Дробно-рациональные уравнения · урок 19 из 19 · обобщение

Дробно-
рациональные
уравнения:
вся тема

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-090

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · карта темы 2 (сл. 4) · схема выбора приёма 2 (сл. 6) · образец «к квадратному» 2 (сл. 7) · образец «замена» 2 (сл. 9) · образец текстовой задачи 2 (сл. 11) · графика и параметр 3 (сл. 13). Теоретические слайды сохранены полностью.
Практика (31 мин): разминка 3 (сл. 3) · актуализация 2 (сл. 5) · образец → сам 3 + 3 (сл. 8, 10) · текстовые задачи сами 3 (сл. 12) · число решений 2 (сл. 14) · найди ошибку 2 (сл. 15) · задания с самопроверкой 4 (сл. 16) · формат ОГЭ 3 (сл. 17) · самостоятельная работа 5 (сл. 18) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 19).
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 19/19 — последний урок строки. Тип О (обобщение и систематизация), единицы R05.1–R05.5. До этого — практикумы ALG8U-086…089; дальше — R06 «Функции» (ALG8U-091 «Способы задания функций»).
При нехватке времени: на сл. 16 задания 4–5 перенести в ДЗ; на сл. 12 — только составить модели.
Рисунок: гипербола и прямая, пересекающиеся в двух точках, — образ сл. 13.

R05.1–R05.5

Цели урока

Собираем тему в одну систему

Решать

дробно-рациональные уравнения, сводя их к линейным и квадратным (ПР-20)

Выбирать приём

общий знаменатель, пропорция, замена переменной; отбор корней по ОДЗ (ПР-20, ПР-9)

Моделировать

составлять уравнение по условию задачи и интерпретировать результат (ПР-23)

Исследовать

число решений уравнений и систем графически, с параметром (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-9 «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»; ПР-23 «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений…».
Вид деятельности ФРП: «Распознавать дробно-рациональные уравнения… использовать метод замены переменной… Использовать графическую интерпретацию уравнений с двумя переменными».

повторение: R05.1–R05.2

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

\frac{3}{x - 5}

допустимые значения

x \neq = 5

\frac{1}{x ^{2} - 4}

допустимые значения

x \neq = \pm 2

\frac{x - 7}{x + 2} = 0

корень

x = 7

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0

корень

x = - 3

\frac{1}{x - 1}, \frac{1}{x + 1}

общий знаменатель

x^{2} - 1

x^{2} - 5 x + 6 = 0

корни по Виета

2; 3

\frac{6}{x} = 3

корень

x = 2

\frac{x}{4} = \frac{9}{x}

корни

\pm 6

R05.1–R05.5 · карта

Карта темы

Пять единиц строки R05

R05.1

Актуализация · устно

Дробно-рациональное или целое?

Уравнение	Вид	Корни
$\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5$	целое	$6$
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = 0$	дробное	$1$
$x + \frac{1}{x} = 2$	дробное	$1$
$\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$	дробное	$- 2$

Признак

переменная есть в знаменателе

Ловушка

$x + \frac{1}{x} \geq 2$ при $x > 0$

равенство только при $x = 1$

R05.1–R05.3 · схема

Опорная схема · какой приём выбрать

Смотрим на вид уравнения

R05.2

Сводится к квадратному · образец

Решите $\frac{2}{x - 3} + \frac{x}{x + 3} = \frac{12}{x ^{2} - 9}$

ОДЗ:

x \neq = \pm 3

2 (x + 3) + x (x - 3) = 12

умножили на

(x - 3) (x + 3)

x^{2} - x - 6 = 0

x_{1} = 3, x_{2} = - 2

по теореме Виета

3 \in /

ОДЗ. Ответ:

- 2

А если $x^{2}$ сократятся?

$\frac{x}{x - 1} = \frac{x + 2}{x + 1}$

$x^{2} + x = x^{2} + x - 2$

$0 = - 2$ — корней нет

уравнение стало линейным: $0 \cdot x = - 2$

R05.2

Образец → сам · сводим к квадратному

ОДЗ → общий знаменатель → отбор

Образец: $\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x} = \frac{8}{x ( x - 2 )}$

ОДЗ:

x \neq = 0, x \neq = 2

x^{2} - 4 (x - 2) = 8

x^{2} - 4 x = 0, x = 0; 4

0 \in /

ОДЗ. Ответ:

4

Сам

$\frac{x ^{2}}{x + 4} = \frac{16}{x + 4}$ $4$
$\frac{3}{x} + \frac{2}{x - 1} = 2$ $0, 5; 3$
$\frac{x + 5}{x - 1} = \frac{6}{x ^{2} - x}$ $- 6$
$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{8}{x ^{2} - 4} = \frac{x}{x + 2}$ $\frac{2}{3}$

3 мин · практика
Образец (1 мин, вместе): умножаем на x(x − 2): x² − 4x + 8 = 8 → x(x − 4) = 0 → 0; 4; 0 не входит в ОДЗ. Проверка x = 4: 4/2 − 4/4 = 1; 8/(4·2) = 1 ✓.
Сам (2 мин): 1) x² = 16 → ±4, x ≠ −4 → 4. 2) 3(x − 1) + 2x = 2x(x − 1) → 2x² − 7x + 3 = 0, D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5)/4 → 3; 1/2 (оба в ОДЗ). Проверка: x = 3: 1 + 1 = 2 ✓; x = 1/2: 6 − 4 = 2 ✓. 3) x² − x = x(x − 1); x(x + 5) = 6 → x² + 5x − 6 = 0 → 1; −6; x ≠ 1 → −6. Проверка: (−1)/(−7) = 1/7; 6/42 = 1/7 ✓. 4) (x + 2)² − 8 = x(x − 2) → x² + 4x − 4 = x² − 2x → 6x = 4 → x = 2/3 (квадраты сократились — линейное). Проверка: −2 + 9/4 = 1/4; (2/3)/(8/3) = 1/4 ✓.
Если не успевают — задание 4 в ДЗ.

R05.3

Замена переменной · образец

Решите $\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$

ОДЗ:

x \neq = 0, x \neq = - 1

t = \frac{x}{x + 1} : t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0, t = 2; \frac{1}{2}

\frac{x}{x + 1} = 2 \Rightarrow x = - 2; \frac{x}{x + 1} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 1

Ответ:

- 2; 1

Решите сами

$x^{2} + x + \frac{12}{x ^{2} + x} = 8$

$t = x^{2} + x : t^{2} - 8 t + 12 = 0$

$t = 2$ или $t = 6$

Ответ: $- 3; - 2; 1; 2$

2 мин · теория
Образец разбирает учитель; карточку «Решите сами» открыть по шагам как второй пример (самостоятельная отработка — на следующем слайде).
Образец: t + 1/t = 5/2 → 2t² − 5t + 2 = 0, D = 25 − 16 = 9, t = (5 ± 3)/4 → 2 и 1/2. Обратная замена: x = 2x + 2 → x = −2; 2x = x + 1 → x = 1. Проверка x = 1: 1/2 + 2 = 5/2 ✓; x = −2: 2 + 1/2 = 5/2 ✓.
Сами: ОДЗ x² + x ≠ 0, т. е. x ≠ 0 и x ≠ −1. t + 12/t = 8 → t² − 8t + 12 = 0 → t = 2; 6. x² + x − 2 = 0 → 1; −2. x² + x − 6 = 0 → 2; −3. Проверка x = 2: 6 + 12/6 = 8 ✓.
Типичная ошибка: остановиться на найденных t и записать их в ответ.

R05.3

Образец → сам · замена переменной

Увидеть повтор — ввести $t$ — вернуться к $x$

Образец: $x^{2} + 1 + \frac{4}{x ^{2} + 1} = 5$

t = x^{2} + 1 : t + \frac{4}{t} = 5

t^{2} - 5 t + 4 = 0, t = 1; 4

x^{2} = 0; x^{2} = 3

Ответ:

0; \pm 3

Сам

$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{5}{2}$ $- 5; 4$
$x^{2} + 2 x - \frac{3}{x ^{2} + 2 x} = 2$ $- 3; - 1; 1$
$\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x} = 6$ $- \frac{1}{3}; \frac{1}{2}$

3 мин · практика
Образец (1 мин): x² + 1 ≥ 1, ОДЗ — все x. t² − 5t + 4 = 0 → t = 1; 4. x² + 1 = 1 → x = 0; x² + 1 = 4 → x = ±√3. Проверка x = 0: 1 + 4 = 5 ✓; x² = 3: 4 + 1 = 5 ✓.
Сам (2 мин): 1) ОДЗ x ≠ −2; 1. t = (x − 1)/(x + 2): t + 1/t = 5/2 → t = 2; 1/2. x − 1 = 2x + 4 → x = −5; 2x − 2 = x + 2 → x = 4. Проверка x = 4: 3/6 + 6/3 = 5/2 ✓; x = −5: 2 + 1/2 ✓. 2) ОДЗ x ≠ 0; −2. t − 3/t = 2 → t² − 2t − 3 = 0 → t = 3; −1. x² + 2x − 3 = 0 → 1; −3; x² + 2x + 1 = 0 → −1. Проверка x = −1: −1 + 3 = 2 ✓; x = 1: 3 − 1 = 2 ✓. 3) ОДЗ x ≠ 0. t = 1/x: t² + t − 6 = 0 → t = 2; −3 → x = 1/2; −1/3. Проверка x = 1/2: 4 + 2 = 6 ✓; x = −1/3: 9 − 3 = 6 ✓.

R05.4

Текстовая задача · модель → уравнение → смысл

Двое вместе — за 4 ч; первый один — на 6 ч быстрее второго

	время, ч	за 1 ч
второй	$x$	$\frac{1}{x}$
первый	$x - 6$	$\frac{1}{x - 6}$
вместе	$4$	$\frac{1}{4}$

Сколько часов нужно второму рабочему?

\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 6} = \frac{1}{4}

x^{2} - 14 x + 24 = 0

x = 12

или

x = 2

x = 2

: у первого

2 - 6 < 0

— не подходит

Ответ:

12

ч

R05.4

Текстовые задачи · решаем сами

Таблица → уравнение → проверка смыслом

работа Две бригады вместе выполняют заказ за 2 дня. Первая одна — на 3 дня быстрее второй. За сколько дней выполнит заказ вторая бригада? $6$ дней
из жизни На 360 руб. купили тетради. Если бы каждая стоила на 6 руб. дешевле, их купили бы на 2 больше. Сколько стоит тетрадь? $36$ руб.

Модели

1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{2}$

2) $\frac{360}{p - 6} - \frac{360}{p} = 2$

ограничения: $x > 3$ , $p > 6$

R05.5 · исследование

Графическая интерпретация · параметр

Сколько решений у системы $x y = 4, x + y = a$ ?

x (a - x) = 4 ⟺ x^{2} - a x + 4 = 0

D = a^{2} - 16

∣ a ∣ > 4

: два решения

a = \pm 4

: одно (касание)

∣ a ∣ < 4

: решений нет

R05.5

Исследуем сами · устно

Система $x y = 9, x + y = a$ : сколько решений?

a = 10

два:

(1; 9), (9; 1)

a = 6

одно:

(3; 3)

a = 5

нет

a = - 6

одно:

(- 3; - 3)

a = - 7

два

нет решений при

- 6 < a < 6

R05.1–R05.4

Типичные ошибки темы

Найдите ошибку и назовите правило

Нет отбора

$\frac{x ^{2}}{x - 5} = \frac{25}{x - 5} \Rightarrow \pm 5$

$5 \in /$ ОДЗ; ответ: $- 5$

Деление на переменную

$\frac{x ^{2}}{x + 1} = \frac{2 x}{x + 1} : x$

потерян корень $0$ ; ответ: $0; 2$

Забыли обратную замену

$t = 2; \frac{1}{2}$ — «ответ»

нужно найти $x$ из $\frac{x}{x + 1} = t$

Нет интерпретации

время $x = 2$ ч, у первого $- 4$ ч

проверить корень по смыслу задачи

R05.1–R05.5

Задания с самопроверкой · по всем единицам

Пять заданий: от базы к исследованию

базаа) $\frac{5}{x - 2} = \frac{3}{x}$ ; б) $\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = 0$ $- 3$ ; $- 2$
база $\frac{x + 4}{x - 1} + \frac{x - 4}{x + 1} = \frac{16}{3}$ $\pm 2$
повыш. $\frac{x - 1}{x} + \frac{2 x}{x - 1} = 3$ $- 1$
повыш.Автомобиль должен проехать 240 км. Он ехал на 20 км/ч быстрее, чем планировал, и прибыл на 1 ч раньше. Найдите запланированную скорость. $60$ км/ч
исслед.При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком уравнения $x y = 4$ ? $k \leq 0$

Подсказки

2) общий знаменатель $3 (x^{2} - 1)$

3) $t = \frac{x - 1}{x}$

4) $\frac{240}{v} - \frac{240}{v + 20} = 1$

5) $k x^{2} = 4$

4 мин · практика
Задания 1–3 обязательные, 4–5 — по силам; ответы открываются по клику — проверка всем классом.
1) а) 5x = 3(x − 2) → x = −3; проверка: 5/(−5) = −1 = 3/(−3) ✓. б) (x − 3)(x + 2) = 0, x ≠ 3 → −2.
2) 3[(x + 4)(x + 1) + (x − 4)(x − 1)] = 16(x² − 1) → 3(2x² + 8) = 16x² − 16 → 10x² = 40 → ±2 (оба в ОДЗ). Проверка x = 2: 6 − 2/3 = 16/3 ✓; x = −2: −2/3 + 6 = 16/3 ✓.
3) t + 2/t = 3 → t² − 3t + 2 = 0 → t = 1; 2. (x − 1)/x = 1 → −1 = 0, нет корней; (x − 1)/x = 2 → x = −1. Ответ: −1. Проверка: (−2)/(−1) + (−2)/(−2) = 2 + 1 = 3 ✓.
4) 240(v + 20) − 240v = v(v + 20) → v² + 20v − 4800 = 0, D = 400 + 19200 = 19600, v = (−20 + 140)/2 = 60 (−80 не подходит). Проверка: 240/60 − 240/80 = 4 − 3 = 1 ✓. Ответ: 60 км/ч.
5) kx · x = 4 → kx² = 4: при k > 0 два решения, при k ≤ 0 нет (при k = 0 прямая y = 0 — асимптота). Ответ: k ≤ 0.

R05.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 · текстовая задача

Лодка: 72 км против течения и обратно

Против течения лодка шла на 3 ч дольше, чем обратно. Скорость течения 2 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

	$v$ , км/ч	$t$ , ч
против	$x - 2$	$\frac{72}{x - 2}$
по течению	$x + 2$	$\frac{72}{x + 2}$

\frac{72}{x - 2} - \frac{72}{x + 2} = 3

288 = 3 (x^{2} - 4)

x^{2} = 100, x = \pm 10

x > 2

. Ответ:

10

км/ч

R05.1–R05.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

$\frac{x ^{2} - 4 x}{x - 4} = 0$ $0$
$\frac{6}{x} - \frac{6}{x + 1} = 1$ $- 3; 2$
$\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{10}{3}$ $- 1, 5; 0, 5$
При каких $a$ система $x y = 1, x + y = a$ имеет одно решение? $\pm 2$

Вариант 2

$\frac{x ^{2} + 5 x}{x + 5} = 0$ $0$
$\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 1$ $- 4; 3$
$\frac{x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = \frac{5}{2}$ $- 1; 2$
При каких $a$ система $x y = 16, x + y = a$ имеет одно решение? $\pm 8$

5 мин · практика (4 мин работа, 1 мин проверка по клику)
В-1: 1) x(x − 4) = 0, x ≠ 4 → 0. 2) 6(x + 1) − 6x = x(x + 1) → x² + x − 6 = 0 → 2; −3. Проверка x = 2: 3 − 2 = 1 ✓; x = −3: −2 + 3 = 1 ✓. 3) t = x/(x + 1): 3t² − 10t + 3 = 0 → t = 3; 1/3. x = 3x + 3 → x = −1,5; 3x = x + 1 → x = 0,5. Проверка x = 0,5: 1/3 + 3 = 10/3 ✓; x = −1,5: 3 + 1/3 ✓. 4) x² − ax + 1 = 0, D = a² − 4 = 0 → a = ±2.
В-2: 1) x(x + 5) = 0, x ≠ −5 → 0. 2) 12 = x(x + 1) → x² + x − 12 = 0 → 3; −4. Проверка x = 3: 4 − 3 = 1 ✓; x = −4: −3 + 4 = 1 ✓. 3) t = x/(x − 1): t = 2; 1/2. x = 2x − 2 → x = 2; 2x = x − 1 → x = −1. Проверка x = 2: 2 + 1/2 ✓; x = −1: 1/2 + 2 ✓. 4) x² − ax + 16 = 0, D = a² − 64 = 0 → a = ±8.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Можно провести взаимопроверку соседей.

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Что умею — и что повторить

Ответьте одной фразой

Почему после умножения на общий знаменатель нужен отбор корней?
По какому признаку видна замена?
Как по графику узнать число решений системы?

Домашнее задание

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$
$x^{2} - 3 x - \frac{8}{x ^{2} - 3 x} = 2$
Две трубы наполняют бассейн за 6 ч, первая одна — на 5 ч быстрее второй. За сколько часов наполнит вторая?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_zadachi.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ. 1) 3(x − 1) + 2(x + 1) = 6 → 5x − 1 = 6 → x = 1,4 (в ОДЗ). Проверка: 3/2,4 + 2/0,4 = 1,25 + 5 = 6,25; 6/0,96 = 6,25 ✓.
2) t = x² − 3x: t − 8/t = 2 → t² − 2t − 8 = 0 → t = 4; −2. x² − 3x − 4 = 0 → 4; −1. x² − 3x + 2 = 0 → 1; 2. ОДЗ x ≠ 0; 3. Ответ: −1; 1; 2; 4. Проверка x = 1: −2 + 4 = 2 ✓.
3) 1/x + 1/(x − 5) = 1/6 → x² − 17x + 30 = 0, D = 289 − 120 = 169 → x = 15; 2 (2 не подходит: 2 − 5 < 0). Проверка: 1/15 + 1/10 = 1/6 ✓. Ответ: 15 ч.
Дополнительно по желанию: постройте графики xy = −6 и x − y = 5, найдите их общие точки (ответ: (2; −3) и (3; −2)).
Тренажёр углублённого уровня по строке R05 (urok/trainers.json).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-090 · Обобщение: дробно-рациональные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 19/19 · тип О · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R05.1 → 3–6, 15, 16, 18 · R05.2 → 3, 4, 6–8, 16, 18 · R05.3 → 4, 6, 9, 10, 15, 16, 18 · R05.4 → 4, 11, 12, 15–17 · R05.5 → 4, 13, 14, 16, 18
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 3, 5–10, 15, 16, 18 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 5–8 · ПР-23 (алгебраическая модель задачи) → 11, 12, 16, 17 · ПР-22 (исследование уравнений и систем, графически) → 13, 14, 16, 18
Вне урока	функции и их графики — строка R06 (ALG8U-091 и далее); системы уравнений общего вида
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробно-рациональныеуравнения:вся тема

Собираем тему в одну систему

Решать

Выбирать приём

Моделировать

Исследовать

Считаем в уме — ответ по клику

Пять единиц строки R05

Дробно-рациональное или целое?

Признак

Ловушка

Смотрим на вид уравнения

Решите x−32​+x+3x​=x2−912​

А если x2 сократятся?

ОДЗ → общий знаменатель → отбор

Образец: x−2x​−x4​=x(x−2)8​

Сам

Решите x+1x​+xx+1​=25​

Решите сами

Увидеть повтор — ввести t — вернуться к x

Образец: x2+1+x2+14​=5

Сам

Двое вместе — за 4 ч; первый один — на 6 ч быстрее второго

Таблица → уравнение → проверка смыслом

Модели

Сколько решений у системы xy=4, x+y=a?

Система xy=9, x+y=a: сколько решений?

Найдите ошибку и назовите правило

Нет отбора

Деление на переменную

Забыли обратную замену

Нет интерпретации

Пять заданий: от базы к исследованию

Подсказки

Лодка: 72 км против течения и обратно

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Что умею — и что повторить

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-090 · Обобщение: дробно-рациональные уравнения

Дробно-
рациональные
уравнения:
вся тема

Решите $\frac{2}{x - 3} + \frac{x}{x + 3} = \frac{12}{x ^{2} - 9}$

А если $x^{2}$ сократятся?

Образец: $\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x} = \frac{8}{x ( x - 2 )}$

Решите $\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$

Увидеть повтор — ввести $t$ — вернуться к $x$

Образец: $x^{2} + 1 + \frac{4}{x ^{2} + 1} = 5$

Сколько решений у системы $x y = 4, x + y = a$ ?

Система $x y = 9, x + y = a$ : сколько решений?