Дробно-рациональные уравнения · урок 14 из 19 · практикум

Текстовые задачи:
смеси, цена,
задержка в пути

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-085

1 мин · теория (вступление). Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 14/19, единица R05.4 «Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений». Тип П — второй практикум по теме (после ALG8U-075 и ALG8U-080).
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 (т., сл. 1–2) · разминка 2 и актуализация 2 (пр., сл. 3–4) · тип 1: образец 3 (т., сл. 5), образец → сам 2, сплав 2 (пр., сл. 6–7) · тип 2: образец 3 (т., сл. 8), образец → сам 2, производительность 2 (пр., сл. 9–10) · тип 3: образец 2 (т., сл. 11), образец → сам 2 (пр., сл. 12) · исследование 3 (т., сл. 13), образец → сам 2 (пр., сл. 14) · самопроверка 2 + 2 (сл. 15–16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · тренировка 3 (сл. 18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · самостоятельная 3 (сл. 20) · итог и ДЗ 2 (сл. 21).
Если не успеваете: сл. 14 (параметр) — в ДЗ для сильных, на сл. 18 — задания 1–3, самостоятельную (сл. 20) — модели и корни, оформление дома.

R05.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Составлять модель

переходить от словесной формулировки задачи к уравнению и интерпретировать результат (ПР-23)

Решать уравнение

дробно-рациональное, сводящееся к квадратному (ПР-20, ПР-19)

Отбирать корни

по ОДЗ и по смыслу задачи; находить все решения, если их два

Исследовать задачу

при каких данных решение существует — с помощью графика (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-22: «Проводить исследования уравнений… в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)».
Новое по сравнению с уроками 4 и 9 темы: смеси и сплавы, задачи «на те же деньги», задержка в пути, задача с двумя ответами, данные-параметр.

разминка: R05.4

Разминка · устно

Блиц: доли, время, цена, корни

15 %

— это доля?

0, 15

30

г соли
в

200

г раствора

15 %

25 %

от

80

г

20

г

10

мин

= ?

ч

\frac{1}{6}

600

р. за

x

ручек;
цена одной?

\frac{600}{x}

48

км со скоростью

v

;
время?

\frac{48}{v}

x^{2} + 3 x - 40 = 0

5; - 8

x^{2} - x - 56 = 0

8; - 7

повторение

Вспомним · фраза → выражение

Неизвестное попадает в знаменатель

4 шага: обозначить → таблица → уравнение по «лишнему» условию → отбор и ответ

ОДЗ: знаменатели

\neq = 0

смысл: величины

> 0

R05.4

Тип 1 · концентрация · образец

Добавили 100 г воды — раствор стал слабее

В растворе 20 г соли. Добавили 100 г воды, концентрация соли уменьшилась на 10 процентных пунктов. Какова масса исходного раствора?

\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 100} = \frac{1}{10}

20000 = x^{2} + 100 x

(x - 100) (x + 200) = 0

x = 100

(x = - 200)

Ответ: 100 г · 20 % → 10 % ✓

3 мин · теория (учитель разбирает образец)
«Уменьшилась на 10 процентных пунктов» — разность долей равна 0,1 = 1/10. Масса соли не меняется — это и есть «опорная» величина.
Умножаем на $10 x (x + 100)$ : $200 (x + 100) - 200 x = x (x + 100)$ , то есть $x^{2} + 100 x - 20000 = 0$ ; $D = 10000 + 80000 = 90000$ , $D = 300$ , $x = 100$ или $x = - 200$ .
Проверка: $20 : 100 = 0, 2$ (20 %), $20 : 200 = 0, 1$ (10 %), разность 10 пунктов ✓. Корень $- 200$ — масса отрицательной быть не может.
Вопрос классу: а если бы сказали «уменьшилась на 10 %»? Тогда новая концентрация $0, 9 \cdot \frac{20}{x}$ — другое уравнение (см. сл. 17).

R05.4

Образец → сам · тип 1

Масса соли не меняется — решите сами

базаВ растворе $30$ г соли. Добавили $50$ г воды, и концентрация уменьшилась на $10$ процентных пунктов. Какова масса исходного раствора? $\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 50} = \frac{1}{10}$ → $x^{2} + 50 x - 15000 = 0$ → $100$ г
базаВ растворе $12$ г соли. Добавили $20$ г воды, и концентрация уменьшилась на $5$ процентных пунктов. Какова масса исходного раствора? $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 20} = \frac{1}{20}$ → $x^{2} + 20 x - 4800 = 0$ → $60$ г
повыш.Сплав содержит $2$ кг меди. В него добавили $4$ кг меди, и доля меди выросла на $0, 25$ . Какой могла быть масса сплава? $\frac{6}{x + 4} - \frac{2}{x} = \frac{1}{4}$ → $x^{2} - 12 x + 32 = 0$ → $4$ кг или $8$ кг

2 мин · практика
По образцу сл. 5: опорная величина — масса соли (меди). Ответы открываются по клику после решения.
1) Умножаем на $10 x (x + 50)$ : $300 (x + 50) - 300 x = x (x + 50)$ , $x^{2} + 50 x - 15000 = 0$ , $D = 2500 + 60000 = 62500 = 25 0^{2}$ , $x = 100$ или $- 150$ . Проверка: $30 : 100 = 0, 3$ , $30 : 150 = 0, 2$ — минус 10 пунктов ✓.
2) Умножаем на $20 x (x + 20)$ : $240 (x + 20) - 240 x = x (x + 20)$ , $x^{2} + 20 x - 4800 = 0$ , $D = 400 + 19200 = 19600 = 14 0^{2}$ , $x = 60$ или $- 80$ . Проверка: $12 : 60 = 0, 2$ , $12 : 80 = 0, 15$ ✓.
3) Умножаем на $4 x (x + 4)$ : $24 x - 8 (x + 4) = x (x + 4)$ , $x^{2} - 12 x + 32 = 0$ , $x = 4$ или $8$ — оба $\geq 2$ , оба годятся. Проверка: $2 : 4 = 0, 5 \to 6 : 8 = 0, 75$ ; $2 : 8 = 0, 25 \to 6 : 12 = 0, 5$ — в обоих случаях $+ 0, 25$ ✓.

R05.4

Тип 1 · решите сами

Сплав: сколько решений у задачи?

Сплав меди и олова содержит 3 кг меди. В него добавили 5 кг меди, и доля меди выросла на 0,2. Какой могла быть масса сплава?

\frac{8}{x + 5} - \frac{3}{x} = \frac{1}{5}

x^{2} - 20 x + 75 = 0

x_{1} = 5, x_{2} = 15

2 мин · практика
В парах. Таблица: было — медь 3, масса $x$ , доля $\frac{3}{x}$ ; стало — медь 8, масса $x + 5$ , доля $\frac{8}{x + 5}$ .
Решение: умножаем на $5 x (x + 5)$ : $40 x - 15 (x + 5) = x (x + 5)$ , $x^{2} - 20 x + 75 = 0$ , $x = 5$ или $x = 15$ . Оба корня положительны и $x \geq 3$ — оба годятся.
Проверка: $3 : 5 = 0, 6 \to 8 : 10 = 0, 8$ ; $3 : 15 = 0, 2 \to 8 : 20 = 0, 4$ — в обоих случаях +0,2 ✓. Ответ: 5 кг или 15 кг.
Углублённо: «отбор корней» не всегда означает «один ответ». Ошибка — механически отбросить больший или меньший корень.
Полоски на рисунке — доля меди (оранжевый) в масштабе массы сплава.

R05.4

Тип 2 · «на те же деньги» · образец

Площадь прямоугольника = стоимость покупки

На 1800 р. купили тетради. Будь каждая на 30 р. дешевле, на те же деньги купили бы на 5 тетрадей больше. Сколько купили?

\frac{1800}{x} - \frac{1800}{x + 5} = 30

x^{2} + 5 x - 300 = 0

D = 1225 = 3 5^{2}

x = 15

(x = - 20)

15 тетрадей по 120 р.; 20 по 90 р. ✓

3 мин · теория (учитель разбирает образец)
Площадь = цена × количество = 1800 у обоих прямоугольников. Розовая полоса сверху (срезали по 30 р.) равна по площади бирюзовой справа (5 тетрадей по новой цене): $15 \cdot 30 = 5 \cdot 90 = 450$ .
Решение: умножаем на $x (x + 5)$ : $1800 \cdot 5 = 30 x (x + 5)$ , $x^{2} + 5 x - 300 = 0$ , $D = 25 + 1200 = 1225$ , $x = \frac{- 5 \pm 35}{2}$ : $15$ или $- 20$ .
Смысл: $x$ — натуральное. Если бы корень вышел дробным, задача не имела бы решения — сказать об этом классу.
Вопрос: из чего видно, какая дробь больше и что из чего вычитать? Старая цена больше новой на 30.

R05.4

Образец → сам · тип 2

«На те же деньги» — решите сами

базаНа $600$ р. купили ручки. Будь ручка на $10$ р. дешевле, на те же деньги купили бы на $3$ ручки больше. Сколько ручек купили? $\frac{600}{x} - \frac{600}{x + 3} = 10$ → $x^{2} + 3 x - 180 = 0$ → $12$ ручек
базаЯблоки купили на $2400$ р. Будь килограмм на $20$ р. дороже, на те же деньги купили бы на $4$ кг меньше. Сколько килограммов купили? $\frac{2400}{x - 4} - \frac{2400}{x} = 20$ → $x^{2} - 4 x - 480 = 0$ → $24$ кг
повыш.Друзья должны были поровну заплатить $720$ р. за поездку. Двое отказались, и каждому из остальных пришлось заплатить на $30$ р. больше. Сколько было друзей? $\frac{720}{x - 2} - \frac{720}{x} = 30$ → $x^{2} - 2 x - 48 = 0$ → $8$ друзей

R05.4

Тип 2 · решите сами

Та же схема: работа = производительность × время

Бригада должна была изготовить 120 деталей. Она делала в день на 2 детали больше плана и закончила на 3 дня раньше. Сколько деталей в день делала бригада?

	деталей в день	дней	всего
план	$x$	$\frac{120}{x}$	120
факт	$x + 2$	$\frac{120}{x + 2}$	120

\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 2} = 3

x^{2} + 2 x - 80 = 0, x = 8

Ответ: 10 деталей — читаем вопрос!

R05.4

Тип 3 · задержка в пути · образец

Опоздал на 12 минут — нагнал скоростью

Поезд задержали на 12 мин. Чтобы прийти вовремя, на перегоне 60 км он увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью он шёл на перегоне?

\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{5}

x^{2} + 10 x - 3000 = 0

D = 12100 = 11 0^{2}, x = 50

Ответ: 60 км/ч · 1,2 ч − 1 ч = 12 мин ✓

R05.4

Образец → сам · тип 3

Задержку переводим в часы — решите сами

базаАвтобус задержался на $10$ мин. Чтобы прибыть вовремя, на участке $40$ км он увеличил скорость на $8$ км/ч. Какой была плановая скорость? $\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 8} = \frac{1}{6}$ → $x^{2} + 8 x - 1920 = 0$ → $40$ км/ч
повыш.Велосипедист задержался на $15$ мин и, чтобы приехать вовремя, на оставшихся $36$ км увеличил скорость на $2$ км/ч. С какой скоростью он ехал после задержки? $\frac{36}{x} - \frac{36}{x + 2} = \frac{1}{4}$ → $x^{2} + 2 x - 288 = 0$ → $x = 16$ → $18$ км/ч

R05.4 · ПР-22

Тип 4 · исследование · данные как параметр

Всегда ли у задачи есть решение?

Лодка 8 км/ч: 15 км по течению и 15 км обратно за $T$ ч. Течение $x$ ?

\frac{15}{8 + x} + \frac{15}{8 - x} = T

x^{2} = 64 - \frac{240}{T}

0 < x < 8 ⟺ T > 3, 75

3 мин · теория (демонстрационный разбор)
Это задача урока 4 (ALG8U-075): там $T = 4$ и ответ $x = 2$ . Теперь время $T$ — параметр.
Вывод: $\frac{15 ( 8 - x ) + 15 ( 8 + x )}{64 - x ^{2}} = T \Rightarrow 240 = T (64 - x^{2}) \Rightarrow x^{2} = 64 - \frac{240}{T}$ . По смыслу $0 < x < 8$ : нужно $64 - \frac{240}{T} > 0$ , т. е. $T > 3, 75$ (верхняя граница $x < 8$ выполняется автоматически).
Смысл: $3, 75 = 30 : 8$ ч — время в стоячей воде. Течение всегда увеличивает время пути туда и обратно — то, что выигрываем по течению, меньше проигрыша против. График $T (x) = \frac{240}{64 - x ^{2}}$ растёт и уходит в бесконечность при $x \to 8$ .
Вопрос: при $T = 3$ ч? Решения нет. При $T = 5$ ? $x^{2} = 64 - 48 = 16$ , $x = 4$ .

R05.4 · ПР-22

Образец → сам · тип 4

Исследуйте задачу сами

Собственная скорость лодки $10$ км/ч. Она прошла $12$ км по течению и $12$ км обратно за $T$ ч. Скорость течения $x$ км/ч.

Составьте уравнение и выразите $x^{2}$ через $T$ . $x^{2} = 100 - \frac{240}{T}$
Найдите $x$ при $T = 2, 5$ ч и при $T = 3, 2$ ч. $2$ км/ч; $5$ км/ч
При каких $T$ задача имеет решение? $T > 2, 4$
Есть ли решение при $T = 2$ ч? Почему? нет: $2 < 2, 4$

R05.4

Задания с самопроверкой · 1

База: составьте уравнение и решите

базаПоезд прошёл $180$ км. Будь его скорость на $15$ км/ч больше, он затратил бы на $1$ ч меньше. Найдите скорость поезда. $\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 15} = 1$ → $x^{2} + 15 x - 2700 = 0$ → $45$ км/ч
базаВ $40$ г раствора $8$ г соли. Сколько граммов воды нужно добавить, чтобы концентрация стала $10 %$ ? $\frac{8}{40 + x} = \frac{1}{10}$ → $40$ г
базаНа $1200$ р. купили тетради. Будь тетрадь на $20$ р. дешевле, купили бы на $10$ тетрадей больше. Сколько купили? $20$ тетрадей
базаБригада должна изготовить $180$ деталей. Делая в день на $3$ детали больше плана, она закончила на $3$ дня раньше. Сколько деталей в день она делала? $15$

R05.4

Задания с самопроверкой · 2

Повышенный уровень и задача из жизни

повыш.В растворе $20$ г соли. Добавили $50$ г воды, и концентрация уменьшилась на $20 %$ . Какова масса исходного раствора? $200$ г
повыш.Сплав содержит $4$ кг меди. Добавили $2$ кг олова, и доля меди уменьшилась на $0, 1$ . Какова масса сплава? $8$ кг
повыш.Первая труба наполняет бак на $6$ мин быстрее второй, вместе — за $4$ мин. За сколько минут наполняет бак каждая? $6$ и $12$ мин
практикаСемья делит поровну $1800$ р. за минивэн. Если бы поехали ещё $2$ человека, каждый заплатил бы на $150$ р. меньше. Сколько человек в семье? $4$

2 мин · практика
Каждому — любые два задания; ответы по клику, одно решение выписывает у доски ученик.
1) «На 20 %» — относительно: $\frac{20}{x + 50} = 0, 8 \cdot \frac{20}{x}$ → $x = 0, 8 x + 40$ → $x = 200$ г. Проверка: $20 : 200 = 0, 1$ , $20 : 250 = 0, 08 = 0, 8 \cdot 0, 1$ ✓.
2) $\frac{4}{x} - \frac{4}{x + 2} = \frac{1}{10}$ → $80 = x (x + 2)$ → $x^{2} + 2 x - 80 = 0$ → $x = 8$ или $- 10$ . Проверка: $4 : 8 = 0, 5$ , $4 : 10 = 0, 4$ ✓.
3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}$ → $4 (2 x + 6) = x (x + 6)$ → $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ → $x = 6$ или $- 4$ . Ответ: 6 и 12 мин. Проверка: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ ✓.
4) $\frac{1800}{x} - \frac{1800}{x + 2} = 150$ → $3600 = 150 x (x + 2)$ → $x^{2} + 2 x - 24 = 0$ → $x = 4$ или $- 6$ . Проверка: $1800 : 4 = 450$ р., $1800 : 6 = 300$ р., разность 150 ✓.

R05.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку в модели

Условие	Ошибка	Верно
Опоздал на 12 мин	$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 12$	$\dots = \frac{1}{5}$ — часы, не минуты
Концентрация $\frac{20}{x}$ уменьшилась на 10 %	$\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 100} = 0, 1$	$\frac{20}{x + 100} = 0, 9 \cdot \frac{20}{x}$
На 30 р. дешевле — на 5 штук больше	$\frac{1800}{x + 5} - \frac{1800}{x} = 30$	из большей цены вычитаем меньшую
Корни 5 и 15 (сплав)	«ответ: 5»	проверить оба — годятся оба

2 мин · практика
Показываем условие и ошибку, класс находит, что не так, — щелчком появляется верный вариант.
Строка 2: «на 10 %» — относительное изменение (новая концентрация равна 90 % старой), «на 10 процентных пунктов» — абсолютное (разность долей 0,1). Для углублённого уровня различать обязательно. Во втором уравнении $\frac{1}{x + 100} = \frac{0 , 9}{x}$ , $x = 0, 9 x + 90$ , $x = 900$ г — проверить: 20/900 ≈ 2,22 %, 20/1000 = 2 %, это 90 % от 2,22 % ✓.
Строка 3: при такой записи левая часть отрицательна при $x > 0$ — уравнение не имеет положительных корней. Прикидка знака помогает поймать ошибку.

R05.4

Тренировка · решаем в тетради

Пять задач: от базы к практике

базаТурист прошёл 12 км. Будь его скорость на 1 км/ч больше, он затратил бы на 1 ч меньше. Найдите скорость туриста. $3$ км/ч
базаСумма положительного числа и обратного ему равна $2, 9$ . Найдите это число (все варианты). $2, 5$ или $0, 4$
повыш.Автомобиль и мотоцикл выехали одновременно из A в B (90 км). Скорость автомобиля на 15 км/ч больше, и он приехал на 1 ч раньше. Найдите скорость мотоцикла. $30$ км/ч

повыш.Первый рабочий делает в час на 2 детали больше второго. Заказ из 60 деталей он выполняет на 4 ч быстрее, чем второй — заказ из 80 деталей. Сколько деталей в час делает второй? $8$
практикаКупили конфеты на 360 р. и печенье на 360 р. Килограмм печенья на 30 р. дешевле, и печенья купили на 1 кг больше. Сколько стоит 1 кг конфет? $120$ р.

3 мин · практика
Каждому — любые три задачи (сильным — 3–5); ответы открываются по клику. Ответы проверены подстановкой.
1) $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 1$ , $x^{2} + x - 12 = 0$ , $x = 3$ км/ч (12:3 = 4 ч, 12:4 = 3 ч ✓).
2) $x + \frac{1}{x} = \frac{29}{10}$ , $10 x^{2} - 29 x + 10 = 0$ , $D = 841 - 400 = 441$ , $x = \frac{29 \pm 21}{20}$ : $2, 5$ или $0, 4$ — два ответа (числа взаимно обратны — так и должно быть).
3) $\frac{90}{x} - \frac{90}{x + 15} = 1$ , $x^{2} + 15 x - 1350 = 0$ , $D = 5625 = 7 5^{2}$ , $x = 30$ км/ч (90:30 = 3 ч, 90:45 = 2 ч ✓).
4) $\frac{80}{x} - \frac{60}{x + 2} = 4$ , $80 (x + 2) - 60 x = 4 x (x + 2)$ , $x^{2} - 3 x - 40 = 0$ , $x = 8$ деталей в час (80:8 = 10 ч, 60:10 = 6 ч ✓).
5) $x$ — цена конфет: $\frac{360}{x - 30} - \frac{360}{x} = 1$ , $x^{2} - 30 x - 10800 = 0$ , $D = 44100 = 21 0^{2}$ , $x = 120$ р. (3 кг конфет, 4 кг печенья по 90 р. ✓). Смысл: $x > 30$ .

R05.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 (часть 2)

Найдите собственную скорость лодки

Моторная лодка прошла против течения реки 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 1 ч меньше. Скорость течения 2 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

R05.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

В растворе $24$ г соли. Добавили $40$ г воды — концентрация уменьшилась на $10$ пунктов. Масса исходного раствора? $80$ г
На $900$ р. купили блокноты. Будь блокнот на $15$ р. дешевле, купили бы на $2$ больше. Сколько купили? $10$
Поезд задержали на $6$ мин; на перегоне $20$ км он увеличил скорость на $10$ км/ч и пришёл вовремя. Скорость на перегоне? $50$ км/ч

Вариант 2

В растворе $15$ г соли. Добавили $25$ г воды — концентрация уменьшилась на $10$ пунктов. Масса исходного раствора? $50$ г
На $840$ р. купили альбомы. Будь альбом на $14$ р. дешевле, купили бы на $2$ больше. Сколько купили? $10$
Поезд задержали на $10$ мин; на перегоне $80$ км он увеличил скорость на $16$ км/ч и пришёл вовремя. Скорость на перегоне? $96$ км/ч

3 мин · практика
Варианты по партам; в классе — модель и корни, оформление дорешать дома. Ответы открываются по клику для взаимопроверки.
Вариант 1: 1) $\frac{24}{x} - \frac{24}{x + 40} = \frac{1}{10}$ → $x^{2} + 40 x - 9600 = 0$ , $D = 40000 = 20 0^{2}$ → $80$ г; проверка $24 : 80 = 0, 3$ , $24 : 120 = 0, 2$ ✓. 2) $\frac{900}{x} - \frac{900}{x + 2} = 15$ → $x^{2} + 2 x - 120 = 0$ , $D = 484 = 2 2^{2}$ → $10$ ; проверка $90 - 75 = 15$ ✓. 3) $\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 10} = \frac{1}{10}$ → $x^{2} + 10 x - 2000 = 0$ , $D = 8100 = 9 0^{2}$ → $x = 40$ , на перегоне $50$ км/ч; проверка $0, 5 - 0, 4 = 0, 1$ ч $= 6$ мин ✓.
Вариант 2: 1) $\frac{15}{x} - \frac{15}{x + 25} = \frac{1}{10}$ → $x^{2} + 25 x - 3750 = 0$ , $D = 15625 = 12 5^{2}$ → $50$ г; проверка $15 : 50 = 0, 3$ , $15 : 75 = 0, 2$ ✓. 2) $\frac{840}{x} - \frac{840}{x + 2} = 14$ → $x^{2} + 2 x - 120 = 0$ → $10$ ; проверка $84 - 70 = 14$ ✓. 3) $\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 16} = \frac{1}{6}$ → $x^{2} + 16 x - 7680 = 0$ , $D = 30976 = 17 6^{2}$ → $x = 80$ , на перегоне $96$ км/ч; проверка $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ ч $= 10$ мин ✓.
Критерий: 3 верных — «5», 2 — «4», 1 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какая величина не меняется в задаче на смеси?
Чем «на 10 %» отличается от «на 10 пунктов»?
Может ли у задачи быть два ответа?

Домашнее задание

Из 40 кг 10 %-го раствора соли выпарили часть воды — стал 16 %-м. Сколько воды выпарили? Решите и через долю $\frac{4}{40 - x}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-085 · Практикум: решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 14/19 · тип П
Единицы → слайды	R05.4 «Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений» → 3–21 (теория: 5, 8, 11, 13; практика: 3–4, 6–7, 9–10, 12, 14–21) · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Результаты	ПР-23 (модель задачи, интерпретация) → 3–12, 15–20 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 5–20 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 5–12, 15–20 · ПР-22 (исследование, график) → 13–14
Вне урока	графическая интерпретация уравнений с двумя переменными (R05.5) — ALG8U-086; системы уравнений в текстовых задачах — 9 класс
Тренажёр	reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Текстовые задачи:смеси, цена,задержка в пути

Сегодня вы научитесь

Составлять модель

Решать уравнение

Отбирать корни

Исследовать задачу

Блиц: доли, время, цена, корни

Неизвестное попадает в знаменатель

Добавили 100 г воды — раствор стал слабее

Масса соли не меняется — решите сами

Сплав: сколько решений у задачи?

Площадь прямоугольника = стоимость покупки

«На те же деньги» — решите сами

Та же схема: работа = производительность × время

Опоздал на 12 минут — нагнал скоростью

Задержку переводим в часы — решите сами

Всегда ли у задачи есть решение?

Исследуйте задачу сами

База: составьте уравнение и решите

Повышенный уровень и задача из жизни

Найдите ошибку в модели

Пять задач: от базы к практике

Найдите собственную скорость лодки

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-085 · Практикум: решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений

Текстовые задачи:
смеси, цена,
задержка в пути