Функции · урок 3 из 15 · новый материал

Чтение свойств
функции
по её графику

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-093

0,5 мин · теория
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 3/15, единица R06.3 «Чтение свойств функции по ее графику». Тип Н (новый материал). Было: ALG8U-091 (способы задания функций), ALG8U-092 (график функции). Дальше: ALG8U-094 (графики реальных процессов), ALG8U-095 (y = x², y = x³, y = √x, y = k/x).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 19: все теоретические слайды сохранены полностью (карта свойств, D и E, нули и знаки, монотонность, наибольшее/наименьшее, число корней f(x) = a, неравенство по графику, чётность). Практика — разминка (3), актуализация (4), «образец → сам» после каждого нового свойства (7, 9, 12, 15), паспорт функции диктует класс (13), задания с самопроверкой (17, 20), найдите ошибку (18), задача из жизни (21), самостоятельная работа (22), формат ОГЭ (23), рефлексия (24).
Если не успеваете — сл. 19 («Дополнительно») пропустить, задания 5–6 сл. 17 и задачу сл. 21 перенести на урок ALG8U-094.
Через весь урок — одна функция f (ломаная с вершинами (−5; −2), (−3; 2), (1; −2), (3; 2), (6; −1)). На рисунке: зелёные части — f(x) > 0, розовые — f(x) < 0, оранжевые точки — нули.

R06.3

Цели урока

Что мы научимся читать по графику

Язык функций

записывать $D (f)$ , $E (f)$ , нули, промежутки знакопостоянства и монотонности (ПР-25)

Свойства по графику

описывать свойства числовой функции по её графику (ПР-26, ПР-25)

Исследование уравнений

определять по графику, сколько корней имеет $f (x) = a$ при разных $a$ (ПР-22)

Неравенства

решать по графику $f (x) > 0$ , $f (x) \geq a$ (ПР-24, ПР-26)

0,5 мин · теория
ПР-25 «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по ее графику»; ПР-26 «…описывать свойства числовой функции по ее графику»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений… с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)»; ПР-24 — графическая иллюстрация множества решений неравенства.
Вид деятельности ФРП: «Описывать свойства функции на основе ее графического представления. Находить с помощью графика функции значение одной из рассматриваемых величин по значению другой».

повторение: числовые промежутки, R06.2

Разминка · устно

Промежутки и значения — в темпе

Запишите промежутком: $- 2 \leq x \leq 5$ $[- 2; 5]$
$- 1 < x \leq 4$ $(- 1; 4]$
$x > 2$ $(2; + \infty)$
Принадлежит ли $3$ промежутку $(- 1; 3)$ ? нет

$[- 3; 1] \cap [0; 4]$ $[0; 1]$
Сколько целых чисел в $[- 2; 3)$ ? $5$
$y = 2 x - 1$ . Найдите $y (3)$ . $5$
При каком $x$ значение $2 x - 1$ равно $0$ ? $0, 5$

повторение: R06.2

Актуализация · устно

Читаем значения по графику

Вопрос	Ответ
$f (- 3)$	$2$
$f (0)$	$- 1$
$f (4)$	$1$
$f (x) = 2$ при $x = ?$	$- 3$ и $3$
$f (x) = 0$ при $x = ?$	новый вопрос урока

2 мин · практика
Устно. Напомнить: точка (x; y) лежит на графике ⇔ y = f(x). Значение по аргументу — идём от оси Ox вверх/вниз до графика, затем к оси Oy.
f(0) = −1: на участке от (−3; 2) до (1; −2) функция убывает на 1 за каждую единицу x. f(4) = 1: от (3; 2) до (6; −1) — тоже на 1 за единицу.
Обратная задача f(x) = 2: проводим прямую y = 2, абсциссы общих точек −3 и 3. Последняя строка — мостик к новому: «где график пересекает ось Ox?».
Вопрос классу: может ли прямая x = 0 пересечь график функции в двух точках? (Нет — по определению функции.)

R06.3

Новый материал · карта свойств

Шесть вопросов к любому графику

1область определения

D (f)

2множество значений

E (f)

3нули:

f (x) = 0

4знаки:

f (x) > 0

,

f (x) < 0

5возрастание и убывание

6

y_{наиб}

и

y_{наим}

R06.3 · свойства 1–2

Область определения и множество значений

Проецируем график на оси

2 мин · теория
D(f) — все значения x, при которых функция определена: проекция графика на ось Ox. E(f) — все значения, которые принимает y: проекция на ось Oy.
Концы графика закрашены — точки входят в график, поэтому скобки квадратные: D(f) = [−5; 6].
E(f) ищем по самой высокой и самой низкой точкам, а не по концам: f(6) = −1, но E(f) = [−2; 2]. Непрерывная линия без разрывов — значит, все промежуточные значения тоже принимаются.
Вопрос классу: что изменится, если точку (6; −1) выколоть? (D(f) = [−5; 6), E(f) не изменится: −1 принимается и в других точках.)

R06.3 · свойства 1–2

Образец → сам · область определения и множество значений

Найдите $D$ и $E$ по графику

Образец

$D = [- 4; 3]$ проекция на $O x$

$E = [- 1; 3]$ проекция на $O y$

1) Сами

$D = ?$ $[- 3; 2)$

$E = ?$ $[- 2; 2]$

2) Сами

$D = ?$ $(- 3; 2]$

$E = ?$ $(- 2; 2]$

2 мин · практика
Образец учитель открывает по шагам (зелёная «тень» на $O x$ , розовая на $O y$ , затем записи), графики 1 и 2 ученики решают в тетради; ответы — кликом.
Образец: ломаная $(- 4; - 1)$ , $(- 2; 3)$ , $(1; 1)$ , $(3; 2)$ , концы закрашены. $D = [- 4; 3]$ ; $E = [- 1; 3]$ (наименьшая ордината $- 1$ — у левого конца, наибольшая $3$ — в вершине).
1) Ломаная $(- 3; 2)$ — закрашена, $(0; - 2)$ , $(2; 1)$ — выколота. $D = [- 3; 2)$ : $2$ не входит. $E = [- 2; 2]$ : выколотое значение $1$ всё равно принимается на других участках — «ловушка» не срабатывает.
2) Ломаная $(- 3; - 2)$ — выколота, $(- 1; 2)$ , $(2; 0)$ — закрашена. $D = (- 3; 2]$ ; $E = (- 2; 2]$ : значение $- 2$ принимается только в выколотой точке, поэтому скобка круглая.

R06.3 · свойства 3–4

Нули и промежутки знакопостоянства

Где график выше и ниже оси $O x$

нули:

x = - 4; - 1; 2; 5

f (x) > 0

:

(- 4; - 1) \cup (2; 5)

f (x) < 0

:

[- 5; - 4) \cup (- 1; 2) \cup (5; 6]

нули разбивают

D (f)

на промежутки знакопостоянства

R06.3 · свойства 3–4

Образец → сам · нули и знаки

Функция $p$ : нули и промежутки знакопостоянства

Образец

нули: $x = - 4; - 2; 1; 4$

$p (x) > 0$ : $(- 4; - 2) \cup (1; 4)$

Сами

$p (x) < 0$ $[- 5; - 4) \cup (- 2; 1)$
$p (x) \geq 0$ $[- 4; - 2] \cup [1; 4]$
повыш.Сколько целых $x$ , где $p (x) > 0$ ? $3$
повыш. $p (x) \leq 0$ $[- 5; - 4] \cup [- 2; 1] \cup {4}$

2,5 мин · практика
Ломаная $p$ : $(- 5; - 1)$ , $(- 3; 1)$ , $(0; - 2)$ , $(2; 2)$ , $(4; 0)$ , концы закрашены. Нули по наклонам: на $[- 5; - 3]$ рост на 1 за единицу ⇒ $p (- 4) = 0$ ; на $[- 3; 0]$ убывание на 1 ⇒ $p (- 2) = 0$ ; на $[0; 2]$ рост на 2 ⇒ $p (1) = 0$ ; правый конец $p (4) = 0$ .
Образец открывает учитель (точки нулей, зелёные участки, записи); задания 1–4 — ученики, ответы кликом.
1) $[- 5; - 4) \cup (- 2; 1)$ — левый конец $p (- 5) = - 1 < 0$ входит. 2) $[- 4; - 2] \cup [1; 4]$ — нули добавляются. 3) Целые в $(- 4; - 2)$ : $- 3$ ; в $(1; 4)$ : $2$ и $3$ — всего три. 4) $[- 5; - 4] \cup [- 2; 1] \cup {4}$ : в точке $4$ функция равна нулю — отдельная точка, её легко потерять.

R06.3 · свойство 5

Возрастание и убывание

Большему $x$ — большее $f (x)$ ?

возрастает:

x_{2} > x_{1} \Rightarrow f (x_{2}) > f (x_{1})

↗ на

[- 5; - 3]

и на

[1; 3]

↘ на

[- 3; 1]

и на

[3; 6]

не «

[- 5; - 3] \cup [1; 3]

»:

- 3 < 1

, но

f (- 3) > f (1)

2 мин · теория
Определение (строго): функция возрастает на промежутке, если для любых x₁, x₂ из него из x₂ > x₁ следует f(x₂) > f(x₁); убывает — если f(x₂) < f(x₁). Синие точки на рисунке: x₁ = 1,5, x₂ = 2,5, f(x₁) = −1 < f(x₂) = 1.
«Идём по графику слева направо: вверх — возрастает, вниз — убывает».
Углублённо: промежутки пишем через «и», а не через ∪. На объединении [−5; −3] ∪ [1; 3] функция не возрастает: −3 < 1, а f(−3) = 2 > f(1) = −2.
Концы промежутков включаем (так принято в учебниках): в точке −3 функция «переходит» от возрастания к убыванию.

R06.3 · свойство 6

Наибольшее и наименьшее значения

Самая высокая и самая низкая точки

2 мин · теория
Наибольшее значение функции — такое значение f(x₀), что f(x) ≤ f(x₀) при всех x из D(f). У f: наибольшее 2 (при x = −3 и x = 3), наименьшее −2 (при x = −5 и x = 1).
Справа — ловушка углублённого уровня: y = x + 1 при x ∈ [−2; 2). Значения подходят сколь угодно близко к 3, но 3 не принимается (точка выколота). Наибольшего значения нет; наименьшее −1 (при x = −2). E = [−1; 3).
Вопрос классу: может ли наибольшее значение достигаться в бесконечном числе точек? (Да, если на графике есть горизонтальный участок — сразу на сл. 12.)

R06.3 · свойства 5–6

Образец → сам · монотонность и крайние значения

Функция $q$ : где растёт, где убывает

Образец

↘ на $[- 4; - 2]$ и на $[3; 5)$

↗ на $[- 2; 1]$

Сами

Где $q$ постоянна? на $[1; 3]$
$y_{наиб}$ и при каких $x$ ? $3$ ; $x \in [1; 3]$
$y_{наим}$ и при каком $x$ ? $- 2$ ; $x = - 2$
повыш.Сравните $q (- 3)$ и $q (4)$ $q (- 3) < q (4)$

2,5 мин · практика
Ломаная $q$ : $(- 4; 1)$ — закрашена, $(- 2; - 2)$ , $(1; 3)$ , $(3; 3)$ , $(5; - 1)$ — выколота. Образец (оранжевые участки — убывание, фиолетовый — возрастание) открывает учитель; задания — ученики.
Образец: убывает на $[- 4; - 2]$ и на $[3; 5)$ — правый конец не входит в $D (q)$ , скобка круглая; возрастает на $[- 2; 1]$ .
1) На $[1; 3]$ — горизонтальный участок. 2) $y_{наиб} = 3$ при всех $x \in [1; 3]$ — бесконечно много точек. 3) $y_{наим} = - 2$ при $x = - 2$ (выколотая точка $(5; - 1)$ ниже не опускается).
4) $q (- 3) = \frac{1 + ( - 2 )}{2} = - 0, 5$ (середина отрезка); $q (4) = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1$ . Значит, $q (- 3) < q (4)$ . Сравнивать «по монотонности» нельзя: точки на разных участках.

R06.3

Сводка · паспорт функции $f$

Все шесть свойств в одной таблице

Свойство	Ответ
$D (f)$	$[- 5; 6]$
$E (f)$	$[- 2; 2]$
нули	$- 4; - 1; 2; 5$
$f (x) > 0$	$(- 4; - 1) \cup (2; 5)$
$f (x) < 0$	$[- 5; - 4) \cup (- 1; 2) \cup (5; 6]$
возрастает	на $[- 5; - 3]$ и на $[1; 3]$
убывает	на $[- 3; 1]$ и на $[3; 6]$
$y_{наиб}; y_{наим}$	$2$ (при $x = \pm 3$ ); $- 2$ (при $x = - 5; 1$ )

R06.3 · углублённо

Исследование · горизонтальная прямая

Сколько корней у уравнения $f (x) = a$ ?

$a$	корней
$a > 2$ или $a < - 2$	$0$
$a = 2$	$2$
$- 1 \leq a < 2$	$4$
$- 2 < a < - 1$	$3$
$a = - 2$	$2$

2 мин · теория
Корни f(x) = a — абсциссы общих точек графика и прямой y = a. Двигаем прямую сверху вниз и считаем точки.
Проверка по рисунку: a = 1 — x = −3,5; −2; 2,5; 4 (4 корня); a = −1,5 — x = −4,75; 0,5; 1,25 (3 корня, последний участок до −1,5 не опускается).
Граничные a — «особые»: a = 2 и a = −2 (вершины), a = −1 (конец графика (6; −1)). При a = −1: x = −4,5; 0; 1,5; 6 — всё ещё 4 корня, поэтому −1 входит в строку «4».
Вопрос классу: при каких a уравнение имеет ровно 3 корня? (−2 < a < −1.) Нечётное число корней — подсказка, что прямая проходит через конец графика или ниже него.

R06.3 · углублённо

Образец → сам · число корней

Сколько корней у уравнения $r (x) = a$ ?

Образец: $r (x) = 1$

проводим прямую $y = 1$

$3$ общие точки $\Rightarrow$ $3$ корня

Сами

$r (x) = 2, 5$ $1$ корень
$r (x) = 2$ $2$ корня
$r (x) = - 0, 5$ $2$ корня
повыш.При каких $a$ ровно $3$ корня? $0 \leq a < 2$
исслед.Ровно один корень? $a = - 1$ ; $2 < a \leq 3$

2,5 мин · практика
Ломаная $r$ : $(- 4; 3)$ , $(- 1; - 1)$ , $(2; 2)$ , $(4; 0)$ , концы закрашены. Образец: $r (x) = 1$ при $x = - 2, 5$ (на первом участке $r$ убывает на $\frac{4}{3}$ за единицу: $3 - \frac{4}{3} \cdot 1, 5 = 1$ ), $x = 1$ , $x = 3$ — три корня.
1) $a = 2, 5$ : выше $2$ поднимается только первый участок — 1 корень ( $x = - 3, 625$ ). 2) $a = 2$ : $x = - 3, 25$ и вершина $x = 2$ — 2 корня. 3) $a = - 0, 5$ : первый участок и второй ( $x = - 0, 5$ ); третий не ниже $0$ — 2 корня.
4) $3$ корня при $0 \leq a < 2$ : при $a = 0$ — $x = - 1 \frac{3}{4}$ , $x = 0$ и конец $x = 4$ . 5) Один корень при $a = - 1$ (вершина $x = - 1$ ) и при $2 < a \leq 3$ (только первый участок; $a = 3$ — левый конец $x = - 4$ ). При $- 1 < a < 0$ — 2 корня, при $a < - 1$ или $a > 3$ — нет корней.

R06.3 · углублённо

Неравенство по графику

Решите $f (x) \geq 1$

график не ниже

y = 1

f (x) = 1

:

x = - 3, 5; - 2; 2, 5; 4

Ответ:

[- 3, 5; - 2] \cup [2, 5; 4]

R06.3

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Снова функция $f$ : решите по графику

база $f (x) \leq 0$
$[- 5; - 4] \cup [- 1; 2] \cup [5; 6]$
базаКорни $f (x) = - 2$ $- 5; 1$
база $f (- 4, 5) + f (4)$ $0$
повыш. $f (x) > 1$ $(- 3, 5; - 2) \cup (2, 5; 4)$
повыш. $f (x) \geq - 1$ $[- 4, 5; 0] \cup [1, 5; 6]$
исслед.При каких $a$ у $f (x) = a$ ровно два корня? $a = \pm 2$

R06.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку в ответах про $f$

Петя: $E (f) = [- 5; 6]$

перепутал оси. Верно: $E (f) = [- 2; 2]$

Оля: нули $(- 4; 0)$ , $(- 1; 0)$ , …

нуль — число $x$ . Верно: $- 4; - 1; 2; 5$

Вася: $f (x) > 0$ на $[- 4; - 1] \cup [2; 5]$

в нулях $f = 0$ . Верно: круглые скобки

сверх R06.3

Дополнительно · симметрия графика

Чётные и нечётные функции

чётная:

f (- x) = f (x)

нечётная:

f (- x) = - f (x)

R06.3

Задания с самопроверкой · исследование функции

Исследуйте функцию $g$ по графику

базаНайдите $D (g)$ и $E (g)$ .
$[- 5; 4)$ ; $[- 2; 2]$
базаНайдите нули $g$ и решите $g (x) > 0$ .
$- 4; - 2; 3$ ; $[- 5; - 4) \cup (- 2; 3)$
повыш.Промежутки монотонности; $y_{наиб}$ , $y_{наим}$ .
↘ $[- 5; - 3]$ , $[2; 4)$ ; ↗ $[- 3; - 1]$ ; $2$ ; $- 2$
повыш.Сравните $g (- 4, 5)$ и $g (0)$ . $g (- 4, 5) < g (0)$
исслед.При каких $a$ уравнение $g (x) = a$ имеет ровно три корня? Бесконечно много?
$- 2 < a < 2$ ; $a = 2$

3 мин · практика
Ученики решают в тетради, учитель открывает ответы по одному кликом. Вершины g: (−5; 2) — закрашена, (−3; −2), (−1; 2), (2; 2), (4; −2) — выколота.
1) D(g) = [−5; 4); E(g) = [−2; 2] (−2 принимается при x = −3, хотя точка (4; −2) выколота).
2) Нули: −4; −2; 3. g(x) > 0 при x ∈ [−5; −4) ∪ (−2; 3).
3) Убывает на [−5; −3] и на [2; 4); возрастает на [−3; −1]; на [−1; 2] постоянна (в ответе на слайде не показано — спросить устно). y_наиб = 2 (при x = −5 и при всех x ∈ [−1; 2]); y_наим = −2 (при x = −3).
4) g(−4,5) = 2 − 2·0,5 = 1; g(0) = 2. g(−4,5) < g(0).
5) Ровно три корня при −2 < a < 2 (по одному на [−5; −3], [−3; −1], [2; 4)); бесконечно много при a = 2. Для справки: a = −2 — один корень (x = −3).

R06.3 · практика

Задача из жизни

Температура воздуха за сутки

Наименьшая температура и когда? $- 4^{\circ}$ в $6$ ч
Наибольшая температура? $4^{\circ}$ в $14$ ч
Когда температура росла? с $6$ до $14$ ч
повыш.Сколько часов было выше нуля? $12$ ч
повыш.Когда было холоднее $- 3^{\circ}$ ? с $3$ до $7$ ч

1,5 мин · практика
График: $T (0) = - 2$ , $T (6) = - 4$ , $T (14) = 4$ , $T (20) = 2$ , $T (24) = - 2$ (ломаная, клетка — 1 ч по горизонтали и $1^{\circ}$ по вертикали). Свойства функции в «жизненных» словах: наименьшее/наибольшее значение, возрастание, знак.
1) $- 4^{\circ}$ в 6 ч. 2) $4^{\circ}$ в 14 ч. 3) С 6 до 14 ч. 4) Нули: с 6 до 14 ч температура растёт на $1^{\circ}$ в час ⇒ $0^{\circ}$ в 10 ч; с 20 до 24 ч падает на $1^{\circ}$ в час ⇒ $0^{\circ}$ в 22 ч. Выше нуля с 10 до 22 ч — 12 часов.
5) $T = - 3$ : на $[0; 6]$ убывание на $\frac{1}{3}$ в час ⇒ $t = 3$ ; на $[6; 14]$ рост на 1 в час ⇒ $t = 7$ . Холоднее $- 3^{\circ}$ с 3 до 7 ч (решение неравенства $T (t) < - 3$ ). Подробнее о графиках реальных процессов — на уроке ALG8U-094.

R06.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам

Вариант 1 · $y = u (x)$

$D (u)$ и $E (u)$ $[- 4; 4]$ ; $[- 2; 2]$
Нули $u$ $- 3; 0; 3$
$u (x) < 0$ $[- 4; - 3) \cup (0; 3)$
Число корней $u (x) = 1$ $3$

Вариант 2 · $y = w (x)$

$D (w)$ и $E (w)$ $[- 4; 5)$ ; $[- 2; 2]$
Нули $w$ $- 3; 0; 2; 4$
$w (x) > 0$ $[- 4; - 3) \cup (0; 2) \cup (4; 5)$
Число корней $w (x) = - 1$ $3$

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: ломаная $(- 4; - 2)$ , $(- 2; 2)$ , $(2; - 2)$ , $(4; 2)$ , концы закрашены. 1) $D = [- 4; 4]$ , $E = [- 2; 2]$ . 2) Наклоны $2$ , $- 1$ , $2$ ⇒ нули $- 3$ , $0$ , $3$ . 3) $[- 4; - 3) \cup (0; 3)$ . 4) $u (x) = 1$ : $x = - 2, 5$ ; $- 1$ ; $3, 5$ — три корня.
Вариант 2: ломаная $(- 4; 2)$ — закрашена, $(- 2; - 2)$ , $(1; 1)$ , $(3; - 1)$ , $(5; 1)$ — выколота. 1) $D = [- 4; 5)$ , $E = [- 2; 2]$ (значение $1$ на выколотом конце принимается при $x = 1$ ). 2) Наклоны $- 2$ , $1$ , $- 1$ , $1$ ⇒ нули $- 3$ , $0$ , $2$ , $4$ . 3) $[- 4; - 3) \cup (0; 2) \cup (4; 5)$ . 4) $w (x) = - 1$ : $x = - 2, 5$ ; $- 1$ ; вершина $x = 3$ — три корня.
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2. Частые ошибки: квадратная скобка у выколотого конца; ноль в ответе на строгое неравенство.

R06.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график. При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно две общие точки?

y = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 4, - x + 1, x - 3, x < - 1, - 1 \leq x \leq 2, x > 2.

стыки:

(- 1; 2)

и

(2; - 1)

Ответ:

m = - 1; m = 2

2 мин · практика
Ученики строят график в тетради по стыкам и сами находят m; затем учитель открывает построение по шагам для проверки. Задание части 2 ОГЭ по математике (линия 22, максимум 2 балла): нужен верно построенный график и верный ответ.
Стыки: 2·(−1) + 4 = 2 и −(−1) + 1 = 2; −2 + 1 = −1 и 2 − 3 = −1 — график сплошной.
m = 2: x = −1 и x − 3 = 2 ⇒ x = 5 (две точки). m = −1: 2x + 4 = −1 ⇒ x = −2,5 и −x + 1 = −1 ⇒ x = 2 (две точки). При −1 < m < 2 — три точки, при m < −1 или m > 2 — одна.
Критерии (упрощённо по образцу ФИПИ): 2 балла — график построен верно, верно найдены искомые m; 1 балл — график верен, ответ с ошибкой или неполный; 0 — иначе.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по графику найти $D (f)$ и $E (f)$ ?
Чем нуль функции отличается от точки пересечения с $O x$ ?
Почему промежутки возрастания не объединяют знаком $\cup$ ?

Домашнее задание

Постройте график функции: $D = [- 3; 3]$ , $E = [- 1; 4]$ , нули $\pm 2$ , возрастает на $[- 3; 0]$ , убывает на $[0; 3]$ .
ОГЭ-22: $y = ⎩ ⎨ ⎧ x + 3, - 2 x, x - 3, x < - 1 - 1 \leq x \leq 1 x > 1$ , ровно две общие точки с $y = m$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-093 · Чтение свойств функции по ее графику

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 3/15 · тип Н
Единицы → слайды	R06.3 «Чтение свойств функции по ее графику» → 2, 5–18, 20–23; R06.2 (повторение) → 3, 4; числовые промежутки (повторение) → 3
Результаты	ПР-25 (функциональный язык, значение по аргументу, свойства по графику) → 3–13, 17, 18, 20, 22 · ПР-26 (свойства числовой функции по графику) → 5–13, 20–23 · ПР-22 (исследование уравнений графически) → 14, 15, 17, 20, 22, 23 · ПР-24 (графическая иллюстрация решений неравенства) → 8, 9, 16, 17, 21
Вне урока	способы задания функций — ALG8U-091; график функции — ALG8U-092; графики реальных процессов — ALG8U-094; функции $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ — ALG8U-095; чётность (сл. 19 «Дополнительно») — 9 класс
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 19 — без сокращений) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Чтение свойствфункциипо её графику

Что мы научимся читать по графику

Язык функций

Свойства по графику

Исследование уравнений

Неравенства

Промежутки и значения — в темпе

Читаем значения по графику

Шесть вопросов к любому графику

Проецируем график на оси

Найдите D и E по графику

Образец

1) Сами

2) Сами

Где график выше и ниже оси Ox

Функция p: нули и промежутки знакопостоянства

Образец

Сами

Большему x — большее f(x)?

Самая высокая и самая низкая точки

Функция q: где растёт, где убывает

Образец

Сами

Все шесть свойств в одной таблице

Сколько корней у уравнения f(x)=a?

Сколько корней у уравнения r(x)=a?

Образец: r(x)=1

Сами

Решите f(x)≥1

Снова функция f: решите по графику

Найдите ошибку в ответах про f

Петя: E(f)=[−5; 6]

Оля: нули (−4;0), (−1;0), …

Вася: f(x)>0 на [−4;−1]∪[2;5]

Чётные и нечётные функции

Исследуйте функцию g по графику

Температура воздуха за сутки

По вариантам

Вариант 1 · y=u(x)

Вариант 2 · y=w(x)

Постройте график. При каких m прямая y=m имеет с ним ровно две общие точки?

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-093 · Чтение свойств функции по ее графику

Чтение свойств
функции
по её графику

Найдите $D$ и $E$ по графику

Где график выше и ниже оси $O x$

Функция $p$ : нули и промежутки знакопостоянства

Большему $x$ — большее $f (x)$ ?

Функция $q$ : где растёт, где убывает

Сколько корней у уравнения $f (x) = a$ ?

Сколько корней у уравнения $r (x) = a$ ?

Образец: $r (x) = 1$

Решите $f (x) \geq 1$

Снова функция $f$ : решите по графику

Найдите ошибку в ответах про $f$

Петя: $E (f) = [- 5; 6]$

Оля: нули $(- 4; 0)$ , $(- 1; 0)$ , …

Вася: $f (x) > 0$ на $[- 4; - 1] \cup [2; 5]$

Исследуйте функцию $g$ по графику

Вариант 1 · $y = u (x)$

Вариант 2 · $y = w (x)$

Постройте график. При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно две общие точки?