Функции · урок 5 из 15 · новый материал

Пропорциональность
и функции
$x^{2}$ , $x^{3}$ , $x$ , $\frac{k}{x}$

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-095

1 мин · теория
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 5/15, тип Н, единица R06.5 «Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики. Функции y = x², y = x³, y = √x, y = k/x и их свойства». До этого — ALG8U-091…094 (способы задания, график, чтение свойств, реальные процессы); дальше — практикумы ALG8U-096…104, практикум по этой единице — ALG8U-100.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4, практика) · новый материал 12 (сл. 5, 7–8, 10–11, 13–14 — теория: пропорциональности 2, y = x² 2, y = x³ 1, y = √x 1, y = k/x 2, доказательство 2, сравнение графиков 1) · «образец → сам» 6 (сл. 6, 9, 12) · графическое решение 3 (сл. 15) · самопроверка, ошибки, закрепление, ОГЭ 13 (сл. 16–20) · самостоятельная работа 4 (сл. 21) · сводка 1 (сл. 22, теория) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Вся теория прежняя, без сокращений; практика добавлена: разминка, после каждого блока правил — образец по шагам и сразу похожие задания, самопроверка, «найдите ошибку», самостоятельная в двух вариантах; ответы появляются по клику.
При нехватке времени: на сл. 13 доказать только для y = x², случай y = k/x — в ДЗ; на сл. 19 задания 5–6 — дома.
Рисунок: четыре графика урока в одной системе координат: парабола, кубическая парабола, ветвь y = √x, гипербола.

R06.5

Цели урока

Шесть функций — один план исследования

Распознавать

прямую и обратную пропорциональность по таблице, формуле и графику (ПР-25)

Строить

графики $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ по точкам и по свойствам (ПР-26)

Описывать и доказывать

$D (y)$ , $E (y)$ , чётность, монотонность — и обосновывать их алгебраически (ПР-26, ПР-25)

Применять

графики для сравнения чисел и решения уравнений: сколько корней? (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-25 «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику».
ПР-26 «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по ее графику».
ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…».
Вид деятельности ФРП: «Распознавать виды изучаемых функций. Строить графики функций y = x², y = x³, y = √x, y = k/x… Использовать функционально-графические представления для решения и исследования уравнений».
План исследования функции (повторяем с уроков 091–093): D(y), E(y), нули, знаки, чётность, промежутки возрастания/убывания.

R06.5 · разминка

Разминка · устно

Вычислите в уме

1

(- 3)^{2}

9

2

(- 2)^{3}

- 8

3

49

7

4

0, 36

0, 6

5

0, 5^{2}

и

0, 5^{3}

0, 25

;

0, 125

6

\frac{12}{- 4}

- 3

7

f (x) = x^{2} - 1

. Чему равно

f (- 3)

?

8

8Какая точка лежит на оси

O y

:

(0; 5)

или

(5; 0)

?

(0; 5)

R06.5 · актуализация

Актуализация · устно

Какая зависимость спрятана в таблице?

	$x$	значения $y$				вывод
А	$1; 2; 3; 4$	$3$	$6$	$9$	$12$	$\frac{y}{x} = 3$
Б	$1; 2; 3; 6$	$12$	$6$	$4$	$2$	$x y = 12$
В	$1; 2; 3; 4$	$1$	$4$	$9$	$16$	$y = x^{2}$

В — ни прямая, ни обратная:

\frac{y}{x}

и

x y

не постоянны. Новая функция!

Прямая

$y = k x, k \neq = 0$

$x$ больше в 2 раза → $y$ больше в 2 раза

Обратная

$y = \frac{k}{x}, k \neq = 0$

$x$ больше в 2 раза → $y$ меньше в 2 раза

2 мин · практика
Устно. Для каждой таблицы: «Что постоянно — частное или произведение?»
А: 3/1 = 6/2 = 9/3 = 12/4 = 3 → прямая пропорциональность y = 3x.
Б: 1·12 = 2·6 = 3·4 = 6·2 = 12 → обратная пропорциональность y = 12/x.
В: частные 1; 2; 3; 4, произведения 1; 8; 27; 64 — не постоянны → это y = x², изучаем сегодня.
Типичная ошибка: «y растёт вместе с x — значит прямая». Для В y тоже растёт, но не пропорционально (x увеличился в 2 раза — y в 4 раза).
Углублённо: прямая пропорциональность — частный случай линейной функции y = kx + b при b = 0; обратная задаётся только при x ≠ 0.

R06.5

Новый материал · прямая и обратная пропорциональность

Прямая через начало координат и гипербола

$y = k x$ — прямая через $O (0; 0)$

$y = \frac{k}{x}$ — гипербола, две ветви

2 мин · теория
Слева: y = 2x (k = 2 > 0, I и III четверти) и пунктир y = −0,5x (k < 0, II и IV четверти). Достаточно одной точки кроме O: (1; 2), (2; −1).
Справа: y = 4/x (k > 0, ветви в I и III четвертях, точки (2; 2), (−2; −2)) и пунктир y = −4/x (k < 0, II и IV четверти).
Вопрос классу: почему гипербола не пересекает оси? (x = 0 не входит в D(y); y = 0 невозможно, так как k ≠ 0.)
Смысл k: для прямой — угловой коэффициент (наклон); для гиперболы — чем больше |k|, тем дальше ветви от начала координат.

R06.5 · коэффициент k

Образец → сам

Коэффициент $k$ по точке графика

Образец: $y = \frac{k}{x}$ проходит через $A (4; - 3)$

k = x y

для обратной пропорциональности

k = 4 \cdot (- 3) = - 12

y = - \frac{12}{x}

k < 0

: II и IV четверти

Сами

$y = k x$ через $(3; - 6)$ . Найдите $k$ . $k = \frac{y}{x} = - 2$
$y = \frac{k}{x}$ через $(- 5; - 2)$ : $k$ и четверти? $k = 10$ ; I и III четверти
Лежит ли $(- 6; 2)$ на $y = - \frac{12}{x}$ ?да: $- 12 : (- 6) = 2$
$y = \frac{k}{x}$ , $y (3) = 8$ . Найдите $y (6)$ . $k = 24$ ; $y = 4$

R06.5 · y = x²

Новый материал · функция y = x²

Парабола $y = x^{2}$

D

D (y) = (- \infty; + \infty)

E

E (y) = [0; + \infty)

нуль

x = 0

— вершина,

y_{m i n} = 0

чётностьчётная:

(- x)^{2} = x^{2}

↓убывает на

(- \infty; 0]

↑возрастает на

[0; + \infty)

R06.5 · y = x³

Новый материал · функция y = x³

Кубическая парабола $y = x^{3}$

D

D (y) = (- \infty; + \infty)

E

E (y) = (- \infty; + \infty)

знаки

y < 0

при

x < 0

,

y > 0

при

x > 0

чётностьнечётная:

(- x)^{3} = - x^{3}

↑возрастает на всей

D (y)

1 мин · теория
Таблица: x = −1,5; −1; 0; 1; 1,5 → y = −3,375; −1; 0; 1; 3,375.
Нечётность: f(−x) = −f(x) → график симметричен относительно начала координат O (пара точек (1,5; 3,375) и (−1,5; −3,375)).
Сравнение с пунктиром y = x²: при 0 < x < 1 кубическая парабола ниже параболы, при x > 1 — выше (подробно на сл. 14).
Типичная ошибка: рисовать левую ветвь вверх, как у параболы. Вопрос: каков знак (−2)³? (−8.)
В точке O кривая «переходит» с одной стороны касательной Ox на другую — точка перегиба (термин можно не вводить).

R06.5 · y = x², y = x³

Образец → сам

Точки на графиках $y = x^{2}$ и $y = x^{3}$

Образец: точки графика $y = x^{2}$ с ординатой $9$

x^{2} = 9

x = 3

или

x = - 3

функция чётная

(- 3; 9)

и

(3; 9)

Сами

Лежит ли $(- 4; - 16)$ на $y = x^{2}$ ?нет: $(- 4)^{2} = 16$
Лежит ли $(- 2; - 8)$ на $y = x^{3}$ ?да: $(- 2)^{3} = - 8$
Точки графика $y = x^{3}$ с ординатой $- 27$ одна: $(- 3; - 27)$
Точки графика $y = x^{2}$ с ординатой $- 4$ таких нет: $x^{2} \geq 0$

R06.5 · корень

Новый материал · квадратный корень как функция

Ветвь параболы: $y = x$

D

D (y) = [0; + \infty)

E

E (y) = [0; + \infty)

чётностьни чётная, ни нечётная ↑возрастает на

[0; + \infty)

Симметрична ветви

y = x^{2}

,

x \geq 0

, относительно прямой

y = x

R06.5 · y = k/x

Новый материал · обратная пропорциональность y = k/x

Гипербола $y = \frac{2}{x}$ : свойства и ловушка

D

x \neq = 0

E

y \neq = 0

чётностьнечётная

k > 0

убывает на

(- \infty; 0)

и на

(0; + \infty)

Не «убывает на

D (y)

»:

- 1 < 1

, но

f (- 1) < f (1)

2 мин · теория
Точки: (0,5; 4), (1; 2), (2; 1), (4; 0,5) и симметричные им относительно O.
Асимптоты — оси координат: при x → 0 ветви уходят вдоль Oy, при |x| → ∞ приближаются к Ox, но не пересекают её.
При k < 0 — возрастает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞), ветви во II и IV четвертях.
Ловушка (углублённо): объединение промежутков писать нельзя. Контрпример: −1 < 1, а f(−1) = −2 < f(1) = 2 — функция на всей D(y) не убывает.
Вопрос: E(y) для y = 2/x при x ∈ [1; 4]? ([0,5; 2] — функция убывает, значения на концах 2 и 0,5.)

R06.5 · E(y) на отрезке

Образец → сам

Множество значений на отрезке — по монотонности

Образец: $y = x$ , $x \in [4; 9]$

x

возрастает берём концы

y (4) = 2, y (9) = 3

E (y) = [2; 3]

Сами: найдите $E (y)$

$y = x$ , $x \in [0; 16]$ $[0; 4]$
$y = \frac{4}{x}$ , $x \in [1; 4]$ убывает: $[1; 4]$
$y = - \frac{6}{x}$ , $x \in [2; 3]$ возрастает: $[- 3; - 2]$
$y = x^{3}$ , $x \in [- 2; 1]$ $[- 8; 1]$

2 мин · практика
Образец: y = √x возрастает на [0; +∞), поэтому наименьшее значение — на левом конце (√4 = 2), наибольшее — на правом (√9 = 3).
Ответы: 1) √0 = 0, √16 = 4 → [0; 4]; 2) k = 4 > 0, на (0; +∞) убывает: y(1) = 4, y(4) = 1 → [1; 4]; 3) k = −6 < 0, на (0; +∞) возрастает: y(2) = −3, y(3) = −2 → [−3; −2]; 4) x³ возрастает: (−2)³ = −8, 1³ = 1 → [−8; 1].
Предупредить: приём «значения на концах» работает только для монотонной на отрезке функции; для y = x² на [−3; 2] он не годится (см. задание 3 на слайде «Закрепление»).

R06.5 · доказательство

Углублённо · доказываем, а не только «видим»

Почему $y = x^{2}$ возрастает на $[0; + \infty)$ ?

Пусть

0 \leq x_{1} < x_{2}

x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = (x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1})

x_{2} - x_{1} > 0, x_{2} + x_{1} > 0

x_{2}^{2} > x_{1}^{2}

— возрастает

y = \frac{k}{x}, k > 0 : \frac{k}{x _{1}} - \frac{k}{x _{2}} = \frac{k ( x _{2} - x _{1} )}{x _{1} x _{2}} > 0

при

0 < x_{1} < x_{2}

— значит, убывает

2 мин · теория
Определение: функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Для y = x²: разность x₂² − x₁² раскладываем по формуле разности квадратов; оба множителя положительны (x₂ + x₁ > 0, так как x₂ > 0).
Для y = k/x (k > 0) на (0; +∞): числитель k(x₂ − x₁) > 0, знаменатель x₁x₂ > 0 → f(x₁) > f(x₂) → убывает. На (−∞; 0) так же: x₁x₂ > 0.
Вопрос классу: где доказательство «ломается» для x₁ = −1, x₂ = 1 у гиперболы? (x₁x₂ < 0 — знак дроби меняется.)
Для y = x³ — в ДЗ: x₂³ − x₁³ = (x₂ − x₁)(x₁² + x₁x₂ + x₂²), вторая скобка положительна при x₁ ≠ x₂.

R06.5 · сравнение

Закрепление · четыре графика рядом

Кто выше: $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ или $x$ ?

0 < x < 1 : x^{3} < x^{2} < x < x

x > 1 : x < x < x^{2} < x^{3}

Сравните устно

$0, 7^{2}$ и $0, 7^{3}$

$0, 49$ и $0, 49$

$1, 2^{3}$ и $1, 2^{2}$

1 мин · теория
Все графики проходят через (0; 0) и (1; 1); точка (1; 1) — «точка смены порядка».
Обоснование для 0 < x < 1: умножаем неравенство x < 1 на x > 0 → x² < x; ещё раз на x → x³ < x². И √x > x, так как √x(1 − √x) > 0.
Ответы: 0,7² = 0,49 > 0,7³ = 0,343; √0,49 = 0,7 > 0,49; 1,2³ = 1,728 > 1,2² = 1,44.
Типичная ошибка: «квадрат всегда больше числа» — неверно для 0 < x < 1.
Устные сравнения из карточки — хором, по 10 секунд; если не успеваем, они повторяются в самопроверке и в «Найдите ошибку» (сл. 17–18).

R06.5 · уравнения

Закрепление · графики решают уравнения

Решите $x = x - 2$ графически и алгебраически

Графики: одна общая точка

(4; 2)

x = (x - 2)^{2} ⟺ x^{2} - 5 x + 4 = 0

x = 1

или

x = 4

x = 1

:

1 \neq = - 1

— посторонний

Сколько корней?

$x^{3} = x$ · $x^{2} = \frac{8}{x}$ · $\frac{4}{x} = - x$

3 мин · практика
Ученики решают в тетрадях алгебраически, учитель открывает шаги для сверки. Рисунок объясняет посторонний корень: после возведения в квадрат решаем «сразу два уравнения» √x = x − 2 и −√x = x − 2 (серый пунктир y = −√x); x = 1 — точка пересечения прямой с y = −√x.
Проверка x = 4: √4 = 2 = 4 − 2 ✓. Ответ: 4.
Сколько корней: x³ = x → x(x − 1)(x + 1) = 0 → 3 корня (−1; 0; 1). x² = 8/x → x³ = 8 → 1 корень (x = 2). 4/x = −x → x² = −4 → корней нет (гипербола в I и III, прямая y = −x во II и IV).
Вопрос: почему графический ответ нужно подтверждать подстановкой? (По рисунку точка может быть приблизительной.)

R06.5

Задания с самопроверкой · база

Вычислите и определите

база $f (x) = x^{2}$ : $f (- 5)$ , $f (0, 3)$ $25$ ; $0, 09$
база $g (x) = x$ : $g (81)$ , $g (0, 04)$ $9$ ; $0, 2$
база $h (x) = x^{3}$ : $h (- 1)$ , $h (\frac{1}{2})$ $- 1$ ; $\frac{1}{8}$
база $y = \frac{8}{x}$ : $y$ при $x = - 4$ ; $x$ при $y = 2$ $- 2$ ; $4$

базаПри каком $x$ верно $x = 5$ ? $x = 25$
базаВ каких четвертях график $y = - \frac{3}{x}$ ? II и IV
базаЧётная или нечётная: $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = \frac{1}{x}$ ? ч.; неч.; неч.

R06.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Сравните, докажите, примените

повыш.Сравните $(- 1, 5)^{3}$ и $(- 1, 4)^{3}$ , не вычисляя. $(- 1, 5)^{3} < (- 1, 4)^{3}$ : $x^{3}$ возрастает
повыш.Сравните $17$ и $4, 1$ . $17 > 4, 1$ , так как $4, 1^{2} = 16, 81$

сложнееДокажите: $y = x$ возрастает на $[0; + \infty)$ . $x_{2} - x_{1} = \frac{x _{2} - x _{1}}{x _{2} + x _{1}} > 0$
жизньСторону квадрата увеличили в 3 раза, ребро куба — в 2 раза. Во сколько раз выросли площадь и объём? $S$ — в 9 раз, $V$ — в 8 раз

R06.5

Осторожно

Найдите ошибку

Утверждение	Верно?	Почему
$x^{2} > x$ при любом $x$	нет	$x = 0, 5$ : $0, 25 < 0, 5$
график $y = x^{3}$ симметричен относительно $O y$	нет	функция нечётная — симметрия относительно $O$
$y = - \frac{6}{x}$ возрастает на $(0; + \infty)$	да	$k < 0$ : возрастает на каждом промежутке
наибольшее значение $x^{2}$ на $[- 2; 1]$ равно $1$	нет	$(- 2)^{2} = 4$ — наибольшее $4$

2 мин · практика
Работа в парах: сначала «верно / нет», потом шаги открывают ответ и объяснение.
1) Неверно: при 0 < x < 1 квадрат меньше числа (0,5² = 0,25 < 0,5); при x = 0 и x = 1 — равен.
2) Неверно: (−x)³ = −x³ → симметрия относительно начала координат; относительно Oy симметрична парабола.
3) Верно: для 0 < x₁ < x₂ разность f(x₂) − f(x₁) = 6/x₁ − 6/x₂ = 6(x₂ − x₁)/(x₁x₂) > 0.
4) Неверно: на [−2; 1] функция сначала убывает, потом возрастает; значения: x² (−2) = 4, x² (1) = 1, наименьшее 0 при x = 0 → наибольшее 4.

R06.5

Закрепление · в парах

Шесть заданий: от базы к исследованию

базаПринадлежит ли графику: $A (- 3; - 27)$ — $y = x^{3}$ ; $B (16; - 4)$ — $y = x$ ; $C (- 2; 4)$ — $y = x^{2}$ ?
базаГипербола $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(- 2; 6)$ . Найдите $k$ . Лежит ли на ней $(3; - 4)$ ?
повыш.Наибольшее и наименьшее значения $y = x^{2}$ на отрезке $[- 3; 2]$ .
повыш.Найдите $E (y)$ функции $y = \frac{6}{x}$ при $x \in [1; 3]$ .
исслед.При каком $k$ гипербола $y = \frac{k}{x}$ и прямая $y = x - 1$ имеют ровно одну общую точку?
практикаБассейн $60 м^{3}$ : время наполнения $t = \frac{60}{v}$ . Найдите $t$ при $v = 12$ м³/ч и $v$ при $t = 4$ ч.

Подсказки

1) подставьте $x$ в формулу

3) где вершина? какой конец дальше?

4) $y$ убывает на $(0; + \infty)$

5) $x^{2} - x - k = 0$ , $D = 0$

3 мин · практика
В парах: 1–4 обязательные, 5–6 — по силам (при нехватке времени — в ДЗ).
1) A: (−3)³ = −27 — да; B: √16 = 4 ≠ −4 — нет (значения √x неотрицательны); C: (−2)² = 4 — да.
2) k = xy = −2·6 = −12; −12/3 = −4 — да, лежит.
3) Наибольшее 9 (при x = −3), наименьшее 0 (при x = 0 ∈ [−3; 2]). Ошибка: брать значения только на концах (4 и 9).
4) На [1; 3] функция убывает: y(1) = 6, y(3) = 2 → E = [2; 6].
5) k/x = x − 1 → x² − x − k = 0 (x = 0 не корень, так как k ≠ 0). D = 1 + 4k = 0 → k = −1/4 = −0,25. Проверка: x² − x + 0,25 = 0 → x = 0,5; y = −0,5; −0,25/0,5 = −0,5 ✓.
6) t = 60/12 = 5 ч; v = 60/4 = 15 м³/ч. Время и производительность обратно пропорциональны.

R06.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 11 · графики функций

Установите соответствие между графиками и формулами

1)

y = x^{3}

2)

y = - \frac{4}{x}

3)

y = x

4)

y = x^{2}

Ответ запишите цифрами под буквами А, Б, В.

R06.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

Лежит ли $(36; 6)$ на графике $y = x$ ? да
$y = \frac{k}{x}$ проходит через $(2; - 7)$ . Найдите $k$ . $k = - 14$
Наибольшее и наименьшее значения $y = x^{2}$ на $[- 1; 3]$ . $9$ и $0$
Сколько корней у уравнения $x^{2} = \frac{1}{x}$ ? один: $x = 1$

Вариант 2

Лежит ли $(- 3; 27)$ на графике $y = x^{3}$ ? нет
$y = k x$ проходит через $(- 4; 12)$ . Найдите $k$ . $k = - 3$
Наибольшее и наименьшее значения $y = x^{2}$ на $[- 4; 1]$ . $16$ и $0$
Сколько корней у уравнения $x^{2} = - \frac{1}{x}$ ? один: $x = - 1$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) √36 = 6 — да; 2) k = xy = 2·(−7) = −14; 3) на [−1; 3]: наибольшее 3² = 9, наименьшее 0 при x = 0 (0 ∈ [−1; 3]); 4) x ≠ 0, x³ = 1 → x = 1 — один корень (парабола и ветвь гиперболы в I четверти пересекаются в (1; 1)).
Вариант 2: 1) (−3)³ = −27 ≠ 27 — нет; 2) k = y/x = 12/(−4) = −3; 3) на [−4; 1]: наибольшее (−4)² = 16, наименьшее 0 при x = 0; 4) x ≠ 0, x³ = −1 → x = −1 — один корень (точка (−1; 1): 1 = −1/(−1) ✓).
Ответы открывать после сдачи или для взаимопроверки в парах. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R06.5 · сводка

Опорный конспект

Свойства функций урока

функция	$D (y)$	$E (y)$	чётность	монотонность	график
$y = k x$	$R$	$R$	нечётная	$k > 0$ ↑, $k < 0$ ↓	прямая
$y = x^{2}$	$R$	$[0; + \infty)$	чётная	↓ на $(- \infty; 0]$ , ↑ на $[0; + \infty)$	парабола
$y = x^{3}$	$R$	$R$	нечётная	↑ на $R$	кубическая парабола
$y = x$	$[0; + \infty)$	$[0; + \infty)$	общего вида	↑ на $[0; + \infty)$	ветвь параболы
$y = \frac{k}{x}$	$x \neq = 0$	$y \neq = 0$	нечётная	$k > 0$ : ↓ на каждом промежутке	гипербола

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Что умею — и что повторить

Ответьте одной фразой

Как по таблице отличить прямую пропорциональность от обратной?
Почему $y = \frac{1}{x}$ не убывает на всей $D (y)$ ?
Где $x^{2} < x$ ?

Домашнее задание

Постройте $y = x^{3}$ и $y = x$ в одной системе; найдите общие точки.
Докажите, что $y = x^{3}$ возрастает на $R$ .
Найдите $E (y)$ : $y = x$ на $[1; 9]$ ; $y = - \frac{8}{x}$ на $[2; 4]$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_giperbola.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ. 1) x³ = √x при x ≥ 0 → x⁶ = x → x(x⁵ − 1) = 0 → x = 0 или x = 1; общие точки (0; 0) и (1; 1).
2) x₂³ − x₁³ = (x₂ − x₁)(x₁² + x₁x₂ + x₂²); при x₁ < x₂ первый множитель > 0, второй = (x₁ + x₂/2)² + 3x₂²/4 > 0 (не равен 0, так как x₁ и x₂ не оба нули).
3) √x возрастает: [√1; √9] = [1; 3]. −8/x при k < 0 возрастает на (0; +∞): y(2) = −4, y(4) = −2 → [−4; −2].
Ответы на вопросы: частное y/x постоянно — прямая, произведение xy — обратная; контрпример −1 < 1, f(−1) < f(1); x² < x при 0 < x < 1.
Тренажёр углублённого уровня по строке R06 (urok/trainers.json).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-095 · Функции y = kx, y = k/x, y = x², y = x³, y = √x

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 5/15 · тип Н
Время	теория 14 мин (сл. 1–2, 5, 7–8, 10–11, 13–14, 22) · практика 31 мин (сл. 3–4, 6, 9, 12, 15–21, 23) — 69 %
Единицы → слайды	R06.5 «Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики. Функции y = x², y = x³, y = √x, y = k/x и их свойства» → 2–23 · опора на R06.1–R06.4 (значение функции, свойства по графику) → 3–4
Результаты	ПР-25 (функциональные понятия, значение функции, свойства по графику) → 3–6, 9, 11–12, 16–19, 21–22 · ПР-26 (строить графики, описывать свойства) → 5, 7–14, 18, 20, 22 · ПР-22 (исследование уравнений графически) → 15, 19, 21
Вне урока	квадратичная функция y = ax² + bx + c (9 класс); преобразования графиков (сдвиги, растяжения); y = \|x\|
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Пропорцио­нальностьи функцииx2, x3, x​, xk​

Шесть функций — один план исследования

Распознавать

Строить

Описывать и доказывать

Применять

Вычислите в уме

Какая зависимость спрятана в таблице?

Прямая

Обратная

Прямая через начало координат и гипербола

Коэффициент k по точке графика

Образец: y=xk​ проходит через A(4;−3)

Сами

Парабола y=x2

Кубическая парабола y=x3

Точки на графиках y=x2 и y=x3

Образец: точки графика y=x2 с ординатой 9

Сами

Ветвь параболы: y=x​

Гипербола y=x2​: свойства и ловушка

Множество значений на отрезке — по монотонности

Образец: y=x​, x∈[4;9]

Сами: найдите E(y)

Почему y=x2 возрастает на [0;+∞)?

Кто выше: x, x2, x3 или x​?

Сравните устно

Решите x​=x−2 графически и алгебраически

Сколько корней?

Вычислите и определите

Сравните, докажите, примените

Найдите ошибку

Шесть заданий: от базы к исследованию

Подсказки

Установите соответствие между графиками и формулами

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Свойства функций урока

Что умею — и что повторить

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-095 · Функции y = kx, y = k/x, y = x², y = x³, y = √x

Пропорциональность
и функции
$x^{2}$ , $x^{3}$ , $x$ , $\frac{k}{x}$

Коэффициент $k$ по точке графика

Образец: $y = \frac{k}{x}$ проходит через $A (4; - 3)$

Парабола $y = x^{2}$

Кубическая парабола $y = x^{3}$

Точки на графиках $y = x^{2}$ и $y = x^{3}$

Образец: точки графика $y = x^{2}$ с ординатой $9$

Ветвь параболы: $y = x$

Гипербола $y = \frac{2}{x}$ : свойства и ловушка

Образец: $y = x$ , $x \in [4; 9]$

Сами: найдите $E (y)$

Почему $y = x^{2}$ возрастает на $[0; + \infty)$ ?

Кто выше: $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ или $x$ ?

Решите $x = x - 2$ графически и алгебраически