Дробно-рациональные уравнения · урок 11 из 19 · практикум

Практикум:
дробно-
рациональные
уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-082

1 мин · теория
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 11/19, единица R05.1 «Дробно-рациональные уравнения». Тип П (практикум), второй практикум по R05.1 (первый — ALG8U-077). Дальше — ALG8U-083 (сведение к линейным и квадратным).
Хронометраж (45 мин): титул и цели 2 (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3, практика) · схема 2 и образец типа 1 — 2 (сл. 4–5, теория) · тип 1 сами 6 (сл. 6–7) · тип 2 сами 6 (сл. 8–9) · тип 3: разбор 4 (сл. 10, теория) и сами 3 (сл. 11) · тип 4: разбор 3 (сл. 12, теория) и сами 2 (сл. 13) · найди ошибку 2 (сл. 14) · задания с самопроверкой 3 (сл. 15) · формат ОГЭ 2 (сл. 16) · самостоятельная работа в 2 вариантах 4 (сл. 17) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 18).
Вся теория прежняя, без сокращений; практика добавлена: после каждого разобранного типа — задания ученикам, ответы появляются по клику.
Рисунок: прямая с выколотой точкой и прямая через начало координат — образ задачи сл. 12.

R05.1

Цели урока

Сегодня отрабатываем четыре типа задач

Решать

уравнения с несколькими дробями через общий знаменатель (ПР-20)

Находить ОДЗ

раскладывая знаменатели на множители, и отбирать корни (ПР-9, ПР-12)

Исследовать

число корней в зависимости от параметра (ПР-22)

Применять графики

чтобы установить, сколько корней у уравнения (ПР-22, ПР-26)

1 мин · теория
ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-9 «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»; ПР-12 «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений… в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)»; ПР-26 — графики функций.
Вид деятельности ФРП: «Распознавать дробно-рациональные уравнения. Решать дробно-рациональные уравнения…».

повторение: R04, R05.1

Разминка · устно

Разложите знаменатель и назовите запреты

Знаменатель	Разложение	$x \neq = \dots$
$x^{2} - 3 x$	$x (x - 3)$	$0; 3$
$x^{2} - 9$	$(x - 3) (x + 3)$	$\pm 3$
$x^{2} - 5 x + 6$	$(x - 2) (x - 3)$	$2; 3$
$x^{3} - x$	$x (x - 1) (x + 1)$	$0; \pm 1$
$x^{2} + 4$	не раскладывается	запретов нет

Общий знаменатель?

$\frac{1}{x - 1}, \frac{1}{x + 1}, \frac{1}{x ^{2} - 1}$

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$

R05.1 · алгоритм

Опорная схема

Четыре шага решения

R05.1 · тип 1

Тип 1 · несколько дробей · образец

Решите $\frac{2 x}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$

ОДЗ:

x \neq = 1, x \neq = - 1

2 x (x - 1) + 3 (x + 1) = 6

умножили на

(x - 1) (x + 1)

2 x^{2} + x - 3 = 0, D = 25

x_{1} = 1, x_{2} = - 1, 5

x = 1 \in /

ОДЗ. Ответ:

- 1, 5

R05.1 · тип 1

Тип 1 · решите сами

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x}{x + 2} = \frac{16}{x ^{2} - 4}$

ОДЗ:

x \neq = \pm 2

(x + 2)^{2} - x (x - 2) = 16

x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} + 2 x = 16

6 x = 12 \Rightarrow x = 2

x = 2 \in /

ОДЗ. Корней нет

R05.1 · тип 1

Тип 1 · по образцу · с самопроверкой

Решите уравнения

база $\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ $3 (x + 2) + (x - 2) = 8$ → ответ: $1$
база $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ $x^{2} - x = 0$ ; $1 \in /$ ОДЗ → ответ: $0$

повыш. $\frac{3}{x} - \frac{1}{x - 2} = \frac{4}{x ^{2} - 2 x}$ $x^{2} - 2 x = x (x - 2)$ → ответ: $5$

По схеме: ОДЗ → общий знаменатель → целое уравнение → отбор корней

R05.1 · тип 2

Тип 2 · разложение на множители

$\frac{x ^{3} - x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} + x - 2} = 0$

x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)

группировка в числителе

\frac{( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = 0

числитель

= 0

:

x = 1; 2; - 2

знаменатель:

x \neq = 1, x \neq = - 2

Ответ:

2

Решите сами

$\frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - 9 x - 18}{x ^{2} - x - 6} = 0$

$\frac{( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 2 )} = 0$

Ответ: $- 3$

3 мин · практика
Образец слева разбирают ученики с подсказками учителя (1 мин), затем «решите сами» справа (2 мин).
Образец: x³ − x² − 4x + 4 = x²(x − 1) − 4(x − 1) = (x − 1)(x² − 4). Знаменатель x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1) (Виета: −2 и 1). Проверка x = 2: (8 − 4 − 8 + 4)/(4 + 2 − 2) = 0/4 = 0 ✓.
Сами: x²(x + 2) − 9(x + 2) = (x + 2)(x − 3)(x + 3); x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2). Корни числителя −2, 3, −3; запреты 3 и −2. Ответ: −3. Проверка: (−27 + 18 + 27 − 18)/(9 + 3 − 6) = 0/6 = 0 ✓.
Ошибка: сократить дробь и забыть запреты. Вопрос классу: каким будет ответ образца, если знаменатель заменить на x² − 4? (Запреты ±2, остаётся x = 1.)

R05.1 · тип 2

Тип 2 · решите сами · с самопроверкой

Разложите на множители и отберите корни

база $\frac{x ^{3} - 3 x ^{2} - x + 3}{x ^{2} - 4 x + 3} = 0$ $\frac{( x - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = 0$ → ответ: $- 1$
база $\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - 9 x + 18}{x ^{2} + x - 6} = 0$ $\frac{( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = 0$ → ответ: $3$

повыш. $\frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{x ^{2} - 3 x + 2} = 0$ $(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ ; $x \neq = 1; 2$ → ответ: $- 2; - 1$

Группировка:

x^{2} (x - c) - d (x - c)

; числитель задания 3 — квадратный трёхчлен относительно

x^{2}

R05.1 · тип 3

Тип 3 · исследование с параметром

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a}{x ^{2} - 1} = 0$ ?

4 мин · теория
Разбор ведёт учитель; закрепление — на сл. 11. Числитель — квадратный трёхчлен относительно x: по теореме Виета корни 2 и a (сумма a + 2, произведение 2a).
x = 2 всегда подходит: знаменатель 4 − 1 = 3 ≠ 0. Корень x = a подходит, только если a ≠ 1 и a ≠ −1.
a = 2: числитель (x − 2)², корень один. a = ±1: x = a посторонний, остаётся x = 2.
Ответ: ровно один корень при a ∈ {−1; 1; 2}; два корня при остальных a. Без корней уравнение не бывает.
Вопрос вдогонку: при каких a у уравнения (x − a)/(x² − 1) = 0 нет корней? Ответ: a = ±1.

R05.1 · тип 3

Тип 3 · решите сами · с самопроверкой

Исследуйте число корней

базаПри каких $a$ уравнение $\frac{x - a}{x ^{2} - 4} = 0$ не имеет корней? $a = \pm 2$
повыш.При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - ( a + 3 ) x + 3 a}{x - 2} = 0$ ровно один корень? $(x - 3) (x - a)$ ; $a = 2$ или $a = 3$
исслед.При каких $a$ у $\frac{( x + a ) ( x - 4 )}{x ^{2} - x} = 0$ ровно один корень? $a = - 4; - 1; 0$

Помните

кандидат посторонний, если попал в запрет

один корень — ещё и когда кандидаты совпали

R05.1 · тип 4

Тип 4 · исследуем графически

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = k x$ ?

x + 2 = k x, x \neq = 2

k = 1

: параллельны — нет

k = 2

: через выколотую — нет

иначе

x = \frac{2}{k - 1}

— один

3 мин · теория
Разбор ведёт учитель; закрепление — на сл. 13. При x ≠ 2 левая часть равна x + 2 — график: прямая y = x + 2 с выколотой точкой (2; 4). Правая часть — прямая y = kx через начало координат.
k = 1: y = x параллельна y = x + 2 — общих точек нет. k = 2: y = 2x проходит через (2; 4), но эта точка выколота — корней нет.
Алгебраически: x(k − 1) = 2 → x = 2/(k − 1) при k ≠ 1; x = 2 ⇔ k = 2 — исключаем.
Ответ: корней нет при k ∈ {1; 2}; один корень при остальных k. Пример k = −1: x = −1, точка (−1; 1).

R05.1 · тип 4

Тип 4 · решите сами · с самопроверкой

Сколько корней? Ответьте по графику

базаСколько корней у $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = b$ при разных $b$ ?нет при $b = - 2$ ; иначе один
повыш.Сколько корней у $\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = k x$ ?нет при $k = 1$ и $k = 2$ ; иначе один

R05.1

Типичные ошибки

Кто ошибся: $\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{3 x}{x - 3}$

Вася

$x^{2} = 3 x : x$

$x = 3 \in /$ ОДЗ → корней нет

делил на $x$ — потерял корень $0$

Катя

$x^{2} - 3 x = 0$

$x = 0; 3$ . Ответ: $0; 3$

не сделала отбор — $3$ лишний

Ответ:

0

умножение → лишние корни
деление → потеря корней

R05.1

Задания с самопроверкой

Шесть заданий: от базы к параметру

база $\frac{x ^{2} + x - 12}{x ^{2} - 9} = 0$ $- 4$
база $\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$ $3$
повыш. $\frac{2}{x - 1} - \frac{4}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{x + 1}$ корней нет
повыш.При каких $a$ уравнение $\frac{x - a}{x ^{2} - 5 x + 4} = 0$ не имеет корней? $1; 4$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{( x - a ) ( x + 3 )}{x - 1} = 0$ имеет ровно один корень? $- 3; 1$
ОГЭ, линия 20 $\frac{x ^{2} - 6 x}{x - 4} = \frac{8}{4 - x}$ $2$

Подсказки

3) общий знаменатель $x^{2} - 1$

5) два случая: $a$ лишний или корни совпали

6) $\frac{8}{4 - x} = - \frac{8}{x - 4}$

3 мин · практика
Задания 1–4 обязательные, 5–6 — по силам; ответы открываются по клику — самопроверка, «поднимите руку, у кого верно». Разбор задания 6 — на следующем слайде.
1) (x + 4)(x − 3) = 0; x ≠ ±3 → ответ −4. Проверка: (16 − 4 − 12)/(16 − 9) = 0/7 = 0 ✓.
2) x² = 9 → ±3; x ≠ −3 → ответ 3. Проверка: 9/6 = 9/6 ✓.
3) 2(x + 1) − 4 = x − 1 → 2x − 2 = x − 1 → x = 1 ∉ ОДЗ → корней нет.
4) x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4); корень x = a посторонний при a = 1 и a = 4. Ответ: 1; 4.
5) Кандидаты a и −3 (−3 подходит всегда: −3 ≠ 1). Один корень при a = −3 (совпали) и a = 1 (a посторонний). Ответ: −3; 1.
6) Ответ: 2.

R05.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 · разбор

Решите уравнение $\frac{x ^{2} - 6 x}{x - 4} = \frac{8}{4 - x}$

\frac{x ^{2} - 6 x}{x - 4} + \frac{8}{x - 4} = 0

4 - x = - (x - 4)

\frac{x ^{2} - 6 x + 8}{x - 4} = 0

(x - 2) (x - 4) = 0, x \neq = 4

Ответ:

2

Баллы	Критерий
2	обоснованно получен верный ответ
1	верный ход, одна вычислительная ошибка
0	иначе, в том числе ответ «2; 4»

2 мин · практика
Ученики сверяют своё решение задания 6 со сл. 15 по шагам и оценивают себя по критериям. Задание части 2 ОГЭ по математике (линия 20, максимум 2 балла) — нужно полное решение.
Проверка x = 2: (4 − 12)/(−2) = 4; 8/(4 − 2) = 4 ✓. x = 4 обращает знаменатели в нуль.
Критерии приведены упрощённо по образцу критериев ФИПИ; ответ без отбора корней («2; 4») оценивается в 0 баллов.
Ошибка: потерять минус при переходе от 4 − x к x − 4 → x² − 6x − 8 = 0, иррациональные корни.

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$\frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x ^{2} - 16} = 0$ $- 2$
$\frac{x}{x - 3} + \frac{3}{x + 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$ $- 9$
При каких $a$ уравнение $\frac{x - a}{x ^{2} - 3 x + 2} = 0$ не имеет корней? $1; 2$

Вариант 2

$\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4} = 0$ $- 3$
$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ $- 6$
При каких $a$ уравнение $\frac{x - a}{x ^{2} + x - 6} = 0$ не имеет корней? $- 3; 2$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) (x − 4)(x + 2)/((x − 4)(x + 4)) = 0; x ≠ ±4 → ответ −2 (проверка: (4 + 4 − 8)/(4 − 16) = 0 ✓). 2) x(x + 3) + 3(x − 3) = 18 → x² + 6x − 27 = 0 → −9 и 3; 3 ∉ ОДЗ → ответ −9 (проверка: 0,75 − 0,5 = 0,25; 18/72 = 0,25 ✓). 3) x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) → a = 1; 2.
Вариант 2: 1) (x + 3)(x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 0; x ≠ ±2 → ответ −3 (проверка: (9 − 3 − 6)/5 = 0 ✓). 2) x(x + 2) + 2(x − 2) = 8 → x² + 4x − 12 = 0 → −6 и 2; 2 ∉ ОДЗ → ответ −6 (проверка: 0,75 − 0,5 = 0,25; 8/32 = 0,25 ✓). 3) x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) → a = −3; 2.
Ответы открывать после сдачи или для взаимопроверки в парах. Критерий: 3 верно — «5», 2 — «4», 1 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Зачем раскладывать знаменатели на множители?
Почему после умножения на общий знаменатель нужен отбор корней?
Как по графику понять, что корней нет?

Домашнее задание

$\frac{x + 1}{x - 3} + \frac{x - 1}{x + 3} = \frac{2 x + 18}{x ^{2} - 9}$
При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - ( a + 3 ) x + 3 a}{x + 1} = 0$ ровно один корень?
Сколько корней у $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = k x$ при разных $k$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/
8_algebra_adv_zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-082 · Практикум: дробно-рациональные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · Алгебра, 8 класс
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 11/19 · тип П · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R05.1 «Дробно-рациональные уравнения» → 3–17
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 4–9, 14–17 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 5–9 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 8, 9 · ПР-22 (исследование уравнений, графически) → 10–13, 15, 17 · ПР-26 (графики) → 12, 13
Вне урока	сведение к линейным и квадратным — ALG8U-083; замена переменной — ALG8U-084; текстовые задачи — ALG8U-085; графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-086
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:дробно-рациональныеуравнения

Сегодня отрабатываем четыре типа задач

Решать

Находить ОДЗ

Исследовать

Применять графики

Разложите знаменатель и назовите запреты

Общий знаменатель?

Четыре шага решения

Решите x+12x​+x−13​=x2−16​

x−2x+2​−x+2x​=x2−416​

Решите уравнения

x2+x−2x3−x2−4x+4​=0

Решите сами

Разложите на множители и отберите корни

Сколько корней у x2−1x2−(a+2)x+2a​=0?

Исследуйте число корней

Помните

Сколько корней у x−2x2−4​=kx?

Сколько корней? Ответьте по графику

Кто ошибся: x−3x2​=x−33x​

Вася

Катя

Шесть заданий: от базы к параметру

Подсказки

Решите уравнение x−4x2−6x​=4−x8​

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-082 · Практикум: дробно-рациональные уравнения

Практикум:
дробно-
рациональные
уравнения

Решите $\frac{2 x}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$

$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x}{x + 2} = \frac{16}{x ^{2} - 4}$

$\frac{x ^{3} - x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} + x - 2} = 0$

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a}{x ^{2} - 1} = 0$ ?

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = k x$ ?

Кто ошибся: $\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{3 x}{x - 3}$

Решите уравнение $\frac{x ^{2} - 6 x}{x - 4} = \frac{8}{4 - x}$