Функции · урок 2 из 15

График
функции

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R06 · ALG8U-092

1 мин · теория
Паспорт: R06 «Функции» (15 ч), урок 2/15, единица R06.2 «График функции». Тип Н. Было: ALG8U-091 «Способы задания функций». Дальше: ALG8U-093 «Чтение свойств функции по её графику» (монотонность, нули, знакопостоянство — подробно там), ALG8U-095 — графики $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ .
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4, практика) · новый материал 11 (сл. 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16 — теория) · «образец → сам» после каждого правила 11 (сл. 7, 9, 11, 13, 15, 17) · исследование числа корней 3 (сл. 18) · ошибки, самопроверка, закрепление, ОГЭ 10 (сл. 19–23) · самостоятельная работа 3 (сл. 24) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 25).
Вся теория прежняя, без сокращений; практика добавлена: разминка, после каждого нового правила — образец и сразу похожие задания, две самопроверки, самостоятельная в двух вариантах; ответы появляются по клику.
Рисунок: точки таблицы функции $y = 0, 5 x^{2} - 2$ и плавная кривая через них (строится на сл. 6).

R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое график

множество точек $(x; f (x))$ ; проверять, лежит ли точка на графике (ПР-25)

Строить графики

по таблице, с выколотыми точками, кусочно-заданных функций (ПР-26)

Читать $D (f)$ и $E (f)$

как проекции графика на оси; отличать график функции от «не графика» (ПР-25, ПР-26)

Исследовать уравнения

считать корни $f (x) = a$ по графику в зависимости от $a$ (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-25 «Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по её графику»; ПР-26 «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по её графику»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений… с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение решения, если имеет, то сколько…)».
Виды деятельности ФРП: «Вычислять значения функций, заданных формулами; составлять таблицы значений функции», «Находить область определения и множество значений функции», «Находить с помощью графика функции значение одной из величин по значению другой».

повторение: ALG8U-091, R04–R05

Разминка · устно

Ответьте быстро

1

f (x) = 2 x - 5

. Найдите

f (3)

1

2

f (x) = x^{2}

. Найдите

f (- 4)

16

3В какой четверти точка

(- 2; 5)

?во II

4Решите:

x^{2} = 9

\pm 3

5Решите:

3 x + 6 = 0

- 2

6Сократите:

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

x + 1

7Где не определена

\frac{5}{x - 2}

?

x = 2

8Абсцисса любой точки оси

O y

?

0

повторение: ALG8U-091

Актуализация · устно

Значения функции и координаты точек

f (x) = x^{2} - 3 x

$x$	$- 2$	$0$	$3$	$1, 5$
$f (x)$	$10$	$0$	$0$	$- 2, 25$

Одному

x

— ровно одно значение

f (x)

Назовите координаты точек

R06.2

Новое понятие

График функции — множество точек

Графиком функции

y = f (x)

называется множество всех точек координатной плоскости вида

(x; f (x))

, где

x \in D (f)

.

M (x_{0}; y_{0}) \in Γ_{f} \Leftrightarrow y_{0} = f (x_{0})

2 мин · теория
Абсцисса точки графика — значение аргумента, ордината — значение функции в этой точке. Через $Γ_{f}$ (гамма) обозначаем график функции $f$ — обозначение для доски, в тетради можно писать словами.
Два направления определения: (1) если $x_{0} \in D (f)$ , то точка $(x_{0}; f (x_{0}))$ лежит на графике; (2) любая точка графика имеет такой вид. Значит, нет «лишних» точек и нет «пропусков».
Вопрос классу: сколько точек графика лежит на одной вертикали $x = x_{0}$ ? (Одна, если $x_{0} \in D (f)$ , и ни одной иначе.)

R06.2

Алгоритм

Строим график по точкам: $y = 0, 5 x^{2} - 2$

$x$	$y$
$- 3$	$2, 5$
$- 2$	$0$
$- 1$	$- 1, 5$
$0$	$- 2$
$1$	$- 1, 5$
$2$	$0$
$3$	$2, 5$

1.

D (f)

и таблица

2. точки на плоскости

3. соединяем плавной линией, не ломаной

2 мин · теория
Таблицу заполняет класс устно: $0, 5 \cdot 9 - 2 = 2, 5$ ; $0, 5 \cdot 4 - 2 = 0$ ; $0, 5 \cdot 1 - 2 = - 1, 5$ .
Важная оговорка для углублённого класса: построение по точкам — только эскиз. Между точками функция может вести себя как угодно; «плавно соединять» мы вправе, когда знаем вид функции. Строго это обосновывается свойствами функций (следующие уроки).
Ошибка: соединяют точки отрезками (получается ломаная с «углом» в $(0; - 2)$ ). Проверка: $f (0, 5) = - 1, 875$ , а на отрезке от $(0; - 2)$ до $(1; - 1, 5)$ при $x = 0, 5$ было бы $- 1, 75$ ; точка графика ниже отрезка — кривая прогибается, это не ломаная.

R06.2

Образец → сам

Составьте таблицу значений — первый шаг построения

Образец: $y = x^{2} - 2 x$

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

x = - 1 : (- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) = 1 + 2 = 3

значения симметричны относительно

x = 1

Сами: заполните таблицы

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$4 - x^{2}$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$x^{2} + x$	$2$	$0$	$0$	$2$	$6$

R06.2

Точка и график

Лежит ли точка на графике $y = 0, 5 x^{2} - 2$ ?

A (4; 6) : 0, 5 \cdot 16 - 2 = 6 \Rightarrow A \in Γ_{f}

B (- 2; 1) : 0, 5 \cdot 4 - 2 = 0 \neq = 1 \Rightarrow B \in / Γ_{f}

Обратная задача: где ордината равна

6

?

0, 5 x^{2} - 2 = 6 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4

1 мин · теория
Правило: подставляем абсциссу в формулу и сравниваем результат с ординатой. Рисунок — только иллюстрация: «на глаз» по графику принадлежность не доказывают.
Обратная задача: по значению функции найти аргумент — решаем уравнение $f (x) = 6$ , получаем две точки $(- 4; 6)$ и $(4; 6)$ — горизонталь пересекает график дважды.
Вопрос классу: есть ли на графике точка с ординатой $- 3$ ? (Нет: $0, 5 x^{2} = - 1$ — решений нет; график не опускается ниже $y = - 2$ .)

R06.2

Образец → сам

Подставляем абсциссу — сравниваем с ординатой

Образец: $y = 2 x^{2} - 1$

A (- 2; 7)

:

2 \cdot 4 - 1 = 7

A \in Γ_{f}

B (1; 2)

:

2 \cdot 1 - 1 = 1 \neq = 2

B \in / Γ_{f}

y = 17

:

2 x^{2} = 18

,

x = \pm 3

Сами: $y = x^{2} - 3 x + 2$

Лежит ли $A (3; 2)$ ?да
Лежит ли $B (- 1; 5)$ ?нет: $6 \neq = 5$
Абсциссы точек с ординатой $2$ $0$ и $3$
При каком $k$ график $y = k x + 3$ проходит через $(2; - 1)$ ? $k = - 2$

R06.2

Критерий

Любая вертикаль пересекает график функции не более одного раза

R06.2

Сам · проверка вертикалью

Какое множество — график функции?

R06.2

Чтение графика

$D (f)$ и $E (f)$ — тени графика на осях

D (f) = [- 4; 3]

проекция на ось

O x

E (f) = [- 2; 4]

проекция на ось

O y

f (x) = 0 : x = - 3; - 1; 1

точки на оси

O x

R06.2

Сам · читаем график

Найдите по графику

$D (f)$ $[- 3; 4)$
$E (f)$ $[- 3; 1]$
нули функции $- 2, 5$ и $0, 5$
$f (0)$ и решения $f (x) = - 1$ $f (0) = - 1$ ; $x = - 2$ , $x = 0$

R06.2

Углублённо · связь с дробями

Сократили дробь — не забудьте выколоть точку

y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

D (f) : x \neq = 2

y = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2, x \neq = 2

Прямая без точки

(2; 4)

, поэтому

E (f)

:

y \neq = 4

R06.2

Образец → сам

Упростите формулу и найдите выколотую точку

Образец: $y = \frac{x ^{2} + 2 x}{x}$

D

:

x \neq = 0

y = \frac{x ( x + 2 )}{x} = x + 2

выколота

(0; 2)

E

:

y \neq = 2

Сами

$y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ $x + 1$ , точка $(1; 2)$
$y = \frac{x ^{2} - 3 x}{x - 3}$ $x$ , точка $(3; 3)$
$y = \frac{2 x ^{2} + 6 x}{x + 3}$ $2 x$ , точка $(- 3; - 6)$

R06.2

Новое понятие · строим вместе

Кусочно-заданная функция: три формулы — один график

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 3, x^{2}, 4, x < - 1, - 1 \leq x \leq 2, x > 2

На стыке

x = - 1

:

- 1 + 3 = 2

— пустой кружок,

(- 1)^{2} = 1

— закрашенный

На стыке

x = 2

:

2^{2} = 4

— куски сходятся

R06.2

Образец → сам

Значения кусочно-заданной функции

g (x) = {2 x, 3 - x, x < 1, x \geq 1

g (- 2) = 2 \cdot (- 2) = - 4

так как

- 2 < 1

g (1) = 3 - 1 = 2

так как

1 \geq 1

$g (0)$ , $g (4)$ $0$ ; $- 1$
Сходятся ли куски при $x = 1$ ?да: $2 = 2$
Решите $g (x) = 1$ $x = 0, 5$ ; $x = 2$

R06.2 · ПР-22

Закрепление · исследование

Сколько корней у уравнения $f (x) = a$ ?

корни = точки пересечения с прямой $y = a$

$a$	корней
$a < 0$	$1$
$a = 0$	$2$
$0 < a \leq 1$	$3$
$1 < a < 2$	$2$
$2 \leq a < 4$	$1$
$a = 4$	бесконечно много
$a > 4$	$0$

R06.2

Закрепление · найдите ошибку

Четыре типичные ошибки

Перепутан порядок

$y = 2 x + 1$ , точка $(3; 1)$ : « $3 = 2 \cdot 1 + 1$ — лежит»

Верно: $2 \cdot 3 + 1 = 7 \neq = 1$ — не лежит

Ломаная вместо кривой

точки таблицы $y = 0, 5 x^{2} - 2$ соединили отрезками

Верно: плавная линия; взять больше точек

Забыта выколотая точка

$y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ «это прямая $y = x - 1$ »

Верно: без точки $(- 1; - 2)$

Два кружка на стыке

оба конца закрашены при одном $x$

Верно: один $x$ — одна точка

R06.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте себя

базаЛежит ли $(- 1; - 5)$ на графике $y = 2 x - 3$ ? да
базаТочки пересечения $y = x^{2} - 5$ с осями $(0; - 5)$ , $(\pm 5; 0)$
базаАбсцисса точки графика $y = 3 x + 1$ с ординатой $7$ $2$

базаОрдината точки графика $y = 4 - x^{2}$ при $x = 3$ $- 5$
базаТочка $(a; 4)$ лежит на графике $y = x^{2}$ . Найдите $a$ $\pm 2$
базаПрямая $x = 5$ — график функции? нет

R06.2 · ПР-22

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Найдите и исследуйте

повыш.При каком $b$ график $y = x^{2} + b x + 1$ проходит через $(2; 3)$ ? $b = - 1$
повыш.Найдите $E (f)$ : $y = \frac{x ^{2} - 2 x}{x}$ все $y$ , кроме $- 2$

сложнееСколько корней у $f (x) = a$ при $a = 0, 5$ ; $1$ ; $- 1$ ?
$f (x) = {x^{2}, 2 - x, x \leq 1, x > 1$ $3$ ; $2$ ; $1$
жизньТакси: $150$ ₽ — посадка и первые $3$ км, далее $30$ ₽/км. Сколько стоят $8$ км? Сколько км на $450$ ₽? $300$ ₽; $13$ км

R06.2

Закрепление · самостоятельно

Решите

базаЛежат ли на графике $y = 3 - 2 x$ точки $A (- 2; 7)$ и $C (4; - 4)$ ?
базаНайдите точки пересечения графика $y = x^{2} - 4 x + 3$ с осями координат.
повыш.При каком $p$ график $y = p x - 5$ проходит через точку $M (- 2; 3)$ ?

повыш.Какое из множеств — график функции: а) $∣ y ∣ = x$ ; б) $y = ∣ x ∣$ ; в) $x^{2} + y^{2} = 4$ ?
практикаТариф: $300$ ₽ за первые $10$ ГБ, далее $50$ ₽ за каждый ГБ. Задайте стоимость $C (v)$ кусочно, постройте график при $0 \leq v \leq 20$ . Сколько стоят $14$ ГБ? Сколько ГБ на $650$ ₽?

2 мин · практика
По вариантам: 1–3 все, 4–5 — кто успел; остальное — в ДЗ.
Ответы: 1) $A$ лежит ( $3 + 4 = 7$ ), $C$ не лежит ( $3 - 8 = - 5 \neq = - 4$ ). 2) $O y$ : $(0; 3)$ ; $O x$ : $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , $x = 1$ и $x = 3$ — $(1; 0)$ , $(3; 0)$ . 3) $3 = - 2 p - 5$ , $p = - 4$ . 4) только б): при $x = 1$ в а) $y = \pm 1$ , в в) при $x = 0$ $y = \pm 2$ . 5) $C (v) = 300$ при $0 \leq v \leq 10$ ; $C (v) = 300 + 50 (v - 10)$ при $10 < v \leq 20$ ; $C (14) = 500$ ₽; $300 + 50 (v - 10) = 650 \Rightarrow v = 17$ ГБ.
В 5) уточнить: считаем, что гигабайты можно брать и дробными (график — непрерывная ломаная); если тариф поштучный — график из отдельных точек, это хороший вопрос классу.

R06.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Функция и её график

ОГЭ, линия 22
Постройте график функции

y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}

и определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

не имеет с графиком ни одной общей точки.

1. Область определения

2. Сократить дробь

3. Построить, выколоть точку

4. Прямые

y = k x

через

O

3 мин · практика
Решают ученики, учитель открывает шаги-подсказки. Решение: $x \neq = - 3$ ; $y = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x + 3} = x - 3$ — прямая без точки $(- 3; - 6)$ .
Общих точек нет в двух случаях: прямая $y = k x$ параллельна графику — $k = 1$ ( $x = x - 3$ — решений нет); прямая проходит через выколотую точку: $- 6 = - 3 k$ , $k = 2$ (тогда $2 x = x - 3$ , $x = - 3$ — запрещено). Ответ: $k = 1$ ; $k = 2$ .
Критерии ОГЭ: 2 балла — верный график и верный ответ; 1 балл — график верен, но ответ неполный (часто теряют $k = 2$ , забыв выколотую точку).

R06.2

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта

Вариант 1

Лежит ли $A (2; - 1)$ на графике $y = x^{2} - 2 x - 1$ ? да
Упростите $y = \frac{x ^{2} - 16}{x + 4}$ , найдите выколотую точку $x - 4$ ; $(- 4; - 8)$
Найдите $f (- 3)$ и $f (5)$ :
$f (x) = {x + 2, 2, x < 0, x \geq 0$ $- 1$ ; $2$

Вариант 2

Лежит ли $B (- 1; 2)$ на графике $y = x^{2} + 3 x$ ? нет
Упростите $y = \frac{x ^{2} - 25}{x - 5}$ , найдите выколотую точку $x + 5$ ; $(5; 10)$
Найдите $f (- 2)$ и $f (3)$ :
$f (x) = {3 - x, 2 x, x < 1, x \geq 1$ $5$ ; $6$

R06.2

Итог урока

Рефлексия и домашнее задание

График функции — это множество точек …

Чтобы проверить точку, я подставляю …

Вертикаль пересекает график не более …

Корни $f (x) = a$ — это …

Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x - 3}$ ; найдите $D$ и $E$ .
Постройте график $f (x) = {- x, x^{2}, x < 0, x \geq 0$ ; при каких $a$ уравнение $f (x) = a$ имеет два корня?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-092 · График функции

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R06 «Функции», 15 ч · урок 2/15 · тип Н
Единицы → слайды	R06.2 «График функции» → 3–25 (теория: 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16; практика: 3, 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17–25)
Результаты	ПР-25 (функциональные понятия, значение функции, свойства по графику) → 3–5, 8, 9, 12, 13, 19, 20, 22 · ПР-26 (строить графики) → 6, 7, 10, 11, 14–17, 22–25 · ПР-22 (исследование уравнений графически) → 13, 17, 18, 21, 23, 25 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 14, 15, 21, 23, 24
Вне урока	способы задания функций — ALG8U-091; свойства функции по графику (монотонность, знакопостоянство) — ALG8U-093; графики реальных процессов — ALG8U-094; $y = x^{2}$ , $y = x^{3}$ , $y = x$ , $y = \frac{k}{x}$ — ALG8U-095
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графикфункции

Сегодня вы научитесь

Понимать, что такое график

Строить графики

Читать D(f) и E(f)

Исследовать уравнения

Ответьте быстро

Значения функции и координаты точек

График функции — множество точек

Строим график по точкам: y=0,5x2−2

Составьте таблицу значений — первый шаг построения

Образец: y=x2−2x

Сами: заполните таблицы

Лежит ли точка на графике y=0,5x2−2?

Подставляем абсциссу — сравниваем с ординатой

Образец: y=2x2−1

Сами: y=x2−3x+2

Любая вертикаль пересекает график функции не более одного раза

Какое множество — график функции?

D(f) и E(f) — тени графика на осях

Найдите по графику

Сократили дробь — не забудьте выколоть точку

Упростите формулу и найдите выколотую точку

Образец: y=xx2+2x​

Сами

Кусочно-заданная функция: три формулы — один график

Значения кусочно-заданной функции

Сколько корней у уравнения f(x)=a?

Четыре типичные ошибки

Перепутан порядок

Ломаная вместо кривой

Забыта выколотая точка

Два кружка на стыке

Решите и проверьте себя

Найдите и исследуйте

Решите

Функция и её график

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Рефлексия и домашнее задание

ALG8U-092 · График функции

График
функции

Читать $D (f)$ и $E (f)$

Строим график по точкам: $y = 0, 5 x^{2} - 2$

Образец: $y = x^{2} - 2 x$

Лежит ли точка на графике $y = 0, 5 x^{2} - 2$ ?

Образец: $y = 2 x^{2} - 1$

Сами: $y = x^{2} - 3 x + 2$

$D (f)$ и $E (f)$ — тени графика на осях

Образец: $y = \frac{x ^{2} + 2 x}{x}$

Сколько корней у уравнения $f (x) = a$ ?