Дробно-рациональные уравнения · урок 16 из 19 · практикум

Дробные
уравнения:
нестандартные
приёмы

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-087

0 мин · титул. Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 16/19, единица R05.1 «Дробно-рациональные уравнения». Тип П (практикум), третий практикум по R05.1 (ранее — ALG8U-077, ALG8U-082: общий знаменатель, разложение, параметр в числителе, графическое исследование). Дальше — ALG8U-088 (сведение к линейным и квадратным), ALG8U-089 (замена переменной), ALG8U-090 (обобщение).
Хронометраж (45 мин). Теория 14: цели 1 (сл. 2) · схема типа 1 — 2 (сл. 5) · образец типа 1 — 3 (сл. 6) · образец типа 2 — 3 (сл. 9) · тип 3 — 2 (сл. 12) · тип 4 — 3 (сл. 14). Практика 31: разминка 2 (сл. 3) · актуализация 2 (сл. 4) · тип 1 сами 2 + самопроверка 3 (сл. 7–8) · тип 2 сами 2 + самопроверка 3 (сл. 10–11) · тип 3 устно 2 (сл. 13) · тип 4 самопроверка 3 (сл. 15) · найди ошибку 2 (сл. 16) · самостоятельная 6 (сл. 17) · формат ОГЭ 3 (сл. 18) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 19).
Рисунок: график левой части уравнения из сл. 9 — прямая y = 3 с выколотыми точками; пунктир y = 2 — пример уравнения без корней.

R05.1

Цели урока

Четыре приёма для «трудных» уравнений

Одинаковые числители

решать $\frac{A}{B} = \frac{A}{C}$ без потери корней (ПР-20, ПР-9)

Пары дробей

группировать слагаемые и сводить к знакомому виду (ПР-12, ПР-20)

Верно на всей ОДЗ

распознавать уравнения с бесконечным числом корней (ПР-22, ПР-26)

Параметр в пропорции

решать линейное уравнение с параметром и отбирать корни (ПР-21, ПР-22)

1 мин · теория
ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-9 «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»; ПР-12 «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений»; ПР-21 «Решать линейные уравнения с параметрами…»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)»; ПР-26 — графики функций.
Вид деятельности ФРП: «Распознавать дробно-рациональные уравнения. Решать дробно-рациональные уравнения…».

повторение: R05.1

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов

ОДЗ $\frac{5}{x - 4}$ $x \neq = 4$
Разложите $x^{2} - 9$ $(x - 3) (x + 3)$
Корни $(x - 2) (x + 5) = 0$ $2; - 5$
Сократите $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ $x + 2, x \neq = 2$

Числитель суммы $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4}$ $2 x - 5$
Раскройте $(x - 1) (x - 4)$ $x^{2} - 5 x + 4$
Корни $x^{2} - x - 2 = 0$ $2; - 1$

повторение: R05.1

Актуализация · устно

Сколько корней у уравнения?

Уравнение	Решение	Корней
$\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = 0$	$x = \pm 3, x \neq = - 3$	один: $3$
$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 1} = 0$	$x = 1$ — запрет	нет
$\frac{1}{x} = 0$	дробь $\neq = 0$	нет
$\frac{x - 5}{x - 5} = 1$	верно при $x \neq = 5$	бесконечно много

Дробь равна нулю

\Leftrightarrow

числитель

= 0

, знаменатель

\neq = 0

R05.1 · тип 1

Тип 1 · опорная схема

Одинаковые числители: делить на $A$ нельзя

R05.1 · тип 1

Тип 1 · образец

Решите $\frac{x ^{2} - 4}{x + 1} = \frac{x ^{2} - 4}{3 x - 5}$

ОДЗ:

x \neq = - 1, x \neq = \frac{5}{3}

(x^{2} - 4) (3 x - 5 - x - 1) = 0

x^{2} - 4 = 0

:

x = \pm 2

2 x - 6 = 0

:

x = 3

все в ОДЗ. Ответ:

- 2; 2; 3

R05.1 · тип 1

Тип 1 · решите сами · ловушка

$\frac{x + 5}{x ^{2} - 4} = \frac{x + 5}{x - 2}$

ОДЗ:

x \neq = \pm 2

A = 0

:

x = - 5

B = C

:

x^{2} - 4 = x - 2

x^{2} - x - 2 = 0

:

x = 2; - 1

2 \in /

ОДЗ. Ответ:

- 5; - 1

R05.1 · тип 1

Тип 1 · задания с самопроверкой

$A = 0$ или $B = C$ — и проверка ОДЗ

база $\frac{x - 3}{x + 2} = \frac{x - 3}{4 - x}$ $1; 3$
повыш. $\frac{x - 1}{x ^{2} - 1} = \frac{x - 1}{x + 1}$ $2$
повыш. $\frac{x ^{2} - 5 x}{x - 2} = \frac{x ^{2} - 5 x}{x ^{2} - 4}$ $- 1; 0; 5$

В задании 2 ловушки в обеих ветках: вычеркните кандидатов, при которых знаменатель равен нулю.

3 мин · практика
В тетрадях; ответы открываются по клику, класс сверяет. Сильным — все три, остальным — 1 и 2.
1) ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ 4. A = 0: x = 3 (знаменатели 5 и 1). B = C: x + 2 = 4 − x → x = 1 (знаменатели 3 и 3). Ответ: 1; 3.
2) ОДЗ: x ≠ ±1. A = 0: x = 1 — запрет. B = C: x² − 1 = x + 1 → x² − x − 2 = 0 → x = 2 или x = −1 (запрет). Проверка x = 2: 1/3 = 1/3 ✓. Ответ: 2.
3) ОДЗ: x ≠ ±2. A = 0: x(x − 5) = 0 → 0; 5 (знаменатели при 0: −2 и −4; при 5: 3 и 21). B = C: x − 2 = x² − 4 → x² − x − 2 = 0 → 2 (запрет) или −1 (знаменатели −3 и −3). Проверка x = −1: 6/(−3) = −2 и 6/(−3) = −2 ✓. Ответ: −1; 0; 5.

R05.1 · тип 2

Тип 2 · дроби в пары · образец

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}$

\frac{2 x - 5}{x ^{2} - 5 x + 4} = \frac{2 x - 5}{x ^{2} - 5 x + 6}

сложили дроби в каждой части

2 x - 5 = 0

:

x = 2, 5

B = C

:

4 = 6

— нет решений

Ответ:

2, 5

3 мин · теория
Если привести все четыре дроби к общему знаменателю — уравнение 3-й степени. Пары подбираем так, чтобы суммы чисел совпали: 1 + 4 = 2 + 3, тогда числители после сложения одинаковы.
1/(x − 1) + 1/(x − 4) = (2x − 5)/((x − 1)(x − 4)) = (2x − 5)/(x² − 5x + 4); аналогично справа (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6. Получили тип 1.
Проверка x = 2,5: 1/1,5 + 1/(−1,5) = 0; 1/0,5 + 1/(−0,5) = 0 ✓. Знаменатели −2,25 и −0,25 не равны нулю.
Вопрос классу: почему корень — середина между 1 и 4? (Рисунок симметричен относительно 2,5.)

R05.1 · тип 2

Тип 2 · решите сами

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 4}$

ОДЗ:

x \neq = 0; - 2; - 4; - 6

\frac{2 x + 6}{x ^{2} + 6 x} = \frac{2 x + 6}{x ^{2} + 6 x + 8}

2 x + 6 = 0

:

x = - 3

;

B = C

:

0 = 8

Ответ:

- 3

R05.1 · тип 2

Тип 2 · задания с самопроверкой

Подберите пары — и уравнение станет простым

база $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 4}$ $3$
повыш. $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5}$ $- 3$
повыш. $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$ $- 2$

2) сначала перенесите слагаемые так, чтобы суммы чисел в парах совпали

3) разность в паре:

\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x ( x + 1 )}

3 мин · практика
В тетрадях; ответы по клику. Задания 2–3 — для тех, кто быстро справился с первым.
1) Пары 1 + 5 = 2 + 4 = 6: (2x − 6)/(x² − 6x + 5) = (2x − 6)/(x² − 6x + 8) → x = 3 (знаменатели −4 и −1); 5 = 8 — нет. Проверка x = 3: 1/2 − 1/2 = 0; 1 − 1 = 0 ✓. Ответ: 3.
2) Переносим: 1/(x + 1) + 1/(x + 5) = 1/(x + 2) + 1/(x + 4); 1 + 5 = 2 + 4. (2x + 6)/(x² + 6x + 5) = (2x + 6)/(x² + 6x + 8) → x = −3; 5 = 8 — нет. Проверка: 1/(−2) − 1/(−1) = 1/2; 1/1 − 1/2 = 1/2 ✓. Ответ: −3.
3) 1/(x(x + 1)) = 1/((x + 3)(x + 4)) → x² + x = x² + 7x + 12 → x = −2 (ОДЗ: x ≠ 0; −1; −3; −4 — выполнено). Проверка: −1/2 + 1 = 1/2; 1 − 1/2 = 1/2 ✓. Ответ: −2.

R05.1 · тип 3

Тип 3 · уравнение верно на всей ОДЗ

$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} - \frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 3$

ОДЗ:

x \neq = 1, x \neq = - 2

(x + 1) - (x - 2) = 3

сократили каждую дробь

3 = 3

— верно всегда

Ответ: любое

x

, кроме

1

и

- 2

а если справа

2

? — корней нет

R05.1 · тип 3

Тип 3 · устно · самопроверка

Все $x$ из ОДЗ — или ни одного?

база $\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{3}{x - 2} = 1$ любое $x \neq = 2$
база $\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} - x = 4$ любое $x \neq = 4$
база $\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} - x = 5$ корней нет
повыш. $\frac{x ^{2} - x}{x} + \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 2 x + 1$ любое $x \neq = 0; 2$

Сократите каждую дробь, запишите запреты — и сравните числа

R05.1 · тип 4

Тип 4 · пропорция с параметром

При каких $a$ уравнение $\frac{a}{x - 1} = \frac{2}{x + 1}$ не имеет корней?

a (x + 1) = 2 (x - 1), x \neq = \pm 1

(a - 2) x = - (a + 2)

линейное уравнение с параметром

a = 2

:

0 \cdot x = - 4

— нет

a \neq = 2

:

x = \frac{a + 2}{2 - a}

x = 1 \Leftrightarrow a = 0

;

x = - 1

— никогда

R05.1 · тип 4

Тип 4 · задания с самопроверкой

Параметр: решаем по образцу

базаПри каком $a$ уравнение $\frac{a}{x - 1} = \frac{3}{x + 1}$ имеет корень $x = 2$ ? $a = 1$
базаПри каких $a$ уравнение $\frac{x + a}{x - 3} = \frac{2}{x - 3}$ не имеет корней? $a = - 1$
повыш.При каких $a$ уравнение $\frac{a}{x - 2} = \frac{1}{x + 2}$ не имеет корней? $a = 0; 1$

План: пропорция

\to

(\dots) x = \dots

\to

коэффициент

0

?

\to

корень попал в запрет?

R05.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Петя

$\frac{x ^{2} - 1}{x + 3} = \frac{x ^{2} - 1}{2 x + 1}$

$: (x^{2} - 1)$

$x + 3 = 2 x + 1, x = 2$

потерял корни $\pm 1$ . Верно: $- 1; 1; 2$

Оля

$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} - x = 3$

$x + 3 - x = 3, 3 = 3$ . Ответ: любое $x$

забыла запрет. Верно: $x \neq = 3$

на выражение с переменной не делим — выносим за скобки

«

x

исчез» — сравниваем числа и помним ОДЗ

R05.1

Самостоятельная работа · 2 варианта

Четыре задания — четыре приёма

Вариант 1

$\frac{x ^{2} - 16}{x + 2} = \frac{x ^{2} - 16}{5 - x}$ $- 4; 1, 5; 4$
$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 7} = \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 5}$ $- 4$
При каких $c$ уравнение $\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} - \frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = c$ имеет бесконечно много корней? $c = 3$
При каких $a$ уравнение $\frac{a}{x + 2} = \frac{3}{x - 1}$ не имеет корней? $a = 0; 3$

Вариант 2

$\frac{x ^{2} - 9}{x + 4} = \frac{x ^{2} - 9}{2 x + 1}$ $- 3; 3$
$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 3}$ $- 2$
При каких $c$ уравнение $\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 1} - \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = c$ имеет бесконечно много корней? $c = - 5$
При каких $a$ уравнение $\frac{a}{x - 2} = \frac{1}{x + 3}$ не имеет корней? $a = 0; 1$

6 мин · практика
Парты по вариантам; 5 мин работа, 1 мин — взаимопроверка по ответам (открываются по клику).
В-1. 1) A = 0: x = ±4 (знаменатели при 4: 6 и 1; при −4: −2 и 9). B = C: x + 2 = 5 − x → x = 1,5 (знаменатели 3,5 и 3,5). Ответ: −4; 1,5; 4.
В-1. 2) Пары 1 + 7 = 3 + 5: (2x + 8)/(x² + 8x + 7) = (2x + 8)/(x² + 8x + 15) → x = −4 (знаменатели −9 и −1); 7 = 15 — нет. Проверка: 1/(−3) + 1/3 = 0; 1/(−1) + 1/1 = 0 ✓. Ответ: −4.
В-1. 3) (x + 2) − (x − 1) = 3 при x ≠ 3, x ≠ −1. Ответ: c = 3 (при c ≠ 3 корней нет).
В-1. 4) a(x − 1) = 3(x + 2) → (a − 3)x = a + 6. a = 3: 0 = 9 — нет. x = (a + 6)/(a − 3); x = −2 ⇔ a + 6 = −2a + 6 ⇔ a = 0 (при a = 0: 0 = 3/(x − 1) — нет корней ✓); x = 1 ⇔ a + 6 = a − 3 — невозможно. Ответ: a = 0; 3.
В-2. 1) ОДЗ: x ≠ −4, x ≠ −0,5. A = 0: x = ±3 (знаменатели при 3: 7 и 7; при −3: 1 и −5). B = C: x + 4 = 2x + 1 → x = 3 (уже есть). Ответ: −3; 3.
В-2. 2) Пары −1 + 5 = 1 + 3 = 4: (2x + 4)/(x² + 4x − 5) = (2x + 4)/(x² + 4x + 3) → x = −2 (знаменатели −9 и −1); −5 = 3 — нет. Проверка: 1/(−3) + 1/3 = 0; 1/(−1) + 1/1 = 0 ✓. Ответ: −2.
В-2. 3) (x − 3) − (x + 2) = −5 при x ≠ 1, x ≠ 2. Ответ: c = −5.
В-2. 4) a(x + 3) = x − 2 → (a − 1)x = −2 − 3a. a = 1: 0 = −5 — нет. x = (3a + 2)/(1 − a); x = 2 ⇔ 3a + 2 = 2 − 2a ⇔ a = 0 (тогда 0 = 1/(x + 3) — нет корней ✓); x = −3 ⇔ 3a + 2 = 3a − 3 — невозможно. Ответ: a = 0; 1.

R05.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 · решите, затем разбор

Решите уравнение $\frac{x ^{2} - 6 x + 5}{x - 2} = \frac{x ^{2} - 6 x + 5}{7 - 2 x}$

ОДЗ:

x \neq = 2, x \neq = 3, 5

(x^{2} - 6 x + 5) (7 - 2 x - x + 2) = 0

(x - 1) (x - 5) = 0

или

9 - 3 x = 0

Ответ:

1; 3; 5

Баллы	Критерий
2	обоснованно получен верный ответ
1	верный ход, одна вычислительная ошибка
0	иначе, в том числе ответ «3» (деление на числитель)

3 мин · практика
1,5 мин ученики решают сами в тетрадях, затем шаги открываются по клику и каждый оценивает своё решение по критериям. Задание части 2 ОГЭ по математике (линия 20, максимум 2 балла) — нужно полное решение.
(7 − 2x) − (x − 2) = 9 − 3x → x = 3. Корни числителя по Виета: 1 и 5.
Проверка: x = 3: (9 − 18 + 5)/1 = −4 и −4/(7 − 6) = −4 ✓. x = 1: знаменатели −1 и 5; x = 5: 3 и −3 — не нули, обе части 0 ✓.
Критерии приведены упрощённо по образцу критериев ФИПИ.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему нельзя делить обе части на одинаковый числитель?
Как подобрать пары дробей?
Что ответить, если переменная «исчезла» и получилось $3 = 3$ ?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 25}{x + 1} = \frac{x ^{2} - 25}{2 x - 4}$
$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 8} = \frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x - 6}$
При каких $a$ уравнение $\frac{a}{x - 3} = \frac{1}{x}$ не имеет корней?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_zadachi.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы — по цепочке, по одной фразе; ДЗ записывают.
Ответы ДЗ. 1) A = 0: ±5 (знаменатели при 5: 6 и 6; при −5: −4 и −14); B = C: x + 1 = 2x − 4 → x = 5 (уже есть). Ответ: −5; 5.
2) Пары 2 + 8 = 4 + 6: (2x − 10)/(x² − 10x + 16) = (2x − 10)/(x² − 10x + 24) → x = 5 (знаменатели −9 и −1). Ответ: 5. Проверка: 1/3 − 1/3 = 0; 1 − 1 = 0 ✓.
3) ax = x − 3 → (a − 1)x = −3. a = 1: нет корней. x = 3/(1 − a); x = 0 — невозможно; x = 3 ⇔ a = 0 (тогда 0 = 1/x — нет корней ✓). Ответ: a = 0; 1.
Тренажёр углублённого уровня по строке R05 (urok/trainers.json).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-087 · Практикум: дробно-рациональные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 16/19 · тип П
Единицы → слайды	R05.1 «Дробно-рациональные уравнения» → 3–18
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 5–11, 16–18 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 4, 6–8, 12, 13 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 3, 9–13 · ПР-21 (линейные уравнения с параметрами) → 14, 15, 17 · ПР-22 (исследование уравнений) → 4, 12–15, 17 · ПР-26 (графики) → 12
Вне урока	сведение к линейным и квадратным — ALG8U-088; замена переменной — ALG8U-089; текстовые задачи — ALG8U-085; графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-086; обобщение — ALG8U-090
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 2, 5, 6, 9, 12, 14) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробныеуравнения:нестандартныеприёмы

Четыре приёма для «трудных» уравнений

Одинаковые числители

Пары дробей

Верно на всей ОДЗ

Параметр в пропорции

Семь быстрых вопросов

Сколько корней у уравнения?

Одинаковые числители: делить на A нельзя

Решите x+1x2−4​=3x−5x2−4​

x2−4x+5​=x−2x+5​

A=0 или B=C — и проверка ОДЗ

x−11​+x−41​=x−21​+x−31​

x1​+x+61​=x+21​+x+41​

Подберите пары — и уравнение станет простым

x−1x2−1​−x+2x2−4​=3

Все x из ОДЗ — или ни одного?

При каких a уравнение x−1a​=x+12​ не имеет корней?

Параметр: решаем по образцу

Найдите ошибку

Петя

Оля

Четыре задания — четыре приёма

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение x−2x2−6x+5​=7−2xx2−6x+5​

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-087 · Практикум: дробно-рациональные уравнения

Дробные
уравнения:
нестандартные
приёмы

Одинаковые числители: делить на $A$ нельзя

Решите $\frac{x ^{2} - 4}{x + 1} = \frac{x ^{2} - 4}{3 x - 5}$

$\frac{x + 5}{x ^{2} - 4} = \frac{x + 5}{x - 2}$

$A = 0$ или $B = C$ — и проверка ОДЗ

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 4}$

$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} - \frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 3$

Все $x$ из ОДЗ — или ни одного?

При каких $a$ уравнение $\frac{a}{x - 1} = \frac{2}{x + 1}$ не имеет корней?

Решите уравнение $\frac{x ^{2} - 6 x + 5}{x - 2} = \frac{x ^{2} - 6 x + 5}{7 - 2 x}$