Дробно-рациональные уравнения · урок 18 из 19 · практикум

Замена переменной:
скрытый блок

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-089

0,5 мин · теория
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 18/19, единица R05.3 «Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной». Тип П (практикум), третий практикум по R05.3: метод введён на ALG8U-074, практикумы ALG8U-079 (t и 1/t, повторяющийся трёхчлен, близкие знаменатели, возвратные) и ALG8U-084. Сегодня — случаи, где блок «не виден сразу». Вчера — ALG8U-088 (уравнения, сводящиеся к квадратным), завтра — ALG8U-090, обобщение по всей строке R05.
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15 (все теоретические слайды — идеи приёмов, демонстрационные образцы, карта приёмов — сохранены полностью, время на них сокращено за счёт темпа показа); практика — разминка (3), актуализация (4), «решите сами» после каждого приёма (7, 10, 13), найдите ошибку (14), задания с самопроверкой (16, 17), самостоятельная работа по вариантам (18), формат ОГЭ (19), рефлексия и ДЗ (20).
Слабый класс: сл. 7 б), сл. 13 б) и задание 5 сл. 17 перенести в ДЗ. Сильный класс: сл. 7 — только б), освободившееся время — на задание 5 сл. 17 (параметр).

R05.3

Цели урока

Находить блок, которого «не видно»

Решать

дробно-рациональные уравнения методом замены переменной (ПР-20)

Преобразовывать

выражения так, чтобы проявился общий блок (ПР-12)

Контролировать

допустимые значения $x$ , ограничения на $t$ , потерю корня при делении (ПР-9)

Исследовать

число корней уравнения с параметром по графику (ПР-22)

0,5 мин · теория
ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-12 «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений»; ПР-9 «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Решать дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или к квадратным уравнениям, использовать метод замены переменной».

повторение: квадратные уравнения, ОДЗ

Разминка · устно

Корни, наименьшие значения, ОДЗ

Корни $t^{2} + t - 12 = 0$ . $3; - 4$
Корни $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ . $2; 3$
Корни $2 t^{2} - t - 1 = 0$ . $1; - \frac{1}{2}$
При каких $x$ не определена $\frac{1}{x ^{2} + 3 x}$ ? $0; - 3$

Наименьшее значение $x^{2} + 2 x$ . $- 1$
Наименьшее значение $x^{2} - 6 x$ . $- 9$
$t = x^{2} - 6 x$ . Выразите $(x - 3)^{2}$ . $t + 9$
Решите $x + \frac{1}{x} = 2$ . $1$

2,5 мин · практика
Устно, в темпе: ученик отвечает — учитель открывает ответ кликом.
Ответы: 1) по теореме, обратной теореме Виета: сумма −1, произведение −12 → 3 и −4. 2) сумма 5, произведение 6 → 2 и 3. 3) (2t + 1)(t − 1) = 0 → 1 и −1/2. 4) x² + 3x = x(x + 3) = 0 → x = 0, x = −3.
5) x² + 2x = (x + 1)² − 1 ≥ −1, достигается при x = −1. 6) x² − 6x = (x − 3)² − 9 ≥ −9 (при x = 3). 7) (x − 3)² = x² − 6x + 9 = t + 9. 8) x² − 2x + 1 = 0 → x = 1 (x ≠ 0).
Задания 1–3 — «внутренние» квадратные уравнения образцов (сл. 6, 7), 5–7 — ограничения на t в приёме 1, 8 — график приёма 2.

повторение: ALG8U-074, 079

Актуализация · устно

Выразите через новую переменную

Замена	Выражение	Через замену
$t = x^{2} + 2 x$	$(x + 1)^{2}$	$t + 1$
$t = x + \frac{3}{x}$	$x^{2} + \frac{9}{x ^{2}}$	$t^{2} - 6$
$t = x + \frac{1}{x}$	$\frac{2 x}{x ^{2} + 3 x + 1}$	$\frac{2}{t + 3}$
$u = a - b, v = ab$	$a^{2} + b^{2}$	$u^{2} + 2 v$

2 мин · практика
Правый столбец открывается по клику. Каждая строка — заготовка одного приёма урока: строка 1 → приём 1 (сл. 5–7), строка 3 → приём 2 (сл. 8–10), строка 4 → приём 3 (сл. 11–13).
Строка 2: t² = x² + 2 · x · 3/x + 9/x² = x² + 6 + 9/x². Строка 3: разделить числитель и знаменатель на x (x ≠ 0): 2 / (x + 3 + 1/x). Строка 4: (a − b)² = a² − 2ab + b², поэтому a² + b² = (a − b)² + 2ab.
Вопрос: в строке 3 — что будет, если x = 0? (Дробь равна 0, а выражение через t не определено — этот случай придётся проверять отдельно.)

R05.3 · приём 1

Приём 1 · знаменатели отличаются на число

$x (x + 2)$ и $(x + 1)^{2}$ — один блок

t = x (x + 2) = x^{2} + 2 x

(x + 1)^{2} = t + 1

t + 1 \geq 0 \Rightarrow t \geq - 1

квадрат не бывает отрицательным

R05.3 · приём 1

Приём 1 · образец

$\frac{1}{x ( x + 2 )} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{12}$

ОДЗ:

x \neq = 0, x \neq = - 2, x \neq = - 1

t = x^{2} + 2 x : \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} = \frac{1}{12}

\frac{1}{t ( t + 1 )} = \frac{1}{12} \Rightarrow t^{2} + t - 12 = 0

t = 3 или t = - 4

Ответ:

- 3; 1

R05.3 · приём 1

Приём 1 · решите сами

Найдите пару «прямоугольник — квадрат»

а) $\frac{1}{x ( x + 4 )} - \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{4}{5}$

t = x^{2} + 4 x \geq - 4 : \frac{4}{t ( t + 4 )} = \frac{4}{5}

t^{2} + 4 t - 5 = 0 \Rightarrow t = 1, t = - 5

Ответ:

- 2 \pm 5

б) $\frac{2}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{x ^{2} + 2 x} = 2$

t = x^{2} + 2 x \geq - 1 : \frac{2}{t + 1} + \frac{1}{t} = 2

2 t^{2} - t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1, t = - \frac{1}{2}

Ответ:

- 1 \pm 2; - 1 \pm \frac{2}{2}

3,5 мин · практика
Около 1,5 мин на вариант, затем взаимопроверка по шагам, открытым кликом. а) — первый вариант, б) — второй.
а) ОДЗ x ≠ 0, x ≠ −4, x ≠ −2. (x + 2)² = t + 4 ≥ 0. 1/t − 1/(t + 4) = 4/(t(t + 4)). t(t + 4) = 5 → t = 1, t = −5; t = −5 < −4 — нет. x² + 4x − 1 = 0 → x = −2 ± √5. Проверка: t = 1 → 1 − 1/5 = 4/5 ✓.
б) ОДЗ x ≠ 0, x ≠ −2, x ≠ −1. Умножаем на t(t + 1): 2t + t + 1 = 2t(t + 1) → 2t² − t − 1 = 0 → t = 1, t = −1/2 (оба ≥ −1). x² + 2x − 1 = 0 → x = −1 ± √2; 2x² + 4x + 1 = 0 → x = −1 ± √2/2. Четыре корня. Проверка: t = 1 → 2/2 + 1 = 2 ✓; t = −1/2 → 2/(1/2) + 1/(−1/2) = 4 − 2 = 2 ✓.
Ловушка б): решить только t = 1 и «потерять» t = −1/2, решив, что отрицательное t не подходит. Ограничение — t ≥ −1, а не t ≥ 0.

R05.3 · приём 2

Приём 2 · одинаковые свободные члены

Делим числитель и знаменатель на $x$

\frac{4 x}{x ^{2} + x + 3} = \frac{4}{x + 1 + \frac{3}{x}}

\frac{5 x}{x ^{2} - 5 x + 3} = \frac{5}{x - 5 + \frac{3}{x}}

t = x + \frac{3}{x}

один блок в обоих знаменателях

до деления:

x = 0

— корень?

2 мин · теория
Признак приёма: в числителях — kx, в знаменателях — трёхчлены с одинаковыми x² и свободным членом (здесь 3). Деление на x выделяет общий блок x + 3/x.
Деление на x законно только при x ≠ 0. Здесь x = 0 входит в ОДЗ, поэтому его проверяют подстановкой: при x = 0 левая часть равна 0, а правая −3/2 — x = 0 не корень, деление не теряет корней.
График t = x + 3/x: при x > 0 значения t ≥ 2√3 ≈ 3,46, при x < 0 значения t ≤ −2√3. Доказательство для сильных: x + 3/x − 2√3 = (x − √3)²/x ≥ 0 при x > 0.
Вопрос: при каких c уравнение x + 3/x = c имеет ровно один корень? (c = ±2√3.)

R05.3 · приём 2

Приём 2 · образец

$\frac{4 x}{x ^{2} + x + 3} + \frac{5 x}{x ^{2} - 5 x + 3} = - \frac{3}{2}$

x = 0

:

0 \neq = - \frac{3}{2}

— не корень, делим на

x

t = x + \frac{3}{x} : \frac{4}{t + 1} + \frac{5}{t - 5} = - \frac{3}{2}

t^{2} + 2 t - 15 = 0 \Rightarrow t = 3, t = - 5

x + \frac{3}{x} = 3

:

x^{2} - 3 x + 3 = 0, D < 0

x + \frac{3}{x} = - 5

:

x^{2} + 5 x + 3 = 0

Ответ:

\frac{- 5 \pm 13}{2}

Шаг 3 подробно

$8 (t - 5) + 10 (t + 1) =$

$= - 3 (t + 1) (t - 5)$

$3 t^{2} + 6 t - 45 = 0$

График со слайда 8 сразу говорит:

t = 3

— пусто,

t = - 5

— два корня

2 мин · теория
Умножаем на 2(t + 1)(t − 5), t ≠ −1, t ≠ 5: 8t − 40 + 10t + 10 = −3(t² − 4t − 5) → 18t − 30 = −3t² + 12t + 15 → 3t² + 6t − 45 = 0 → t² + 2t − 15 = 0 → t = 3, t = −5.
t = 3: x² − 3x + 3 = 0, D = 9 − 12 = −3 < 0. t = −5: x² + 5x + 3 = 0, D = 25 − 12 = 13, x = (−5 ± √13)/2 (≈ −0,70 и ≈ −4,30 — совпадают с точками на графике).
Знаменатели не обращаются в 0: из x² = −5x − 3 получаем x² + x + 3 = −4x ≠ 0 и x² − 5x + 3 = −10x ≠ 0. Проверка численно x ≈ −0,697: 4x/(x² + x + 3) ≈ −2,79/2,79 = −1; 5x/(x² − 5x + 3) ≈ −3,49/6,97 = −0,5; сумма −1,5 ✓.
Типичная ошибка: делить на x без оговорки. Если бы x = 0 был корнем, он бы пропал (см. задание 5 сл. 17).

R05.3 · приём 2

Приём 2 · решите сами

Проверьте $x = 0$ , разделите на $x$ , найдите $t$

а) $\frac{2 x}{x ^{2} - x + 2} + \frac{x}{x ^{2} + x + 2} = \frac{5}{4}$

t = x + \frac{2}{x} : \frac{2}{t - 1} + \frac{1}{t + 1} = \frac{5}{4}

5 t^{2} - 12 t - 9 = 0 \Rightarrow t = 3, t = - \frac{3}{5}

Ответ:

1; 2

б) $\frac{3 x}{x ^{2} - 3 x + 4} - \frac{x}{x ^{2} + x + 4} = \frac{4}{3}$

t = x + \frac{4}{x} : \frac{3}{t - 3} - \frac{1}{t + 1} = \frac{4}{3}

2 t^{2} - 7 t - 15 = 0 \Rightarrow t = 5, t = - \frac{3}{2}

Ответ:

1; 4

3 мин · практика
а) — первый вариант, б) — второй; затем шаги открываются по клику, взаимопроверка.
а) x = 0: левая часть 0 ≠ 5/4 — не корень, делим на x. Знаменатели: x − 1 + 2/x = t − 1 и x + 1 + 2/x = t + 1. Умножаем на 4(t − 1)(t + 1): 4(2t + 2 + t − 1) = 5(t² − 1) → 12t + 4 = 5t² − 5 → 5t² − 12t − 9 = 0, D = 144 + 180 = 324, t = (12 ± 18)/10 → 3; −3/5. Ограничение |t| ≥ 2√2 ≈ 2,83: t = −3/5 не подходит. x + 2/x = 3 → x² − 3x + 2 = 0 → x = 1, x = 2. Проверка x = 1: 2/2 + 1/4 = 5/4 ✓; x = 2: 4/4 + 2/8 = 5/4 ✓.
б) x = 0: 0 ≠ 4/3 — не корень. Умножаем на 3(t − 3)(t + 1): 3(3t + 3 − t + 3) = 4(t² − 2t − 3) → 6t + 18 = 4t² − 8t − 12 → 2t² − 7t − 15 = 0, D = 49 + 120 = 169, t = (7 ± 13)/4 → 5; −3/2. |t| ≥ 4: t = −3/2 не подходит. x + 4/x = 5 → x² − 5x + 4 = 0 → x = 1, x = 4. Проверка x = 1: 3/2 − 1/6 = 4/3 ✓; x = 4: 12/8 − 4/24 = 3/2 − 1/6 = 4/3 ✓.
Ловушка: решать x + 2/x = −3/5 «до конца» — D = 9/25 − 8 < 0, тот же вывод, но ограничение на t даёт его сразу.

R05.3 · приём 3

Приём 3 · сумма квадратов

$a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab$ — и оба блока совпадают

R05.3 · приём 3

Приём 3 · образец

$x^{2} + \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = 3$

ОДЗ:

x \neq = - 1

(x - \frac{x}{x + 1})^{2} + \frac{2 x ^{2}}{x + 1} = 3

t = \frac{x ^{2}}{x + 1} : t^{2} + 2 t - 3 = 0

t = 1 или t = - 3

\frac{x ^{2}}{x + 1} = 1

:

x^{2} - x - 1 = 0

\frac{x ^{2}}{x + 1} = - 3

:

x^{2} + 3 x + 3 = 0, D < 0

Ответ:

\frac{1 \pm 5}{2}

2 мин · теория
t² + 2t − 3 = 0: t = 1, t = −3 (сумма −2, произведение −3).
t = 1: x² = x + 1 → x² − x − 1 = 0, D = 5, x = (1 ± √5)/2 (оба ≠ −1). t = −3: x² = −3x − 3, D = 9 − 12 = −3 < 0.
Проверка x = (1 + √5)/2 ≈ 1,618: x² = x + 1 ≈ 2,618, значит x/(x + 1) = 1/x ≈ 0,618, его квадрат ≈ 0,382; 2,618 + 0,382 = 3 ✓. Для x = (1 − √5)/2 ≈ −0,618 аналогично: x² ≈ 0,382, (x/(x + 1))² = 1/x² ≈ 2,618 ✓.
«Лобовой» путь: умножить на (x + 1)² — уравнение 4-й степени x⁴ + 2x³ − x² − 6x − 3 = 0, которое в 8 классе разложить трудно. Замена сводит его к двум квадратным: (x² − x − 1)(x² + 3x + 3) = 0.

R05.3 · приём 3

Приём 3 · решите сами

Найдите один блок в $a^{2} + b^{2}$

база а) $x^{2} + \frac{9 x ^{2}}{( x + 3 ) ^{2}} = 7$

t = \frac{x ^{2}}{x + 3} : t^{2} + 6 t - 7 = 0

t = 1; t = - 7 : x^{2} + 7 x + 21 = 0, D < 0

Ответ:

\frac{1 \pm 13}{2}

повыш. б) $x^{2} + \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = 8$

a + b = ab = \frac{x ^{2}}{x - 1} = t : t^{2} - 2 t - 8 = 0

t = 4 : x = 2; t = - 2 : x^{2} + 2 x - 2 = 0

Ответ:

2; - 1 \pm 3

3 мин · практика
а) — все, б) — для тех, кто решил а). Подсказка к б): здесь удобнее a² + b² = (a + b)² − 2ab, потому что для b = x/(x − 1) совпадают сумма и произведение.
а) ОДЗ x ≠ −3. a = x, b = 3x/(x + 3): a − b = (x² + 3x − 3x)/(x + 3) = x²/(x + 3), ab = 3x²/(x + 3). t = x²/(x + 3): t² + 6t = 7 → t = 1, t = −7. t = 1: x² − x − 3 = 0, D = 13, x = (1 ± √13)/2 (≠ −3). t = −7: x² + 7x + 21 = 0, D = 49 − 84 < 0. Проверка x = (1 + √13)/2 ≈ 2,303: x² ≈ 5,303; 3x/(x + 3) ≈ 6,908/5,303 ≈ 1,303; квадрат ≈ 1,697; сумма 7 ✓.
б) ОДЗ x ≠ 1. a = x, b = x/(x − 1): a + b = (x² − x + x)/(x − 1) = x²/(x − 1) = ab. (a + b)² − 2ab = t² − 2t = 8 → t = 4, t = −2. t = 4: x² − 4x + 4 = 0 → x = 2. t = −2: x² + 2x − 2 = 0 → x = −1 ± √3. Проверка x = 2: 4 + 4/1 = 8 ✓; x = −1 + √3 ≈ 0,732: x² ≈ 0,536, x/(x − 1) ≈ −2,732, квадрат ≈ 7,464, сумма 8 ✓.

R05.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку в каждой строке

Запись ученика	Что не так	Верно
$t = x^{2} + 2 x, (x + 1)^{2} = t$	потеряна единица	$(x + 1)^{2} = t + 1$
Разделил на $x$ — и всё	не проверен $x = 0$	сначала подставить $x = 0$
$t = - \frac{1}{2} < 0$ — отбрасываю	чужое ограничение	для $t = x^{2} + 2 x$ : $t \geq - 1$
Ответ: $t = 3; t = - 4$	нет обратной замены	ответ — значения $x$

R05.3 · обобщение практикумов

Опора · как выбрать замену

Карта приёмов замены

видно сразу

t = \frac{1}{x}, t = x^{2} + 3 x

блок повторяется как есть

t + \frac{1}{t}

взаимно обратные дроби

после преобразования

t = x + \frac{c}{x}

квадрат или деление на $x$

t, t + 1, t + 4

знаменатели отличаются на число

после тождества

a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab

разность и произведение — один блок

t \geq \dots, ∣ t ∣ \geq \dots

всегда: ограничения на $t$

R05.3

Задания с самопроверкой · 1

Какая замена? Какое ограничение на $t$ ?

база $\frac{1}{x ^{2} + 6 x} + \frac{2}{( x + 3 ) ^{2}} = 1$
$t = x^{2} + 6 x, t \geq - 9$
база $\frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{3}{x - 2} = 4$
$t = \frac{1}{x - 2}, t \neq = 0$
повыш. $\frac{x}{x ^{2} + 2 x + 5} + \frac{x}{x ^{2} - x + 5} = 1$
$t = x + \frac{5}{x}, ∣ t ∣ \geq 25$

базаПри $x > 0$ найдите наименьшее значение $x + \frac{9}{x}$ . $6$
повыш.Сколько корней у $x + \frac{4}{x} = c$ при $c = 5$ ; $c = 4$ ; $c = 3$ ? $2; 1; 0$
повыш. $t = \frac{x ^{2}}{x + 2}$ . Выразите $x^{2} + \frac{4 x ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
$t^{2} + 4 t$

3 мин · практика
Работа в парах: решать уравнения не нужно, только выбрать замену и ограничение. Ответы — по клику.
1) (x + 3)² = x² + 6x + 9 = t + 9 ≥ 0, отсюда t ≥ −9. 2) Блок 1/(x − 2) повторяется как есть; дробь с числителем 1 не равна 0, значит t ≠ 0. 3) x = 0 не корень (0 ≠ 1), делим на x: 1/(t + 2) + 1/(t − 1); при x > 0 t ≥ 2√5, при x < 0 t ≤ −2√5.
4) x + 9/x − 6 = (x − 3)²/x ≥ 0 при x > 0, минимум 6 при x = 3. 5) c = 5: x² − 5x + 4 = 0 → x = 1, 4 (два); c = 4: (x − 2)² = 0 → x = 2 (один); c = 3: x² − 3x + 4 = 0, D = −7 (нет). 6) a = x, b = 2x/(x + 2): a − b = x²/(x + 2) = t, ab = 2t; a² + b² = t² + 2 · 2t = t² + 4t.

R05.3

Задания с самопроверкой · 2

Пять уравнений — пять приёмов

база $\frac{1}{x ^{2} - 2 x} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{6}$
база $\frac{x ^{2} - x}{x ^{2} - x + 1} - \frac{x ^{2} - x + 2}{x ^{2} - x - 2} = 1$
повыш. $\frac{3 x}{x ^{2} - 4 x + 1} + \frac{2 x}{x ^{2} + x + 1} = - \frac{5}{2}$
повыш. $x^{2} + \frac{4 x ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}} = 5$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{4 x}{x ^{2} + 4} = a$ имеет ровно один корень?

Подсказки

1) $(x - 1)^{2} = t + 1$

3) делим на $x$

4) $b = \frac{2 x}{x + 2}$

5) $t = x + \frac{4}{x}$ , $∣ t ∣ \geq 4$

Ответы

1) $1 \pm 3$ 2) $0; 1$

3) $- 1; \frac{3 \pm 5}{2}$

4) $- 1; 2$ 5) $a = 0; \pm 1$

4 мин · практика
Каждый решает по своему темпу: база — 1, 2; повышенный — 3, 4; задание 5 — для сильных (при нехватке времени — в ДЗ). Ответы открываются по клику построчно, проверка всем классом.
1) t = x² − 2x ≥ −1, ОДЗ x ≠ 0, 1, 2. 1/(t(t + 1)) = 1/6 → t² + t − 6 = 0 → t = 2, t = −3 (отбросить: −3 < −1). x² − 2x − 2 = 0 → x = 1 ± √3. Проверка: t = 2 → 1/2 − 1/3 = 1/6 ✓. Ответ: 1 ± √3.
2) t = x² − x: t/(t + 1) − (t + 2)/(t − 2) = 1 → t(t − 2) − (t + 2)(t + 1) = (t + 1)(t − 2) → −5t − 2 = t² − t − 2 → t² + 4t = 0 → t = 0, t = −4. t = 0: x = 0, x = 1 (знаменатели 1 и −2 — допустимо). t = −4: x² − x + 4 = 0, D < 0. Проверка x = 0: 0 − 2/(−2) = 1 ✓. Ответ: 0; 1. Ловушка: «t = 0 нельзя» — неверно, t не стоит в знаменателе.
3) x = 0 не корень (0 ≠ −5/2). t = x + 1/x: 3/(t − 4) + 2/(t + 1) = −5/2 → 2(5t − 5) = −5(t² − 3t − 4) → t² − t − 6 = 0 → t = 3, t = −2. x + 1/x = 3 → x = (3 ± √5)/2; x + 1/x = −2 → x = −1. Проверка x = −1: −3/6 + (−2)/1 = −2,5 ✓. Ответ: −1; (3 ± √5)/2.
4) a = x, b = 2x/(x + 2): a − b = x²/(x + 2), ab = 2x²/(x + 2). t = x²/(x + 2): t² + 4t − 5 = 0 → t = 1, t = −5. x² = x + 2 → x = 2, x = −1; x² + 5x + 10 = 0, D = −15 < 0. Проверка x = 2: 4 + 16/16 = 5 ✓; x = −1: 1 + 4/1 = 5 ✓. Ответ: −1; 2.
5) x = 0 — корень только при a = 0. При x ≠ 0: 4/(x + 4/x) = a, t = x + 4/x, |t| ≥ 4, значит 4/t ∈ [−1; 0) ∪ (0; 1]. При 0 < |a| < 1 — два корня (|t| > 4), при a = ±1 — один (x = ±2), при a = 0 — один (x = 0), при |a| > 1 — нет. Ответ: a = −1, a = 0, a = 1. Ошибка: «разделил на x» и потерял a = 0.

R05.3

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

$\frac{1}{x ^{2} + 2 x} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{56}$ $- 1 \pm 22$
$\frac{x}{x ^{2} + x + 1} + \frac{x}{x ^{2} - x + 1} = \frac{4}{3}$ $1$
$x^{2} + \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = 8$ $- 2; 1 \pm 3$
$\frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{2}{x + 1} - 3 = 0$ $0; - \frac{4}{3}$

Вариант 2

$\frac{1}{x ^{2} - 4 x} - \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{4}{5}$ $2 \pm 5$
$\frac{x}{x ^{2} + x + 2} + \frac{x}{x ^{2} - x + 2} = \frac{3}{4}$ $1; 2$
$x^{2} + \frac{4 x ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}} = 12$ $1 \pm 5$
$\frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{3}{x - 1} + 2 = 0$ $\frac{3}{2}; 2$

5 мин · практика (4 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: 1) t = x² + 2x ≥ −1: 1/(t(t + 1)) = 1/56 → t² + t − 56 = 0 → t = 7, t = −8 (< −1, нет). x² + 2x − 7 = 0 → x = −1 ± 2√2. Проверка: 1/7 − 1/8 = 1/56 ✓. 2) x = 0 не корень; t = x + 1/x, |t| ≥ 2: 1/(t + 1) + 1/(t − 1) = 2t/(t² − 1) = 4/3 → 2t² − 3t − 2 = 0 → t = 2, t = −1/2 (нет). x + 1/x = 2 → x = 1. Проверка: 1/3 + 1/1 = 4/3 ✓. 3) t = x²/(x + 1): t² + 2t − 8 = 0 → t = 2, t = −4. x² − 2x − 2 = 0 → 1 ± √3; x² + 4x + 4 = 0 → x = −2 (≠ −1). Проверка x = −2: 4 + 4/1 = 8 ✓. 4) t = 1/(x + 1): t² + 2t − 3 = 0 → t = 1, t = −3 → x = 0; x + 1 = −1/3, x = −4/3. Проверка x = −4/3: 9 − 6 − 3 = 0 ✓.
Вариант 2: 1) t = x² − 4x ≥ −4, (x − 2)² = t + 4: 4/(t(t + 4)) = 4/5 → t² + 4t − 5 = 0 → t = 1, t = −5 (нет). x² − 4x − 1 = 0 → x = 2 ± √5. Проверка: 1 − 1/5 = 4/5 ✓. 2) t = x + 2/x, |t| ≥ 2√2: 2t/(t² − 1) = 3/4 → 3t² − 8t − 3 = 0 → t = 3, t = −1/3 (нет). x² − 3x + 2 = 0 → x = 1, 2. Проверка x = 2: 2/8 + 2/4 = 3/4 ✓. 3) t = x²/(x + 2): t² + 4t − 12 = 0 → t = 2, t = −6. x² − 2x − 4 = 0 → 1 ± √5; x² + 6x + 12 = 0, D < 0. Проверка x = 1 + √5 ≈ 3,236: 10,47 + (6,472/5,236)² ≈ 10,47 + 1,53 = 12 ✓. 4) t = 1/(x − 1): t² − 3t + 2 = 0 → t = 1, 2 → x = 2; x = 3/2. Проверка x = 3/2: 4 − 6 + 2 = 0 ✓.
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2.

R05.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение $\frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} - \frac{1}{x - 2} - 6 = 0$

ОДЗ:

x \neq = 2

t = \frac{1}{x - 2}, t \neq = 0 : t^{2} - t - 6 = 0

t = 3, t = - 2

x - 2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{7}{3}; x - 2 = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = 1, 5

Ответ:

1, 5; \frac{7}{3}

Часть 2: полное решение с обоснованием, 2 балла

В записи: замена, обратная замена, ОДЗ

2 мин · практика
Задание линии 20 ОГЭ по математике (алгебраическое уравнение, развёрнутый ответ).
Проверка: x = 1,5 → x − 2 = −0,5: 4 + 2 − 6 = 0 ✓; x = 7/3 → x − 2 = 1/3: 9 − 3 − 6 = 0 ✓.
Критерии: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка или описка, с её учётом дальнейшие шаги верны. Частая потеря балла — в ответе записаны t = 3 и t = −2.
Альтернатива: умножить на (x − 2)²: 1 − (x − 2) − 6(x − 2)² = 0 → 6x² − 23x + 21 = 0, D = 529 − 504 = 25, x = (23 ± 5)/12 → 7/3; 1,5. Замена быстрее.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как связаны $x (x + 2)$ и $(x + 1)^{2}$ ?
Что проверить перед делением на $x$ ?
Откуда берётся ограничение на $t$ ?

Домашнее задание

$\frac{3}{x ^{2} + 2 x} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{5}{2}$
$x^{2} + \frac{9 x ^{2}}{( x + 3 ) ^{2}} = 16$
* $\frac{x}{x ^{2} - 3 x + 1} + \frac{x}{x ^{2} + x + 1} = - \frac{2}{3}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) t = x² + 2x ≥ −1: 3/t − 1/(t + 1) = 5/2 → 2(2t + 3) = 5t(t + 1) → 5t² + t − 6 = 0 → t = 1, t = −6/5 (отбросить: < −1). x² + 2x − 1 = 0 → x = −1 ± √2. Проверка t = 1: 3 − 1/2 = 5/2 ✓.
2) a = x, b = 3x/(x + 3): t = x²/(x + 3), t² + 6t − 16 = 0 → t = 2, t = −8. x² − 2x − 6 = 0 → x = 1 ± √7; x² + 8x + 24 = 0, D < 0. Проверка x = 1 + √7 ≈ 3,646: 13,29 + (10,94/6,646)² ≈ 13,29 + 2,71 = 16 ✓.
3*) x = 0 не корень. t = x + 1/x: 1/(t − 3) + 1/(t + 1) = −2/3 → 3(2t − 2) = −2(t² − 2t − 3) → t² + t − 6 = 0 → t = 2, t = −3. x = 1; x² + 3x + 1 = 0 → x = (−3 ± √5)/2. Проверка x = 1: 1/(−1) + 1/3 = −2/3 ✓.
Тренажёр «Алгебра 8, углублённый уровень: задачи» — строка R05. Завтра ALG8U-090 — обобщение и систематизация по всей строке R05 (карта приёмов со сл. 15 — опора).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-089 · Практикум: метод замены переменной — скрытый блок

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 18/19 · тип П (практикум) · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R05.3 «Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной» → 2–20
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 3, 5–14, 16–20 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 4, 5, 8, 11–13, 16 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 5–10, 14, 16, 18 · ПР-22 (исследование уравнений, графические представления) → 6, 8, 16, 17 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	введение метода — ALG8U-074; практикумы по R05.3 — ALG8U-079, ALG8U-084; текстовые задачи — R05.4; графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — R05.5; обобщение — ALG8U-090
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Замена переменной:скрытый блок

Находить блок, которого «не видно»

Решать

Преобразовывать

Контролировать

Исследовать

Корни, наименьшие значения, ОДЗ

Выразите через новую переменную

x(x+2) и (x+1)2 — один блок

x(x+2)1​−(x+1)21​=121​

Найдите пару «прямоугольник — квадрат»

Делим числитель и знаменатель на x

x2+x+34x​+x2−5x+35x​=−23​

Шаг 3 подробно

Проверьте x=0, разделите на x, найдите t

a2+b2=(a−b)2+2ab — и оба блока совпадают

x2+(x+1)2x2​=3

Найдите один блок в a2+b2

Найдите ошибку в каждой строке

Карта приёмов замены

Какая замена? Какое ограничение на t?

Пять уравнений — пять приёмов

Подсказки

Ответы

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение (x−2)21​−x−21​−6=0

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-089 · Практикум: метод замены переменной — скрытый блок

Замена переменной:
скрытый блок

$x (x + 2)$ и $(x + 1)^{2}$ — один блок

$\frac{1}{x ( x + 2 )} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{12}$

Делим числитель и знаменатель на $x$

$\frac{4 x}{x ^{2} + x + 3} + \frac{5 x}{x ^{2} - 5 x + 3} = - \frac{3}{2}$

Проверьте $x = 0$ , разделите на $x$ , найдите $t$

$a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab$ — и оба блока совпадают

$x^{2} + \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = 3$

Найдите один блок в $a^{2} + b^{2}$

Какая замена? Какое ограничение на $t$ ?

Решите уравнение $\frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} - \frac{1}{x - 2} - 6 = 0$