Дробно-рациональные уравнения · урок 8 из 19 · практикум

Метод замены
переменной

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-079

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Теория (14 мин): сл. 1 (1), 2 (1), 5 (2), 6 (3), 9 (2), 10 (2), 13 (3) — алгоритм и все четыре образца сохранены полностью.
Практика (31 мин): разминка 2 (сл. 3) · актуализация 1 (сл. 4) · тип 1: 2 + 2 (сл. 7, 8) · типы 2–3: 2 + 2 (сл. 11, 12) · тип 4: 2 + 2 (сл. 14, 15) · ошибки 2 (сл. 16) · параметр 2 (сл. 17) · задача из жизни 2 (сл. 18) · задания по уровням 3 (сл. 19) · самостоятельная 4 (сл. 20) · ОГЭ 2 (сл. 21) · итог 1 (сл. 22).
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 8/19, единица R05.3 «Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной». Тип П (практикум). Метод введён на уроке ALG8U-074; вчера (ALG8U-078) — практикум по уравнениям, сводящимся к линейным и квадратным; завтра (ALG8U-080) — текстовые задачи.
Если класс сильный — сл. 7 сократить до одного уравнения, освободившееся время отдать сл. 19; если слабый — сл. 17 перенести на ALG8U-084 (следующий практикум по R05.3).

R05.3

Цели урока

Видеть повторяющийся блок и заменять его одной буквой

Решать

дробно-рациональные уравнения методом замены переменной (ПР-20)

Сводить

к квадратному уравнению относительно $t$ (ПР-19)

Контролировать

допустимые значения $x$ и ограничения на $t$ (ПР-9)

Исследовать

число корней уравнения с параметром (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-20 «Решать дробно-рациональные уравнения»; ПР-19 «Решать квадратные уравнения»; ПР-9 «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»; ПР-22 «Проводить исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Решать дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или к квадратным уравнениям, использовать метод замены переменной».

разминка

Разминка · устно

Решите, найдите, вычислите

t^{2} - 5 t + 6 = 0

2; 3

t^{2} + t - 6 = 0

- 3; 2

\frac{1}{x} = - 4

x = - 0, 25

\frac{x}{x + 1} = 2

x = - 2

при каких

x

нет смысла?

\frac{3}{x ^{2} - 4 x}

x = 0; 4

наименьшее значение

x^{2} - 6 x + 10

1

x = 2

x + \frac{1}{x} = ?

2, 5

x + \frac{1}{x} = 3

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?

7

2 мин · практика
Блиц по цепочке: ученик называет ответ, учитель открывает его по клику. Повторяем всё, что понадобится в методе замены: квадратное уравнение, ОДЗ, простейшие дробные уравнения, оценку трёхчлена.
Ответы: 1) по Виету t = 2, t = 3; 2) t = 2, t = −3; 3) x = 1 : (−4) = −0,25; 4) x = 2x + 2 → x = −2 (x ≠ −1 ✓); 5) x² − 4x = x(x − 4) = 0 при x = 0 и x = 4; 6) x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 ≥ 1, наименьшее 1 при x = 3; 7) 2 + 1/2 = 2,5; 8) (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x², поэтому 9 − 2 = 7.
Карточки 6 и 8 — мостик к ограничениям на t и к типу 4 (сл. 13).

повторение: ALG8U-074

Актуализация · устно

Что обозначить через $t$ ?

Уравнение	Замена	Уравнение для $t$
$\frac{2}{x ^{2}} - \frac{1}{x} - 1 = 0$	$t = \frac{1}{x}$	$2 t^{2} - t - 1 = 0$
$\frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x - 1} = 2, 5$	$t = \frac{x - 1}{x}$	$t + \frac{1}{t} = 2, 5$
$\frac{5}{x ^{2} + x} - x^{2} - x = 4$	$t = x^{2} + x$	$\frac{5}{t} - t = 4$
$x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} + x + \frac{3}{x} = 6$	$t = x + \frac{3}{x}$	$t^{2} - 6 + t = 6$

R05.3

Алгоритм · опора на весь урок

Пять шагов метода замены

R05.3 · тип 1

Тип 1 · взаимно обратные дроби · образец

$\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$

ОДЗ:

x \neq = 0, x \neq = - 1

t = \frac{x}{x + 1} : t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0 \Rightarrow t = 2, t = \frac{1}{2}

Ответ:

- 2; 1

R05.3 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Та же идея — со знаком «минус»

а) $\frac{x}{x - 2} - \frac{x - 2}{x} = \frac{8}{3}$

t - \frac{1}{t} = \frac{8}{3} \Rightarrow 3 t^{2} - 8 t - 3 = 0

t = 3, t = - \frac{1}{3}

Ответ:

0, 5; 3

б) $\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{10}{3}$

3 t^{2} - 10 t + 3 = 0

t = 3, t = \frac{1}{3}

Ответ:

- 3, 5; 2, 5

R05.3 · тип 1

Тип 1 · задания с самопроверкой

Замена $t = \frac{1}{x}$ или пара $t$ и $\frac{1}{t}$

база $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x} - 6 = 0$ $- \frac{1}{3}; \frac{1}{2}$
база $\frac{x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = \frac{5}{2}$ $- 1; 2$
повыш. $\frac{x + 2}{x} - \frac{x}{x + 2} = \frac{3}{2}$ $- \frac{4}{3}; 2$
повыш. $\frac{x ^{2}}{x + 1} + \frac{x + 1}{x ^{2}} = 2$ $\frac{1 - 5}{2}; \frac{1 + 5}{2}$

2 мин · практика
Решают в тетрадях, ответы открываются по одному; ученик называет замену и уравнение для t.
1) ОДЗ x ≠ 0; t = 1/x: t² + t − 6 = 0 → t = 2, t = −3 → x = 1/2, x = −1/3. Проверка x = 1/2: 4 + 2 − 6 = 0 ✓; x = −1/3: 9 − 3 − 6 = 0 ✓.
2) ОДЗ x ≠ 0, 1; t = x/(x − 1): 2t² − 5t + 2 = 0 → t = 2, 1/2. x = 2x − 2 → x = 2; 2x = x − 1 → x = −1. Проверка x = 2: 2 + 1/2 ✓; x = −1: 1/2 + 2 ✓.
3) ОДЗ x ≠ 0, −2; t = (x + 2)/x: t − 1/t = 3/2 → 2t² − 3t − 2 = 0 → t = 2, −1/2. x + 2 = 2x → x = 2; 2x + 4 = −x → x = −4/3. Проверка x = 2: 2 − 1/2 = 3/2 ✓; x = −4/3: (2/3)/(−4/3) = −1/2, (−4/3)/(2/3) = −2, −1/2 + 2 = 3/2 ✓.
4) ОДЗ x ≠ 0, −1; t = x²/(x + 1): t + 1/t = 2 → (t − 1)² = 0 → t = 1 → x² − x − 1 = 0 → x = (1 ± √5)/2 (оба в ОДЗ). Проверка: при этих x x² = x + 1, дроби равны 1 и 1, сумма 2 ✓.

R05.3 · тип 2

Тип 2 · повторяющийся многочлен · образец

$x^{2} + 3 x - \frac{12}{x ^{2} + 3 x} = 1$

t = x^{2} + 3 x, t \neq = 0 : t - \frac{12}{t} = 1

t^{2} - t - 12 = 0 \Rightarrow t = 4, t = - 3

x^{2} + 3 x = 4 \Rightarrow x = - 4, x = 1

x^{2} + 3 x = - 3

:

D = - 3 < 0

Ответ:

- 4; 1

R05.3 · тип 3

Тип 3 · знаменатели отличаются на число · образец

$\frac{1}{x ^{2} - 2 x + 2} + \frac{2}{x ^{2} - 2 x + 3} = \frac{6}{x ^{2} - 2 x + 4}$

t = x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2 \geq 2

берём «средний» знаменатель

\frac{1}{t - 1} + \frac{2}{t} = \frac{6}{t + 1}

3 t^{2} - 7 t + 2 = 0 \Rightarrow t = 2, t = \frac{1}{3}

(x - 1)^{2} + 2 = 2

. Ответ:

1

R05.3 · типы 2–3

Типы 2–3 · решите сами

Найдите блок, ограничьте $t$ , не забудьте вернуться к $x$

а) $x^{2} - 4 x + 1 = \frac{30}{x ^{2} - 4 x}$

t = x^{2} - 4 x \geq - 4

t^{2} + t - 30 = 0 \Rightarrow t = 5, t = - 6

Ответ:

- 1; 5

б) $\frac{4}{x ^{2} + 4} + \frac{5}{x ^{2} + 5} = 2$

t = x^{2} \geq 0

2 t^{2} + 9 t = 0 \Rightarrow t = 0, t = - 4, 5

Ответ:

0

R05.3 · типы 2–3

Типы 2–3 · задания с самопроверкой

Повторяющийся трёхчлен и «соседние» знаменатели

база $(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0$ $- 3; - 2; 1; 2$
база $\frac{12}{x ^{2} + 2 x} - x^{2} - 2 x = 1$ $- 3; 1$
повыш. $\frac{1}{x ^{2} + x + 1} + \frac{1}{x ^{2} + x + 2} = \frac{3}{2}$ $- 1; 0$
повыш. $(x^{2} + 3 x + 1) (x^{2} + 3 x + 3) = - 1$ $- 2; - 1$

2 мин · практика
Сначала спросить: какой блок обозначим через t и какие t возможны? Потом решение и ответы по клику.
1) t = x² + x: t² − 8t + 12 = 0 → t = 2, 6. x² + x − 2 = 0 → 1, −2; x² + x − 6 = 0 → 2, −3. Проверка x = 2: 36 − 48 + 12 = 0 ✓; x = 1: 4 − 16 + 12 = 0 ✓.
2) ОДЗ x ≠ 0, −2; t = x² + 2x = (x + 1)² − 1 ≥ −1: 12/t − t = 1 → t² + t − 12 = 0 → t = 3, −4; t = −4 < −1 отбрасываем. x² + 2x − 3 = 0 → 1, −3. Проверка x = 1: 12/3 − 3 = 1 ✓.
3) t = x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4: 1/t + 1/(t + 1) = 3/2 → 2(t + 1) + 2t = 3t(t + 1) → 3t² − t − 2 = 0 → t = 1, −2/3 (отбрасываем). x² + x = 0 → 0, −1. Проверка x = 0: 1 + 1/2 = 3/2 ✓.
4) «Средний» трёхчлен t = x² + 3x + 2: (t − 1)(t + 1) = −1 → t² = 0 → t = 0 → x = −1, −2. Проверка x = −1: (−1) · 1 = −1 ✓; x = −2: (4 − 6 + 1)(4 − 6 + 3) = −1 ✓.

R05.3 · тип 4

Тип 4 · симметричные (возвратные) уравнения · образец

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + x + \frac{1}{x} = 4$

t = x + \frac{1}{x} : x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2

t^{2} + t - 6 = 0 \Rightarrow t = 2, t = - 3

x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = 1

x^{2} + 3 x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{- 3 \pm 5}{2}

Ответ:

\frac{- 3 - 5}{2}; \frac{- 3 + 5}{2}; 1

R05.3 · тип 4

Тип 4 · решите сами

$x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} - 2 (x + \frac{2}{x}) + 1 = 0$

t = x + \frac{2}{x} : t^{2} = x^{2} + 4 + \frac{4}{x ^{2}}

t^{2} - 4 - 2 t + 1 = 0 \Rightarrow t^{2} - 2 t - 3 = 0

t = 3, t = - 1

x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1, x = 2

x^{2} + x + 2 = 0

:

D = - 7 < 0

Ответ:

1; 2

Удвоенное произведение

2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} = 4

, а не

2

R05.3 · тип 4

Тип 4 · задания с самопроверкой

Симметричные уравнения: $t = x \pm \frac{k}{x}$

база $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - (x + \frac{1}{x}) = 0$ $1$
база $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 3 (x + \frac{1}{x}) + 4 = 0$ $- 1$
повыш. $x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} - (x + \frac{3}{x}) = 14$ $- 3; - 1; \frac{5 \pm 13}{2}$
повыш. $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - (x - \frac{1}{x}) = 4$ $1 \pm 2; \frac{- 1 \pm 5}{2}$

2 мин · практика
Задания 1–2 — устно-письменно, 3–4 — в тетради. Ответы открываются по клику.
1) t = x + 1/x: t² − 2 − t = 0 → t = 2, −1; t = −1 не подходит (|t| ≥ 2). x + 1/x = 2 → x = 1. Проверка: 1 + 1 − 2 = 0 ✓.
2) t² − 2 + 3t + 4 = 0 → t² + 3t + 2 = 0 → t = −1 (нет, |t| ≥ 2), t = −2 → x = −1. Проверка: 2 + 3 · (−2) + 4 = 0 ✓.
3) t = x + 3/x, x² + 9/x² = t² − 6: t² − t − 20 = 0 → t = 5, −4 (оба |t| ≥ 2√3 ≈ 3,46). x² − 5x + 3 = 0 → (5 ± √13)/2; x² + 4x + 3 = 0 → −1, −3. Проверка x = −1: 1 + 9 + 4 = 14 ✓; x = −3: 9 + 1 + 4 = 14 ✓.
4) t = x − 1/x, x² + 1/x² = t² + 2 (знак «+», ограничений на t нет): t² − t − 2 = 0 → t = 2, −1. x² − 2x − 1 = 0 → 1 ± √2; x² + x − 1 = 0 → (−1 ± √5)/2. Проверка через t: t = 2 → 6 − 2 = 4 ✓; t = −1 → 3 + 1 = 4 ✓. Мостик к ДЗ 3*.

R05.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{1}{x ^{2}} - \frac{3}{x} + 2 = 0$ : $t = 1; 2$ . Ответ: $1; 2$	нет обратной замены	$x = 1; \frac{1}{2}$
$t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2}$	потеряно $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$	$t^{2} - 2$
$\frac{4}{t + 4} + \frac{5}{t + 5} = 2$ : $t = 0$ — «нельзя»	запрет только $t \neq = - 4, - 5$	$t = 0$ годится
$x^{2} + 3 x = - 3$ : « $x = - 1$ , подбором»	не проверили: $1 - 3 = - 2$	$D < 0$ , корней нет

R05.3 · исследование

Углублённо · уравнение с параметром

При каких $a$ уравнение $\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = a$ имеет корни?

t = \frac{x}{x + 1}, t \neq = 0, t \neq = 1

t = 1

:

x = x + 1

— невозможно

t + \frac{1}{t} = a, ∣ a ∣ \geq 2

a \in (- \infty; - 2] \cup (2; + \infty)

2 мин · практика (исследование)
Ученики в парах отвечают по графику: сколько t при a = 2, a = 3, a = −2, a = 1? Учитель открывает выводы по клику. Каждому t ≠ 0, t ≠ 1 соответствует ровно один x = t/(1 − t) (из x = t(x + 1)), причём x ≠ 0, x ≠ −1. Поэтому число корней x равно числу подходящих t.
Уравнение t + 1/t = a: прямая y = a пересекает график при |a| ≥ 2. При a = 2 единственное t = 1 — запрещено, корней нет. При a > 2 — два t (оба ≠ 1). При a = −2 — t = −1 → x = −1/2. При a < −2 — два t.
Ответ: a ≤ −2 или a > 2. Проверка a = −2: x = −1/2 → (−1/2)/(1/2) + (1/2)/(−1/2) = −1 − 1 = −2 ✓.
Типичная ошибка — ответ «|a| ≥ 2»: забыли, что t = 1 недостижимо.

R05.3 · задача из жизни

Задача из жизни · экран

Каковы пропорции экрана?

У прямоугольного экрана квадрат диагонали в $2, 9$ раза больше площади. Во сколько раз длина больше ширины?

\frac{d ^{2}}{S} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

t = \frac{a}{b} > 1 : t + \frac{1}{t} = 2, 9

t = 2, 5

или

t = 0, 4

(не подходит)

Бывает ли экран с $d^{2} = 1, 9 S$ ? нет: $t + \frac{1}{t} \geq 2$

R05.3

Задания с самопроверкой · по уровням

Пять уравнений — от базы к олимпиаде

база $\frac{1}{x ^{2}} - \frac{5}{x} + 6 = 0$ $\frac{1}{3}; \frac{1}{2}$
база $\frac{x}{x + 3} + \frac{x + 3}{x} = 2, 5$ $- 6; 3$
повыш. $\frac{x ^{2} + x - 5}{x} + \frac{3 x}{x ^{2} + x - 5} + 4 = 0$
$- 5; - 1 \pm 6; 1$
повыш. $2 (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) - 7 (x + \frac{1}{x}) + 9 = 0$ $0, 5; 2$
олимп. $\frac{x ^{2} + 1}{x} + \frac{x}{x ^{2} + 1} = - 2, 5$ $- 1$

Подсказки

3) $t = \frac{x ^{2} + x - 5}{x}$

4) $∣ t ∣ \geq 2$ отсеет лишнее

5) оцените $\frac{x ^{2} + 1}{x}$

3 мин · практика
Решают в тетрадях 2 мин, ответы открываются по клику. 1) t = 1/x: t² − 5t + 6 = 0 → t = 2, 3 → x = 1/2, 1/3. Проверка x = 1/3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓.
2) t + 1/t = 5/2 → t = 2, 1/2. x/(x + 3) = 2 → x = −6; = 1/2 → x = 3. Проверка x = 3: 1/2 + 2 ✓; x = −6: 2 + 1/2 ✓. Ответ: −6; 3.
3) t + 3/t + 4 = 0 → t² + 4t + 3 = 0 → t = −1, −3. x² + x − 5 = −x → x² + 2x − 5 = 0 → x = −1 ± √6; x² + x − 5 = −3x → x² + 4x − 5 = 0 → x = 1, −5. Проверка x = 1: −3 + 3/(−3) + 4 = 0 ✓. Ответ: −5; −1 − √6; −1 + √6; 1.
4) 2(t² − 2) − 7t + 9 = 0 → 2t² − 7t + 5 = 0 → t = 1, 5/2. t = 1 — нет (|t| ≥ 2). x + 1/x = 5/2 → x = 2, 1/2. Проверка x = 2: 2 · 4,25 − 17,5 + 9 = 0 ✓. Ответ: 0,5; 2.
5) t = (x² + 1)/x, |t| ≥ 2. t + 1/t = −5/2 → t = −2, −1/2; t = −1/2 отбрасываем. x² + 1 = −2x → x = −1. Проверка: 2/(−1) + (−1)/2 = −2,5 ✓. Ответ: −1. При нехватке времени — в ДЗ.

R05.3

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$\frac{1}{x ^{2}} - \frac{4}{x} + 3 = 0$ $\frac{1}{3}; 1$
$\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x} = \frac{5}{2}$ $- 4; 2$
$x^{2} + x - \frac{12}{x ^{2} + x} = 4$ $- 3; 2$
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 5 (x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$
$1; \frac{3 \pm 5}{2}$

Вариант 2

$\frac{1}{x ^{2}} - \frac{5}{x} + 4 = 0$ $\frac{1}{4}; 1$
$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 3}{x} = \frac{5}{2}$ $- 3; 6$
$x^{2} - x - \frac{12}{x ^{2} - x} = 4$ $- 2; 3$
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 5 (x + \frac{1}{x}) + 8 = 0$
$- 1; \frac{- 3 \pm 5}{2}$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) t = 1/x: t² − 4t + 3 = 0 → t = 1, 3 → x = 1, 1/3; проверка x = 1/3: 9 − 12 + 3 = 0 ✓. 2) t = x/(x + 2): t = 2 → x = 2x + 4 → x = −4; t = 1/2 → 2x = x + 2 → x = 2; проверка x = 2: 1/2 + 2 ✓, x = −4: 2 + 1/2 ✓. 3) t = x² + x ≥ −1/4: t² − 4t − 12 = 0 → t = 6, −2 (нет); x² + x − 6 = 0 → 2, −3; проверка x = 2: 6 − 2 = 4 ✓. 4) t² − 2 − 5t + 8 = 0 → t² − 5t + 6 = 0 → t = 2, 3; x = 1; x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5)/2; проверка x = 1: 2 − 10 + 8 = 0 ✓.
Вариант 2: 1) t² − 5t + 4 = 0 → t = 1, 4 → x = 1, 1/4; проверка x = 1/4: 16 − 20 + 4 = 0 ✓. 2) t = x/(x − 3): t = 2 → x = 2x − 6 → x = 6; t = 1/2 → 2x = x − 3 → x = −3; проверка x = 6: 2 + 1/2 ✓, x = −3: 1/2 + 2 ✓. 3) t = x² − x ≥ −1/4: t = 6, −2 (нет); x² − x − 6 = 0 → 3, −2; проверка x = 3: 6 − 2 = 4 ✓. 4) t² + 5t + 6 = 0 → t = −2, −3; x = −1; x² + 3x + 1 = 0 → (−3 ± √5)/2; проверка x = −1: 2 − 10 + 8 = 0 ✓.

R05.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{3}{x} - 10 = 0$

t = \frac{1}{x}, t \neq = 0 : t^{2} + 3 t - 10 = 0

t = 2, t = - 5

\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = 0, 5; \frac{1}{x} = - 5 \Rightarrow x = - 0, 2

Ответ:

- 0, 2; 0, 5

Часть 2: полное решение с обоснованием, 2 балла

Обязательно: замена, обратная замена, ОДЗ

x \neq = 0

2 мин · практика
Ученик у доски оформляет решение, класс сверяет с шагами на слайде. Задание линии 20 ОГЭ (алгебраическое уравнение, развёрнутый ответ).
Проверка: x = 0,5 → 4 + 6 − 10 = 0 ✓; x = −0,2 → 25 − 15 − 10 = 0 ✓.
Критерии: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка или описка. Типичная потеря балла — в ответ записаны t = 2 и t = −5.
Альтернатива: умножить на x² (x ≠ 0): 10x² − 3x − 1 = 0 → x = 0,5; −0,2.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как увидеть, что подходит замена?
Зачем искать ограничения на $t$ ?
Чему равно $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ через $t = x + \frac{1}{x}$ ?

Домашнее задание

$\frac{4}{x ^{2}} - \frac{3}{x} - 1 = 0$
$\frac{x + 1}{x} + \frac{x}{x + 1} = \frac{13}{6}$
* $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 3 (x - \frac{1}{x}) = 0$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

1 мин · практика (рефлексия)
Ответы ДЗ: 1) t = 1/x: 4t² − 3t − 1 = 0 → t = 1, −1/4 → x = 1, −4. Проверка x = −4: 1/4 + 3/4 − 1 = 0 ✓.
2) t = (x + 1)/x: 6t² − 13t + 6 = 0 → t = 3/2, 2/3 → x = 2, −3. Проверка x = 2: 3/2 + 2/3 = 13/6 ✓; x = −3: 2/3 + 3/2 ✓.
3*) t = x − 1/x, x² + 1/x² = t² + 2 (знак «+»!): t² − 3t + 2 = 0 → t = 1, 2. x² − x − 1 = 0 → (1 ± √5)/2; x² − 2x − 1 = 0 → 1 ± √2. Четыре корня. Проверка через t: t = 1 → 3 − 3 = 0 ✓; t = 2 → 6 − 6 = 0 ✓.
Следующий урок ALG8U-080 — практикум «Текстовые задачи с помощью дробно-рациональных уравнений». Повтор практикума по замене — ALG8U-084.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-079 · Практикум: метод замены переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 8/19 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.3 «Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной» → 2–22 (теория 14 мин: сл. 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13; практика 31 мин, 69 %)
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 3–22 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 6–15, 18–21 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 5–12, 16, 17 · ПР-22 (исследование уравнений) → 9, 10, 12, 17, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	введение метода — ALG8U-074; текстовые задачи — ALG8U-080 (R05.4); графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — R05.5; следующий практикум по R05.3 — ALG8U-084, ALG8U-089
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Метод заменыпеременной

Видеть повторяющийся блок и заменять его одной буквой

Решать

Сводить

Контролировать

Исследовать

Решите, найдите, вычислите

Что обозначить через t?

Пять шагов метода замены

x+1x​+xx+1​=25​

Та же идея — со знаком «минус»

Замена t=x1​ или пара t и t1​

x2+3x−x2+3x12​=1

x2−2x+21​+x2−2x+32​=x2−2x+46​

Найдите блок, ограничьте t, не забудьте вернуться к x

Повторяющийся трёхчлен и «соседние» знаменатели

x2+x21​+x+x1​=4

x2+x24​−2(x+x2​)+1=0

Симметричные уравнения: t=x±xk​

Найдите ошибку

При каких a уравнение x+1x​+xx+1​=a имеет корни?

Каковы пропорции экрана?

Пять уравнений — от базы к олимпиаде

Подсказки

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение x21​+x3​−10=0

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-079 · Практикум: метод замены переменной

Метод замены
переменной

Что обозначить через $t$ ?

$\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$

Замена $t = \frac{1}{x}$ или пара $t$ и $\frac{1}{t}$

$x^{2} + 3 x - \frac{12}{x ^{2} + 3 x} = 1$

$\frac{1}{x ^{2} - 2 x + 2} + \frac{2}{x ^{2} - 2 x + 3} = \frac{6}{x ^{2} - 2 x + 4}$

Найдите блок, ограничьте $t$ , не забудьте вернуться к $x$

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + x + \frac{1}{x} = 4$

$x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} - 2 (x + \frac{2}{x}) + 1 = 0$

Симметричные уравнения: $t = x \pm \frac{k}{x}$

При каких $a$ уравнение $\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = a$ имеет корни?

Решите уравнение $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{3}{x} - 10 = 0$