Дробно-рациональные уравнения · урок 9 из 19 · практикум

Практикум:
текстовые задачи
и дробные уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-080

1 мин · теория (вступление). Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 9/19, единица R05.4 «Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений». Тип П (практикум). Новый материал по этой единице был на уроке ALG8U-075 (движение по реке, совместная работа, средняя скорость, цена). Вчера (ALG8U-079) — метод замены переменной; завтра (ALG8U-081) — практикум по графической интерпретации уравнений с двумя переменными.
Хронометраж (45 мин): вступление и цели 2 (сл. 1–2, теория) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4, практика) · тип 1: образец 2 (сл. 5, теория) + «образец → сам» 3 (сл. 6, практика) · тип 2: модель и решение 4 (сл. 7–8, теория) + «образец → сам» 3 (сл. 9) · тип 3: образец 2 (сл. 10, теория) + отбор корней 2 (сл. 11) · тип 4: исследование 2 (сл. 12, теория) + «образец → сам» 2 (сл. 13) · сводка 1 (сл. 14, теория) · задания с самопроверкой 4 (сл. 15–16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · закрепление по типам 3 (сл. 18) · проверка 2 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · самостоятельная 3 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 22). Теория 13 мин, практика 32 мин.
Это продолжение урока 075, не копия: здесь сложнее модели — работа по этапам, две неизвестные, «ловушка» с двумя положительными корнями, исследование условия.

R05.4

Цели урока

Четыре новых типа задач

1Моделировать

сложные условия: этапы работы, две неизвестные (ПР-23)

2Решать

дробно-рациональное уравнение, сводя его к квадратному (ПР-20, ПР-19)

3Отбирать

корни по смыслу, даже если оба положительны (ПР-23)

4Исследовать

при каких данных задача имеет решение (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат» — главный результат урока.
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат».

разминка: R05.4

Разминка · устно

Блиц: время, доли, корни

20

мин

= ?

ч

\frac{1}{3}

2

ч

15

мин

= ?

ч

\frac{9}{4}

бак — за

6

ч;
часть за

1

ч?

\frac{1}{6}

катер

12

, течение

3

;
против течения?

9

км/ч

x^{2} - 7 x + 12 = 0

3; 4

x^{2} - 2 x - 24 = 0

6; - 4

общий знаменатель

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}

x (x + 2)

где не определено

\frac{5}{x - 3}

?

x = 3

повторение

Актуализация · устно

Выразите величину через переменную

Вопрос	Ответ
Рабочий выполняет заказ за $x$ ч. Какую часть — за $3$ ч?	$\frac{3}{x}$
Двое выехали навстречу и встретились через $2$ ч; расстояние $60$ км. Сумма скоростей?	$30$ км/ч
Скорость первого $u$ . Скорость второго?	$30 - u$
$1$ ч $40$ мин — это сколько часов?	$\frac{5}{3}$

R05.4 · работа

Тип 1 · образец · работа в два этапа

Сначала один, потом вместе

Первый рабочий выполняет заказ на $5$ ч быстрее второго. Первый работал один $5$ ч, затем к нему присоединился второй, и через $3$ ч заказ был выполнен. За сколько часов выполнит заказ первый?

8 (x + 5) + 3 x = x (x + 5)

x

ч — первый,

x + 5

ч — второй;

x > 0

x^{2} - 6 x - 40 = 0

x_{1} = 10, x_{2} = - 4

первый —

10

ч

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Ключ: считаем, сколько часов работал каждый. Первый — все 8 ч ( $5 + 3$ ), второй — только 3 ч. Вклад каждого = время его работы : время на весь заказ.
Решение: $8 x + 40 + 3 x = x^{2} + 5 x$ → $x^{2} - 6 x - 40 = 0$ ; по Виета сумма 6, произведение −40 → 10 и −4. Время положительно → 10 ч (второй — 15 ч).
Проверка: $\frac{8}{10} + \frac{3}{15} = 0, 8 + 0, 2 = 1$ ✓.
Ошибка: $\frac{5}{x} + \frac{3}{x + 5} = 1$ — забыт вклад первого за 3 ч совместной работы. Вопрос классу: можно ли записать иначе? $\frac{5}{x} + 3 (\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}) = 1$ — то же уравнение.

R05.4 · работа

Образец → сам · тип 1

Работа в два этапа — решите сами

базаПервый мастер выполняет заказ на $6$ ч быстрее второго. Первый работал один $3$ ч, затем вместе ещё $2$ ч — заказ выполнен. За сколько часов выполнит заказ первый? $\frac{5}{x} + \frac{2}{x + 6} = 1$ → $x^{2} - x - 30 = 0$ → $6$ ч
базаВторая труба наполняет бак на $4$ ч дольше первой. Сначала $2$ ч работала только вторая, затем ещё $4$ ч — обе. За сколько часов наполняет бак каждая? $\frac{4}{x} + \frac{6}{x + 4} = 1$ → $x^{2} - 6 x - 16 = 0$ → $8$ ч и $12$ ч
повыш.Вместе двое выполняют работу за $6$ ч. Если первый сделает половину, а затем второй — остальное, уйдёт $12, 5$ ч. За сколько часов выполнит работу каждый? $\frac{1}{x} + \frac{1}{25 - x} = \frac{1}{6}$ → $x^{2} - 25 x + 150 = 0$ → $10$ ч и $15$ ч

3 мин · практика
По образцу сл. 5: сначала таблица «кто сколько часов работал», затем уравнение. Ответы открываются по клику после решения.
1) Первый работал $3 + 2 = 5$ ч, второй 2 ч: $5 (x + 6) + 2 x = x (x + 6)$ → $x^{2} - x - 30 = 0$ → 6 и −5. Ответ: 6 ч (второй 12 ч). Проверка: $\frac{5}{6} + \frac{2}{12} = 1$ ✓.
2) Первая работала 4 ч, вторая $2 + 4 = 6$ ч: $4 (x + 4) + 6 x = x (x + 4)$ → $x^{2} - 6 x - 16 = 0$ → 8 и −2. Ответ: 8 ч и 12 ч. Проверка: $\frac{4}{8} + \frac{6}{12} = 1$ ✓.
3) Половина у первого — $\frac{x}{2}$ ч, у второго — $\frac{y}{2}$ ч, значит, $x + y = 25$ . $6 (25 - x) + 6 x = x (25 - x)$ → $x^{2} - 25 x + 150 = 0$ → 10 и 15 — оба корня подходят (это два работника). Проверка: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$ ✓, $5 + 7, 5 = 12, 5$ ✓.

R05.4 · движение

Тип 2 · образец · встречное движение

Две неизвестные — одна переменная

Из A и B, расстояние между которыми $60$ км, одновременно навстречу выехали два велосипедиста и встретились через $2$ ч. Первый прибыл в B на $1$ ч $40$ мин позже, чем второй в A. Найдите скорости.

	$v$ , км/ч	$t$ всего пути, ч
первый	$u$	$\frac{60}{u}$
второй	$30 - u$	$\frac{60}{30 - u}$

\frac{60}{u} - \frac{60}{30 - u} = \frac{5}{3}

2 мин · теория (учитель разбирает образец: модель)
В задаче две неизвестные скорости. Первое условие (встреча) связывает их: $u + v = 30$ , поэтому вторую скорость выражаем через первую.
Второе условие (разница во времени прибытия) даёт уравнение. Обратите внимание: время считаем на весь путь 60 км, а не до встречи.
Вопрос классу: кто из них медленнее? Первый приехал позже — значит, $u < 30 - u$ , то есть $u < 15$ . Это пригодится при отборе.
Ошибка: $\frac{60}{u} - \frac{60}{30 - u} = 1, 4$ — неверный перевод 1 ч 40 мин.

R05.4 · движение

Тип 2 · решаем и отбираем

Корень $90$ — скорость больше суммы скоростей

180 (30 - u) - 180 u = 5 u (30 - u)

умножили на

3 u (30 - u)

;

u \neq = 0, u \neq = 30

u^{2} - 102 u + 1080 = 0

D = 10 2^{2} - 4320 = 6084 = 7 8^{2}

u_{1} = 12, u_{2} = 90

R05.4 · движение

Образец → сам · тип 2

Встречное движение — решите сами

базаИз A и B, расстояние между которыми $36$ км, одновременно навстречу вышли два туриста и встретились через $4$ ч. Первый пришёл в B на $6$ ч позже, чем второй в A. Найдите скорости. $\frac{36}{u} - \frac{36}{9 - u} = 6$ → $u^{2} - 21 u + 54 = 0$ → $3$ и $6$ км/ч
повыш.Из двух городов, расстояние между которыми $120$ км, одновременно навстречу выехали два автомобиля и встретились через $1$ ч. Первый прибыл на $1$ ч $30$ мин позже второго. Найдите скорости. $\frac{120}{u} - \frac{120}{120 - u} = \frac{3}{2}$ → $40$ и $80$ км/ч

Порядок

1) встреча: $u + v = \frac{S}{t}$

2) $v$ через $u$

3) время на весь путь

4) отбор: $0 < u < u + v$

R05.4 · движение

Тип 3 · образец · ловушка

Оба корня положительны — оба ли подходят?

Катер прошёл $6$ км против течения и $24$ км по течению, затратив на весь путь $2$ ч. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость катера.

\frac{6}{x - 2} + \frac{24}{x + 2} = 2

6 (x + 2) + 24 (x - 2) = 2 (x^{2} - 4)

x^{2} - 15 x + 14 = 0

x_{1} = 1, x_{2} = 14

R05.4 · движение

Образец → сам · тип 3

Оба корня положительны — какой подходит?

базаКатер прошёл $4$ км против течения и $18$ км по течению за $2$ ч. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость катера. $x^{2} - 11 x + 10 = 0$ → $1$ и $10$ ; $x > 2$ → $10$ км/ч
базаКатер прошёл $3$ км против течения и $25$ км по течению за $2$ ч. Скорость течения $3$ км/ч. Найдите собственную скорость катера. $x^{2} - 14 x + 24 = 0$ → $2$ и $12$ ; $x > 3$ → $12$ км/ч
устноКорни $4$ и $24$ , по смыслу $0 < u < 12$ . Ответ? $4$
устноКорни $5$ и $20$ , в знаменателе $x - 5$ . Ответ? $20$ ( $x \neq = 5$ )

2 мин · практика
Сначала выписать ограничение ( $x >$ скорости течения), потом решать. Задания 3–4 — устно.
1) $\frac{4}{x - 2} + \frac{18}{x + 2} = 2$ → $4 (x + 2) + 18 (x - 2) = 2 (x^{2} - 4)$ → $22 x - 28 = 2 x^{2} - 8$ → $x^{2} - 11 x + 10 = 0$ → 1 и 10. При $x = 1$ : $\frac{4}{- 1} + \frac{18}{3} = 2$ — корень уравнения, но скорость против течения отрицательна. Ответ 10. Проверка: $4 : 8 + 18 : 12 = 0, 5 + 1, 5 = 2$ ✓.
2) $3 (x + 3) + 25 (x - 3) = 2 (x^{2} - 9)$ → $28 x - 66 = 2 x^{2} - 18$ → $x^{2} - 14 x + 24 = 0$ → 2 и 12; $x > 3$ → 12. Проверка: $3 : 9 + 25 : 15 = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2$ ✓.
3) 24 не входит в $(0; 12)$ → 4. 4) $x = 5$ обращает знаменатель в нуль — посторонний корень, ответ 20.

R05.4 · исследование

Тип 4 · исследование условия

При каком времени $t$ задача имеет решение?

Собственная скорость лодки $8$ км/ч. Она прошла $15$ км по течению и $15$ км против течения за $t$ ч. Найдите скорость течения $x$ .

t = \frac{15}{8 + x} + \frac{15}{8 - x} = \frac{240}{64 - x ^{2}}

x^{2} = 64 - \frac{240}{t}

0 < x^{2} < 64 \Leftrightarrow \frac{240}{t} < 64

t > 3, 75

ч

2 мин · теория (демонстрационный разбор)
Это задача урока 075 (там $t = 4$ , ответ 2 км/ч), но теперь время — параметр. Смысл: $0 < x < 8$ (течение есть, и лодка может плыть против него).
Выражаем: $64 - x^{2} = \frac{240}{t}$ . Условие $x^{2} < 64$ выполнено при любом $t > 0$ ; условие $x^{2} > 0$ даёт $\frac{240}{t} < 64$ , то есть $t > \frac{240}{64} = 3, 75$ .
По графику: $t (x)$ растёт от 3,75 (стоячая вода) до бесконечности при приближении $x$ к 8. Вопрос классу: почему по реке путь туда и обратно всегда дольше, чем по озеру ( $3, 75$ ч)?
Ошибка: $t \geq 3, 75$ . При $t = 3, 75$ получаем $x = 0$ — течения нет, а в условии оно есть.

R05.4 · исследование

Образец → сам · тип 4

Исследуйте условие

повыш.Собственная скорость лодки $6$ км/ч. Она прошла $9$ км по течению и $9$ км против течения за $t$ ч. При каких $t$ задача имеет решение? Найдите скорость течения при $t = 4$ . $t = \frac{108}{36 - x ^{2}}$ , $0 < x < 6$ → $t > 3$ ; при $t = 4$ : $x = 3$ км/ч
повыш.Автомобиль ехал из A в B со скоростью $60$ км/ч, а обратно — со скоростью $x$ км/ч. Может ли средняя скорость на всём пути быть $100$ км/ч? А $120$ км/ч? $v_{ср} = \frac{120 x}{60 + x}$ : $100$ — да, при $x = 300$ (нереально); $120$ — нет

R05.4

Сводка · четыре типа

Где ключ к модели

R05.4

Задания с самопроверкой · 1

Составьте уравнение и решите

базаМастер выполняет заказ за $x$ ч, ученик — на $6$ ч дольше; вместе — за $4$ ч. Найдите $x$ . $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}$ → $6$ ч (ученик $12$ ч)
базаПоезд прошёл $120$ км. Если бы его скорость была на $10$ км/ч больше, он затратил бы на $1$ ч меньше. Найдите скорость. $\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 10} = 1$ → $30$ км/ч
базаЛодка прошла $10$ км по течению и $6$ км против течения за $2$ ч. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость. $\frac{10}{x + 2} + \frac{6}{x - 2} = 2$ → $x = 0$ или $8$ → $8$ км/ч
базаСумма числа и обратного ему числа равна $2, 5$ . Найдите число. $2$ или $0, 5$

R05.4

Задания с самопроверкой · 2

Повышенный уровень и задача из жизни

практикаНа $1800$ р. купили несколько одинаковых книг. Если бы книга стоила на $30$ р. дешевле, на те же деньги купили бы на $2$ книги больше. Сколько стоит книга? $\frac{1800}{x - 30} - \frac{1800}{x} = 2$ → $180$ р. ( $10$ книг)
повыш.Две трубы вместе наполняют бассейн за $2$ ч $24$ мин, первая одна — на $2$ ч быстрее второй. За сколько часов наполняет бассейн каждая? $4$ ч и $6$ ч
повыш.Велосипедист проехал $30$ км из A в B, а обратно ехал на $3$ км/ч быстрее и затратил на $20$ мин меньше. Найдите скорость из A в B. $15$ км/ч
повыш.Числитель дроби на $3$ меньше знаменателя. Если к числителю прибавить $7$ , а к знаменателю $5$ , дробь увеличится на $\frac{1}{2}$ . Найдите дробь. $\frac{2}{5}$

2 мин · практика
Каждому — любые два задания; ответы по клику, одно решение выписывает у доски ученик.
1) $1800 x - 1800 (x - 30) = 2 x (x - 30)$ → $x^{2} - 30 x - 27000 = 0$ , $D = 108900 = 33 0^{2}$ → 180 и −150 → 180 р. Проверка: $1800 : 180 = 10$ , $1800 : 150 = 12 = 10 + 2$ ✓.
2) $2$ ч $24$ мин $= \frac{12}{5}$ ч: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{5}{12}$ → $5 x^{2} - 14 x - 24 = 0$ , $D = 676 = 2 6^{2}$ → 4 и −1,2 → 4 ч и 6 ч. Проверка: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$ ✓.
3) $\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 3} = \frac{1}{3}$ → $x^{2} + 3 x - 270 = 0$ , $D = 1089 = 3 3^{2}$ → 15 и −18 → 15 км/ч. Проверка: $30 : 15 = 2$ ч, $30 : 18 = 1 \frac{2}{3}$ ч, разность 20 мин ✓.
4) Дробь $\frac{x - 3}{x}$ : $\frac{x + 4}{x + 5} - \frac{x - 3}{x} = \frac{1}{2}$ → $2 (2 x + 15) = x^{2} + 5 x$ → $x^{2} + x - 30 = 0$ → 5 и −6. Дробь с натуральными числами: $x = 5$ , $\frac{2}{5}$ . Проверка: $\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$ ✓.

R05.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
один $5$ ч, потом вместе $3$ ч: $\frac{5}{x} + \frac{3}{x + 5} = 1$	потерян вклад первого	$\frac{8}{x} + \frac{3}{x + 5} = 1$
скорости $u$ и $v$ — и два уравнения не связаны	нет связи	$v = 30 - u$
$1$ ч $40$ мин $= 1, 4$ ч	минуты ≠ доли	$\frac{5}{3}$ ч
корни $1$ и $14$ → «оба положительны, ответ: $1$ ; $14$ »	не проверен смысл	$x > 2$ : $14$
«решение есть при $t \geq 3, 75$ »	$x = 0$ — нет течения	$t > 3, 75$

R05.4

Закрепление · по типам

Ваша очередь

база · тип 1Вторая труба наполняет бассейн на $6$ ч дольше первой. Сначала $3$ ч работала только вторая, затем ещё $3$ ч — обе, и бассейн наполнился. За сколько часов наполняет его каждая труба?
базаПоезд задержали на $12$ мин. Чтобы прийти вовремя, на перегоне $60$ км он увеличил скорость на $15$ км/ч. Найдите первоначальную скорость.
повыш. · тип 2Из двух сёл, расстояние между которыми $24$ км, одновременно навстречу вышли пешеход и выехал велосипедист; встретились через $2$ ч. Пешеход пришёл во второе село на $3$ ч позже, чем велосипедист в первое. Найдите их скорости.
практика · тип 3Катер прошёл $5$ км против течения и $35$ км по течению за $2$ ч. Скорость течения $3$ км/ч. Найдите собственную скорость катера.
олимп. · тип 4Первый рабочий выполняет работу на $4$ ч быстрее второго, вместе — за $t$ ч. Докажите: при любом $t > 0$ задача имеет ровно одно решение.

Подсказки

1) $\frac{3}{x} + \frac{6}{x + 6} = 1$

2) $12$ мин $= \frac{1}{5}$ ч

3) $u + v = 12$

5) знак произведения корней

3 мин · практика
Закрепление по типам: обязательно 1 и 3 (по выбору 2 или 4); 5 — для сильных или в ДЗ. Ответы — на следующем слайде.
1) Первая работала 3 ч, вторая 6 ч: $3 (x + 6) + 6 x = x (x + 6)$ → $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ → $x = 6$ (корень −3 отброшен). Ответ: 6 ч и 12 ч. Проверка: $\frac{3}{6} + \frac{6}{12} = 1$ ✓.
2) $\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 15} = \frac{1}{5}$ → $x^{2} + 15 x - 4500 = 0$ , $D = 18225 = 13 5^{2}$ , $x = 60$ (корень −75 отброшен). Проверка: $60 : 60 = 1$ ч, $60 : 75 = 0, 8$ ч, разность 0,2 ч = 12 мин ✓.
3) $\frac{24}{u} - \frac{24}{12 - u} = 3$ → $u^{2} - 28 u + 96 = 0$ , $D = 400$ , $u = 4$ или $u = 24$ ; $0 < u < 12$ → пешеход 4 км/ч, велосипедист 8 км/ч. Проверка: $24 : 4 = 6$ , $24 : 8 = 3$ , разность 3 ч ✓.
4) $5 (x + 3) + 35 (x - 3) = 2 (x^{2} - 9)$ → $x^{2} - 20 x + 36 = 0$ → 2 и 18; $x > 3$ → 18 км/ч. Проверка: $5 : 15 + 35 : 21 = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2$ ✓.
5) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{t}$ → $x^{2} + (4 - 2 t) x - 4 t = 0$ ; произведение корней $- 4 t < 0$ → корни разных знаков, положительный ровно один (и он не равен 0 и −4).

R05.4

Проверка закрепления

Модель → корни → отбор → ответ

№	Уравнение	Корни	Ответ
1	$x^{2} - 3 x - 18 = 0$	$6; - 3$	$6$ ч и $12$ ч
2	$x^{2} + 15 x - 4500 = 0$	$60; - 75$	$60$ км/ч
3	$u^{2} - 28 u + 96 = 0$	$4; 24$	$4$ км/ч и $8$ км/ч
4	$x^{2} - 20 x + 36 = 0$	$2; 18$	$18$ км/ч
5	$x^{2} + (4 - 2 t) x - 4 t = 0$	$x_{1} x_{2} = - 4 t < 0$	ровно один корень $> 0$

R05.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 (часть 2)

Найдите скорость течения

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $200$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Скорость теплохода в неподвижной воде $15$ км/ч, стоянка длится $10$ ч, а вернулся он через $40$ ч после отплытия.

	$v$ , км/ч	$t$ , ч
по течению	$15 + x$	$\frac{200}{15 + x}$
против	$15 - x$	$\frac{200}{15 - x}$

\frac{200}{15 + x} + \frac{200}{15 - x} = 30

\frac{6000}{225 - x ^{2}} = 30 \Rightarrow x^{2} = 25

0 < x < 15 : x = 5

км/ч

R05.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

По течению $48$ км и против течения $48$ км теплоход прошёл за $5$ ч; течение $4$ км/ч. Собственная скорость? $20$ км/ч
Первый рабочий выполняет заказ на $4$ ч быстрее второго. Первый работал $1$ ч один, затем $2$ ч — вместе. Время каждого? $4$ ч и $8$ ч
Расстояние $30$ км, двое вышли навстречу и встретились через $2$ ч; первый прибыл на $1$ ч $40$ мин позже второго. Скорости? $6$ и $9$ км/ч

Вариант 2

По течению $36$ км и против течения $36$ км теплоход прошёл за $5$ ч; течение $3$ км/ч. Собственная скорость? $15$ км/ч
Первый рабочий выполняет заказ на $3$ ч быстрее второго. Первый работал $1$ ч один, затем $3$ ч — вместе. Время каждого? $6$ ч и $9$ ч
Расстояние $40$ км, двое выехали навстречу и встретились через $2$ ч; первый прибыл на $1$ ч $40$ мин позже второго. Скорости? $8$ и $12$ км/ч

3 мин · практика
Варианты по партам; в классе — модель и корни, оформление дорешать дома. Ответы открываются по клику для взаимопроверки.
Вариант 1: 1) $\frac{48}{x + 4} + \frac{48}{x - 4} = 5$ → $96 x = 5 x^{2} - 80$ → $5 x^{2} - 96 x - 80 = 0$ , $D = 10816 = 10 4^{2}$ → 20 и −0,8 → 20 км/ч; проверка $48 : 24 + 48 : 16 = 2 + 3 = 5$ ✓. 2) $\frac{3}{x} + \frac{2}{x + 4} = 1$ → $x^{2} - x - 12 = 0$ → 4 и −3 → 4 ч и 8 ч; проверка $\frac{3}{4} + \frac{2}{8} = 1$ ✓. 3) $u + v = 15$ : $\frac{30}{u} - \frac{30}{15 - u} = \frac{5}{3}$ → $u^{2} - 51 u + 270 = 0$ , $D = 1521 = 3 9^{2}$ → 6 и 45; $u < 15$ → 6 и 9 км/ч; проверка $30 : 6 = 5$ , $30 : 9 = 3 \frac{1}{3}$ , разность 1 ч 40 мин ✓.
Вариант 2: 1) $\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5$ → $5 x^{2} - 72 x - 45 = 0$ , $D = 6084 = 7 8^{2}$ → 15 и −0,6 → 15 км/ч; проверка $36 : 18 + 36 : 12 = 2 + 3 = 5$ ✓. 2) $\frac{4}{x} + \frac{3}{x + 3} = 1$ → $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ → 6 и −2 → 6 ч и 9 ч; проверка $\frac{4}{6} + \frac{3}{9} = 1$ ✓. 3) $u + v = 20$ : $\frac{40}{u} - \frac{40}{20 - u} = \frac{5}{3}$ → $u^{2} - 68 u + 480 = 0$ , $D = 2704 = 5 2^{2}$ → 8 и 60; $u < 20$ → 8 и 12 км/ч; проверка $40 : 8 = 5$ , $40 : 12 = 3 \frac{1}{3}$ , разность 1 ч 40 мин ✓.
Критерий: 3 верных — «5», 2 — «4», 1 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как учесть работу «сначала один, потом вместе»?
Как свести две неизвестные скорости к одной?
Почему положительный корень может не подойти?

Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

Домашнее задание

Вторая бригада выполняет заказ на $6$ дней дольше первой. Вторая работала $3$ дня, затем обе — $6$ дней. За сколько дней выполнит заказ первая?
Два автомобиля выехали навстречу из городов в $180$ км друг от друга и встретились через $2$ ч. Первый прибыл на $1$ ч $40$ мин позже второго. Скорости?
* Лодка ( $10$ км/ч) прошла $12$ км по течению и обратно за $t$ ч. При каких $t$ есть решение?

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-080 · Практикум: Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 9/19 · тип П (практикум) · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R05.4 «Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений» → 2–22 (R05.2 «…сводящихся к линейным или к квадратным» как сопутствующая → 5, 6, 8–11, 15, 16, 18–21)
Результаты	ПР-23 (словесная формулировка → модель, интерпретация) → 4–11, 13–22 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 5, 6, 8–12, 15, 16, 18–21 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 5, 6, 8–11, 15, 16, 19, 21 · ПР-22 (исследование уравнений, графические представления) → 12, 13, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-076, ALG8U-081; системы уравнений с двумя переменными — по программе позже; базовые типы (река, совместная работа, средняя скорость, цена) — ALG8U-075
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:текстовые задачии дробные уравнения

Четыре новых типа задач

1Моделировать

2Решать

3Отбирать

4Исследовать

Блиц: время, доли, корни

Выразите величину через переменную

Сначала один, потом вместе

Работа в два этапа — решите сами

Две неизвестные — одна переменная

Корень 90 — скорость больше суммы скоростей

Встречное движение — решите сами

Порядок

Оба корня положительны — оба ли подходят?

Оба корня положительны — какой подходит?

При каком времени t задача имеет решение?

Исследуйте условие

Где ключ к модели

Составьте уравнение и решите

Повышенный уровень и задача из жизни

Найдите ошибку

Ваша очередь

Подсказки

Модель → корни → отбор → ответ

Найдите скорость течения

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-080 · Практикум: Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений

Практикум:
текстовые задачи
и дробные уравнения

Корень $90$ — скорость больше суммы скоростей

При каком времени $t$ задача имеет решение?