Дробно-рациональные уравнения · урок 12 из 19 · практикум

Дробные уравнения:
сложные случаи

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-083

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 12/19, единица R05.2. Тип П (практикум), второй практикум по R05.2. Базовый алгоритм (ALG8U-073) и первый практикум (ALG8U-078) пройдены — сегодня сложные случаи. Следующий урок ALG8U-084 — замена переменной.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул 1 т · цели 1 т (сл. 2) · разминка 2 п (сл. 3) · актуализация 2 п (сл. 4) · карта типов 1 т (сл. 5) · тип 1: образец 3 т + сами 3 п (сл. 6–7) · тип 2: образец 3 т + сами 2 п + ещё 2 п (сл. 8–10) · тип 3: разбор 2 т + сами 2 п (сл. 11–12) · тип 4: образец 3 т + сами 3 п (сл. 13–14) · ошибки 2 п (сл. 15) · самопроверка: база 3 п, повышенный 3 п (сл. 16–17) · самостоятельная 4 п (сл. 18) · ОГЭ 2 п (сл. 19) · итог и ДЗ 1 п (сл. 20). Т — теория, п — практика.
Теоретические слайды (2, 5, 6, 8, 11, 13) сохранены полностью; практика добавлена: разминка, задания после каждого типа, самопроверка, самостоятельная в двух вариантах.
Если не успеваете — сл. 14 разберите устно, задание 5 сл. 17 перенесите в ДЗ.

R05.2

Цели урока

Ученик научится

Решать

дробно-рациональные уравнения со сложными знаменателями (ПР-20, ПР-19)

Отбирать корни

по допустимым значениям переменной (ПР-9)

Рационально группировать

дроби, чтобы избежать громоздкого общего знаменателя

Исследовать

линейные уравнения с параметром и число корней (ПР-21, ПР-22)

1 мин · теория
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-21: «Решать линейные уравнения с параметрами…». ПР-22: «Проводить исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Решать дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или к квадратным уравнениям».

разминка

Разминка · устно

Восемь вопросов за две минуты

не имеет смысла при

\frac{5}{x + 4}

x = - 4

запреты

\frac{3}{x ( x - 1 )}

x \neq = 0; 1

решите

\frac{6}{x} = 2

x = 3

упростите, $x \neq = 3$

\frac{x - 3}{x - 3}

1

корни

x^{2} - 7 x + 10

2; 5

разложите

x^{2} - 9

(x - 3) (x + 3)

выполните

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}

\frac{1}{x ( x - 1 )}

решите

0 \cdot x = 5

корней нет

повторение: R04, ALG8U-073

Актуализация · устно

Разложите знаменатель

Знаменатель	Множители	Запрет
$x^{2} - 5 x + 6$	$(x - 2) (x - 3)$	$x \neq = 2; 3$
$x^{2} - 4 x + 3$	$(x - 1) (x - 3)$	$x \neq = 1; 3$
$3 - x$	$- (x - 3)$	$x \neq = 3$
$x^{3} - 8$	$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$	$x \neq = 2$

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

x^{2} + 2 x + 4 = (x + 1)^{2} + 3 > 0

— запретов не даёт

R05.2

План практикума

Четыре трудных типа

R05.2 · тип 1

Тип 1 · образец решения

$\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{3 - x} = \frac{4}{x ^{2} - 5 x + 6}$

1)

- \frac{4}{3 - x} = + \frac{4}{x - 3}

;

x \neq = 2, x \neq = 3

2)

\cdot (x - 2) (x - 3) : x (x - 3) + 4 (x - 2) = 4

3)

x^{2} + x - 12 = 0; x_{1} = 3, x_{2} = - 4

4)

3

— запрет → Ответ:

- 4

R05.2 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Трёхчлен и разность кубов

а) $\frac{x}{x - 1} + \frac{3}{x - 3} = \frac{6}{x ^{2} - 4 x + 3}$

x \neq = 1; 3; x (x - 3) + 3 (x - 1) = 6

x^{2} = 9; x = \pm 3

Ответ:

- 3

б) $\frac{1}{x - 2} + \frac{3}{x ^{2} + 2 x + 4} = \frac{6 x}{x ^{3} - 8}$

x \neq = 2; x^{2} + 2 x + 4 + 3 (x - 2) = 6 x

x^{2} - x - 2 = 0; x = 2, x = - 1

Ответ:

- 1

3 мин · практика
Двое у доски, остальные в тетрадях; шаги открываются по клику для сверки.
а) x² − 3x + 3x − 3 = 6 → x² = 9. x = 3 — запрет. Проверка x = −3: −3/(−4) = 0,75; 3/(−6) = −0,5; сумма 0,25; справа 6/(9 + 12 + 3) = 6/24 = 0,25 ✓.
б) Общий знаменатель x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4); второй множитель положителен, запрет только x ≠ 2. x² + 5x − 2 = 6x → x² − x − 2 = 0 → 2 (запрет) и −1. Проверка x = −1: −1/3 + 3/3 = 2/3; справа −6/(−9) = 2/3 ✓.
Ошибка в б): взять общий знаменатель (x − 2)(x² + 2x + 4)(x³ − 8) — громоздко, получится уравнение высокой степени.

R05.2 · тип 2

Тип 2 · образец · группировка

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4}$

\frac{- 1}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{- 1}{( x - 3 ) ( x - 4 )}

x^{2} - 3 x + 2 = x^{2} - 7 x + 12

4 x = 10; x = 2, 5

2, 5 \neq = 1; 2; 3; 4

→ Ответ:

2, 5

R05.2 · тип 2

Тип 2 · решите сами

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}$

\frac{2 x + 3}{x ^{2} + 3 x} = \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 3 x + 2}

(2 x + 3) (\frac{1}{x ^{2} + 3 x} - \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2}) = 0

скобка

\neq = 0

: знаменатели различаются на

2

2 x + 3 = 0

→ Ответ:

- 1, 5

Пары подбираем так, чтобы совпали числители:

0 + 3 = 1 + 2

На

2 x + 3

не делим — выносим за скобку

R05.2 · тип 2

Тип 2 · решите по образцу

Группируйте дроби попарно

а) $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5}$

\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{( x + 4 ) ( x + 5 )}

x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + 9 x + 20

- 6 x = 18

→ Ответ:

- 3

б) $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}$

\frac{2 x - 5}{x ^{2} - 5 x + 4} = \frac{2 x - 5}{x ^{2} - 5 x + 6}

знаменатели не равны →

2 x - 5 = 0

Ответ:

2, 5

2 мин · практика
Ряд 1 — а), ряд 2 — б); шаги открываются по клику после самостоятельного решения.
а) Левая пара: ((x + 2) − (x + 1))/((x + 1)(x + 2)) = 1/((x + 1)(x + 2)), правая: 1/((x + 4)(x + 5)). x² + 3x + 2 = x² + 9x + 20 → −6x = 18 → x = −3; запреты −1, −2, −4, −5 — не совпадают. Проверка: 1/(−2) − 1/(−1) = 0,5; 1/1 − 1/2 = 0,5 ✓.
б) Пары с суммой свободных членов 5: (x − 1, x − 4) и (x − 2, x − 3); числители 2x − 5. Знаменатели различаются на 2, поэтому 2x − 5 = 0, x = 2,5. Проверка: 1/1,5 + 1/(−1,5) = 0; 1/0,5 + 1/(−0,5) = 0 ✓.

R05.2 · тип 3 · ПР-22

Тип 3 · особые исходы

Сколько корней? Ни одного или бесконечно много

Уравнение	После $\cdot (x - 3)$	Ответ
$\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{3}{x - 3}$	$0 \cdot x = 0$	все $x \neq = 3$
$\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{2}{x - 3}$	$0 \cdot x = - 1$	корней нет
$\frac{x}{x - 3} = \frac{3}{x - 3}$	$x = 3$	корней нет

R05.2 · тип 3 · ПР-22

Тип 3 · решите сами

Сколько корней у уравнения?

Уравнение	После умножения	Ответ
1) $\frac{x + 2}{x - 1} = 1 + \frac{3}{x - 1}$	$0 \cdot x = 0$	все $x \neq = 1$
2) $\frac{2 x}{x + 1} = 2 - \frac{1}{x + 1}$	$0 \cdot x = 1$	корней нет
3) $\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$	$x = \pm 2$	один: $- 2$
4) $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = x - 1$	$0 \cdot x = 0$	все $x \neq = - 1$

R05.2 · тип 4 · ПР-21, ПР-22

Тип 4 · образец · параметр

Решите $\frac{a x - 1}{x - 1} = 2$ при всех $a$

x \neq = 1; a x - 1 = 2 x - 2

(a - 2) x = - 1

a = 2 : 0 \cdot x = - 1

— корней нет

a \neq = 2 : x = \frac{1}{2 - a}

;

x = 1 \Leftrightarrow a = 1

a = 1; 2

— нет корней; иначе

x = \frac{1}{2 - a}

3 мин · теория (учитель разбирает образец)
Графически: уравнение равносильно ax = 2x − 1 при x ≠ 1. Прямая y = ax проходит через начало координат; корень — абсцисса точки её пересечения с прямой y = 2x − 1 без точки (1; 1).
a = 2 — прямые параллельны; a = 1 — прямая y = x проходит через выколотую точку (1; 1); при остальных a — одна точка пересечения. Например, a = −1: x = 1/3.
Проверка a = 0: x = 1/2; (0 − 1)/(1/2 − 1) = 2 ✓. Проверка a = −1: x = 1/3; (−1/3 − 1)/(1/3 − 1) = (−4/3)/(−2/3) = 2 ✓.
Ошибка: забыть случай a = 1 и ответить «корней нет только при a = 2».

R05.2 · типы 3–4

Типы 3–4 · решите сами

Решите уравнение при всех значениях $a$

а) $\frac{a x + 2}{x + 2} = 1$

x \neq = - 2; (a - 1) x = 0

a \neq = 1 : x = 0

a = 1 :

все

x \neq = - 2

б) $\frac{x + a}{x - 3} = 2$

x \neq = 3; x + a = 2 x - 6

x = a + 6; a + 6 = 3 \Leftrightarrow a = - 3

a = - 3 :

нет корней; иначе

x = a + 6

R05.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$- \frac{4}{3 - x} = - \frac{4}{x - 3}$	потерян знак	$+ \frac{4}{x - 3}$
$x^{2} - 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$	знаки корней	$(x - 2) (x - 3)$
$(2 x + 3) A = (2 x + 3) B \Rightarrow A = B$	деление на выражение	$2 x + 3 = 0$ или $A = B$
$0 \cdot x = 0$ → « $x$ — любое»	забыт запрет	любое, кроме запретов
$x = \frac{1}{2 - a}$ при $a \neq = 2$	не проверено $x \neq = 1$	ещё $a \neq = 1$

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте по клику

база1) $\frac{3}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$

Ответ:

0

база2) $\frac{x}{x - 3} + \frac{3}{x + 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$

Ответ:

- 9

(

3

— запрет)

повыш.3) $\frac{6}{x ^{2} - 2 x} - \frac{3}{x} = 1$

Ответ:

- 4; 3

из жизни4) Катер прошёл по 12 км по течению и против за 2,5 ч, течение 2 км/ч: $\frac{12}{v + 2} + \frac{12}{v - 2} = 2, 5$ . Найдите $v$ .

v = 10

км/ч

3 мин · практика
Самостоятельно 2 мин, затем ответы по клику, класс ставит «+» в тетради.
1) x ≠ ±1; 3(x + 1) − (x − 1) = 4 → 2x + 4 = 4 → x = 0. Проверка: 3/(−1) − 1/1 = −4; 4/(−1) = −4 ✓.
2) x ≠ ±3; x(x + 3) + 3(x − 3) = 18 → x² + 6x − 27 = 0 → 3 (запрет) и −9. Проверка x = −9: −9/(−12) = 0,75; 3/(−6) = −0,5; сумма 0,25; 18/72 = 0,25 ✓.
3) x² − 2x = x(x − 2), x ≠ 0; 2: 6 − 3(x − 2) = x(x − 2) → x² + x − 12 = 0 → 3 и −4, оба допустимы. Проверка x = 3: 6/3 − 1 = 1 ✓; x = −4: 6/24 + 3/4 = 1 ✓.
4) Уравнение уже составлено (составлять по условию будем на ALG8U-085). v ≠ ±2: 12(v − 2) + 12(v + 2) = 2,5(v² − 4) → 24v = 2,5v² − 10 → 5v² − 48v − 20 = 0; D = 2304 + 400 = 2704 = 52²; v = 10 или v = −0,4 (не подходит по смыслу). Проверка: 12/12 + 12/8 = 1 + 1,5 = 2,5 ✓.

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный

Пять уравнений по четырём типам

база $\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{x - 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$ $9$
база $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{x + 1}{x}$ $- 0, 5$
повыш. $\frac{2}{x ^{2} - x} + \frac{1}{x ^{2} + x} = \frac{3}{x ^{2} - 1}$ нет корней
повыш. $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 6} = \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x - 5}$ $4$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{x + a}{x - 2} = \frac{a}{x}$ не имеет корней? $a \geq 0$

Подсказки

3) $x^{2} \pm x = x (x \pm 1)$

4) пары с суммой $8$

5) получится $x^{2} = - 2 a$

3 мин · практика
Задания 1–4 — все, 5 — для сильных (или в ДЗ). Ответы открываются по одному после проверки у доски.
1) x ≠ ±3; x(x − 3) − 3(x + 3) = 18 → x² − 6x − 27 = 0 → 9 и −3 (запрет). Ответ: 9. Проверка: 9/12 − 3/6 = 0,25; 18/72 = 0,25 ✓.
2) x ≠ 0; 1; x(x + 2) = (x + 1)(x − 1) → 2x = −1 → x = −0,5. Проверка: 1,5/(−1,5) = −1; 0,5/(−0,5) = −1 ✓.
3) x ≠ 0; ±1; умножаем на x(x − 1)(x + 1): 2(x + 1) + (x − 1) = 3x → 3x + 1 = 3x → 0·x = −1. Ответ: корней нет.
4) Пары (x − 2, x − 6) и (x − 3, x − 5): (2x − 8)/(x² − 8x + 12) = (2x − 8)/(x² − 8x + 15). Знаменатели различны всегда → 2x − 8 = 0, x = 4. Проверка: 1/2 − 1/2 = 0; 1 − 1 = 0 ✓.
5) x ≠ 0; 2: x(x + a) = a(x − 2) → x² = −2a. a > 0 — корней нет; a = 0 — x = 0 запрещён, корней нет; a < 0 — x = ±√(−2a), оба ≠ 0, а x = 2 только при a = −2, тогда остаётся x = −2. Ответ: a ≥ 0. Проверка a = −2, x = −2: (−4)/(−4) = 1; −2/(−2) = 1 ✓.

R05.2

Самостоятельная работа

Два варианта · три задания

Вариант 1

$\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ Ответ: $6$
$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x - 7}$ Ответ: $4$
Решите при всех $a$ : $\frac{x + a}{x + 1} = 3$ $a = 1$ — нет корней; иначе $x = \frac{a - 3}{2}$

Вариант 2

$\frac{x}{x + 5} - \frac{5}{x - 5} = \frac{50}{x ^{2} - 25}$ Ответ: $15$
$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 7}$ Ответ: $- 4$
Решите при всех $a$ : $\frac{x - a}{x - 2} = 3$ $a = 2$ — нет корней; иначе $x = \frac{6 - a}{2}$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику). Критерий: 3 верных — «5», 2 — «4», 1 — «3».
В1. 1) x ≠ ±2; x(x − 2) − 2(x + 2) = 8 → x² − 4x − 12 = 0 → 6 и −2 (запрет). Проверка: 6/8 − 2/4 = 0,25; 8/32 = 0,25 ✓. 2) −2/((x − 1)(x − 3)) = −2/((x − 5)(x − 7)) → x² − 4x + 3 = x² − 12x + 35 → 8x = 32 → x = 4. Проверка: 1/3 − 1 = −2/3; −1 + 1/3 = −2/3 ✓. 3) x ≠ −1: x + a = 3x + 3 → x = (a − 3)/2; x = −1 ⇔ a = 1. Проверка a = 5: x = 1, 6/2 = 3 ✓; a = 1: (x + 1)/(x + 1) = 1 ≠ 3 ✓.
В2. 1) x ≠ ±5; x(x − 5) − 5(x + 5) = 50 → x² − 10x − 75 = 0; D = 400 → 15 и −5 (запрет). Проверка: 15/20 − 5/10 = 0,25; 50/200 = 0,25 ✓. 2) 2/((x + 1)(x + 3)) = 2/((x + 5)(x + 7)) → x² + 4x + 3 = x² + 12x + 35 → x = −4. Проверка: −1/3 + 1 = 2/3; 1 − 1/3 = 2/3 ✓. 3) x ≠ 2: x − a = 3x − 6 → x = (6 − a)/2; x = 2 ⇔ a = 2. Проверка a = 0: x = 3, 3/1 = 3 ✓.

R05.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

\frac{x}{x - 4} + \frac{4}{x + 4} = \frac{32}{x ^{2} - 16}

Полное решение с обоснованием — 2 балла

2 мин · практика
Начать в классе (запреты и квадратное уравнение), оформление закончить дома.
Решение: x ≠ ±4; умножаем на (x − 4)(x + 4): x(x + 4) + 4(x − 4) = 32 → x² + 8x − 48 = 0; D = 64 + 192 = 256; x = (−8 ± 16)/2 → 4 (запрет) и −12. Ответ: −12.
Проверка x = −12: −12/(−16) = 0,75; 4/(−8) = −0,5; сумма 0,25; 32/(144 − 16) = 32/128 = 0,25 ✓.
Критерии: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка или в ответ включён посторонний корень 4.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда выгодно группировать дроби?
Чем ответ «все $x \neq = 3$ » отличается от «корней нет»?
Почему в задаче с параметром проверяем запрет?

Домашнее задание

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$
$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$
* Решите $\frac{a x - 4}{x - 2} = a - 1$ при всех $a$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

1 мин · практика (рефлексия: отвечают ученики)
Ответы ДЗ: 1) x ≠ ±2; x(x − 2) + 2(x + 2) = 8 → x² = 4 → ±2 — оба запрещены. Ответ: корней нет.
2) 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/((x + 3)(x + 4)) → x² + 3x + 2 = x² + 7x + 12 → x = −2,5. Проверка: 1/(−1,5) − 1/(−0,5) = 4/3; 1/0,5 − 1/1,5 = 4/3 ✓.
3*) x ≠ 2: ax − 4 = (a − 1)(x − 2) = ax − x − 2a + 2 → x = 6 − 2a; x = 2 ⇔ a = 2. Ответ: при a = 2 корней нет; при a ≠ 2 x = 6 − 2a. Проверка a = 0: x = 6, −4/4 = −1 = a − 1 ✓.
Тренажёр строки R05 — по trainers.json. Следующий урок ALG8U-084 — метод замены переменной.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-083 · Практикум: Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 12/19 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.2 «Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям» → 2, 5–20 (повторение R04 и ALG8U-073 → 3, 4)
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 2, 3, 5–20 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 6, 7, 12, 16–20 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 4, 6–12, 15 · ПР-21 (линейные уравнения с параметрами) → 13, 14, 18, 20 · ПР-22 (исследование уравнений, графически) → 11–14, 17 · соотношение: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	метод замены переменной — ALG8U-084; составление уравнений по условию текстовых задач — ALG8U-085 (на сл. 16 уравнение задачи дано готовым); графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-086
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробные уравнения:сложные случаи

Ученик научится

Решать

Отбирать корни

Рационально группировать

Исследовать

Восемь вопросов за две минуты

Разложите знаменатель

Четыре трудных типа

x−2x​−3−x4​=x2−5x+64​

Трёхчлен и разность кубов

x−11​−x−21​=x−31​−x−41​

x1​+x+31​=x+11​+x+21​

Группируйте дроби попарно

Сколько корней? Ни одного или бесконечно много

Сколько корней у уравнения?

Решите x−1ax−1​=2 при всех a

Решите уравнение при всех значениях a

Найдите ошибку

Решите и проверьте по клику

Пять уравнений по четырём типам

Подсказки

Два варианта · три задания

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-083 · Практикум: Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям

Дробные уравнения:
сложные случаи

$\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{3 - x} = \frac{4}{x ^{2} - 5 x + 6}$

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 4}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2}$

Решите $\frac{a x - 1}{x - 1} = 2$ при всех $a$

Решите уравнение при всех значениях $a$