Дробно-рациональные уравнения · урок 10 из 19 · практикум

Графики уравнений
с двумя переменными

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-081

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 10/19, единица R05.5 «Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными». Тип П (практикум). Новый материал по теме был на уроке ALG8U-076; вчера (ALG8U-080) — практикум по текстовым задачам; завтра (ALG8U-082) — практикум «Дробно-рациональные уравнения».
Хронометраж (45 мин): титул и цели 2 Т (сл. 1–2) · разминка 2 П (сл. 3) · актуализация 2 П (сл. 4) · тип 1 образец 2 Т (сл. 5) · тип 1 сам 2 П (сл. 6) · тип 2 образец 2 Т (сл. 7) · тип 2 сам 2 П (сл. 8) · тип 3 образец 2 Т (сл. 9) · тип 3 сам 2 П (сл. 10) · тип 4 образец 2 Т (сл. 11) · тип 4 сам 2 П (сл. 12) · тип 5 образец 2 Т (сл. 13) · тип 5 сам 2 П (сл. 14) · тип 6 образец 2 Т (сл. 15) · тип 6 сам 2 П (сл. 16) · самопроверка, база 2 П (сл. 17) · найди ошибку 2 П (сл. 18) · самопроверка, повышенный 3 П (сл. 19) · ОГЭ 3 П (сл. 20) · самостоятельная работа 4 П (сл. 21) · итог и ДЗ 1 П (сл. 22). Т — теория 14 мин, П — практика 31 мин. Если не успеваете — задание 5 сл. 19 перенести в ДЗ.
Рисунок на титуле: парабола, прямая и точки пересечения — к концу урока ученики сами читают такие картинки как решения систем.

R05.5

Цели урока

Уравнение → множество точек → ответ

1Строить

графики уравнений с двумя переменными: прямые, их объединения, ломаные (ПР-22)

2Учитывать ОДЗ

выкалывать точки, где знаменатель равен нулю (ПР-9, ПР-20)

3Исследовать

число решений системы по взаимному расположению графиков (ПР-22)

4Работать с параметром

находить, при каком значении параметра решений одно, два, нет (ПР-21, ПР-19)

1 мин · теория
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — главный результат урока.
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-21: «Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных уравнений с параметрами». ПР-19: «Решать квадратные уравнения».
Вид деятельности ФРП: «Использовать графическую интерпретацию уравнений с двумя переменными».

разминка

Разминка · устно

Восемь вопросов за две минуты

в какой четверти
точка

(2; - 3)

IV

y = 3 x - 6

,

y = 0

x = ?

x = 2

где

2 x + y = 4

пересекает ось

O y

?

(0; 4)

разложите
на множители

x^{2} - 9

(x - 3) (x + 3)

корень
уравнения

\frac{x - 2}{x + 5} = 0

x = 2

решите
уравнение

∣ x ∣ = 3

x = \pm 3

корни
уравнения

x^{2} - 4 x + 3 = 0

1; 3

y = 2 x + 1

и

y = 2 x - 3

:
сколько общих точек?

?

ни одной

2 мин · практика
Блиц по цепочке; ответ открывается по клику после ответа ученика.
Ответы: 1) $x > 0$ , $y < 0$ — IV четверть; 2) $3 x - 6 = 0$ , $x = 2$ ; 3) $x = 0 \Rightarrow y = 4$ , точка $(0; 4)$ ; 4) $(x - 3) (x + 3)$ ; 5) числитель $0$ при $x = 2$ , знаменатель $7 \neq = 0$ ; 6) $x = 3$ или $x = - 3$ ; 7) по Виета $1 + 3 = 4$ , $1 \cdot 3 = 3$ — корни $1$ и $3$ ; 8) угловые коэффициенты равны, $1 \neq = - 3$ — прямые параллельны, общих точек нет.
Каждая карточка — инструмент урока: точки на осях (тип 1), разложение и «произведение равно нулю» (тип 2), ОДЗ дроби (тип 3), модуль (тип 4), параллельность (тип 5), квадратное уравнение (тип 6).

R05.5 · повторение

Актуализация · что такое график уравнения

Лежит ли точка на графике $2 x + y = 4$ ?

Точка	Подстановка	Ответ
$A (1; 2)$	$2 + 2 = 4$	да
$B (3; - 2)$	$6 - 2 = 4$	да
$C (- 1; 5)$	$- 2 + 5 = 3 \neq = 4$	нет
$D (- 1; 6)$	$- 2 + 6 = 4$	да

График уравнения — множество всех точек

(x; y)

, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

R05.5 · тип 1

Практикум · тип 1 · линейные уравнения

Прямая — по двум точкам на осях

Коэффициенты	График
$b \neq = 0$	прямая $y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}$
$b = 0, a \neq = 0$	вертикальная $x = \frac{c}{a}$
$a = b = 0, c = 0$	вся плоскость
$a = b = 0, c \neq = 0$	пустое множество

Ваш ход: постройте

3 x - 4 y = 12

и

2 y + 6 = 0

.

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Образец: $2 x + 3 y = 6$ ; $x = 0 \Rightarrow y = 2$ , $y = 0 \Rightarrow x = 3$ ; прямая через $(0; 2)$ и $(3; 0)$ . Случаи $x = - 2$ и $y = - 2$ — тоже линейные уравнения ( $b = 0$ и $a = 0$ ).
«Ваш ход» — короткий вопрос классу (1–2 ответа с места); полноценная тренировка — сл. 6. Ответ «Ваш ход»: $3 x - 4 y = 12$ — через $(4; 0)$ и $(0; - 3)$ ; $2 y + 6 = 0 \Leftrightarrow y = - 3$ — горизонтальная прямая. Они пересекаются в $(0; - 3)$ .
Углублённо: при $a = b = 0$ уравнение $0 x + 0 y = c$ — либо вся плоскость, либо ни одной точки. Это пригодится в системах с параметром (сл. 13–14).
Ошибка: $x = - 2$ рисуют горизонтально («это же число на оси x»).

R05.5 · тип 1

Образец → сам · тип 1 · линейные уравнения

Найдите точки на осях и постройте

$x + 2 y = 4$ $(4; 0)$ и $(0; 2)$
$5 x - 2 y = 10$ $(2; 0)$ и $(0; - 5)$
$4 x - 8 = 0$ $x = 2$ — вертикальная прямая
повыш. $2 (x + y) - 2 x = 2 y + 1$ $0 = 1$ — точек нет

к заданиям 1–3

R05.5 · тип 2

Практикум · тип 2 · произведение равно нулю

Разложили на множители — получили две линии

x^{2} - y^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x + y) = 0

x y - 2 x = 0 \Leftrightarrow x (y - 2) = 0

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Образец (слева): $(x - y) (x + y) = 0 \Leftrightarrow y = x$ или $y = - x$ . График — объединение двух прямых, «крест». Те же точки дают $y^{2} = x^{2}$ и $∣ y ∣ = ∣ x ∣$ .
Пример справа учитель разбирает вместе с классом, затем открыть: $x = 0$ (ось ординат) или $y = 2$ .
Типичная ошибка: «сократить на $x$ »: $x y = 2 x \Rightarrow y = 2$ — теряется прямая $x = 0$ . Делить можно только на то, что не равно нулю.
Вопрос: где пересекаются линии справа? В точке $(0; 2)$ — она принадлежит графику один раз.
Самостоятельная тренировка этого типа — сл. 8.

R05.5 · тип 2

Образец → сам · тип 2 · произведение равно нулю

Какие линии составляют график?

$(x + 1) (y - 3) = 0$ $x = - 1$ или $y = 3$
$y^{2} = 4$ $y = 2$ или $y = - 2$
$x^{2} - x y = 0$ $x = 0$ или $y = x$
$(x - y) (x + y - 2) = 0$ $y = x$ или $y = 2 - x$

к заданию 4

R05.5 · тип 3

Практикум · тип 3 · уравнение с дробью

Постройте график $\frac{y - 2 x}{x + y - 3} = 0$

y - 2 x = 0 и x + y - 3 \neq = 0

y = 2 x

прямая — числитель равен нулю

x + 2 x = 3 \Rightarrow x = 1, y = 2

где прямая встречает «запретную» линию

прямая

y = 2 x

без точки

(1; 2)

R05.5 · тип 4

Практикум · тип 4 · уравнения с модулем

$∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2$ : одна четверть и симметрия

x \geq 0, y \geq 0 : x + y = 2

отрезок в I четверти

(\pm x; \pm y)

— тоже решениясимметрия относительно осей

Ваш ход:
постройте

∣ y ∣ = x

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Образец: в I четверти модули раскрываются со знаком «+»: $x + y = 2$ , $0 \leq x \leq 2$ — отрезок. Замена $x \to - x$ или $y \to - y$ уравнение не меняет, поэтому график симметричен относительно обеих осей: квадрат с вершинами $(\pm 2; 0)$ , $(0; \pm 2)$ .
«Ваш ход» — вопрос классу; тренировка этого типа — сл. 12. Ответ «Ваш ход» (рисунок открывается шагом): $∣ y ∣ = x$ возможно только при $x \geq 0$ ; $y = x$ или $y = - x$ — «галочка», открытая вправо.
Ошибка: рисуют всю прямую $x + y = 2$ , забыв условие $x \geq 0, y \geq 0$ .

R05.5 · тип 4

Образец → сам · тип 4 · уравнения с модулем

Модуль: раскрываем или отражаем

$∣ x ∣ = 2$ прямые $x = 2$ и $x = - 2$
$y = ∣ x ∣ - 1$ «галочка», вершина $(0; - 1)$
$∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 3$ квадрат, вершины $(\pm 3; 0)$ , $(0; \pm 3)$
$y = 1 - ∣ x ∣$ «крыша», вершина $(0; 1)$
Общие точки графиков 2 и 4? $(- 1; 0)$ и $(1; 0)$

к заданиям 2, 4, 5

R05.5 · тип 5

Практикум · тип 5 · система двух линейных уравнений

Сколько решений? Смотрим на прямые

пересекаются · одно

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

параллельны · нет

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

совпадают · бесконечно

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

Ваш ход: при каких

k

система

{k x + 3 y = 5 2 x + y = 2

имеет единственное решение? Нет решений?

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Система $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ , $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ (коэффициенты второго уравнения не равны нулю). Решение системы — общая точка графиков. Пропорциональность коэффициентов = одинаковый наклон прямых.
«Ваш ход» — вопрос классу; тренировка этого типа — сл. 14. Ответ: $\frac{k}{2} \neq = \frac{3}{1} \Leftrightarrow k \neq = 6$ — одно решение. При $k = 6$ : $6 x + 3 y = 5$ и $6 x + 3 y = 6$ — параллельны, решений нет. Бесконечно много не бывает ни при каком $k$ , так как $\frac{5}{2} \neq = 3$ .
Ошибка: забывают сравнить свободные члены и при $k = 6$ отвечают «бесконечно много».

R05.5 · тип 5

Образец → сам · тип 5 · системы линейных уравнений

Сколько решений — без построения

${x - 2 y = 3 2 x - 4 y = 6$ бесконечно много
${3 x + y = 2 6 x + 2 y = 5$ нет решений
${x + y = 5 x - y = 1$ одно: $(3; 2)$
повыш.При каком $a$ у системы $a x + 2 y = 4$ , $3 x + y = 2$ бесконечно много решений? $a = 6$

к заданию 3

R05.5 · тип 6

Практикум · тип 6 · исследование с параметром

Система $y = x^{2}$ , $y = 2 x + b$ : сколько решений?

x^{2} = 2 x + b \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - b = 0

D = 4 + 4 b

$b$	$D$	прямая	решений
$b > - 1$	$> 0$	секущая	2
$b = - 1$	$= 0$	касается в $(1; 1)$	1
$b < - 1$	$< 0$	проходит ниже	0

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Все прямые $y = 2 x + b$ параллельны; при уменьшении $b$ прямая сдвигается вниз. Рисунок показывает, когда точек две, одна, ни одной; квадратное уравнение даёт точное значение $b$ .
Проверка: $b = 3$ : $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , $x = - 1$ и $x = 3$ → точки $(- 1; 1)$ и $(3; 9)$ ✓. $b = - 1$ : $(x - 1)^{2} = 0$ , $x = 1$ ✓. $b = - 5$ : $D = - 16 < 0$ ✓.
Углублённо: число решений системы = число корней квадратного уравнения; график объясняет, почему при $D = 0$ прямая «касается».
Ошибка: решают только при одном $b$ , не рассмотрев остальные случаи.
Самостоятельная тренировка этого типа — сл. 16.

R05.5 · тип 6

Образец → сам · тип 6 · исследование с параметром

Парабола $y = x^{2}$ и прямые

При каком $b$ прямая $y = 4 x + b$ касается параболы? $b = - 4$ , точка $(2; 4)$
Сколько решений у системы $y = x^{2}$ , $y = - 2 x + 3$ ?два: $(1; 1)$ и $(- 3; 9)$
При каких $m$ прямая $y = m$ пересекает параболу в двух точках? $m > 0$
повыш.При каких $b$ система $y = x^{2}$ , $y = x + b$ не имеет решений? $b < - \frac{1}{4}$

к заданиям 1 и 2

R05.5

Задания с самопроверкой · база

Точки, оси, выколотые точки

Лежит ли точка $(- 3; 2)$ на графике уравнения $x^{2} + y^{2} = 13$ ?да: $9 + 4 = 13$
Найдите точки пересечения графика $3 x - 5 y = 15$ с осями координат. $(5; 0)$ и $(0; - 3)$

Какая точка выколота на графике $y = \frac{x ^{2} - 16}{x - 4}$ ? $(4; 8)$
При каком $c$ точка $(2; - 1)$ лежит на графике $x^{2} + cy = 6$ ? $c = - 2$

R05.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку в графике

Запись ученика	Что не так	Верно
$x y = 2 x$ → « $y = 2$ »	поделили на $x$	$x = 0$ или $y = 2$
$y = \frac{x ^{2} - 4}{x + 2}$ → вся прямая $y = x - 2$	нет ОДЗ	выколоть $(- 2; - 4)$
$x = 3$ — горизонтальная прямая	перепутаны оси	вертикальная
$∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2$ → прямая $x + y = 2$	модуль не раскрыт	квадрат
${x + y = 1 2 x + 2 y = 3$ — «бесконечно много»	$\frac{1}{2} \neq = \frac{1}{3}$	нет решений

R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный

Пять заданий: от базы к исследованию

базаКакие из точек $A (- 2; 5)$ , $B (1; 1)$ , $C (4; - 4)$ лежат на графике $3 x + 2 y = 4$ ? $A$ и $C$
базаПостройте график уравнения $(x - 2) (y + 1) = 0$ . $x = 2$ или $y = - 1$
повыш.Постройте график уравнения $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x - y} = 0$ . $y = - x$ без $(0; 0)$
практикаТетрадь стоит $30$ р., ручка — $20$ р. Отметьте на плоскости все покупки ровно на $200$ р. ( $x$ тетрадей, $y$ ручек). $(0; 10), (2; 7), (4; 4), (6; 1)$
олимп.Сколько решений имеет система $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2$ , $y = x + b$ в зависимости от $b$ ? $∣ b ∣ < 2$ — два; $b = \pm 2$ — бесконечно много; $∣ b ∣ > 2$ — нет

Подсказки

3) ОДЗ: $y \neq = x$

4) $3 x + 2 y = 20$ , $x, y$ — целые, $\geq 0$

5) используйте квадрат со сл. 11

3 мин · практика
Задания 1–4 — все, задание 5 — для сильных (или в ДЗ). Ответы открываются по клику после каждого задания.
1) $A$ : $- 6 + 10 = 4$ ✓; $B$ : $3 + 2 = 5$ ✗; $C$ : $12 - 8 = 4$ ✓. Ответ: $A$ и $C$ .
2) Объединение прямых $x = 2$ (вертикальная) и $y = - 1$ (горизонтальная), пересекаются в $(2; - 1)$ .
3) $(x - y) (x + y) = 0$ и $x \neq = y$ → $y = - x$ , но точки прямой $y = - x$ с $y = x$ — только $(0; 0)$ . Ответ: прямая $y = - x$ без точки $(0; 0)$ .
4) $30 x + 20 y = 200 \Leftrightarrow 3 x + 2 y = 20$ ; $x$ чётное: $(0; 10)$ , $(2; 7)$ , $(4; 4)$ , $(6; 1)$ — четыре точки на прямой (график — не вся прямая, а 4 точки).
5) Прямые $y = x + b$ параллельны сторонам квадрата $y = x + 2$ и $y = x - 2$ . При $∣ b ∣ < 2$ — 2 решения; при $b = \pm 2$ — бесконечно много (вся сторона); при $∣ b ∣ > 2$ — нет решений.

R05.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (часть 2)

Постройте график $y = \frac{x ^{4} - x ^{3}}{x ^{2} - x}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

x^{2} - x \neq = 0 : x \neq = 0, x \neq = 1

y = \frac{x ^{3} ( x - 1 )}{x ( x - 1 )} = x^{2}

парабола без

(0; 0)

и

(1; 1)

ровно одна точка:

m = 1

3 мин · практика
Полное оформление — дома. ОДЗ: $x (x - 1) \neq = 0$ . После сокращения $y = x^{2}$ с двумя выколотыми точками.
Исследование: $m < 0$ — нет общих точек; $m = 0$ — вершина выколота, общих точек нет; $0 < m \neq = 1$ — две точки $x = \pm m$ ; $m = 1$ — точка $(1; 1)$ выколота, остаётся одна $(- 1; 1)$ . Ответ: $m = 1$ .
Критерии линии 22 (2 балла): график построен верно, верно найдены искомые значения параметра; 1 балл — график верный, но значения $m$ найдены неверно или не полностью. Выколотые точки обязательно отметить на рисунке.
Ошибка: ответ « $m = 0$ » (вершина параболы) — не заметили, что точка $(0; 0)$ выколота.

R05.5

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Постройте график $2 x - y = 4$ .через $(2; 0)$ и $(0; - 4)$
Постройте график $(x - 3) (y + 2) = 0$ . $x = 3$ или $y = - 2$
Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ . $y = x - 1$ без $(- 1; - 2)$
Сколько решений у системы $y = x^{2}$ , $y = 2 x - 1$ ?одно: $(1; 1)$

Вариант 2

Постройте график $3 x + y = 3$ .через $(1; 0)$ и $(0; 3)$
Постройте график $(x + 2) (y - 1) = 0$ . $x = - 2$ или $y = 1$
Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ . $y = x + 2$ без $(2; 4)$
Сколько решений у системы $y = x^{2}$ , $y = - 2 x - 1$ ?одно: $(- 1; 1)$

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы (эскиз графика в тетради), 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам, открытым по клику.
Вариант 1: 1) $x = 0 \Rightarrow y = - 4$ ; $y = 0 \Rightarrow x = 2$ . 2) Вертикальная $x = 3$ и горизонтальная $y = - 2$ , пересекаются в $(3; - 2)$ . 3) $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x + 1} = x - 1$ , $x \neq = - 1$ ; выколота $(- 1; - 2)$ . 4) $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ , $(x - 1)^{2} = 0$ , $x = 1$ , $y = 1$ — прямая касается параболы.
Вариант 2: 1) $x = 0 \Rightarrow y = 3$ ; $y = 0 \Rightarrow x = 1$ . 2) $x = - 2$ и $y = 1$ , пересекаются в $(- 2; 1)$ . 3) $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2$ , $x \neq = 2$ ; выколота $(2; 4)$ . 4) $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ , $(x + 1)^{2} = 0$ , $x = - 1$ , $y = 1$ — касание.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3»; в задании 3 без выколотой точки — не засчитывается.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое график уравнения с двумя переменными?
Откуда на графике берутся выколотые точки?
Как по рисунку узнать число решений системы?

Домашнее задание

Постройте график уравнения $y^{2} - x y = 0$ .
Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ и найдите $m$ , при которых прямая $y = m$ не имеет с ним общих точек.
* При каких $b$ система $y = x^{2}$ , $y = - 4 x + b$ имеет ровно одно решение?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-081 · Практикум: Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 10/19 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.5 «Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными» → 2–22 (R05.1 «Дробно-рациональные уравнения» как сопутствующая → 9, 10, 17, 20, 21)
Результаты	ПР-22 (исследование уравнений и систем, графические представления) → 3–22 · ПР-9 (допустимые значения) → 9, 10, 17, 18, 19, 20, 21 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 9, 10, 20, 21 · ПР-21 (системы линейных уравнений с параметром) → 13, 14 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 15, 16, 21 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства функций $y = x^{2}$ , $y = \frac{k}{x}$ и их графики — строка R06 «Функции»; уравнение окружности — по программе позже; практикум «Дробно-рациональные уравнения» — ALG8U-082
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16–22)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графики уравненийс двумя переменными

Уравнение → множество точек → ответ

1Строить

2Учитывать ОДЗ

3Исследовать

4Работать с параметром

Восемь вопросов за две минуты

Лежит ли точка на графике 2x+y=4?

Прямая — по двум точкам на осях

Найдите точки на осях и постройте

Разложили на множители — получили две линии

Какие линии составляют график?

Похожие уравнения — разные графики

Постройте график x+y−3y−2x​=0

∣x∣+∣y∣=2: одна четверть и симметрия

Модуль: раскрываем или отражаем

Сколько решений? Смотрим на прямые

пересекаются · одно

параллельны · нет

совпадают · бесконечно

Сколько решений — без построения

Система y=x2, y=2x+b: сколько решений?

Парабола y=x2 и прямые

Точки, оси, выколотые точки

Найдите ошибку в графике

Пять заданий: от базы к исследованию

Подсказки

Постройте график y=x2−xx4−x3​

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-081 · Практикум: Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными

Графики уравнений
с двумя переменными

Лежит ли точка на графике $2 x + y = 4$ ?

Постройте график $\frac{y - 2 x}{x + y - 3} = 0$

$∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 2$ : одна четверть и симметрия

Система $y = x^{2}$ , $y = 2 x + b$ : сколько решений?

Парабола $y = x^{2}$ и прямые

Постройте график $y = \frac{x ^{4} - x ^{3}}{x ^{2} - x}$