Дробно-рациональные уравнения · урок 13 из 19 · практикум

Практикум:
замена переменной
в дробно-рациональных
уравнениях

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-084

1 мин · теория
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Теоретические слайды (цели, карта, три образца, множество значений t) оставлены полностью; добавлена практика: разминка, «по образцу», «сколько корней», задания с самопроверкой, самостоятельная в двух вариантах.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 13/19, единица R05.3 «Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной». Тип П (практикум), второй практикум по этой единице. Новый материал — ALG8U-074, первый практикум — ALG8U-079; предыдущий урок ALG8U-083 (уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным); следующий ALG8U-085 — текстовые задачи.
Хронометраж (45 мин): титул 1 · цели 1 (сл. 2) · разминка 2 (сл. 3) · актуализация 2 (сл. 4) · карта приёмов 1 (сл. 5) · тип 1: образец 2 + по образцу 2 + решите сами 3 (сл. 6–8) · тип 2: образец 2 + 2 + по образцу 3 (сл. 9–11) · тип 3: образец 2 (сл. 12) · решите сами 4 (сл. 13) · множество значений t 2 (сл. 14) · сколько корней 2 (сл. 15) · ошибки 2 (сл. 16) · задания с самопроверкой 4 (сл. 17) · самостоятельная 4 (сл. 18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 20).
Три приёма урока на рисунке: замена x − a/x, деление на x, сумма квадратов.

R05.3

Цели урока

Ученик научится

Видеть скрытую замену

выражать $x^{2} + \frac{a ^{2}}{x ^{2}}$ через $x \pm \frac{a}{x}$ (ПР-20)

Преобразовывать

делить числитель и знаменатель на $x$ , выделять полный квадрат (ПР-12, ПР-20)

Решать до конца

квадратное по $t$ → обратная замена → проверка ОДЗ (ПР-19, ПР-20)

Исследовать

находить, какие значения $t$ возможны и сколько корней даёт каждое (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Решать дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или к квадратным уравнениям, использовать метод замены переменной».

повторение: R05.1–R05.3

Разминка · устно

Шесть устных заданий

1) Корни

t^{2} - 5 t + 6 = 0

2; 3

2) Корни

t^{2} + 2 t - 15 = 0

3; - 5

3)

(x + \frac{2}{x})^{2} = ?

x^{2} + 4 + \frac{4}{x ^{2}}

4) При каких

x

нет смысла у

\frac{3}{x ^{2} - 4}

?

\pm 2

5) Решите

\frac{1}{x - 1} = 2

x = 1, 5

6) Знак

D

у

x^{2} - 3 x + 3 = 0

?

D = - 3 < 0

Всё это понадобится: квадратное по

t

, квадрат суммы, ОДЗ, обратная замена

повторение: ALG8U-074, ALG8U-079

Актуализация · устно

Четыре быстрых вопроса

Задание	Ответ
$(x + \frac{1}{x})^{2} = ?$	$x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}$
$(x - \frac{3}{x})^{2} = ?$	$x^{2} - 6 + \frac{9}{x ^{2}}$
$\frac{6 x}{x ^{2} + 2 x + 5}$ : делим на $x$	$\frac{6}{x + 2 + \frac{5}{x}}$
Корни $x + \frac{1}{x} = 1$ ?	$x^{2} - x + 1 = 0, D < 0$ — нет

a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab

Каждая строка — ключ к одному из типов сегодняшнего практикума

R05.3

Карта практикума

Что видим → какую замену делаем

Видим в уравнении	Замена	Ключевая формула
повтор: $x^{2} + 2 x$ и $\frac{24}{x ^{2} + 2 x}$	$t = x^{2} + 2 x$	сразу квадратное по $t$
Тип 1. $x^{2} + \frac{a ^{2}}{x ^{2}}$ и $x \pm \frac{a}{x}$	$t = x \pm \frac{a}{x}$	$x^{2} + \frac{a ^{2}}{x ^{2}} = t^{2} \mp 2 a$
Тип 2. $\frac{k x}{x ^{2} + p x + c}$ — две такие дроби	$\div x$ , $t = x + \frac{c}{x}$	$\frac{k x}{x ^{2} + p x + c} = \frac{k}{t + p}$
Тип 3. сумма квадратов $a^{2} + b^{2}$	$t = a - b$ или $t = ab$	$a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab$

Цель любой замены — квадратное уравнение по

t

, затем обратная замена и проверка ОДЗ

R05.3 · тип 1

Тип 1 · образец · замена $t = x - 1/ x$

Решите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - (x - \frac{1}{x}) = 4$

x \neq = 0; t^{2} + 2 - t = 4; t^{2} - t - 2 = 0

t = 2 : x^{2} - 2 x - 1 = 0, x = 1 \pm 2

t = - 1 : x^{2} + x - 1 = 0, x = \frac{- 1 \pm 5}{2}

Ответ:

1 \pm 2; \frac{- 1 \pm 5}{2}

у

x - \frac{1}{x} = t

всегда

D = t^{2} + 4 > 0

— два корня

2 мин · теория
Отличие от урока 074: там была сумма x + 1/x и «−2» в формуле; при разности знак меняется: «+2».
t² − t − 2 = 0: t = 2 или t = −1 (2 + (−1) = 1, 2 · (−1) = −2). Обратная замена: x − 1/x = t ⇔ x² − tx − 1 = 0 (x ≠ 0).
Проверка: при x = 1 ± √2 x − 1/x = 2, x² + 1/x² = 4 + 2 = 6, 6 − 2 = 4 ✓. При x = (−1 ± √5)/2 x − 1/x = −1, x² + 1/x² = 1 + 2 = 3, 3 − (−1) = 4 ✓.
Углублённо: у x − 1/x = t свободный член −1, поэтому D = t² + 4 > 0 при любом t — каждое значение t даёт два корня; у суммы x + 1/x так не всегда (сл. 14).

R05.3 · тип 1

Тип 1 · образец → сам

Выразите $x^{2} + \frac{a ^{2}}{x ^{2}}$ через $t$

Образец: $t = x + \frac{5}{x}$

t^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{x} + \frac{25}{x ^{2}}

x^{2} + \frac{25}{x ^{2}} = t^{2} - 10

$t = x - \frac{2}{x}$ : $x^{2} + \frac{4}{x ^{2}}$ $t^{2} + 4$
$t = x + \frac{4}{x}$ : $x^{2} + \frac{16}{x ^{2}}$ $t^{2} - 8$
$t = x - \frac{1}{2 x}$ : $x^{2} + \frac{1}{4 x ^{2}}$ $t^{2} + 1$
Уравнение по $t$ : $x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} + x + \frac{3}{x} = 14$
$t^{2} + t - 20 = 0$

R05.3 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Замена $t = x \pm \frac{a}{x}$ при $a \neq = 1$

а) $x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} - 5 (x - \frac{3}{x}) = 0$

t = x - \frac{3}{x} : x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} = t^{2} + 6

t^{2} - 5 t + 6 = 0; t = 2, t = 3

x = 3; - 1; \frac{3 \pm 21}{2}

б) $x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} - (x + \frac{2}{x}) = 8$

t = x + \frac{2}{x} : x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} = t^{2} - 4

t^{2} - t - 12 = 0; t = 4, t = - 3

x = 2 \pm 2; - 1; - 2

Удвоенное произведение:

2 \cdot x \cdot \frac{a}{x} = 2 a

— поэтому

\pm 6

и

\pm 4

, а не

\pm 2

R05.3 · тип 2

Тип 2 · образец · деление на $x$

Решите $\frac{4 x}{x ^{2} + x + 3} + \frac{5 x}{x ^{2} - 5 x + 3} = - \frac{3}{2}$

R05.3 · тип 2

Тип 2 · образец · решение по $t$

Квадратное по $t$ и обратная замена

\cdot 2 (t + 1) (t - 5)

,

t \neq = - 1, t \neq = 5

8 (t - 5) + 10 (t + 1) = - 3 (t + 1) (t - 5)

3 t^{2} + 6 t - 45 = 0; t^{2} + 2 t - 15 = 0

t_{1} = 3, t_{2} = - 5

2 мин · теория
Раскрытие: 8t − 40 + 10t + 10 = 18t − 30; −3(t² − 4t − 5) = −3t² + 12t + 15. Переносим: 3t² + 6t − 45 = 0. По Виету t = 3, t = −5 (3 + (−5) = −2, 3 · (−5) = −15); оба не равны −1 и 5.
ОДЗ исходного: x² + x + 3 > 0 всегда (D = −11); x² − 5x + 3 = 0 при x = (5 ± √13)/2 — это не наши корни; x ≠ 0 выполнено.
Проверка числом: x ≈ −0,697: 4x/(x² + x + 3) ≈ −1,000, 5x/(x² − 5x + 3) ≈ −0,500, сумма ≈ −1,5 ✓.
Замечание: по слайду 14 при t = x + 3/x возможны только |t| ≥ 2√3 ≈ 3,46, поэтому t = 3 можно было отбросить сразу.

R05.3 · тип 2

Тип 2 · образец → сам

Разделите на $x$ и запишите через $t$

Образец:

\frac{3 x}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{3}{x - 2 + \frac{4}{x}} = \frac{3}{t - 2}, t = x + \frac{4}{x}

$\frac{x}{x ^{2} + 3 x + 1}$ $\frac{1}{t + 3}, t = x + \frac{1}{x}$
$\frac{2 x}{x ^{2} - 4 x + 5}$ $\frac{2}{t - 4}, t = x + \frac{5}{x}$
$\frac{7 x}{2 x ^{2} + x + 2}$ $\frac{7}{2 t + 1}, t = x + \frac{1}{x}$

4) Решите $\frac{x}{x ^{2} + x + 1} + \frac{x}{x ^{2} - x + 1} = \frac{4}{3}$

\frac{1}{t + 1} + \frac{1}{t - 1} = \frac{4}{3}; 2 t^{2} - 3 t - 2 = 0

t = 2 \Rightarrow x = 1

t = - \frac{1}{2}

лишнее: нужно

∣ t ∣ \geq 2

R05.3 · тип 3

Тип 3 · образец · углублённо · выделение полного квадрата

Решите $x^{2} + \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = 3$

x \neq = - 1; t^{2} + 2 t - 3 = 0

t = 1 : x^{2} = x + 1, x = \frac{1 \pm 5}{2}

t = - 3 : x^{2} + 3 x + 3 = 0, D < 0

Ответ:

\frac{1 \pm 5}{2}

R05.3 · типы 2, 3

Закрепление · решите сами

Деление на $x$ и сумма квадратов

а) $\frac{2 x}{x ^{2} + x + 2} + \frac{4 x}{x ^{2} + 5 x + 2} = 1$

t = x + \frac{2}{x} : \frac{2}{t + 1} + \frac{4}{t + 5} = 1

t^{2} = 9; t = \pm 3

x = 1; 2; - 1; - 2

б) $x^{2} + \frac{4 x ^{2}}{( x + 2 ) ^{2}} = 5$

t = \frac{x ^{2}}{x + 2} : t^{2} + 4 t - 5 = 0

t = 1 или t = - 5

x = 2; - 1

при

t = - 5

:

D = 25 - 40 < 0

4 мин · практика
По вариантам: 1-й вариант — а), 2-й — б); затем обмен.
а) x = 0 не корень (0 ≠ 1). 2(t + 5) + 4(t + 1) = (t + 1)(t + 5) → 6t + 14 = t² + 6t + 5 → t² = 9. x + 2/x = 3 → x² − 3x + 2 = 0 → 1; 2. x + 2/x = −3 → x² + 3x + 2 = 0 → −1; −2. Проверка x = 1: 2/4 + 4/8 = 1 ✓; x = −1: −2/2 + (−4)/(−2) = −1 + 2 = 1 ✓; x = 2: 4/8 + 8/16 = 1 ✓; x = −2: −4/4 + (−8)/(−4) = 1 ✓.
б) x ≠ −2; a = x, b = 2x/(x + 2): a − b = x²/(x + 2), ab = 2x²/(x + 2) = 2t, значит a² + b² = t² + 4t. t = 1: x² − x − 2 = 0 → 2; −1. Проверка x = 2: 4 + 16/16 = 5 ✓; x = −1: 1 + 4/1 = 5 ✓.
Ошибка в б): ab = t (забыли множитель 2) → t² + 2t = 5, нецелые корни — сигнал проверить.

R05.3 · ПР-22

Исследование · какие значения может принимать $t$

Лишние $t$ можно отбросить сразу

Пример:

x^{2} + 2 x = - 4

решать не нужно —

- 4 < - 1

, корней нет

R05.3 · ПР-22

Практика · исследование · не решая

Сколько корней даёт уравнение?

а)

x + \frac{1}{x} = 1, 5

0

б)

x + \frac{1}{x} = - 2

1

(x = - 1)

в)

x - \frac{4}{x} = - 7

2

г)

x^{2} + 6 x = - 10

0

д)

x + \frac{9}{x} = 6

1

(x = 3)

е)

x + \frac{9}{x} = - 10

2

Для

t = x + \frac{c}{x}

,

c > 0

:

∣ t ∣ > 2 c

— два корня,

∣ t ∣ = 2 c

— один,

∣ t ∣ < 2 c

— нет

R05.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$t = x - \frac{1}{x}$ : $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$	знак у удвоенного произведения	$t^{2} + 2$
$t = x + \frac{3}{x}$ : $x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} = t^{2} - 2$	$2 \cdot x \cdot \frac{3}{x} = 6$	$t^{2} - 6$
Разделили на $x$ , не проверив $x = 0$	можно потерять корень	подставить $x = 0$ отдельно
$x + \frac{2}{x} = 1$ : решают $x^{2} - x + 2 = 0$ долго	$∣ t ∣ < 22$ — корней нет	отбросить сразу
Ответ: $t = 3; - 5$	не сделана обратная замена	ответ — значения $x$

R05.3

Задания с самопроверкой · ответы по клику

Шесть заданий: от базы к исследованию

база $(\frac{x}{x + 1})^{2} - \frac{5 x}{x + 1} + 6 = 0$ $- 2; - 1, 5$
база $x^{2} + 2 x - \frac{24}{x ^{2} + 2 x} = 2$ $- 1 \pm 7$
повыш. $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 (x - \frac{1}{x}) = 10$ $2 \pm 5; - 1 \pm 2$
повыш. $x^{2} + \frac{9 x ^{2}}{( x + 3 ) ^{2}} = 7$ $\frac{1 \pm 13}{2}$
повыш.Сколько корней у $(x + \frac{1}{x})^{2} - 5 (x + \frac{1}{x}) + 6 = 0$ ?3
практикаРазность числа и обратного ему равна $1, 5$ . Найдите число. $2; - 0, 5$

Подсказки

1) $t = \frac{x}{x + 1}$

2) $t \geq - 1$

4) $t = \frac{x ^{2}}{x + 3}$

5) не решая до конца

4 мин · практика
В тетрадях; после каждых двух заданий открываем ответы — класс проверяет сам. Что не успели — дома. 1) x ≠ −1; t² − 5t + 6 = 0, t = 2; 3. x/(x + 1) = 2 → x = −2; x/(x + 1) = 3 → x = −1,5. Проверка x = −2: t = 2: 4 − 10 + 6 = 0 ✓.
2) x ≠ 0, x ≠ −2; t² − 2t − 24 = 0, t = 6; −4. t = −4 < −1 — отбросить. x² + 2x = 6 → x = −1 ± √7. Проверка: 6 − 24/6 = 2 ✓.
3) t = x − 1/x: t² + 2 − 2t = 10, t² − 2t − 8 = 0, t = 4; −2. x² − 4x − 1 = 0 → 2 ± √5; x² + 2x − 1 = 0 → −1 ± √2. Проверка x = 2 + √5: x − 1/x = 4, 18 − 8 = 10 ✓.
4) x ≠ −3; a − b = x²/(x + 3), ab = 3x²/(x + 3): t² + 6t − 7 = 0, t = 1; −7. x² − x − 3 = 0 → (1 ± √13)/2; x² + 7x + 21 = 0, D = −35 < 0. Ответ (1 ± √13)/2.
5) t = 2 → один корень x = 1; t = 3 → два корня (D = 5). Всего 3.
6) x − 1/x = 3/2 → 2x² − 3x − 2 = 0 → x = 2 или −0,5. Проверка: 2 − 0,5 = 1,5 ✓; −0,5 − (−2) = 1,5 ✓.

R05.3

Самостоятельная работа

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

$(\frac{x}{x - 1})^{2} - \frac{3 x}{x - 1} + 2 = 0$
$x = 2$
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + x + \frac{1}{x} = 4$
$1; \frac{- 3 \pm 5}{2}$
$\frac{x}{x ^{2} + 2 x + 4} + \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{10}{21}$
$1; 4$

Вариант 2

$(\frac{x}{x + 2})^{2} - \frac{3 x}{x + 2} + 2 = 0$
$x = - 4$
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - x - \frac{1}{x} = 4$
$- 1; \frac{3 \pm 5}{2}$
$\frac{x}{x ^{2} + 3 x + 9} + \frac{x}{x ^{2} - 3 x + 9} = \frac{20}{91}$
$1; 9$

4 мин · практика
Без подсказок, по вариантам; затем взаимопроверка по ответам (открыть по клику).
В1. 1) x ≠ 1; t = x/(x − 1): t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или 2. x/(x − 1) = 1 ⇒ x = x − 1 — нет решений; x/(x − 1) = 2 ⇒ x = 2. Проверка: 4 − 6 + 2 = 0 ✓. 2) t = x + 1/x: t² − 2 + t = 4, t² + t − 6 = 0, t = 2 или −3. t = 2 ⇒ x = 1; t = −3 ⇒ x² + 3x + 1 = 0, x = (−3 ± √5)/2. Проверка x = 1: 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ✓. 3) x = 0 не корень; t = x + 4/x: 2t/(t² − 4) = 10/21 ⇒ 5t² − 21t − 20 = 0, t = 5 или −0,8 (|t| ≥ 4 — лишнее). x² − 5x + 4 = 0 ⇒ 1; 4. Проверка x = 1: 1/7 + 1/3 = 10/21 ✓; x = 4: 4/28 + 4/12 = 10/21 ✓.
В2. 1) x ≠ −2; t = 1 ⇒ x = x + 2 — нет; t = 2 ⇒ x = 2x + 4, x = −4. Проверка: t = −4/(−2) = 2: 4 − 6 + 2 = 0 ✓. 2) t² − 2 − t = 4, t² − t − 6 = 0, t = 3 или −2. t = −2 ⇒ x = −1; t = 3 ⇒ x² − 3x + 1 = 0, x = (3 ± √5)/2. Проверка x = −1: 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ✓. 3) t = x + 9/x: 2t/(t² − 9) = 20/91 ⇒ 10t² − 91t − 90 = 0, D = 109², t = 10 или −0,9 (|t| ≥ 6 — лишнее). x² − 10x + 9 = 0 ⇒ 1; 9. Проверка x = 1: 1/13 + 1/7 = 20/91 ✓; x = 9: 9/117 + 9/63 = 1/13 + 1/7 ✓.
Ловушка в задании 1: значение t = 1 не даёт корней (дробь x/(x ∓ …) не равна 1).

R05.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (уравнение, часть 2)

Решите уравнение

\frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{4}{x - 1} - 12 = 0

Запишите решение полностью: ОДЗ, замена, обратная замена, ответ

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равно $x^{2} + \frac{a ^{2}}{x ^{2}}$ через $x - \frac{a}{x}$ ?
Когда можно делить на $x$ ?
Какие $t = x + \frac{1}{x}$ невозможны?

Домашнее задание

$x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} - 3 (x - \frac{2}{x}) = 8$
$\frac{2 x}{x ^{2} - 5 x + 2} + \frac{x}{x ^{2} - x + 2} = - \frac{1}{2}$
* $x^{2} + \frac{25 x ^{2}}{( x + 5 ) ^{2}} = 11$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

2 мин · практика
Ответы на вопросы: t² + 2a; когда x = 0 не корень (проверено подстановкой); |t| < 2.
ДЗ 1) t = x − 2/x, x² + 4/x² = t² + 4: t² − 3t − 4 = 0, t = 4; −1. x² − 4x − 2 = 0 → 2 ± √6; x² + x − 2 = 0 → 1; −2. Проверка x = 1: 1 + 4 − 3(1 − 2) = 8 ✓; x = −2: 4 + 1 − 3(−2 + 1) = 8 ✓.
2) x = 0 не корень. t = x + 2/x: 2/(t − 5) + 1/(t − 1) = −1/2 → t² = 9, t = ±3 → x = 1; 2; −1; −2. Проверка x = 1: 2/(−2) + 1/2 = −1/2 ✓; x = −1: −2/8 + (−1)/4 = −1/2 ✓.
3*) x ≠ −5; t = x²/(x + 5): t² + 10t − 11 = 0, t = 1; −11. x² − x − 5 = 0 → (1 ± √21)/2; x² + 11x + 55 = 0, D = −99 < 0.
Тренажёр (по строке R05 есть и 8_algebra_adv_zadachi.htm — к следующему уроку ALG8U-085, текстовые задачи); здесь ближе уравнения углублённого уровня.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-084 · Практикум: Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 13/19 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.3 «Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной» → 2, 5–20 (повторение R05.1–R05.3 → 3, 4)
Результаты	ПР-12 (тождественные преобразования) → 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 6–8, 10, 11, 13, 17–20 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 2, 5–13, 16–20 · ПР-22 (исследование, число корней) → 6, 11, 14, 15, 17 · соотношение: теория 13 мин / практика 32 мин (71 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	текстовые задачи — ALG8U-085; графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-086; возвратные уравнения 4-й степени — не рассматриваются
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:замена переменнойв дробно-рациональныхуравнениях

Ученик научится

Видеть скрытую замену

Преобразовывать

Решать до конца

Исследовать

Шесть устных заданий

Четыре быстрых вопроса

Что видим → какую замену делаем

Решите x2+x21​−(x−x1​)=4

Выразите x2+x2a2​ через t

Замена t=x±xa​ при a=1

Решите x2+x+34x​+x2−5x+35x​=−23​

Квадратное по t и обратная замена

Разделите на x и запишите через t

Решите x2+(x+1)2x2​=3

Деление на x и сумма квадратов

Лишние t можно отбросить сразу

Сколько корней даёт уравнение?

Найдите ошибку

Шесть заданий: от базы к исследованию

Подсказки

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-084 · Практикум: Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной

Практикум:
замена переменной
в дробно-рациональных
уравнениях

Решите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - (x - \frac{1}{x}) = 4$

Выразите $x^{2} + \frac{a ^{2}}{x ^{2}}$ через $t$

Замена $t = x \pm \frac{a}{x}$ при $a \neq = 1$

Решите $\frac{4 x}{x ^{2} + x + 3} + \frac{5 x}{x ^{2} - 5 x + 3} = - \frac{3}{2}$

Квадратное по $t$ и обратная замена

Разделите на $x$ и запишите через $t$

Решите $x^{2} + \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = 3$

Деление на $x$ и сумма квадратов

Лишние $t$ можно отбросить сразу