Дробно-рациональные уравнения · урок 6 из 19 · практикум

Практикум:
дробно-
рациональные
уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-077

Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 6/19, единица R05.1 «Дробно-рациональные уравнения». Тип П (практикум). До этого: ALG8U-072 — понятие и правило «дробь = 0», ALG8U-073 — сведение к линейным и квадратным, ALG8U-074 — замена переменной, ALG8U-075 — текстовые задачи, ALG8U-076 — графическая интерпретация. Завтра ALG8U-078 — практикум по R05.2 (общий знаменатель, суммы дробей).
0,5 мин · теория
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11 (все теоретические слайды и образцы сохранены полностью); практика — разминка (3), «образец → сам» по каждому типу (6, 8, 10, 12), задания с самопроверкой (13, 14, 15), найдите ошибку (16), задача из жизни (17), формат ОГЭ (18, 19), самостоятельная работа (20), рефлексия и ДЗ (21).
Если класс сильный — тип 3 пройти устно, освободившееся время отдать параметру.

R05.1

Цели практикума

Четыре типа — один алгоритм

Тип 1 · $\frac{A}{B} = 0$

раскладывать числитель и знаменатель на множители (ПР-20, ПР-12)

Тип 2 · пропорция

переходить к целому уравнению и отсеивать посторонние корни (ПР-20, ПР-19, ПР-9)

Тип 3 · одинаковые дроби

не терять ограничение при «сокращении» дробей (ПР-9, ПР-20)

Тип 4 · параметр

находить число корней по графику (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Распознавать дробно-рациональные уравнения. Решать дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или к квадратным уравнениям».
Структура каждого типа: образец по шагам → задание на тот же тип.

повторение: R05.1

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Разложите $x^{2} - 9$ . $(x - 3) (x + 3)$
Разложите $x^{2} - 5 x$ . $x (x - 5)$
Корни $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ . $3; 4$
Корни $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ . $2; - 4$

При каком $x$ не определена $\frac{5}{2 x - 6}$ ? $3$
Решите $\frac{x - 7}{x + 1} = 0$ . $7$
Верно ли $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ при всех $x$ ?
нет, только при $x \neq = 2$
Решите $\frac{6}{x} = \frac{3}{2}$ . $4$

повторение: R05.1

Актуализация · алгоритм и ОДЗ устно

Каждое решение — четыре шага

Знаменатель	$x^{2} - 4$	$x^{2} + 4$	$x^{2} - 3 x$	$x^{3} - x$
ОДЗ	$x \neq = \pm 2$	любое $x$	$x \neq = 0, x \neq = 3$	$x \neq = 0, x \neq = \pm 1$

\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow {A = 0 B \neq = 0

\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Leftrightarrow {A D = BC B \neq = 0, D \neq = 0

R05.1 · тип 1

1Образец · разложение на множители

Решите $\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - 9 x + 18}{x ^{2} - 5 x + 6} = 0$

x^{2} (x - 2) - 9 (x - 2) = (x - 2) (x - 3) (x + 3)

числитель: группировка

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

знаменатель: Виета

кандидаты

2; 3; - 3

, запрет

x \neq = 2, x \neq = 3

Ответ:

- 3

R05.1 · тип 1

1Образец → сам · решите сами

Разложите — и отсейте

а) $\frac{x ^{3} + 3 x ^{2} - 4 x - 12}{x ^{2} + x - 6} = 0$

\frac{( x + 3 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} = 0

кандидаты

- 3; 2; - 2

;

x \neq = - 3, x \neq = 2

Ответ:

- 2

б) $\frac{x ^{4} - 10 x ^{2} + 9}{x ^{2} + 2 x - 3} = 0$

\frac{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} - 9 )}{( x + 3 ) ( x - 1 )} = 0

кандидаты

\pm 1; \pm 3

;

x \neq = - 3, x \neq = 1

Ответ:

- 1; 3

Удобно: разложить знаменатель так же, как числитель, — общие множители сразу видны

R05.1 · тип 2

2Образец · пропорция с посторонним корнем

Решите $\frac{x}{x - 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$

ОДЗ:

x \neq = 3, x \neq = - 3

x (x + 3) = 18

умножили на

(x - 3) (x + 3)

x^{2} + 3 x - 18 = 0 \Rightarrow x = 3, x = - 6

3 \in /

ОДЗ. Ответ:

- 6

R05.1 · тип 2

2Образец → сам · решите сами

Пропорции: сколько корней останется?

а) $\frac{x ^{2}}{x - 4} = \frac{3 x + 4}{x - 4}$

x^{2} - 3 x - 4 = 0

x = 4, x = - 1

;

x \neq = 4

Ответ:

- 1

б) $\frac{x + 4}{x - 1} = \frac{2 x + 2}{x + 1}$

\frac{x + 4}{x - 1} = 2, x \neq = - 1

x + 4 = 2 x - 2

Ответ:

6

в) $\frac{x}{x - 1} = \frac{2 x + 6}{x + 5}$

x^{2} - x - 6 = 0

x = 3, x = - 2

; оба в ОДЗ

Ответ:

- 2; 3

2,5 мин · практика
а) Знаменатели равны → числители равны при x ≠ 4. Виета: 4 и −1; 4 — посторонний. Проверка x = −1: 1/(−5) и (−3 + 4)/(−5) = 1/(−5) ✓.
б) Правая дробь сокращается: 2(x + 1)/(x + 1) = 2, но ограничение x ≠ −1 остаётся. x = 6 ∈ ОДЗ. Проверка: 10/5 = 2; 14/7 = 2 ✓.
в) Крест: x(x + 5) = (2x + 6)(x − 1) → x² + 5x = 2x² + 4x − 6 → x² − x − 6 = 0 → 3; −2. ОДЗ x ≠ 1, x ≠ −5. Проверка x = 3: 3/2 и 12/8 = 3/2 ✓; x = −2: (−2)/(−3) = 2/3 и 2/3 ✓.
Вывод: посторонних корней может быть 0, 1, …; проверять надо каждый.

R05.1 · тип 3

3Образец · одинаковые дроби в обеих частях

Решите $x^{2} + \frac{3}{x - 2} = 4 + \frac{3}{x - 2}$

x^{2} = 4, x \neq = 2

x = 2

— не в ОДЗ

Ответ:

- 2

R05.1 · тип 3

3Образец → сам · устно

Дроби уходят — запрет остаётся

а) $x + \frac{5}{x - 4} = 4 + \frac{5}{x - 4}$

x = 4

, но

x \neq = 4

корней нет

б) $2 x^{2} + \frac{1}{x + 3} = 18 + \frac{1}{x + 3}$

x^{2} = 9

,

x \neq = - 3

Ответ:

3

в) $x^{2} - 6 x + \frac{1}{x - 5} =$
$= - 5 + \frac{1}{x - 5}$

x^{2} - 6 x + 5 = 0

:

1; 5

Ответ:

1

R05.1 · тип 4

4Углублённо · параметр графически

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - 4 x + a}{x - 1} = 0$ ?

a = 4 x - x^{2}, x \neq = 1

выразили параметр

парабола без точки

(1; 3)

прямая

y = a

: считаем общие точки

R05.1 · тип 4

4Образец → сам · решите сами

Число корней $\frac{x ^{2} - 2 x - a}{x + 1} = 0$

a = x^{2} - 2 x, x \neq = - 1

вершина

(1; - 1)

, выколота

(- 1; 3)

a < - 1

: нет корней

a = - 1

или

a = 3

: один

иначе: два

R05.1 · типы 1–2

Задания с самопроверкой · 1

Разложение и пропорции

база $\frac{x ^{2} - 16}{x + 4} = 0$ $4$
база $\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x - 1}$ $- 5$
повыш. $\frac{x ^{3} - x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 3 x + 2} = 0$ $- 2$

повыш. $\frac{x ^{2} + x}{x - 3} = \frac{12}{x - 3}$ $- 4$
повыш. $\frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ $- 4$
олимп. $\frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{x ^{2} - 3 x + 2} = 0$ $- 1; - 2$

3 мин · практика
1) (x − 4)(x + 4) = 0, x ≠ −4 → 4. Проверка: 0/8 = 0 ✓. 2) 2(x − 1) = 3(x + 1) → 2x − 2 = 3x + 3 → x = −5. Проверка: 2/(−4) = −0,5; 3/(−6) = −0,5 ✓.
3) x²(x − 1) − 4(x − 1) = (x − 1)(x − 2)(x + 2); знаменатель (x − 1)(x − 2) → −2. Проверка: (−8 − 4 + 8 + 4)/(4 + 6 + 2) = 0/12 ✓.
4) x² + x − 12 = 0 → 3; −4; x ≠ 3 → −4. Проверка: (16 − 4)/(−7) = 12/(−7) ✓. 5) ОДЗ x ≠ ±2; x(x + 2) = 8 → x² + 2x − 8 = 0 → 2; −4; 2 посторонний → −4. Проверка: −4/(−6) = 2/3; 8/12 = 2/3 ✓.
6) (x² − 1)(x² − 4) = 0 → ±1; ±2; знаменатель (x − 1)(x − 2) ≠ 0 → −1; −2. Проверка x = −1: 0/(1 + 3 + 2) ✓; x = −2: (16 − 20 + 4)/(4 + 6 + 2) = 0 ✓.

R05.1 · типы 3–4

Задания с самопроверкой · 2

Запрет и параметр

база $x^{2} + \frac{2}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x + 1}$ $1$
база $3 x + \frac{4}{x - 2} = 6 + \frac{4}{x - 2}$
корней нет
повыш. $\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$ $3$

параметрПри каких $a$ у $\frac{x - a}{x + 2} = 0$ нет корней? $a = - 2$
параметрПри каком $a$ число $3$ — корень $\frac{x ^{2} - a x + 6}{x - 2} = 0$ ? $a = 5$
исслед.При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - 4 x + a}{x} = 0$ ровно один корень?
$a = 0$ или $a = 4$

2,5 мин · практика
1) x² = 1, x ≠ −1 → 1. Проверка: 1 + 2/2 = 2 и 1 + 2/2 = 2 ✓. 2) 3x = 6 → x = 2, но x ≠ 2 → корней нет. 3) x² = 9, x ≠ −3 → 3. Проверка: 9/6 = 9/6 ✓.
4) Корень x = a, если a ≠ −2; при a = −2 дробь (x + 2)/(x + 2) нулю не равна → нет корней.
5) 9 − 3a + 6 = 0 → a = 5; x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), x = 3 ≠ 2 ✓.
6) a = 4x − x², x ≠ 0: парабола с вершиной (2; 4), выколота точка (0; 0). Один корень при a = 4 (x = 2) и при a = 0 (x² − 4x = 0 → 0 и 4, 0 посторонний, остаётся 4). Проверка a = 3: x² − 4x + 3 = 0 → 1 и 3 — два корня ✓.

R05.1

Задания с самопроверкой · 3

Все четыре типа — от базы к олимпиаде

база $\frac{x ^{2} + 5 x}{x + 5} = 0$ $0$
база $\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x + 2}$ $8$
повыш. $\frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} - 2 x} = 0$ $- 2$
повыш. $\frac{x ^{2} + 3 x}{x - 2} = \frac{10}{x - 2}$ $- 5$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - a}{x - 2} = 0$ имеет ровно один корень? $a = 0$ или $a = 4$
олимп. $\frac{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36}{x ^{2} + x - 6} = 0$ $- 2; 3$

Подсказки

3) вынесите $x$ в числителе и знаменателе

5) $x^{2} = a$ ;
рассмотрите $a = 0$ и $a = 4$

6) $t = x^{2}$

2,5 мин · практика
В парах; ответы открываются по клику после каждой пары заданий. 1) x(x + 5) = 0, x ≠ −5 → 0. Проверка: 0/5 = 0 ✓.
2) 3(x + 2) = 5(x − 2) → 3x + 6 = 5x − 10 → x = 8. Проверка: 3/6 = 0,5; 5/10 = 0,5 ✓.
3) x(x − 2)(x + 2)/(x(x − 2)) = 0; кандидаты 0; 2; −2; запрет x ≠ 0, x ≠ 2 → −2. Проверка: (−8 + 8)/(4 + 4) = 0 ✓.
4) x² + 3x − 10 = 0 → 2; −5; x ≠ 2 → −5. Проверка: (25 − 15)/(−7) = 10/(−7) ✓.
5) x² = a, x ≠ 2. a < 0 — нет корней; a = 0 — один (0); a > 0 — ±√a, один из них запрещён при √a = 2, т. е. a = 4 (остаётся −2). Ответ: a = 0 или a = 4.
6) (x² − 4)(x² − 9) = 0 → ±2; ±3; знаменатель (x + 3)(x − 2) ≠ 0 → x ≠ −3, x ≠ 2. Ответ: −2; 3. Проверка x = −2: (16 − 52 + 36)/(4 − 2 − 6) = 0/(−4) ✓; x = 3: (81 − 117 + 36)/6 = 0 ✓. При нехватке времени — в ДЗ.

R05.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - 2 x}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} \Rightarrow x - 2 = 3$	разделили на $x$ — потеряли корень	$0; 5$
$x + \frac{1}{x - 3} = 3 + \frac{1}{x - 3} \Rightarrow x = 3$	не учтён запрет	корней нет
$\frac{x ^{3} - 9 x}{x - 3} = 0 \Rightarrow x = \pm 3$	потерян $x = 0$ , не отсеян $3$	$0; - 3$
$\frac{x - a}{x - 1} = 0$ : корень $x = a$ при любом $a$	при $a = 1$ корня нет	$x = a$ при $a \neq = 1$

R05.1 · задача из жизни

Задача из жизни · пропорция

Катер на реке и сладкий сироп

1. Катер

Катер прошёл 24 км по течению за то же время, что и 16 км против течения. Собственная скорость катера 10 км/ч. Найдите скорость течения $v$ .

\frac{24}{10 + v} = \frac{16}{10 - v}

$v = 2$ км/ч

2. Сироп

В 200 г сиропа 50 г сахара. Сколько граммов воды $x$ нужно добавить, чтобы сахар составлял 20 % массы?

\frac{50}{200 + x} = \frac{1}{5}

$x = 50$ г

R05.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Решите уравнение $\frac{x ^{2} - x}{x + 3} = \frac{12}{x + 3}$

x \neq = - 3

x^{2} - x - 12 = 0

x = 4, x = - 3

по теореме Виета

Если корней несколько — запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания

Ответ:

4

R05.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 · полное решение

Решите уравнение $\frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - 9 x - 18}{x + 3} = 0$

ОДЗ:

x \neq = - 3

x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = (x + 2) (x - 3) (x + 3)

группировка, разность квадратов

кандидаты

- 2; 3; - 3

;

- 3 \in /

ОДЗ

Ответ:

- 2; 3

Оформление на 2 балла: ОДЗ, разложение, отбор корней, ответ

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам

Вариант 1

$\frac{x ^{2} - 3 x}{x - 3} = 0$ $0$
$\frac{4}{x - 1} = \frac{3}{x + 2}$ $- 11$
$\frac{x ^{2} - 2 x}{x + 2} = \frac{8}{x + 2}$ $4$
$x^{2} + \frac{1}{x - 3} = 9 + \frac{1}{x - 3}$ $- 3$

Вариант 2

$\frac{x ^{2} + 4 x}{x + 4} = 0$ $0$
$\frac{5}{x + 1} = \frac{2}{x - 2}$ $4$
$\frac{x ^{2} + x}{x - 2} = \frac{6}{x - 2}$ $- 3$
$x^{2} + \frac{2}{x + 4} = 16 + \frac{2}{x + 4}$ $4$

4,5 мин · практика (3,5 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: 1) x(x − 3) = 0, x ≠ 3 → 0. 2) 4(x + 2) = 3(x − 1) → 4x + 8 = 3x − 3 → x = −11; проверка: 4/(−12) = −1/3, 3/(−9) = −1/3 ✓. 3) x² − 2x − 8 = 0 → 4; −2; x ≠ −2 → 4; проверка: 8/6 = 8/6 ✓. 4) x² = 9, x ≠ 3 → −3.
Вариант 2: 1) x(x + 4) = 0, x ≠ −4 → 0. 2) 5(x − 2) = 2(x + 1) → 5x − 10 = 2x + 2 → x = 4; проверка: 5/5 = 1, 2/2 = 1 ✓. 3) x² + x − 6 = 0 → 2; −3; x ≠ 2 → −3; проверка: 6/(−5) = 6/(−5) ✓. 4) x² = 16, x ≠ −4 → 4.
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой шаг алгоритма нельзя пропускать?
Почему нельзя делить на выражение с переменной?
Как выколотая точка меняет число корней?

Домашнее задание

$\frac{x ^{3} - x ^{2} - x + 1}{x ^{2} - 1} = 0$
$\frac{x}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$
* Число корней $\frac{x ^{2} - 6 x + a}{x - 2} = 0$ при каждом $a$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) x²(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)²(x + 1); кандидаты 1 и −1, оба запрещены (x² − 1 ≠ 0) → корней нет.
2) ОДЗ x ≠ ±2; x(x − 2) = 8 → x² − 2x − 8 = 0 → 4; −2; −2 посторонний → 4. Проверка: 4/6 = 2/3; 8/12 = 2/3 ✓.
3*) a = 6x − x², x ≠ 2; вершина (3; 9), выколота (2; 8). a > 9 — нет корней; a = 9 — один (3); a = 8 — один (x² − 6x + 8 = 0 → 2 и 4, остаётся 4); a < 9, a ≠ 8 — два.
Следующий урок ALG8U-078 — практикум «Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям» (суммы дробей, общий знаменатель).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-077 · Практикум: Дробно-рациональные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 6/19 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.1 «Дробно-рациональные уравнения» → 2–21
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 3–21 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 4, 7–10, 14, 16, 20 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 3, 5, 6, 13, 15, 19 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 6–8, 10, 13, 15, 18, 20 · ПР-22 (исследование уравнений, графически) → 11, 12, 14, 15 · кодификатора REQ у курса нет · 30/70: теория 13,5 мин, практика 31,5 мин
Вне урока	суммы дробей и общий знаменатель — ALG8U-078 (R05.2); замена переменной — ALG8U-079 (R05.3); текстовые задачи — ALG8U-080 (R05.4); графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — R05.5
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:дробно-рациональныеуравнения

Четыре типа — один алгоритм

Тип 1 · BA​=0

Тип 2 · пропорция

Тип 3 · одинаковые дроби

Тип 4 · параметр

Восемь быстрых вопросов

Каждое решение — четыре шага

Решите x2−5x+6x3−2x2−9x+18​=0

Разложите — и отсейте

Решите x−3x​=x2−918​

Пропорции: сколько корней останется?

Решите x2+x−23​=4+x−23​

Дроби уходят — запрет остаётся

Сколько корней у x−1x2−4x+a​=0?

Число корней x+1x2−2x−a​=0

Разложение и пропорции

Запрет и параметр

Все четыре типа — от базы к олимпиаде

Подсказки

Найдите ошибку

Катер на реке и сладкий сироп

1. Катер

2. Сироп

Решите уравнение x+3x2−x​=x+312​

Решите уравнение x+3x3+2x2−9x−18​=0

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-077 · Практикум: Дробно-рациональные уравнения

Практикум:
дробно-
рациональные
уравнения

Тип 1 · $\frac{A}{B} = 0$

Решите $\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} - 9 x + 18}{x ^{2} - 5 x + 6} = 0$

Решите $\frac{x}{x - 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$

Решите $x^{2} + \frac{3}{x - 2} = 4 + \frac{3}{x - 2}$

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - 4 x + a}{x - 1} = 0$ ?

Число корней $\frac{x ^{2} - 2 x - a}{x + 1} = 0$

Решите уравнение $\frac{x ^{2} - x}{x + 3} = \frac{12}{x + 3}$

Решите уравнение $\frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - 9 x - 18}{x + 3} = 0$