу

Читать

Вычислять

Строить

Моделировать

Назовите ответ — без записи

Что «говорит» каждый участок графика

Круче — быстрее

Вопрос

Температура воздуха за сутки

Заряд телефона в течение дня

Скорость = наклон графика пути

Автомобиль: путь от города

Путь = площадь под графиком скорости

Автомобиль: график скорости за 50 с

Такси: 150 руб. за посадку (до 3 км), далее 30 руб./км

Прокат велосипеда: 120 руб. за первый час, далее 50 руб./ч

Вода льётся равномерно. Какой график — какой сосуд?

Встреча — точка пересечения графиков

AB=60 км: из A — 12 км/ч, из B навстречу — 18 км/ч

Четыре типичные ошибки

График пути — не траектория

Горизонталь: s(t) или v(t)?

Средняя скорость

Цена деления

Где ошибка? Исправьте

Средняя скорость

Такси

График v(t)

Пять заданий — от базы к олимпиаде

Подсказки

Спортзал: какой абонемент выгоднее?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Задача на движение: график подсказывает уравнение

План

Догнал

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-099 · Практикум: примеры графиков функций, отражающих реальные процессы

Графики
реальных
процессов

$A B = 60$ км: из A — 12 км/ч, из B навстречу — 18 км/ч

Горизонталь: $s (t)$ или $v (t)$ ?

График $v (t)$