Дробно-рациональные уравнения · урок 17 из 19 · практикум

Дробные уравнения:
четыре приёма

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-088

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 17/19, единица R05.2. Тип П (практикум), третий практикум по R05.2. Алгоритм (ALG8U-073), первый практикум (ALG8U-078), сложные знаменатели, группировка и параметр (ALG8U-083) пройдены. Сегодня — четыре новых приёма, которые сокращают решение. Следующий урок ALG8U-089 — замена переменной.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул 1 т · цели 1 т (сл. 2) · разминка 2 п (сл. 3) · актуализация 2 п (сл. 4) · карта 1 т (сл. 5) · тип 1: образец 2 т + сами 2 п (сл. 6–7) · тип 2: образец 3 т + сами 2 п + типы 1–2 у доски 2 п (сл. 8–10) · тип 3: образец 2 т + сами 2 п (сл. 11–12) · тип 4: образец 3 т + сами 2 п + типы 3–4 в парах 3 п (сл. 13–15) · выбор приёма 1 т (сл. 16) · ошибки 2 п (сл. 17) · самопроверка: база 3 п, повышенный 3 п (сл. 18–19) · самостоятельная 4 п (сл. 20) · ОГЭ 1 п (сл. 21) · итог и ДЗ 1 п (сл. 22). Т — теория, п — практика.
Теоретические слайды (2, 5, 6, 8, 11, 13, 16) сохранены полностью; практика добавлена: разминка, задания после каждого типа, самопроверка, самостоятельная в двух вариантах.
Если не успеваете — сл. 15 разберите устно, задание 5 сл. 19 перенесите в ДЗ.

R05.2

Цели урока

Ученик научится

Решать

дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным (ПР-20, ПР-19)

Помнить запреты

при сокращении дроби и в «многоэтажных» дробях (ПР-9, ПР-10)

Упрощать до решения

сокращать, выделять целую часть, «снимать этажи» (ПР-12)

Исследовать

число корней, в том числе по графику (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-22: «Проводить исследования уравнений… в том числе с применением графических представлений».
Вид деятельности ФРП: «Решать дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или к квадратным уравнениям».

разминка

Разминка · устно

Восемь вопросов за две минуты

дробь равна нулю при

\frac{x - 5}{x + 2}

x = 5

запреты

\frac{3}{x ^{2} - 16}

x \neq = \pm 4

корни

x^{2} - 5 x + 6

2; 3

разложите

x^{2} + x - 12

(x + 4) (x - 3)

сократите

\frac{x ^{2} - 1}{x + 1}

x - 1, x \neq = - 1

упростите

\frac{1}{\frac{1}{x}}

x, x \neq = 0

выделите целую часть

\frac{x + 5}{x + 3}

1 + \frac{2}{x + 3}

решите, $x \neq = 3$

x^{2} = 9

x = - 3

2 мин · практика
Блиц по цепочке: ученик отвечает и называет правило, ответ открывается по клику. Каждый вопрос — заготовка к одному из четырёх приёмов.
Ответы: 1) числитель 0 при x = 5, знаменатель 7 ≠ 0 → x = 5. 2) x² − 16 = 0 → x ≠ ±4. 3) по теореме, обратной теореме Виета: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6 → 2 и 3. 4) корни −4 и 3 (сумма −1, произведение −12) → (x + 4)(x − 3). 5) (x − 1)(x + 1)/(x + 1) = x − 1 при x ≠ −1 (тип 2). 6) 1 : (1/x) = x, но x ≠ 0 — скрытый запрет (тип 3). 7) x + 5 = (x + 3) + 2 → 1 + 2/(x + 3) (тип 4). 8) x = ±3, 3 — запрет → −3.

повторение: R04 · ПР-9, ПР-10

Актуализация · устно

Упростите и назовите запреты

Выражение	После упрощения	Запреты
$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$	$x + 2$	$x \neq = 2$
$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}$	$\frac{x - 3}{x}$	$x \neq = 0; - 3$
$\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$	$\frac{x}{x - 1}$	$x \neq = 0; 1$
$\frac{x + 3}{x + 1}$	$1 + \frac{2}{x + 1}$	$x \neq = - 1$

Сокращённая дробь «забывает» запрет — мы помним

Запреты — по исходной записи

2 мин · практика
«Молния»: ученики называют упрощение и запреты, учитель открывает по клику. Строка 2: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), x² + 3x = x(x + 3) — после сокращения пропал запрет x ≠ −3.
Строка 3: числитель и знаменатель умножаем на x: x/(x − 1). Запрет x ≠ 0 исчез из записи, но остаётся.
Строка 4: x + 3 = (x + 1) + 2 — это «выделение целой части», сегодня тип 4.
Вопрос: при каком x выражение в строке 1 равно 4? (x + 2 = 4 → x = 2 — запрещено! Значение 4 не принимается.)

R05.2

План практикума

Четыре приёма — короче решение

R05.2 · тип 1

Тип 1 · образец · дробь равна нулю

$\frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} + x - 6} = 0$

\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow {A = 0 B \neq = 0

x (x - 2) (x + 2) = 0 : x = 0; 2; - 2

(x - 2) (x + 3) \neq = 0 : x \neq = 2; - 3

Ответ:

- 2; 0

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Вопрос: когда дробь равна нулю? (Числитель равен нулю, а знаменатель — нет.)
x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Знаменатель: по теореме, обратной теореме Виета, корни 2 и −3, x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3).
Проверка x = −2: числитель −8 + 8 = 0, знаменатель 4 − 2 − 6 = −4 ≠ 0 ✓. x = 0: 0/(−6) = 0 ✓. x = 2: 0/0 — не определено.
Ошибка: записать ответ −2; 0; 2 (не проверен знаменатель) или «сократить» на x − 2 и получить x(x + 2)/(x + 3) = 0, забыв запрет — здесь это не меняет ответ, но в типе 2 изменит.

R05.2 · тип 1 · ПР-9

Тип 1 · решите по образцу

Числитель — ноль, знаменатель — нет

а) $\frac{x ^{2} - 3 x}{x ^{2} - 9} = 0$

x (x - 3) = 0 : x = 0; 3

x \neq = \pm 3

Ответ:

0

б) $\frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} + x} = 0$

(x - 2) (x + 1) = 0

x \neq = 0; x \neq = - 1

Ответ:

2

в) $\frac{x ^{3} - 9 x}{x ^{2} - x - 6} = 0$

x (x - 3) (x + 3) = 0

(x - 3) (x + 2) \neq = 0

Ответ:

- 3; 0

2 мин · практика
Ряды решают по одному уравнению (в — сильным ученикам), шаги открываются по клику для сверки. Общий знаменатель не нужен.
а) Нули числителя 0 и 3; знаменатель x² − 9 = 0 при ±3. Ответ: 0. Проверка: 0/(−9) = 0 ✓.
б) Нули числителя 2 и −1 (сумма 1, произведение −2); знаменатель x(x + 1) обнуляется при 0 и −1. Ответ: 2. Проверка: (4 − 2 − 2)/(4 + 2) = 0/6 = 0 ✓.
в) Нули числителя 0; 3; −3; знаменатель x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), запреты 3 и −2. Ответ: −3; 0. Проверка x = −3: числитель −27 + 27 = 0, знаменатель 9 + 3 − 6 = 6 ≠ 0 ✓; x = 0: 0/(−6) = 0 ✓.

R05.2 · тип 2 · ПР-10, ПР-22

Тип 2 · образец · сначала сократить

$\frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} = x^{2} - 1$

\frac{( x + 1 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 1, x \neq = 2

x + 1 = (x + 1) (x - 1)

(x + 1) (x - 2) = 0 : x = - 1; 2

2

— запрет → Ответ:

- 1

3 мин · теория (учитель разбирает образец и график)
Числитель по теореме, обратной теореме Виета: корни −1 и 2, x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2). После сокращения — прямая y = x + 1 с выколотой точкой (2; 3).
Шаг 2: на (x + 1) не делим! Переносим всё влево: (x + 1) − (x + 1)(x − 1) = (x + 1)(1 − x + 1) = (x + 1)(2 − x).
График: парабола проходит ровно через «дыру» (2; 3) — поэтому корень 2 «почти есть», но не засчитывается. Остаётся одна общая точка (−1; 0).
Проверка x = −1: (1 + 1 − 2)/(−3) = 0; (−1)² − 1 = 0 ✓.
Ошибки: разделить на x + 1 и получить x = 2 → «корней нет» (потерян −1); забыть запрет и записать −1; 2.

R05.2 · тип 2 · ПР-10

Тип 2 · решите по образцу

Сначала сократите — запрет запишите

а) $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 2 x$

x + 3 = 2 x, x \neq = 3

x = 3

— запрет

Корней нет

б) $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = x^{2} - 4$

x - 2 = (x - 2) (x + 2)

(x - 2) (x + 1) = 0

Ответ:

- 1; 2

в) $\frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2} = x^{2} - 3$

x + 3 = x^{2} - 3, x \neq = 2

x^{2} - x - 6 = 0

Ответ:

- 2; 3

2 мин · практика
Каждый решает а) и одно из б), в) на выбор; шаги открываются по клику.
а) x² − 9 = (x − 3)(x + 3); после сокращения x + 3 = 2x при x ≠ 3 → x = 3 — запрет. Корней нет. На графике: прямая y = x + 3 с «дырой» (3; 6) и прямая y = 2x пересекаются как раз в «дыре».
б) x ≠ −2: x − 2 = (x − 2)(x + 2) → (x − 2)(1 − x − 2) = −(x − 2)(x + 1) = 0 → 2; −1. На x − 2 не делим! Проверка x = −1: (1 − 4)/1 = −3 = 1 − 4 ✓; x = 2: 0/4 = 0 = 4 − 4 ✓.
в) x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2), x ≠ 2. x + 3 = x² − 3 → x² − x − 6 = 0 → 3; −2 — оба допустимы. Проверка x = 3: (9 + 3 − 6)/1 = 6 = 9 − 3 ✓; x = −2: (4 − 2 − 6)/(−4) = 1 = 4 − 3 ✓.

R05.2 · типы 1–2

Типы 1–2 · решите сами

Ноль дроби и сокращение

а) $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9} = 0$

(x - 3) (x + 2) = 0, x \neq = \pm 3

x = 3

— запрет

Ответ:

- 2

б) $\frac{2 x ^{2} + 3 x - 2}{x + 2} = x^{2} - 1$

\frac{( 2 x - 1 ) ( x + 2 )}{x + 2} = 2 x - 1, x \neq = - 2

x^{2} - 2 x = 0 : x = 0; 2

Ответ:

0; 2

2 мин · практика
Двое у доски, остальные в тетрадях; шаги и числовые прямые открываются по клику.
а) Корни числителя 3 и −2 (сумма 1, произведение −6). x = 3 обнуляет знаменатель. Проверка x = −2: (4 + 2 − 6)/(4 − 9) = 0 ✓.
б) 2x² + 3x − 2: D = 9 + 16 = 25, корни 1/2 и −2, разложение 2(x − 1/2)(x + 2) = (2x − 1)(x + 2). Тогда 2x − 1 = x² − 1 → x² − 2x = 0. Запрет −2 корнем не оказался — оба корня в ответе.
Проверка б): x = 0: −2/2 = −1 = 0 − 1 ✓; x = 2: (8 + 6 − 2)/4 = 3 = 4 − 1 ✓.
Вопрос: обязательно ли один из корней попадает в запрет? (Нет — пример б).)

R05.2 · тип 3 · ПР-12, ПР-9

Тип 3 · образец · «многоэтажная» дробь

$\frac{1 - \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}} = x + 4$

\times x^{2}

:

\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2 x} = \frac{x - 2}{x}

x - 2 = x^{2} + 4 x

x^{2} + 3 x + 2 = 0 : x = - 1; - 2

- 2

— скрытый запрет → Ответ:

- 1

R05.2 · тип 3 · ПР-9, ПР-12

Тип 3 · решите по образцу

Найдите все запреты «этажей»

а) $\frac{1 - \frac{1}{x ^{2}}}{1 - \frac{1}{x}} = 3$

x \neq = 0; 1 - \frac{1}{x} \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1

\times x^{2}

:

\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - x} = \frac{x + 1}{x} = 3

x + 1 = 3 x

→ Ответ:

0, 5

б) $\frac{1 - \frac{9}{x ^{2}}}{1 + \frac{3}{x}} = x + 5$

x \neq = 0; 1 + \frac{3}{x} \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 3

\frac{x - 3}{x} = x + 5 : x^{2} + 4 x + 3 = 0

x = - 1; - 3

→ Ответ:

- 1

2 мин · практика
Вариант 1 — а), вариант 2 — б); сначала выписать запреты всех этажей, затем шаги по клику.
а) Запреты x ≠ 0 и x ≠ 1 (знаменатель 1 − 1/x). Умножаем на x²: (x² − 1)/(x² − x) = (x − 1)(x + 1)/(x(x − 1)) = (x + 1)/x. x + 1 = 3x → x = 0,5 — допустим. Проверка: 1 − 1/0,25 = −3; 1 − 2 = −1; (−3)/(−1) = 3 ✓.
б) Запреты x ≠ 0 и x ≠ −3 (скрытый). (x² − 9)/(x² + 3x) = (x − 3)/x. x − 3 = x² + 5x → x² + 4x + 3 = 0 → −1; −3 (скрытый запрет). Ответ: −1. Проверка: 1 − 9 = −8; 1 − 3 = −2; (−8)/(−2) = 4 = −1 + 5 ✓.
Ошибка в б): ответ −1; −3 (не найден запрет второго «этажа»).

R05.2 · тип 4 · ПР-12

Тип 4 · образец · выделение целой части

$\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 6}{x + 5} = \frac{x + 3}{x + 2} + \frac{x + 5}{x + 4}$

\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 4}

\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5}

(x + 1) (x + 2) = (x + 4) (x + 5)

3 x + 2 = 9 x + 20 : x = - 3

- 3 \neq = - 1; - 2; - 4; - 5

→ Ответ:

- 3

3 мин · теория (учитель разбирает образец)
Вопрос: каким будет общий знаменатель всех четырёх дробей? (Произведение четырёх скобок — уравнение 3-й степени.) Целая часть превращает задачу в знакомую группировку (ALG8U-083).
Каждая дробь = 1 + 1/(знаменатель); по единице с каждой стороны дважды — сокращаются.
Шаг 3: левая разность равна 1/((x + 1)(x + 2)), правая — 1/((x + 4)(x + 5)); равные числители ⇒ равные знаменатели. x² + 3x + 2 = x² + 9x + 20 → 6x = −18.
Проверка x = −3: (−1)/(−2) + 3/2 = 0,5 + 1,5 = 2; 0/(−1) + 2/1 = 2 ✓.

R05.2 · тип 4 · ПР-12

Тип 4 · решите по образцу

Выделите целые части — и в пары

а) $\frac{x + 3}{x + 2} - \frac{x + 4}{x + 3} = \frac{x + 6}{x + 5} - \frac{x + 7}{x + 6}$

\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 6}

(x + 2) (x + 3) = (x + 5) (x + 6)

- 6 x = 24

→ Ответ:

- 4

б) $\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 4}{x + 3} = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 3}{x + 2}$

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}

\frac{2 x + 3}{x ^{2} + 3 x} = \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 3 x + 2}

2 x + 3 = 0

→ Ответ:

- 1, 5

2 мин · практика
Ряд 1 — а), ряд 2 — б); шаги открываются по клику.
а) Каждая дробь = 1 + 1/(знаменатель), единицы сокращаются. Левая разность 1/((x + 2)(x + 3)), правая 1/((x + 5)(x + 6)). x² + 5x + 6 = x² + 11x + 30 → −6x = 24 → x = −4; запреты −2, −3, −5, −6 — не совпадают. Проверка: (−1)/(−2) − 0/(−1) = 0,5; 2/1 − 3/2 = 0,5 ✓.
б) Пары (x, x + 3) и (x + 1, x + 2): числители 2x + 3 одинаковые, знаменатели различаются на 2 → 2x + 3 = 0, x = −1,5. Проверка: (−0,5)/(−1,5) + 2,5/1,5 = 1/3 + 5/3 = 2; 0,5/(−0,5) + 1,5/0,5 = −1 + 3 = 2 ✓.
Ошибка в б): «сократить» на 2x + 3 и получить 0 = 2 — корень потерян.

R05.2 · типы 3–4

Типы 3–4 · решите сами

«Этажи» и целая часть

а) $\frac{x - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = x^{2} + 2 x - 1$

x \neq = 0; 1; \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

x^{2} + x - 2 = 0 : x = 1; - 2

Ответ:

- 2

б) $\frac{x - 1}{x - 2} - \frac{x - 2}{x - 3} = \frac{x - 4}{x - 5} - \frac{x - 5}{x - 6}$

\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 6}

(x - 2) (x - 3) = (x - 5) (x - 6)

6 x = 24

→ Ответ:

4

R05.2

Схема · какой приём выбрать

Смотрим на уравнение — выбираем путь

R05.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9} = 0 \Rightarrow x = 3; - 2$	$3$ обнуляет знаменатель	$x = - 2$
$x + 1 = (x + 1) (x - 1) \Rightarrow x - 1 = 1$	деление на $x + 1$	$(x + 1) (x - 2) = 0$
$\frac{1 - \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ : запрет $x \neq = 0$	забыт этаж	ещё $x \neq = - 2$
$\frac{x + 2}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x + 1}$	неверный остаток	$1 + \frac{1}{x + 1}$

R05.2

Задания с самопроверкой · выберите приём

Какой приём? Решите и проверьте по клику

база1) $\frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x} = 0$

Тип 1 · Ответ:

4

база2) $\frac{x ^{2} - 25}{x - 5} = 2 x + 1$

Тип 2 · Ответ:

4

повыш.3) $\frac{x - \frac{4}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 5$

Тип 3 · Ответ:

3

из жизни4) Резисторы $x$ и $x + 5$ Ом соединены параллельно, вместе — 6 Ом. Найдите $x$ :
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}$

x = 10

Ом (второй — 15 Ом)

3 мин · практика
Сначала класс называет приём для каждого уравнения (по схеме сл. 16), затем 2 мин решают, ответы по клику, ставят «+» в тетради.
1) (x − 4)(x + 4)/(x(x + 4)) = 0: нули числителя ±4, запреты 0 и −4. Ответ: 4. Проверка: (16 − 16)/(16 + 16) = 0 ✓.
2) x ≠ 5: x + 5 = 2x + 1 → x = 4. Проверка: (16 − 25)/(4 − 5) = 9; 2 · 4 + 1 = 9 ✓.
3) Запреты x ≠ 0 и x ≠ 2 (1 − 2/x ≠ 0). Умножаем на x: (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 = 5 → x = 3. Проверка: (3 − 4/3)/(1 − 2/3) = (5/3)/(1/3) = 5 ✓.
4) При параллельном соединении 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ (физика 8). x > 0; 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) → x² − 7x − 30 = 0 → x = 10 или x = −3 (не подходит по смыслу). Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6 ✓.

R05.2 · ПР-22

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Пять уравнений по четырём приёмам

база $\frac{x ^{2} - 5 x + 4}{x ^{2} - 1} = 0$ $4$
база $\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = x^{2} - 9$ $- 2; 3$
повыш. $\frac{1 - \frac{9}{x ^{2}}}{1 - \frac{3}{x}} = 2 x$ $- 1; 1, 5$
повыш. $\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 5}{x + 6} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 4}{x + 5}$ $- 4$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - a}{x ^{2} - 3 x + 2} = 0$ имеет ровно один корень? $a \in {0; 1; 4}$

Подсказки

2) на $x - 3$ не делить

4) $\frac{x + 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2}$

5) запреты $1$ и $2$

3 мин · практика
Каждый выбирает 3 задания (база — 1, 2; повышенный — 3, 4; задание 5 — сильным); ответы по клику, решения — разбор у доски по запросу.
1) (x − 1)(x − 4)/((x − 1)(x + 1)) = 0; x ≠ ±1 → x = 4. Проверка: 16 − 20 + 4 = 0, знаменатель 15 ✓.
2) x ≠ −3: x − 3 = (x − 3)(x + 3) → (x − 3)(x + 2) = 0 → 3; −2. Ответ: −2; 3. Проверка x = −2: (4 − 9)/1 = −5 = 4 − 9 ✓; x = 3: 0 = 0 ✓.
3) x ≠ 0; 3 (скрытый). Умножаем на x²: (x² − 9)/(x² − 3x) = (x + 3)/x. (x + 3)/x = 2x → 2x² − x − 3 = 0; D = 25; x = 1,5 и −1. Ответ: −1; 1,5. Проверка x = −1: (1 − 9)/(1 + 3) = −2 ✓; x = 1,5: (1 − 4)/(1 − 2) = 3 = 2 · 1,5 ✓.
4) Целые части с минусом: 1/(x + 2) + 1/(x + 6) = 1/(x + 3) + 1/(x + 5) → (2x + 8)/(x² + 8x + 12) = (2x + 8)/(x² + 8x + 15); знаменатели всегда различны → x = −4. Проверка: (−3)/(−2) + 1/2 = 2; (−2)/(−1) + 0 = 2 ✓.
5) x ≠ 1; 2; x² = a. a < 0 — нет корней; a = 0 — один корень 0 ✓; a > 0 — x = ±√a, один отбрасывается, если √a = 1 (a = 1, остаётся −1) или √a = 2 (a = 4, остаётся −2). Ответ: a ∈ {0; 1; 4}. Проверка a = 4, x = −2: 0/(4 + 6 + 2) = 0 ✓.

R05.2 · контроль

Самостоятельная работа · 2 варианта

По одному уравнению на каждый приём

Вариант 1

$\frac{x ^{2} - 6 x + 8}{x ^{2} - 4} = 0$ Ответ: $4$
$\frac{x ^{2} - x - 12}{x - 4} = x^{2} - 9$ Ответ: $- 3$
$\frac{1 - \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 x + 4$ Ответ: $- 0, 5$
$\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 4} = \frac{x + 3}{x + 2} + \frac{x + 4}{x + 3}$ Ответ: $- 2, 5$

Вариант 2

$\frac{x ^{2} - 8 x + 15}{x ^{2} - 9} = 0$ Ответ: $5$
$\frac{x ^{2} + x - 6}{x + 3} = x^{2} - 4$ Ответ: $- 1; 2$
$\frac{1 - \frac{4}{x ^{2}}}{1 - \frac{2}{x}} = x$ Ответ: $- 1$
$\frac{x + 1}{x} + \frac{x + 6}{x + 5} = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 4}$ Ответ: $- 2, 5$

4 мин · практика
Работа по вариантам (парты 1 и 2); на «3» — задания 1–2, на «4» — 1–3, на «5» — все. После сдачи или обмена тетрадями ответы открываются по клику — взаимопроверка.
В1-1) (x − 2)(x − 4)/((x − 2)(x + 2)) = 0, x ≠ ±2 → 4. Проверка: 16 − 24 + 8 = 0, знаменатель 12 ✓.
В1-2) (x − 4)(x + 3)/(x − 4) = x + 3, x ≠ 4: x + 3 = (x − 3)(x + 3) → (x + 3)(x − 4) = 0 → −3; 4 (запрет). Ответ: −3. Проверка: (9 + 3 − 12)/(−7) = 0 = 9 − 9 ✓.
В1-3) Запреты x ≠ 0; −1 (скрытый). ×x²: (x² − 1)/(x² + x) = (x − 1)/x. x − 1 = 2x² + 4x → 2x² + 3x + 1 = 0 → −1 (запрет); −0,5. Ответ: −0,5. Проверка: 1 − 4 = −3; 1 − 2 = −1; 3 = −1 + 4 ✓.
В1-4) 1/(x + 1) + 1/(x + 4) = 1/(x + 2) + 1/(x + 3) → (2x + 5)/(x² + 5x + 4) = (2x + 5)/(x² + 5x + 6) → x = −2,5. Проверка: (−0,5)/(−1,5) + 2,5/1,5 = 2; 0,5/(−0,5) + 1,5/0,5 = 2 ✓.
В2-1) (x − 3)(x − 5)/((x − 3)(x + 3)) = 0, x ≠ ±3 → 5. Проверка: 25 − 40 + 15 = 0, знаменатель 16 ✓.
В2-2) (x + 3)(x − 2)/(x + 3) = x − 2, x ≠ −3: x − 2 = (x − 2)(x + 2) → (x − 2)(x + 1) = 0 → 2; −1. Ответ: −1; 2. Проверка x = −1: (1 − 1 − 6)/2 = −3 = 1 − 4 ✓; x = 2: 0/5 = 0 = 4 − 4 ✓.
В2-3) Запреты x ≠ 0; 2 (скрытый). ×x²: (x² − 4)/(x² − 2x) = (x + 2)/x = x → x² − x − 2 = 0 → 2 (запрет); −1. Ответ: −1. Проверка: 1 − 4 = −3; 1 + 2 = 3; −1 ✓.
В2-4) 1/x + 1/(x + 5) = 1/(x + 1) + 1/(x + 4) → (2x + 5)/(x² + 5x) = (2x + 5)/(x² + 5x + 4) → x = −2,5. Проверка: (−1,5)/(−2,5) + 3,5/2,5 = 0,6 + 1,4 = 2; (−0,5)/(−1,5) + 2,5/1,5 = 2 ✓.

R05.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

\frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1

Полное решение с обоснованием — 2 балла

1 мин · практика
Класс устно составляет план по трём шагам справа; оформить решение — дома.
Решение: x ≠ ±3. −5/(3 − x) = 5/(x − 3); переносим 1/(x − 3): 4/(x + 3) + 4/(x − 3) = −1. Умножаем на (x − 3)(x + 3): 4(x − 3) + 4(x + 3) = −(x² − 9) → x² + 8x − 9 = 0 → x = 1; −9. Оба допустимы. Ответ: −9; 1.
Проверка x = 1: 4/4 − 5/2 = −1,5; 1/(−2) − 1 = −1,5 ✓. x = −9: −2/3 − 5/12 = −13/12; −1/12 − 1 = −13/12 ✓.
Критерии: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка или описка.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему после сокращения дроби запрет не исчезает?
Где прячется запрет в «многоэтажной» дроби?
Когда выгодно выделять целую часть?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x ^{2} - 1} = 0$
$\frac{x - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 5$
* $\frac{x}{x - 1} + \frac{x - 5}{x - 6} = \frac{x - 2}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 4}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-088 · Практикум: Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 17/19 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.2 «Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям» → 2, 5–22 (повторение R04 → 3, 4)
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 2, 5–22 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 8–12, 15, 18–21 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 4, 6–12, 15, 17–20 · ПР-10 (основное свойство дроби) → 3, 4, 8–12, 18 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 3, 4, 11–15, 18–20 · ПР-22 (исследование уравнений, графически) → 8, 19 · кодификатора REQ у курса нет
Время	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 11, 13, 16) · практика 31 мин (69 %)
Вне урока	метод замены переменной — ALG8U-089; обобщение по строке — ALG8U-090; текстовые задачи — ALG8U-085; графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-086
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробные уравнения:четыре приёма

Ученик научится

Решать

Помнить запреты

Упрощать до решения

Исследовать

Восемь вопросов за две минуты

Упростите и назовите запреты

Четыре приёма — короче решение

x2+x−6x3−4x​=0

Числитель — ноль, знаменатель — нет

x−2x2−x−2​=x2−1

Сначала сократите — запрет запишите

Ноль дроби и сокращение

1+x2​1−x24​​=x+4

Найдите все запреты «этажей»

x+1x+2​+x+5x+6​=x+2x+3​+x+4x+5​

Выделите целые части — и в пары

«Этажи» и целая часть

Смотрим на уравнение — выбираем путь

Найдите ошибку

Какой приём? Решите и проверьте по клику

Пять уравнений по четырём приёмам

Подсказки

По одному уравнению на каждый приём

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-088 · Практикум: Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям

Дробные уравнения:
четыре приёма

$\frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} + x - 6} = 0$

$\frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} = x^{2} - 1$

$\frac{1 - \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}} = x + 4$

$\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 6}{x + 5} = \frac{x + 3}{x + 2} + \frac{x + 5}{x + 4}$