Функции · урок 4 из 15 · новый материал

Графики
реальных
процессов

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-094

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 4/15, тип Н. Единица R06.4 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы». До этого — ALG8U-091 (способы задания функций), ALG8U-092 (график функции), ALG8U-093 (чтение свойств функции по графику); дальше — ALG8U-095 (прямая и обратная пропорциональность, функции y = x², y = x³, y = √x, y = k/x).
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин. Теория (сл. 1, 2, 6, 7, 9, 11, 14) сохранена полностью: словарь, образцы учителя, скорость изменения, кусочная формула; практика добавлена после каждого блока.
Хронометраж: титул 1 · цели 1 · разминка 2 · актуализация 2 · проблема 2 · словарь 2 · велосипедист 2 · сам: турист 3 · температура 2 · сам: мяч 2 · скорость изменения 3 · образец → сам: формула 2 · сосуды 2 · такси 3 · образец → сам: тарифы 3 · найди ошибку 1 · закрепление 3 · задания с самопроверкой 3 · ОГЭ 1 · самостоятельная 4 · итог и ДЗ 1.
При нехватке времени: сл. 13 (сосуды) — устно за 1 мин, задание 5 со сл. 17 и задание 4 со сл. 12 — в ДЗ.
Рисунок: розовый — график движения (путь от времени), пунктир — плавный процесс (температура).

R06.4

Цели урока

Читать график как историю

Язык функций

определять значение величины по графику и свойства процесса: рост, убывание, наибольшее значение (ПР-25)

Свойства по графику

описывать характер изменения одной величины в зависимости от другой (ПР-26)

Формула процесса

выражать зависимость формулой, в том числе разными формулами на участках (ПР-23)

Обратная задача

по описанию процесса строить эскиз графика и приводить примеры процессов

1 мин · теория
ПР-25 «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику»; ПР-26 «…описывать свойства числовой функции по ее графику»; ПР-23 — переход от словесной формулировки к алгебраической модели.
Виды деятельности ФРП: «Исследовать примеры графиков, отражающих реальные процессы и явления. Приводить примеры процессов и явлений с заданными свойствами. Выражать формулой зависимость между величинами. Описывать характер изменения одной величины в зависимости от изменения другой».

R06.4 · подготовка

Разминка · устно

Назовите ответ — без записи

12 км за 2 ч — скорость

12 : 2

6 км/ч

5 км/ч в течение 3 ч — путь

5 \cdot 3

15 км

60 км со скоростью 15 км/ч

t = ?

4 ч

сколько минут

0, 25

ч

15 мин

y = 3 x + 2

y (4) = ?

14

50 л, сливают 5 л/мин

через 4 мин?

30 л

было

- 3^{\circ}

, стало

5^{\circ}

потеплело на?

на 8°

клетка — 0,5 ч

5 клеток

2,5 ч

R06.3 · повторение

Актуализация · устно

Прочитайте свойства функции

Свойство	Ответ
$D (f)$ , $E (f)$	$[- 5; 4]$ , $[- 2; 2]$
нули	$- 4; - 1; 1$
$f (x) > 0$	$(- 4; - 1) \cup (1; 4]$
возрастает	$[- 5; - 3]$ , $[0; 2]$
наибольшее	$f (- 3) = 2$

R06.4 · проблема

Проблема · какой график к какой истории?

Петя идёт в школу: s — расстояние от дома

А. Шёл, зашёл в киоск, потом побежал.

Б. Вернулся домой за тетрадью.

В. Сначала бежал, потом шёл всё медленнее.

R06.4 · новый материал

Словарь · график ↔ процесс

Как «перевести» график на язык жизни

2 мин · теория
Карточки открываются по одной; к каждой класс приводит пример процесса: рост ребёнка, стоянка автобуса, остывание чая, разгон поезда, высота мяча, брошенного вверх, встреча двух пешеходов.
Главная идея: аргумент (чаще всего время) — по горизонтали, величина — по вертикали. Свойства функции из ALG8U-093 получают смысл: возрастание — величина растёт, наибольшее значение — «пик».
Углублённо: «круче» — значит, за одно и то же время величина меняется сильнее; это скорость изменения (сл. 11).

R06.4 · образец 1

Образец · график движения

Велосипедист: поездка и возвращение

Где был через 2 ч? 21 км

Сколько стоял? $0, 5 + 0, 5 = 1$ ч

Наибольшее удаление: 30 км при $t = 2, 5$

Скорость назад: $\frac{30}{2} = 15$ км/ч

v_{ср} = \frac{60}{5} = 12

км/ч

R06.4 · сам

Сам · по образцу велосипедиста

Турист ушёл из лагеря и вернулся

базаГде был турист через 1 ч? 4 км
базаСколько длилась стоянка? 1 ч
базаНаибольшее удаление и когда? 12 км, $t = 4$
базаСкорость на обратном пути? 6 км/ч
повыш.Средняя скорость за поход? 4 км/ч
повыш.Когда он был в 9 км от лагеря? $3, 25$ и $4, 5$ ч

3 мин · практика
Работа в парах по графику, затем фронтальная проверка — ответы по клику. Масштаб: клетка по горизонтали 0,5 ч, по вертикали 2 км (сначала спросить про масштаб!).
Ломаная: (0; 0), (2; 8), (3; 8), (4; 12), (6; 0). Скорости участков: 4 км/ч, 0, 4 км/ч, 6 км/ч (назад).
Ответы: 1) на [0; 2] скорость 8/2 = 4 км/ч → s(1) = 4 км; 2) с 2 до 3 ч — 1 ч; 3) 12 км при t = 4 ч; 4) 12 км за 2 ч → 6 км/ч; 5) весь путь 12 + 12 = 24 км за 6 ч → 4 км/ч (а не среднее скоростей!); 6) на [3; 4]: 8 + 4(t − 3) = 9 → t = 3,25 ч; на [4; 6]: 12 − 6(t − 4) = 9 → t = 4,5 ч. Два момента — потому что прямая s = 9 пересекает график дважды.

R06.4 · образец 2

Образец · непрерывный процесс

Температура воздуха за сутки

Минимум: $- 4$ °C в 4 ч; максимум: $6$ °C в 15 ч

Выше нуля: $t \in (8; 24)$

Теплело: $[4; 15]$

Перепад за сутки: $6 - (- 4) = 10$ °C

R06.4 · сам

Сам · по образцу температуры

Мяч подбросили вверх: высота $h$ от времени

базаНаибольшая высота и когда? 20 м, $t = 2$
базаКогда мяч был на высоте 15 м? $t = 1$ и $t = 3$
базаСколько секунд мяч летел? Когда поднимался? 4 с; $[0; 2]$
повыш.За какую секунду он поднялся выше: первую или вторую? за первую

2 мин · практика
Самостоятельно, 1,5 мин; затем проверка по клику. График — модель h = 20t − 5t² (формулу классу можно не показывать: задача на чтение графика). Клетка: 0,5 с и 5 м.
Ответы: 1) вершина (2; 20) — 20 м при t = 2 с; 2) h = 15 при t = 1 и t = 3 (по формуле: 20 − 5 = 15, 60 − 45 = 15); 3) h(4) = 0 → летел 4 с, поднимался на [0; 2]; 4) за первую секунду 15 − 0 = 15 м, за вторую 20 − 15 = 5 м → за первую: скорость подъёма падает, график становится положе.
Связь со следующим слайдом: «быстрее — круче». Это и есть скорость изменения величины.

R06.4 · углублённо

Скорость изменения величины

Два бака: в каком вода прибывает быстрее?

V = V_{0} + k t

,

k = \frac{Δ V}{Δ t}

I:

V = 20 + 10 t

II:

k = \frac{30}{2} = 15

,

V = 15 t

20 + 10 t = 15 t \Rightarrow t = 4

через 4 мин — по 60 л

R06.4 · формула процесса

Образец → сам · скорость изменения

Запишите формулу процесса и ответьте на вопрос

Образец

Свеча 24 см, за 3 ч сгорает 6 см. Когда сгорит?

k = \frac{- 6}{3} = - 2

см/ч

h = 24 - 2 t

24 - 2 t = 0 \Rightarrow t = 12

ч

Сам

Бассейн 300 м³, откачивают 25 м³/ч. Формула $V (t)$ , когда опустеет? $V = 300 - 25 t$ ; 12 ч
Саженец 40 см, растёт на 15 см в год. Через сколько лет — 1 м? 4 года
В 2 мин в баке 26 л, в 6 мин — 50 л. Найдите $k$ и $V (t)$ . $k = 6$ ; $V = 14 + 6 t$
В баке 45 л, расход 7,5 л на 100 км. Сколько останется через 300 км? 22,5 л

2 мин · практика
Образец открывается по шагам (20 с) — ученики проговаривают: начальное значение, скорость изменения (со знаком!), формула V = V₀ + kt. Затем задания 1–4 в тетрадях, ответы — по клику.
Образец: k = −6/3 = −2 см/ч (длина уменьшается), h = 24 − 2t; 24 − 2t = 0 → t = 12 ч. Проверка: h(3) = 18 = 24 − 6 ✓.
Ответы: 1) V = 300 − 25t, 300 − 25t = 0 → t = 12 ч; 2) h = 40 + 15t, 40 + 15t = 100 → t = 4 года; 3) k = (50 − 26)/(6 − 2) = 6 л/мин, V₀ = 26 − 6 · 2 = 14 л, V = 14 + 6t (проверка: 14 + 36 = 50 ✓); 4) 300 км — это 3 раза по 100 км: 3 · 7,5 = 22,5 л, 45 − 22,5 = 22,5 л; формула V = 45 − 0,075x.
Если не успевают — задание 4 в ДЗ.

R06.4 · исследование

Исследование · форма сосуда → форма графика

Какой график к какому сосуду?

2 мин · практика (исследование)
Воду наливают с постоянной скоростью (одинаковый объём в минуту). Ответ: А — 3, Б — 2, В — 1.
Б (цилиндр): за минуту уровень поднимается на одну и ту же высоту → прямая. А (расширяется кверху): внизу узко — уровень растёт быстро, вверху широко — медленно → график «выпуклый вверх». В (сужается кверху): наоборот — сначала медленно, потом быстрее.
Вопрос «вне урока»: нарисуйте график для шара (быстро — медленно — быстро).

R06.4 · формула процесса

Разные формулы на разных участках

Такси: 150 ₽ за первые 3 км, далее 25 ₽/км

C (x) = {150, 150 + 25 (x - 3), 0 < x \leq 3, x > 3

C (7) = 150 + 25 \cdot 4 = 250

150 + 25 (x - 3) = 300 \Rightarrow x = 9

На 300 ₽ можно проехать не больше 9 км

3 мин · теория
Первый участок — постоянная функция (за первые 3 км платим 150 ₽ при любой длине), второй — линейная со скоростью роста 25 ₽ на 1 км. Пустой кружок при x = 0: поездки нулевой длины не бывает.
C(7) = 150 + 25 · 4 = 250 ₽. 25(x − 3) = 150 → x − 3 = 6 → x = 9 км. Проверка: C(9) = 150 + 150 = 300 ✓.
Углублённо: формулу второго участка можно записать как C = 25x + 75. Спросить: при каком x стоимости 150 ₽ и 25x + 75 совпадают? (x = 3 — график без разрыва).
Пример ступенчатой функции для обсуждения: парковка 60 ₽ за каждый начатый час — график из горизонтальных «ступенек».

R06.4 · формула процесса

Образец → сам · тарифы

Разные формулы на участках

Образец

Свет: до 100 кВт·ч — 5 ₽, сверх — 8 ₽ за кВт·ч

C (x) = {5 x, 500 + 8 (x - 100), 0 \leq x \leq 100, x > 100

C (130) = 500 + 8 \cdot 30 = 740

₽

Сам

Связь: 300 ₽ в месяц включают 10 ГБ, каждый следующий ГБ — 50 ₽.

Запишите $C (x)$ для $x > 10$ . $300 + 50 (x - 10)$
Сколько стоят 14 ГБ? 500 ₽
Сколько ГБ можно взять на 600 ₽? 16 ГБ
Парковка: 60 ₽ за каждый начатый час. Цена за 2 ч 10 мин? 180 ₽

3 мин · практика
Образец (как такси на прошлом слайде) — 40 с по шагам; затем ученики сами, ответы по клику. Подчеркнуть: на первом участке формула 5x — линейная, а не постоянная, как у такси.
Образец: C(130) = 5 · 100 + 8 · 30 = 500 + 240 = 740 ₽. На стыке: 5 · 100 = 500 = 500 + 8 · 0 — разрыва нет.
Ответы: 1) C(x) = 300 при 0 ≤ x ≤ 10, C(x) = 300 + 50(x − 10) при x > 10; 2) 300 + 50 · 4 = 500 ₽; 3) 300 + 50(x − 10) = 600 → x − 10 = 6 → x = 16 ГБ; 4) 2 ч 10 мин — начато 3 часа → 3 · 60 = 180 ₽ (ступенчатая функция: график из горизонтальных «ступенек»).

R06.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку в рассуждении

«Ехал в гору»

график $s (t)$ пошёл вверх — значит, дорога в гору

график — не рисунок дороги: растёт расстояние

«Вниз — значит медленнее»

линия $s (t)$ идёт вниз — велосипедист тормозит

он едет обратно, к дому

Масштаб осей

считаем клетки: 1 клетка = 1 ч

смотрим подписи: клетка — 0,5 ч

Значение и момент

«наибольшее значение — 2,5»

наибольшее 30 км, оно при $t = 2, 5$ ч

R06.4 · закрепление

Закрепление · по графику

Пешеход вышел, через 1 ч — велосипедист

базаНайдите скорости пешехода и велосипедиста. 5 и 10 км/ч
базаКогда и на каком расстоянии велосипедист догнал пешехода? $t = 2$ ; 10 км
повыш.Запишите формулы $s (t)$ обоих с промежутками для $t$ . $5 t$ ; $10 (t - 1)$
повыш.Каким было расстояние между ними при $t = 2, 5$ ? 2,5 км
практикаПридумайте историю, в которой график пешехода имел бы горизонтальный участок, и нарисуйте его.

3 мин · практика
Задания 1–4 — все, 5 — по силам (или в ДЗ). Ответы — по клику после проверки.
1) Пешеход: 20 км за 4 ч → 5 км/ч. Велосипедист: 20 км за 2 ч (с 1 до 3 ч) → 10 км/ч.
2) Пересечение: 5t = 10(t − 1) → t = 2 ч, s = 10 км. Через 2 ч после выхода пешехода (через 1 ч после старта велосипедиста), в 10 км от старта.
3) Пешеход: s = 5t, 0 ≤ t ≤ 4. Велосипедист: s = 10(t − 1), 1 ≤ t ≤ 3.
4) s пеш(2,5) = 12,5 км; s вел(2,5) = 15 км; расстояние 2,5 км.
5) Например: пешеход шёл 2 ч, отдыхал 0,5 ч, затем шёл ещё 2 ч — горизонтальный отрезок от t = 2 до t = 2,5 на высоте 10 км.

R06.4 · самопроверка

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Заряд телефона $Q$ (в %) в течение 10 часов

базаКаким был заряд в начале? 80 %
базаСколько часов телефон заряжался? 2 ч
базаКогда заряд убывал? $[0; 4]$ и $[7; 10]$
повыш.На сколько % в час росла зарядка? на 30 %
повыш.Формула $Q (t)$ на $[5; 7]$ ? $40 + 30 (t - 5)$
повыш.Когда заряд был 55 %? $t = 2, 5$ и $5, 5$

3 мин · практика
Самостоятельно 2 мин, затем самопроверка всем классом — ответы по клику; ученики ставят «+» на полях. Клетка: 1 ч и 10 %.
Ломаная: (0; 80), (4; 40), (5; 40), (7; 100), (10; 70). Сюжет: пользовались телефоном, час он был выключен, заряжали 2 ч, снова пользовались.
Ответы: 1) 80 %; 2) с 5 до 7 ч — 2 ч; 3) убывал на [0; 4] и [7; 10], на [4; 5] — постоянен; 4) (100 − 40)/2 = 30 % в час; 5) Q = 40 + 30(t − 5), 5 ≤ t ≤ 7 (проверка: Q(7) = 100 ✓); 6) на [0; 4]: 80 − 10t = 55 → t = 2,5; на [5; 7]: 40 + 30(t − 5) = 55 → t = 5,5; на [7; 10] заряд не ниже 70 % — решений нет.

R06.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12 · расчёт по формуле

Свободное падение: $s = 4, 9 t^{2}$

Путь

s

(в метрах), пройденный телом при свободном падении за

t

секунд, вычисляется по формуле

s = 4, 9 t^{2}

. За сколько секунд тело пролетит

122, 5

м?

4, 9 t^{2} = 122, 5

t^{2} = 25, t > 0

Ответ:

5

R06.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Велосипедист проехал 36 км за 3 ч. Его скорость? 12 км/ч
В баке 120 л, сливают 8 л/мин. Формула $V (t)$ ? $V = 120 - 8 t$
Через сколько минут этот бак опустеет? 15 мин
Такси: 200 ₽ за первые 4 км, далее 30 ₽/км. Цена поездки на 10 км? 380 ₽

Вариант 2

Пешеход прошёл 15 км за 3 ч. Его скорость? 5 км/ч
В бочке 20 л, доливают 6 л/мин. Формула $V (t)$ ? $V = 20 + 6 t$
Через сколько минут в бочке будет 80 л? 10 мин
Такси: 180 ₽ за первые 3 км, далее 35 ₽/км. Цена поездки на 9 км? 390 ₽

рефлексия · ДЗ

Итог урока

График рассказывает историю процесса

Ответьте одной фразой

Что означает горизонтальный участок графика пути?
Как по графику сравнить скорости двух процессов?
Зачем на участках разные формулы?

Домашнее задание

Мама дошла до магазина (600 м) за 10 мин, пробыла там 15 мин, вернулась за 12 мин. Постройте график $s (t)$ , найдите скорости.
Бак 200 л, сливают 8 л/мин: формула $V (t)$ , график, когда опустеет?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-094 · Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 4/15 · тип Н
Единицы → слайды	R06.4 «Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы» → 3, 5–21 (опора на R06.3 — сл. 4)
Результаты	ПР-25 (значение функции по аргументу, свойства по графику) → 4, 7, 8, 9, 10, 17, 18, 19 · ПР-26 (свойства числовой функции по графику) → 4, 6, 9, 10, 13, 18 · ПР-23 (алгебраическая модель, интерпретация) → 11, 12, 14, 15, 17, 20, 21
Вне урока	функции $y = \frac{k}{x}$ , $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ и их свойства — ALG8U-095; график наполнения сферического сосуда — по желанию
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · теория сохранена полностью, практика — сл. 3–5, 8, 10, 12, 13, 15–21

Графикиреальныхпроцессов

Читать график как историю

Язык функций

Свойства по графику

Формула процесса

Обратная задача

Назовите ответ — без записи

Прочитайте свойства функции

Петя идёт в школу: s — расстояние от дома

Как «перевести» график на язык жизни

Велосипедист: поездка и возвращение

Турист ушёл из лагеря и вернулся

Температура воздуха за сутки

Мяч подбросили вверх: высота h от времени

Два бака: в каком вода прибывает быстрее?

Запишите формулу процесса и ответьте на вопрос

Образец

Сам

Какой график к какому сосуду?

Такси: 150 ₽ за первые 3 км, далее 25 ₽/км

Разные формулы на участках

Образец

Сам

Найдите ошибку в рассуждении

«Ехал в гору»

«Вниз — значит медленнее»

Масштаб осей

Значение и момент

Пешеход вышел, через 1 ч — велосипедист

Заряд телефона Q (в %) в течение 10 часов

Свободное падение: s=4,9t2

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

График рассказывает историю процесса

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-094 · Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы

Графики
реальных
процессов

Мяч подбросили вверх: высота $h$ от времени

Заряд телефона $Q$ (в %) в течение 10 часов

Свободное падение: $s = 4, 9 t^{2}$