Дробно-рациональные уравнения · урок 15 из 19 · практикум

Графическая
интерпретация уравнений
с двумя переменными

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-086

1 мин · теория (оргмомент)
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин. Урок-практикум: все разборы учителя сохранены полностью, ученики работают на 12 слайдах.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 15/19, единица R05.5 «Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными». Тип П (практикум). Это второй практикум по теме: новый материал — ALG8U-076, первый практикум — ALG8U-081 (прямые, выколотые точки, $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2$ , системы). Вчера (ALG8U-085) — текстовые задачи; завтра (ALG8U-087) — практикум «Дробно-рациональные уравнения».
Новое сегодня: уравнения второй степени, распадающиеся на прямые; графическое решение уравнения с одной переменной; модули в обеих переменных; плоскость «переменная — параметр»; число корней уравнения с модулем и параметром.
По слайдам (мин): титул 1 т · цели 1 т (сл. 2) · разминка 3 п (сл. 3) · актуализация 2 п (сл. 4) · тип 1: разбор 3 т, сами 3 п, самопроверка 2 п (сл. 5–7) · тип 2: разбор 2 т, сами 3 п (сл. 8–9) · тип 3: разбор 2 т (сл. 10) · самопроверка 2–3 типов 3 п (сл. 11) · тип 4: разбор 3 т (сл. 12) · тип 5: разбор 2 т (сл. 13) · самопроверка 4–5 типов 3 п (сл. 14) · найди ошибку 2 п (сл. 15) · в тетради 3 п (сл. 16) · самостоятельная 4 п (сл. 17) · ОГЭ 2 п (сл. 18) · итог 1 п (сл. 19). Если не успеваете — сл. 9 разобрать устно по рисунку, сл. 16 перенести в ДЗ.
Рисунок на титуле: график $y = ∣ x^{2} - 4∣$ и прямая $y = 2$ — четыре общие точки; к сл. 13 ученики сами объяснят, почему четыре.

R05.5

Цели урока

Рисунок отвечает: есть ли решения и сколько

1Раскладывать

уравнение второй степени на множители и строить его график — пару прямых, точку или пустое множество (ПР-22)

2Решать графически

уравнение $f (x) = g (x)$ : корни — абсциссы общих точек графиков (ПР-22, ПР-20)

3Использовать симметрию

в уравнениях с модулями $∣ x ∣$ и $∣ y ∣$ (ПР-22, ПР-26)

4Исследовать параметр

по плоскости $(x; a)$ и горизонтальной прямой $y = a$ (ПР-22, ПР-20)

1 мин · теория
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — главный результат урока.
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-26: «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по ее графику» (здесь — пропедевтически, на знакомых графиках $y = x^{2}$ , $y = \frac{k}{x}$ , $y = ∣ x ∣$ ).
Вид деятельности ФРП: «Использовать графическую интерпретацию уравнений с двумя переменными».

повторение: R05.1 · R05.5

Разминка · устно

Разложить, подставить, сосчитать корни

Разложите и проверьте точку

$x^{2} - 9 y^{2}$ $(x - 3 y) (x + 3 y)$
$x y - x$ $x (y - 1)$
$(2; 3)$ на графике $x y = 6$ ? да
$(- 1; 1)$ на графике $y = x^{2}$ ? да

Решите или сосчитайте корни

$∣ x ∣ = 3$ $x = \pm 3$
$\frac{x - 1}{x + 2}$ не определена при $x = - 2$
$x^{2} = 5$ $x = \pm 5$
сколько корней у $x^{2} = - 4$ ? ни одного

R05.5 · повторение

Актуализация · узнайте график

Соедините уравнение с графиком

1)

x y = 4

2)

y - x^{2} = 0

3)

∣ y ∣ = 2

4)

x (y - 1) = 0

А

4) $x = 0$ или $y = 1$

Б

1) $y = \frac{4}{x}$

В

3) $y = 2$ или $y = - 2$

Г

2) $y = x^{2}$

R05.5 · тип 1

Практикум · тип 1 · уравнения второй степени

Постройте график $x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 0$

квадратное относительно

x

:

x^{2} - 3 y \cdot x + 2 y^{2} = 0

D = 9 y^{2} - 8 y^{2} = y^{2}

x = \frac{3 y \pm y}{2} : x = 2 y

или

x = y

(x - y) (x - 2 y) = 0

— две прямые

R05.5 · тип 1

Тип 1 · задания с самопроверкой

Что является графиком уравнения?

База

база $x^{2} - y^{2} = 0$ $y = x$ и $y = - x$
база $(x + 2 y)^{2} = 0$ прямая $y = - \frac{x}{2}$
база $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$ точка $(1; - 2)$
база $x^{2} + 4 y^{2} + 3 = 0$ $\emptyset$

Повышенный уровень

повыш. $x^{2} + x y - 2 y^{2} = 0$ $y = x$ и $y = - \frac{x}{2}$
повыш. $x y - 2 x + 3 y - 6 = 0$ $x = - 3$ и $y = 2$

R05.5 · тип 2

Практикум · тип 2 · графическое решение уравнения

Сколько корней у уравнения $x^{2} = \frac{2}{x}$ ?

левая часть:

y = x^{2}

— парабола

правая часть:

y = \frac{2}{x}

— гипербола

x < 0

: парабола выше оси, гипербола ниже — общих точек нет

один корень,

x \approx 1, 26

Корни уравнения

f (x) = g (x)

— абсциссы общих точек графиков

y = f (x)

и

y = g (x)

.

R05.5 · тип 2

Практикум · тип 2 · решите сами

$\frac{4}{x} = ∣ x ∣ - 3$ : рисунок подсказывает, алгебра доказывает

x > 0

:

\frac{4}{x} = x - 3

x^{2} - 3 x - 4 = 0

;

x = 4

(

x = - 1

— не подходит)

x < 0

:

\frac{4}{x} = - x - 3

x^{2} + 3 x + 4 = 0

;

D = 9 - 16 < 0

один корень:

x = 4

R05.5 · тип 3

Практикум · тип 3 · модули в обеих переменных

$∣ x ∣ - ∣ y ∣ = 1$ : одна четверть и две симметрии

I четверть:

x \geq 0, y \geq 0

y = x - 1

— луч из

(1; 0)

(x; y) \to (x; - y)

: симметрия относительно

O x

(x; y) \to (- x; y)

: симметрия относительно

O y

∣ x ∣ = 1 + ∣ y ∣ \geq 1

: полоса

∣ x ∣ < 1

пуста

R05.5 · типы 2–3

Типы 2–3 · задания с самопроверкой

Сколько корней? Какой график?

Решите графически

база $x^{2} = x + 2$ $- 1; 2$
база $\frac{1}{x} = - x$ корней нет
база $∣ x ∣ = \frac{x}{2} + 3$ $- 2; 6$

Постройте график

повыш. $∣ y ∣ = x^{2}$ $y = x^{2}$ и $y = - x^{2}$
повыш. $∣ x ∣ \cdot ∣ y ∣ = 4$ $y = \frac{4}{x}$ и $y = - \frac{4}{x}$
повыш. $∣ x - 1∣ + ∣ y ∣ = 0$ точка $(1; 0)$

3 мин · практика
Работа в парах: один строит эскиз, другой проверяет алгеброй; ответы по щелчку.
1) Парабола и прямая: $x^{2} - x - 2 = 0$ , $x = - 1$ , $x = 2$ ; проверка $1 = - 1 + 2$ ✓, $4 = 2 + 2$ ✓. 2) Гипербола в I и III четвертях, прямая $y = - x$ — во II и IV: общих точек нет ( $x^{2} = - 1$ ). 3) $x \geq 0$ : $x = \frac{x}{2} + 3$ , $x = 6$ ; $x < 0$ : $- x = \frac{x}{2} + 3$ , $x = - 2$ ; проверка $6 = 3 + 3$ ✓, $2 = - 1 + 3$ ✓.
4) $y = \pm x^{2}$ — две параболы с общей вершиной $(0; 0)$ (симметрия относительно $O x$ ). 5) $∣ x y ∣ = 4$ ⇔ $x y = 4$ или $x y = - 4$ — четыре ветви, по одной в каждой четверти. 6) сумма неотрицательных равна нулю ⇔ $x = 1$ и $y = 0$ .

R05.5 · тип 4 · R05.1

Практикум · тип 4 · параметр как вторая переменная

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - a} = 0$ : при каких $a$ ровно один корень?

числитель:

x = 2

или

x = 3

условие:

x \neq = a

— точки прямой

a = x

выколоты

прямая

a = const

пересекает график в двух точках, кроме

a = 2

и

a = 3

ровно один корень:

a = 2

или

a = 3

3 мин · теория
Идея: уравнение с параметром — это уравнение с двумя переменными $x$ и $a$ . Рисуем его график на плоскости $(x; a)$ , затем «режем» горизонтальной прямой $a = const$ — число точек пересечения равно числу корней.
При $a = 2$ : корни $2$ (не подходит, знаменатель $0$ ) и $3$ → один корень $x = 3$ . При $a = 3$ : один корень $x = 2$ . При остальных $a$ — два корня $2$ и $3$ .
Вопрос классу: при каких $a$ корней нет? Таких нет — рисунок это сразу показывает.
Ошибка: отвечают «при любом $a$ два корня», забыв, что знаменатель зависит от $a$ .

R05.5 · тип 5

Практикум · тип 5 · модуль и параметр

Сколько корней у уравнения $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ?

строим

y = x^{2} - 4

и отражаем часть ниже

O x

вверх

$a$	прямая $y = a$	корней
$a < 0$	ниже графика	0
$a = 0$	через «дно»	2
$0 < a < 4$	режет «W»	4
$a = 4$	через вершину	3
$a > 4$	выше «горба»	2

R05.5 · типы 4–5 · R05.1

Типы 4–5 · задания с самопроверкой

Режем график прямой $y = a$

По рисунку: сколько корней?

база $∣ x^{2} - 4∣ = 1$ 4
база $∣ x^{2} - 4∣ = 0$ 2
база $∣ x^{2} - 4∣ = 5$ 2
повыш.При каких $a$ у $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ровно 4 корня? $0 < a < 4$
повыш.При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - 1}{x - a} = 0$ ровно один корень? $a = \pm 1$

R05.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку в графике

\frac{y - x}{x - 2} = 0

забыли ОДЗ: точка $(2; 2)$ выколота

x^{2} + y^{2} = 0

не оси, а точка $(0; 0)$ : «и», а не «или»

∣ x ∣ - ∣ y ∣ = 1

забыли симметрию относительно $O y$

R05.5

Решаем в тетради · ответы по щелчку

Пять заданий: от базы к исследованию

базаПостройте график уравнения $x y + 2 x - y - 2 = 0$ . $x = 1$ и $y = - 2$
базаРешите графически уравнение $\frac{3}{x} = x + 2$ и проверьте корни подстановкой. $- 3; 1$
повыш.Постройте график уравнения $∣ y ∣ = ∣ x - 2∣$ . $y = \pm (x - 2)$
повыш.При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - a ^{2}}{x - 1} = 0$ имеет ровно один корень? $a \in {- 1; 0; 1}$
практикаПлощадь прямоугольника $12$ см², стороны $x$ и $y$ см. Изобразите все пары $(x; y)$ . Какие из них дают периметр $14$ см? $3 \times 4$ и $4 \times 3$

Подсказки

1) группировка

3) $y = x - 2$ или $y = 2 - x$

4) плоскость $(x; a)$ , как на сл. 12

5) $x y = 12$ , $x > 0$ , $y > 0$

3 мин · практика
Решают в тетради 2–3 мин, затем ответы по клику. Задания 4–5 — для сильных или в ДЗ.
1) $x (y + 2) - (y + 2) = (x - 1) (y + 2) = 0$ : прямые $x = 1$ и $y = - 2$ , пересекаются в $(1; - 2)$ .
2) Гипербола и прямая пересекаются в двух точках: $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ , $x = 1$ , $x = - 3$ . Проверка: $3 = 1 + 2$ ✓; $- 1 = - 3 + 2$ ✓.
3) $∣ y ∣ = ∣ x - 2∣$ ⇔ $y = \pm (x - 2)$ : две перпендикулярные прямые $y = x - 2$ и $y = 2 - x$ , пересекаются в $(2; 0)$ .
4) Корни числителя $x = \pm a$ , условие $x \neq = 1$ . На плоскости $(x; a)$ — прямые $a = x$ и $a = - x$ без точек $(1; 1)$ и $(1; - 1)$ . Ровно один корень: $a = 0$ (корень $0$ ), $a = 1$ и $a = - 1$ (остаётся корень $x = - 1$ ). Ответ: $a \in {- 1; 0; 1}$ .
5) Ветвь гиперболы $y = \frac{12}{x}$ в I четверти; периметр 14 ⇔ $x + y = 7$ — прямая; общие точки $(3; 4)$ и $(4; 3)$ : $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .

R05.5 · R05.1

Самостоятельная работа

Два варианта — по 4 задания

Вариант 1

График $(x - 2) (y + 1) = 0$ $x = 2$ и $y = - 1$
Решите графически $\frac{6}{x} = x + 1$ $- 3; 2$
График $x^{2} - 9 y^{2} = 0$ $y = \pm \frac{x}{3}$
Число корней $∣ x^{2} - 4∣ = 3$ 4

Вариант 2

График $(x + 1) (y - 3) = 0$ $x = - 1$ и $y = 3$
Решите графически $\frac{4}{x} = x - 3$ $- 1; 4$
График $4 x^{2} - y^{2} = 0$ $y = \pm 2 x$
Число корней $∣ x^{2} - 4∣ = 6$ 2

R05.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (часть 2)

Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{3} - 4 x}$

Определите, при каких значениях $c$ прямая $y = c$ не имеет с графиком общих точек.

x (x - 2) (x + 2) \neq = 0 : x \neq = 0, x \neq = \pm 2

y = \frac{x ^{2} - 4}{x ( x ^{2} - 4 )} = \frac{1}{x}

гипербола без

(2; 0, 5)

и

(- 2; - 0, 5)

c = - 0, 5; c = 0; c = 0, 5

2 мин · практика
Полное оформление — дома. Знаменатель $x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4)$ . После сокращения $y = \frac{1}{x}$ при $x \neq = 0$ , $x \neq = \pm 2$ .
Исследование: прямая $y = c$ при $c \neq = 0$ пересекает гиперболу $y = \frac{1}{x}$ ровно в точке $x = \frac{1}{c}$ . Эта точка выколота, если $\frac{1}{c} = \pm 2$ , то есть $c = \pm 0, 5$ . При $c = 0$ общих точек нет (ось $O x$ — асимптота). Ответ: $c = - 0, 5$ ; $0$ ; $0, 5$ .
Критерии линии 22 (2 балла): график построен верно, верно найдены искомые значения параметра; 1 балл — график верный, но значения $c$ найдены неверно или не полностью. Выколотые точки обязательно отметить на рисунке.
Ошибка: теряют $c = 0$ или сокращают дробь, не записав ОДЗ, и не выкалывают точки.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Каким может быть график уравнения второй степени с двумя переменными?
Как по рисунку найти число корней уравнения $f (x) = g (x)$ ?
Зачем рисовать уравнение с параметром на плоскости $(x; a)$ ?

Домашнее задание

Постройте график: $x^{2} - x y - 2 y^{2} = 0$ .
Решите графически: $\frac{2}{x} = 3 - x$ .
* Число корней: $∣ x^{2} - 4∣ = x + 2$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_giperbola.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-086 · Практикум: Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 15/19 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.5 «Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными» → 2–19 (R05.1 «Дробно-рациональные уравнения» как сопутствующая → 3, 8, 9, 12, 14, 16–18)
Результаты	ПР-22 (исследование уравнений и систем, графические представления) → 4–19 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 8, 9, 11, 12, 14, 16–18 · ПР-26 (графики функций) → 8, 9, 11, 13, 14 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства функций $y = x^{2}$ , $y = \frac{k}{x}$ , $y = ∣ x ∣$ — строка R06 «Функции»; уравнение окружности и кубический корень — по программе позже; практикум «Дробно-рациональные уравнения» — ALG8U-087
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 8, 10, 12, 13) · практика 31 мин (69 %): сл. 3, 4, 6, 7, 9, 11, 14–19
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графическаяинтерпретация уравненийс двумя переменными

Рисунок отвечает: есть ли решения и сколько

1Раскладывать

2Решать графически

3Использовать симметрию

4Исследовать параметр

Разложить, подставить, сосчитать корни

Разложите и проверьте точку

Решите или сосчитайте корни

Соедините уравнение с графиком

А

Б

В

Г

Похожие уравнения — четыре разных графика

Постройте график x2−3xy+2y2=0

Что является графиком уравнения?

База

Повышенный уровень

Сколько корней у уравнения x2=x2​?

x4​=∣x∣−3: рисунок подсказывает, алгебра доказывает

∣x∣−∣y∣=1: одна четверть и две симметрии

Сколько корней? Какой график?

Решите графически

Постройте график

x−ax2−5x+6​=0: при каких a ровно один корень?

Сколько корней у уравнения ∣x2−4∣=a?

Режем график прямой y=a

По рисунку: сколько корней?

Найдите ошибку в графике

Пять заданий: от базы к исследованию

Подсказки

Два варианта — по 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Постройте график y=x3−4xx2−4​

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-086 · Практикум: Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными

Графическая
интерпретация уравнений
с двумя переменными

Постройте график $x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} = 0$

Сколько корней у уравнения $x^{2} = \frac{2}{x}$ ?

$\frac{4}{x} = ∣ x ∣ - 3$ : рисунок подсказывает, алгебра доказывает

$∣ x ∣ - ∣ y ∣ = 1$ : одна четверть и две симметрии

$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - a} = 0$ : при каких $a$ ровно один корень?

Сколько корней у уравнения $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ?

Режем график прямой $y = a$

Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{3} - 4 x}$