Функции · урок 7 из 15 · практикум

График функции:
практикум

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-097

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · всего 45 мин.
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 7/15, единица R06.2 «График функции». Тип П (практикум). Новый материал по этой единице был на уроке ALG8U-092; вчера (ALG8U-096) — практикум по способам задания; завтра (ALG8U-098) — практикум «Чтение свойств функции по графику».
Хронометраж (45 мин): титул 1 и цели 1 (сл. 1–2, теория) · разминка 2 (сл. 3) · повторение по графику 2 (сл. 4) · тип 1: образец 2 (сл. 5, теория) → задания 3 + 2 (сл. 6–7) · тип 2: образец 2 (сл. 8, теория) → задания 2 (сл. 9) · тип 3: образец 2 (сл. 10, теория) → задания 2 (сл. 11) · исследование f(x) = a: образец 2 (сл. 12, теория) → задания 2 (сл. 13) · тип 4: образец 2 (сл. 14, теория) → задания 2 (сл. 15) · общие точки: образец 1 (сл. 16, теория) → задания 2 (сл. 17) · ловушки 1 (сл. 18, теория) · найди ошибку 2 (сл. 19) · закрепление 3 (сл. 20) · ОГЭ 2 (сл. 21) · самостоятельная 4 (сл. 22) · итог и ДЗ 1 (сл. 23). Теория 14 мин, практика 31 мин.
Каждый тип: образец по шагам (клик — следующий шаг, говорит учитель) → сразу задания того же типа с ответами по клику (работают ученики). Если не хватает времени — задания 4–5 сл. 20 перенести в ДЗ.

R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять точку и находить параметр

по условию «график проходит через точку» (ПР-25)

Строить графики

по таблице, по участкам, с выколотыми точками (ПР-26)

Исследовать уравнение $f (x) = a$

по графику: сколько корней при разных $a$ (ПР-22)

Находить общие точки

графиков и точки пересечения с осями (ПР-25, ПР-22)

разминка · R06.2

Разминка · устно

Вычислите, решите, ответьте

f (x) = 2 x - 1

f (- 3) = ?

- 7

f (x) = x^{2} - 3

f (- 2) = ?

1

y = \frac{12}{x}

y (- 4) = ?

- 3

(2; 5)

на графике

y = 3 x - 1

?

да

x^{2} = 16

\pm 4

x^{2} - 5 x + 6 = 0

2; 3

Когда

\frac{x + 1}{x - 2}

не имеет смысла?

x = 2

На какой оси
точка

(- 3; 0)

?

на

O x

повторение · R06.2

Вспомним · урок ALG8U-092

Точка лежит на графике $⟺$ её координаты — верное равенство

M (x_{0}; y_{0}) \in Γ_{f} ⟺ y_{0} = f (x_{0})

A (2; 1) : 2^{2} - 3 = 1 ✓

B (- 1; - 2) : (- 1)^{2} - 3 = - 2 ✓

C (0; 3) : 0^{2} - 3 = - 3 \neq = 3

2 мин · практика
Устный опрос: ученики сами проверяют точки, учитель открывает проверку по клику. Графиком функции y = f(x) называют множество всех точек плоскости с координатами (x; f(x)), где x ∈ D(f).
Устно перед кликами: «Принадлежат ли графику y = x² − 3 точки A, B, C?» Ответы: A — да, B — да, C — нет (на графике точка (0; −3)).
Типичная ошибка: подставляют y вместо x. Первая координата — всегда x.
Вопрос: сколько точек графика имеют ординату 1? (две: x = ±2.)

R06.2 · тип 1

Тип 1 · график проходит через точку · образец

График $y = k x + b$ проходит через $A (- 1; 5)$ и $B (2; - 1)$ . Найдите $k$ и $b$

1) подставляем A и B

{5 = - k + b - 1 = 2 k + b

2) вычитаем уравнения

- 6 = 3 k \Rightarrow k = - 2

3) находим b

b = 5 + k = 3

y = - 2 x + 3

R06.2 · тип 1

Тип 1 · ваша очередь

Условие на точку $\Rightarrow$ уравнение

базаПри каком $k$ график $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $(- 3; 4)$ ?
повыш.Найдите все точки графика $y = x^{2} - 2 x$ , у которых ордината на 4 больше абсциссы.

Ключ к 2:

y = x + 4

— решаем

x^{2} - 2 x = x + 4

, это общие точки с прямой

R06.2 · тип 1

Тип 1 · задания с самопроверкой

Точка на графике: найдите неизвестное

базаПри каком $a$ точка $(a; - 8)$ лежит на графике $y = - 2 x$ ? $a = 4$
базаГрафик $y = k x - 4$ проходит через $(3; 2)$ . Найдите $k$ . $k = 2$
базаЛежит ли точка $(- 1; - 0, 5)$ на графике $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ ? да

повыш.График $y = a x^{2} + c$ проходит через $(1; 1)$ и $(2; 7)$ . Найдите $a$ и $c$ . $a = 2, c = - 1$
повыш.Найдите точки графика $y = \frac{8}{x}$ с равными координатами. $(22; 22), (- 22; - 22)$
повыш.При каких $p$ точка $(p; p^{2})$ лежит на прямой $y = 2 x + 3$ ? $p = - 1; p = 3$

R06.2 · тип 2

Тип 2 · построение по точкам · образец

$f (x) = x^{2} - x - 6$ : таблица, график, точки на осях

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$6$	$0$	$- 4$	$- 6$	$- 6$	$- 4$	$0$	$6$

с осью Ox: y = 0

x^{2} - x - 6 = 0

x = - 2; x = 3

с осью Oy: x = 0

f (0) = - 6

2 мин · теория
Алгоритм: таблица (симметрично вокруг «середины», здесь x = 0,5) → точки → плавная линия, не ломаная. Точки на осях находим вычислением, а не «на глаз».
Проверка таблицы: f(−3) = 9 + 3 − 6 = 6; f(−1) = 1 + 1 − 6 = −4; f(2) = 4 − 2 − 6 = −4; f(4) = 16 − 4 − 6 = 6.
Вопрос: почему значения повторяются парами (−1 и 2, −3 и 4)? (f(x) = f(1 − x) — график симметричен относительно прямой x = 0,5.) Это мостик к квадратичной функции в 9 классе — не углубляться.
Типичная ошибка: (−2; 0) записывают как (0; −2).

R06.2 · тип 2

Тип 2 · ваша очередь · с самопроверкой

Найдите точки пересечения графика с осями

база $y = - 3 x + 6$ $(2; 0), (0; 6)$
база $y = x^{2} - 4 x + 3$ $(1; 0), (3; 0), (0; 3)$
база $y = \frac{2 x - 6}{x + 1}$ $(3; 0), (0; - 6)$

повыш. $y = x^{2} + x + 2$ с $O x$ — нет; $(0; 2)$
повыш. $y = x^{3} - 4 x$ $(- 2; 0), (0; 0), (2; 0)$
повыш. $y = (x + 2) (x^{2} - 9)$ $(- 3; 0), (- 2; 0), (3; 0), (0; - 18)$

С осью

O x

: решаем

y = 0

. С осью

O y

: считаем

y (0)

. Ответ — точками

(x; y)

R06.2 · тип 3

Тип 3 · кусочно-заданная функция · образец

Строим по участкам: каждая формула — только на своём промежутке

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x - 2, x^{2}, 6 - x, x < - 1 - 1 \leq x \leq 2 x > 2

x = - 1

:

- (- 1) - 2 = - 1

— точка выколота (

x < - 1

строго)

x = 2

:

2^{2} = 4

и

6 - 2 = 4

— куски стыкуются

2 мин · теория
Порядок: 1) разбить ось x на промежутки; 2) на каждом построить «свою» линию (прямая — по двум точкам, парабола — по таблице); 3) на концах вычислить значения и решить: точка закрашена (знак ≤, ≥) или выколота (<, >).
В x = −1 у первого куска значение −1 (выколото), у второго 1 (закрашено): график «прыгает», f(−1) = 1.
Вопрос: чему равны f(−3), f(0), f(5)? (1; 0; 1.) Какие у графика точки на оси Ox? (x = −2, x = 0, x = 6.)
Ошибка: строят всю параболу y = x² целиком, а не только на [−1; 2].

R06.2 · тип 3

Тип 3 · ваша очередь · с самопроверкой

Кусочная функция: значения, стыки, нули

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 3, - 2 x, x - 4, x \leq - 1 - 1 < x < 1 x \geq 1

базаНайдите $g (- 4), g (0), g (1), g (5)$ . $- 1; 0; - 3; 1$
базаГде куски стыкуются, где — «прыжок»? $x = - 1$ — стык; $x = 1$ — прыжок
повыш.Найдите нули функции $g$ . $x = - 3; 0; 4$

2 мин · практика
Сначала вычислить без графика, ответы по клику; последний клик — график для проверки.
1) g(−4) = −4 + 3 = −1 (первая формула, −4 ≤ −1); g(0) = −2 · 0 = 0; g(1) = 1 − 4 = −3 (x = 1 относится к третьей формуле); g(5) = 5 − 4 = 1.
2) x = −1: первая формула даёт −1 + 3 = 2 (точка закрашена), вторая у границы — −2 · (−1) = 2: куски стыкуются в (−1; 2). x = 1: вторая формула даёт −2 (точка выколота, строгий знак), третья — 1 − 4 = −3 (закрашена): график «прыгает», g(1) = −3.
3) x + 3 = 0 → x = −3 (−3 ≤ −1 ✓); −2x = 0 → x = 0 (∈ (−1; 1) ✓); x − 4 = 0 → x = 4 (≥ 1 ✓). Нули: −3; 0; 4.

R06.2 · тип 3 · исследование

Тип 3 · уравнение $f (x) = a$ · «сканируем» прямой

Число корней $f (x) = a$ = число общих точек графика и прямой $y = a$

$a$	корней
$a \leq - 1$	1
$- 1 < a < 0$	2
$a = 0$	3
$0 < a \leq 1$	4
$1 < a < 4$	3
$a = 4$	2
$a > 4$	1

2 мин · теория
Двигаем горизонтальную прямую снизу вверх; «особые» уровни — ординаты концов кусков и вершин: −1 (выколотая точка), 0 (вершина параболы), 1 (точка (−1; 1)), 4 (стык (2; 4)).
Проверка по кускам: x < −1: −x − 2 = a ⇔ x = −a − 2 < −1 ⇔ a > −1. На [−1; 2]: x² = a — два корня ±√a при 0 < a ≤ 1, один (x = √a) при 1 < a ≤ 4, один (x = 0) при a = 0. x > 2: x = 6 − a > 2 ⇔ a < 4. Складываем — получаем таблицу.
a = 0,5: x = −2,5; ±√0,5 ≈ ±0,71; 5,5. a = 2,5: x = −4,5; √2,5 ≈ 1,58; 3,5. a = 4: x = −6 (за рамкой рисунка) и x = 2.
Вопрос: при каких a ровно 3 корня? (a = 0 или 1 < a < 4.) Ошибка: забывают, что в выколотой точке (−1; −1) корня нет.

R06.2 · тип 3 · исследование

Тип 3 · исследование · ваша очередь

По графику $g$ : сколько корней у уравнения $g (x) = a$ ?

база $a = 0$ 3 корня
база $a = - 2$ 2 корня
база $a = 3$ 1 корень
повыш. $a = - 3$ и $a = 2$ по 2 корня
повыш.При каких $a$ ровно 3 корня? $- 2 < a < 2$

2 мин · практика
Ученики «сканируют» график горизонтальной линейкой (как на прошлом слайде), ответы по клику.
Проверка по кускам: x + 3 = a → x = a − 3 ≤ −1 ⇔ a ≤ 2; −2x = a → x = −a/2 ∈ (−1; 1) ⇔ −2 < a < 2; x − 4 = a → x = a + 4 ≥ 1 ⇔ a ≥ −3.
a = 0: x = −3, 0, 4 — 3 корня. a = −2: x = −5 и x = 2 (у второго куска x = 1 — выколотая точка, корня нет) — 2. a = 3: только x = 7 — 1. a = −3: x = −6 и x = 1 — 2. a = 2: x = −1 и x = 6 (во втором куске x = −1 не входит) — 2.
Итог: a < −3 — 1; −3 ≤ a ≤ −2 — 2; −2 < a < 2 — 3; a = 2 — 2; a > 2 — 1. Ответ к 5: −2 < a < 2.

R06.2 · тип 4

Тип 4 · сначала область определения · образец

$y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ : прямая с «дыркой»

1) область определения

x - 3 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 3

2) сокращаем дробь

y = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3

3) выкалываем точку

x = 3 : y = 3 + 3 = 6

y = x + 3, x \neq = 3

R06.2 · тип 4

Тип 4 · ваша очередь · с самопроверкой

Упростите формулу и найдите выколотую точку графика

база $y = \frac{x ^{2} - 4}{x + 2}$ $y = x - 2, x \neq = - 2$ ; $(- 2; - 4)$
база $y = \frac{x ^{2} + 5 x}{x}$ $y = x + 5, x \neq = 0$ ; $(0; 5)$
база $y = \frac{2 x ^{2} - 2 x}{x - 1}$ $y = 2 x, x \neq = 1$ ; $(1; 2)$

повыш. $y = \frac{x ^{3} + x ^{2}}{x + 1}$ $y = x^{2}, x \neq = - 1$ ; $(- 1; 1)$
повыш. $y = \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{3 - x}$ $y = 3 - x, x \neq = 3$ ; $(3; 0)$
повыш.При каком $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = a$ не имеет корней? $a = - 4$

2 мин · практика
Порядок как в образце: 1) область определения; 2) сокращение; 3) ордината выколотой точки — подстановкой в упрощённую формулу. Ответы по клику.
1) (x − 2)(x + 2)/(x + 2) = x − 2, x ≠ −2; y(−2) = −4 → (−2; −4). 2) x(x + 5)/x = x + 5, x ≠ 0 → (0; 5). 3) 2x(x − 1)/(x − 1) = 2x, x ≠ 1 → (1; 2).
4) x²(x + 1)/(x + 1) = x², x ≠ −1 → (−1; 1) — парабола без одной точки. 5) (x − 3)²/(3 − x) = (x − 3)²/(−(x − 3)) = −(x − 3) = 3 − x, x ≠ 3 → (3; 0) — «дырка» на оси Ox. 6) y = x − 2 при x ≠ −2 принимает все значения, кроме −4 (выколотая точка (−2; −4)) → a = −4.

R06.2 · общие точки

Общие точки графиков · алгебра и рисунок

Найдите общие точки графиков $y = \frac{6}{x}$ и $y = x + 1$

приравниваем правые части, x ≠ 0

\frac{6}{x} = x + 1

x^{2} + x - 6 = 0

x_{1} = 2, x_{2} = - 3

(2; 3), (- 3; - 2)

R06.2 · общие точки

Общие точки · ваша очередь · с самопроверкой

Найдите общие точки графиков

база $y = 2 x - 1$ и $y = - x + 5$ $(2; 3)$
база $y = x^{2}$ и $y = x + 2$ $(- 1; 1), (2; 4)$
база $y = \frac{4}{x}$ и $y = x$ $(- 2; - 2), (2; 2)$

повыш. $y = \frac{8}{x}$ и $y = 6 - x$ $(2; 4), (4; 2)$
повыш. $y = x^{2} - 3 x$ и $y = x - 4$ одна точка $(2; - 2)$
повыш.При каком $b$ прямая $y = x + b$ проходит через общую точку прямых из задания 1? $b = 1$

R06.2 · ошибки

Типичные ошибки практикума

Четыре ловушки — и как их обойти

1. Перепутаны координаты

$A (x; y)$ : первой — абсцисса $x$

2. Не та точка на стыке

3. Сократили — забыли ОДЗ

4. Соединили ветви гиперболы

R06.2 · ошибки

Найди ошибку

Где ошибка в решении? Исправьте

Точки на осях

$y = x^{2} - 4$ пересекает ось $O x$ в точке $(0; - 4)$

верно: $(- 2; 0)$ и $(2; 0)$

$(0; - 4)$ — точка на оси $O y$ ; на $O x$ решаем $y = 0$

Сократил дробь

$y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ — это прямая $y = x + 1$

верно: $y = x + 1, x \neq = 1$

точка $(1; 2)$ выколота — её надо отметить кружком

Значение на стыке

$f (x) = {x, 5 - x, x < 2 x \geq 2$ $\Rightarrow f (2) = 2$

верно: $f (2) = 5 - 2 = 3$

$x = 2$ входит во вторую формулу ( $\geq$ )

R06.2

Закрепление · самостоятельная работа

Пять заданий — от базы к олимпиаде

базаПринадлежат ли графику $y = 2 x^{2} - 5$ точки $A (- 2; 3)$ и $B (1, 5; 0, 5)$ ?
базаНайдите точки пересечения графика $y = \frac{x - 4}{x + 2}$ с осями координат.
повыш.При каком $b$ график $y = x^{2} + b x + 4$ проходит через точку $(2; - 2)$ ?
повыш.Постройте график $y = \frac{x ^{3} - x}{x ^{2} - 1}$ и укажите выколотые точки.
олимп.Постройте $y = ∣ x - 1∣ + ∣ x + 1∣$ . При каком $a$ уравнение $∣ x - 1∣ + ∣ x + 1∣ = a$ имеет бесконечно много корней?

Подсказки

2) $y = 0$ и $x = 0$

4) $x^{2} - 1 \neq = 0$

5) раскройте модули на трёх промежутках

3 мин · практика
Каждый выбирает 3 задания по силам (база — 1–3, повышенный — 3–5); остальные — в ДЗ.
1) A: 2 · 4 − 5 = 3 ✓ — принадлежит; B: 2 · 2,25 − 5 = −0,5 ≠ 0,5 — не принадлежит.
2) Ox: x − 4 = 0, x = 4 (x ≠ −2 ✓) → (4; 0). Oy: x = 0, y = −4/2 = −2 → (0; −2).
3) 4 + 2b + 4 = −2 → 2b = −10 → b = −5. Проверка: 4 − 10 + 4 = −2 ✓.
4) x³ − x = x(x − 1)(x + 1), x² − 1 = (x − 1)(x + 1) ≠ 0 → x ≠ ±1. y = x при x ≠ ±1: прямая y = x без точек (1; 1) и (−1; −1).
5) x ≤ −1: y = −(x − 1) − (x + 1) = −2x; −1 ≤ x ≤ 1: y = −(x − 1) + (x + 1) = 2; x ≥ 1: y = 2x. График — «корыто» с горизонтальным дном y = 2 на [−1; 1]. Ответ: a = 2 (корни — весь отрезок [−1; 1]). При a > 2 — два корня, при a < 2 — ни одного. При нехватке времени — в ДЗ.

R06.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (функция и её график, часть 2)

$y = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$ : при каких $m$ прямая $y = m x$ не имеет с графиком общих точек?

1) ОДЗ и сокращение

y = \frac{( x + 3 ) ( x - 1 )}{x - 1} = x + 3, x \neq = 1

2) прямая параллельна графику

m = 1

3) прямая идёт в «дырку» (1; 4)

4 = m \cdot 1 \Rightarrow m = 4

Ответ:

1; 4

2 мин · практика
Сначала 1 мин подумать в парах (подсказка: сократите дробь), затем решение по шагам кликами. Задание 22 ОГЭ (развёрнутый ответ, 2 балла): нужен верный график с выколотой точкой и оба значения m.
Алгебраическая проверка: mx = x + 3 ⇔ x(m − 1) = 3. При m = 1 корней нет. При m ≠ 1 x = 3/(m − 1), и он не подходит только если x = 1, т. е. m = 4. Значит, ровно два значения: 1 и 4.
Критерий ОГЭ: график построен верно, но найдено одно значение m — 1 балл. Ошибка: забыть случай m = 4 (прохождение через выколотую точку).

R06.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

базаЛежит ли точка $(- 2; 8)$ на графике $y = x^{2} - 2 x$ ? да
базаТочки пересечения $y = \frac{x - 6}{x + 3}$ с осями. $(6; 0), (0; - 2)$
базаОбщие точки $y = \frac{3}{x}$ и $y = x + 2$ . $(1; 3), (- 3; - 1)$
повыш.Выколотая точка графика $y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ . $(- 1; - 2)$

Вариант 2

базаЛежит ли точка $(- 4; 4)$ на графике $y = x^{2} + 3 x$ ? да
базаТочки пересечения $y = \frac{x - 8}{x + 4}$ с осями. $(8; 0), (0; - 2)$
базаОбщие точки $y = \frac{2}{x}$ и $y = x + 1$ . $(1; 2), (- 2; - 1)$
повыш.Выколотая точка графика $y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ . $(- 3; - 6)$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
В-1. 1) (−2)² − 2 · (−2) = 4 + 4 = 8 — да. 2) x − 6 = 0 → (6; 0); y(0) = −6/3 = −2 → (0; −2). 3) 3/x = x + 2 → x² + 2x − 3 = 0 → x = 1; −3 → (1; 3), (−3; −1). 4) (x − 1)(x + 1)/(x + 1) = x − 1, x ≠ −1 → (−1; −2).
В-2. 1) 16 − 12 = 4 — да. 2) x − 8 = 0 → (8; 0); y(0) = −8/4 = −2 → (0; −2). 3) 2/x = x + 1 → x² + x − 2 = 0 → x = 1; −2 → (1; 2), (−2; −1). 4) (x − 3)(x + 3)/(x + 3) = x − 3, x ≠ −3 → (−3; −6).
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как проверить, что точка лежит на графике?
Когда точку на графике выкалывают?
Как по графику найти число корней $f (x) = a$ ?

Домашнее задание

График $y = k x + b$ проходит через $(2; 7)$ и $(- 1; - 2)$ . Найдите $k$ и $b$
Постройте $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 4, x^{2}, \frac{1}{x}, x < - 2 - 2 \leq x \leq 1 x > 1$ . При каких $a$ уравнение $f (x) = a$ имеет ровно 2 корня?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_giperbola.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) 7 = 2k + b, −2 = −k + b → 9 = 3k, k = 3, b = 1; y = 3x + 1. Проверка: 6 + 1 = 7 ✓, −3 + 1 = −2 ✓.
2) x < −2: y = x + 4 < 2, один корень при a < 2; в x = −2 первый кусок даёт 2 (выколота), второй — 4 (закрашена). [−2; 1]: x² — на [−2; 0] от 4 до 0, на [0; 1] от 0 до 1. x > 1: 1/x ∈ (0; 1), один корень при 0 < a < 1. Итого: a < 0 — 1; a = 0 — 2 (x = −4, x = 0); 0 < a < 1 — 4; a = 1 — 3 (x = −3, ±1); 1 < a < 2 — 2 (x = a − 4, x = −√a); 2 ≤ a < 4 — 1; a = 4 — 1; a > 4 — 0. Ответ: a = 0 или 1 < a < 2.
Тренажёр углублённого уровня по строке R06 (гипербола, графики). Следующий урок ALG8U-098 — практикум «Чтение свойств функции по её графику».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-097 · Практикум: График функции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 7/15 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R06.2 «График функции» → 2–23 (теория: 1–2, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18 — 14 мин; практика: 3–4, 6–7, 9, 11, 13, 15, 17, 19–23 — 31 мин, 69 %)
Результаты	ПР-25 (функциональные понятия, значение по аргументу) → 3–7, 9, 11, 16–17, 19–20, 22–23 · ПР-26 (строить графики функций) → 8–15, 18–20, 22–23 · ПР-22 (исследование уравнений с применением графических представлений) → 12–13, 15–17, 21, 23 · ПР-19 (квадратные уравнения, опора) → 3, 6–7, 9, 16–17, 22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства функции по графику (монотонность, знакопостоянство, наибольшее/наименьшее значение) — ALG8U-093/098 (R06.3); реальные процессы — R06.4; систематика $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ — R06.5; квадратичная функция и преобразования графиков — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

График функции:практикум

Сегодня вы научитесь

Проверять точку и находить параметр

Строить графики

Исследовать уравнение f(x)=a

Находить общие точки

Вычислите, решите, ответьте

Точка лежит на графике ⟺ её координаты — верное равенство

График y=kx+b проходит через A(−1;5) и B(2;−1). Найдите k и b

Условие на точку ⇒ уравнение

Точка на графике: найдите неизвестное

f(x)=x2−x−6: таблица, график, точки на осях

Найдите точки пересечения графика с осями

Строим по участкам: каждая формула — только на своём промежутке

Кусочная функция: значения, стыки, нули

Число корней f(x)=a = число общих точек графика и прямой y=a

По графику g: сколько корней у уравнения g(x)=a?

y=x−3x2−9​: прямая с «дыркой»

Упростите формулу и найдите выколотую точку графика

Найдите общие точки графиков y=x6​ и y=x+1

Найдите общие точки графиков

Четыре ловушки — и как их обойти

1. Перепутаны координаты

2. Не та точка на стыке

3. Сократили — забыли ОДЗ

4. Соединили ветви гиперболы

Где ошибка в решении? Исправьте

Точки на осях

Сократил дробь

Значение на стыке

Пять заданий — от базы к олимпиаде

Подсказки

y=x−1x2+2x−3​: при каких m прямая y=mx не имеет с графиком общих точек?

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-097 · Практикум: График функции

График функции:
практикум

Исследовать уравнение $f (x) = a$

Точка лежит на графике $⟺$ её координаты — верное равенство

График $y = k x + b$ проходит через $A (- 1; 5)$ и $B (2; - 1)$ . Найдите $k$ и $b$

Условие на точку $\Rightarrow$ уравнение

$f (x) = x^{2} - x - 6$ : таблица, график, точки на осях

Число корней $f (x) = a$ = число общих точек графика и прямой $y = a$

По графику $g$ : сколько корней у уравнения $g (x) = a$ ?

$y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ : прямая с «дыркой»

Найдите общие точки графиков $y = \frac{6}{x}$ и $y = x + 1$

$y = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$ : при каких $m$ прямая $y = m x$ не имеет с графиком общих точек?