Дробно-рациональные уравнения · урок 5 из 19 · новый материал

Графическая
интерпретация
уравнений с двумя
переменными

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-076

1 мин · теория (орг. момент) · Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 5/19, единица R05.5 «Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными». Тип Н (новый материал). Вчера (ALG8U-075) — текстовые задачи с дробно-рациональными уравнениями; завтра (ALG8U-077) — практикум по дробно-рациональным уравнениям.
Хронометраж (45 мин): теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). По слайдам: титул 1 т · цели 1 т (сл. 2) · разминка 2 п (сл. 3) · актуализация 2 п (сл. 4) · проблема 1 т (сл. 5) · определение 2 т (сл. 6) · «принадлежит ли точка» 2 п (сл. 7) · каталог 1 т (сл. 8) · «произведение = 0» 2 т (сл. 9) + практика 2 п (сл. 10) · «дробь = 0» 2 т (сл. 11) + практика 2 п (сл. 12) · закрепление 3 п (сл. 13) · графический метод 2 т (сл. 14) + «сколько корней» 2 п (сл. 15) · параметр 2 т (сл. 16) · самопроверка 3 п (сл. 17) · задача из жизни 2 п (сл. 18) · ошибки 2 п (сл. 19) · задания от базы к олимпиаде 2 п (сл. 20) · самостоятельная 4 п (сл. 21) · ОГЭ 2 п (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 п (сл. 23).
Рисунок: графики уравнений $x y = 4$ и $x + y = 5$ ; их общие точки $(1; 4)$ и $(4; 1)$ — решения системы этих уравнений.

R05.5

Цели урока

Уравнение — это фигура на плоскости

Изображать

график уравнения с двумя переменными: прямые, кривые, «составные» фигуры (ПР-26, ПР-25)

Учитывать

допустимые значения: выколотые точки у дробных уравнений (ПР-9, ПР-20)

Решать графически

уравнение $f (x) = g (x)$ — по точкам пересечения графиков (ПР-20, ПР-22)

Исследовать

число решений при разных значениях параметра (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)» — главный результат урока.
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-25/ПР-26 — функциональный язык и построение графиков (опора на 7 класс; функции подробно — в строке R06).
Вид деятельности ФРП: «Использовать графическую интерпретацию уравнений с двумя переменными».

повторение

Разминка · устно

Назовите ответ — без записи

2 x + y = 7, x = 3

y = ?

1

лежит ли

(2; - 1)

на

y = 3 x - 7

?

да

решите

x^{2} = 9

\pm 3

не имеет смысла при

\frac{5}{x + 4}

x = - 4

сократите

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

x + 3

корни по Виета

x^{2} - 5 x + 6 = 0

2; 3

пересекает ось

O y

в точке

y = 2 x - 4

(0; - 4)

y = \frac{6}{x}

при

x = - 3

y = ?

- 2

повторение: 7 класс

Актуализация · устно

Какие пары — решения уравнения $2 x + y = 5$ ?

Пара $(x; y)$	$2 x + y$	решение?
$(1; 3)$	$5$	да
$(2; 1)$	$5$	да
$(3; 2)$	$8$	нет
$(0; 5)$	$5$	да
$(2, 5; 0)$	$5$	да

R05.5 · проблема

Проблема · как «увидеть» все решения?

Уравнение $x y = 6$ : где лежат его решения?

$x$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$6$	$3$	$2$	$1$

x y = 6 \Leftrightarrow y = \frac{6}{x}

x = 0

— нельзя:

0 \cdot y = 0 \neq = 6

1 мин · теория (учитель ставит проблему)
Вопрос: сколько решений у $x y = 6$ ? Бесконечно много: при любом $x \neq = 0$ подходит $y = 6/ x$ . Перечислить нельзя — значит, нужно нарисовать.
Сначала положительные пары (зелёные), потом спросить: «а отрицательные?» — $(- 2; - 3)$ тоже решение (синие точки).
Дробные значения тоже годятся: $(4; 1, 5)$ , $(0, 5; 12)$ — поэтому точки соединяем плавной линией.
Ось $O y$ кривая не пересекает: $x = 0$ невозможно. Ось $O x$ — тоже: $y = 0$ даёт $0 = 6$ . Подробно эта кривая (гипербола) — в строке R06 «Функции».

R05.5

Определение

Решение — пара чисел, график — множество точек

точка на графике ⇔ пара — решение

точка не на графике ⇔ пара — не решение

2 мин · теория
Определение (как в учебниках ФПУ): решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую уравнение в верное равенство. Графиком уравнения — множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Слово «всех» важно в обе стороны: на графике нет «чужих» точек и не пропущено ни одного решения.
Вопрос классу: может ли график уравнения быть одной точкой? (Да: $x^{2} + y^{2} = 0$ — только $(0; 0)$ .) Пустым? (Да: $x^{2} + y^{2} = - 1$ .) — это подготовка к «необычным» графикам.

R05.5

Образец → сам

Принадлежит ли точка графику уравнения?

Образец

x^{2} + y = 5, (2; 1)

2^{2} + 1 = 5

подставили

x = 2, y = 1

верно — принадлежит

Сам

$(3; - 1)$ , $x - 2 y = 5$ да
$(- 2; 4)$ , $y = x^{2}$ да
$(1; - 6)$ , $x y = 6$ нет
$(0; 3)$ , $\frac{y - 3}{x} = 0$ нет

R05.5

Каталог · узнаём график по уравнению

Шесть графиков, которые надо знать в лицо

x = a

вертикальная прямая

y = b

горизонтальная прямая

a x + b y = c

прямая (

a

или

b \neq = 0

)

y = x^{2}

парабола

x y = k, k \neq = 0

две ветви, оси не пересекает

x y = 0

обе оси

R05.5

Новое · «составной» график

$(x - 2) (y - x) = 0$ : объединение графиков

A B = 0 \Leftrightarrow A = 0 или B = 0

x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2

y - x = 0 \Rightarrow y = x

график — две прямые

R05.5

Образец → сам

Из каких линий состоит график?

Образец

x (y - 3) = 0

x = 0 или y = 3

ось

O y

и прямая

y = 3

Сам

$(x + 3) (y - 2) = 0$ $x = - 3$ или $y = 2$
$y (y + x) = 0$ $y = 0$ или $y = - x$
$(y - x^{2}) (x - 1) = 0$ $y = x^{2}$ или $x = 1$
$x^{2} = 4$ $x = - 2$ или $x = 2$

2 мин · практика
По правилу сл. 9: произведение равно нулю ⇔ хотя бы один множитель равен нулю. Ученики называют линии и рисуют эскиз в тетради.
Ответы: 1) $x = - 3$ или $y = 2$ — вертикальная и горизонтальная прямые, общая точка $(- 3; 2)$ ; 2) $y = 0$ или $y = - x$ — ось $O x$ и прямая через начало координат; 3) парабола $y = x^{2}$ и прямая $x = 1$ , общая точка $(1; 1)$ ; 4) $(x - 2) (x + 2) = 0$ : две вертикальные прямые $x = \pm 2$ ( $y$ — любое).
Ловушка задания 4: это уравнение с двумя переменными, $y$ в нём не участвует, поэтому график — прямые, а не две точки на оси $O x$ .

R05.5 · R05.1

Новое · дробное уравнение с двумя переменными

$\frac{y - x ^{2}}{x - 1} = 0$ : парабола с «дыркой»

\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow {A = 0 B \neq = 0

y = x^{2}

x \neq = 1

выколота точка

(1; 1)

R05.5 · R05.1

Образец → сам

Какая точка выколота?

Образец

\frac{y - x}{x - 3} = 0

y = x, x \neq = 3

прямая

y = x

без

(3; 3)

Сам

$\frac{y - 2 x}{y - 4} = 0$ $(2; 4)$
$\frac{y - x ^{2}}{x + 2} = 0$ $(- 2; 4)$
$\frac{y + x}{x} = 0$ $(0; 0)$
повыш. $\frac{x + y - 5}{x - y - 1} = 0$ $(3; 2)$

R05.5 · закрепление

Закрепление · постройте график

Сначала упростить, потом рисовать

а) $(x + 1) (y - 3) = 0$

x = - 1

или

y = 3

б) $\frac{y - 2 x}{x} = 0$

y = 2 x, x \neq = 0

в) $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$

y = x + 2, x \neq = 2

R05.5

Графический метод решения уравнения

Решите $\frac{6}{x} = x + 1$

y = \frac{6}{x}

и

y = x + 1

строим два графика в одной системе

точки

(- 3; - 2)

и

(2; 3)

корни — абсциссы общих точек

проверка:

x^{2} + x - 6 = 0

,

x \neq = 0

Ответ:

- 3; 2

2 мин · теория (учитель разбирает пример)
Алгоритм: 1) записать уравнение в виде $f (x) = g (x)$ ; 2) построить графики $y = f (x)$ и $y = g (x)$ ; 3) найти абсциссы общих точек; 4) проверить подстановкой — по рисунку координаты могут быть приближёнными.
Проверка: $x = 2$ : $6/2 = 3 = 2 + 1$ ✓; $x = - 3$ : $6/ (- 3) = - 2 = - 3 + 1$ ✓. Алгебраически: $6 = x^{2} + x$ ⇒ $x^{2} + x - 6 = 0$ , по Виета $- 3$ и $2$ ; оба $\neq = 0$ .
Сила метода — видно число корней сразу. Слабость — точность: если корни нецелые, график даёт лишь оценку.
Вопрос: почему ответ — числа $- 3$ и $2$ , а не точки? Уравнение с одной переменной; точки — решения системы $y = 6/ x, y = x + 1$ .

R05.5

Практика · читаем рисунок

Сколько корней? Ответьте по рисунку

$\frac{4}{x} = x + 3$ $2$ : $- 4; 1$
$\frac{4}{x} = - x$ нет корней
$\frac{4}{x} = 4 - x$ $1$ : $x = 2$
$\frac{4}{x} = - 2$ $1$ : $x = - 2$

R05.5 · исследование

Углублённо · уравнение с параметром

Сколько корней у $\frac{4}{x} = a - x$ ?

x^{2} - a x + 4 = 0, x \neq = 0

D = a^{2} - 16

$a$	корней
$∣ a ∣ < 4$	$0$
$a = \pm 4$	$1$
$∣ a ∣ > 4$	$2$

2 мин · теория (учитель разбирает исследование)
Прямые $y = a - x$ параллельны (угловой коэффициент $- 1$ ); параметр $a$ сдвигает прямую. Следим, сколько общих точек с кривой $y = 4/ x$ .
$a = 2$ : общих точек нет; $a = 4$ : касание в $(2; 2)$ — один корень; $a = 6$ : две точки ( $x = 3 \pm 5$ ). Симметрично при $a \leq - 4$ — левая ветвь, касание в $(- 2; - 2)$ .
Алгебра подтверждает рисунок: $4 = a x - x^{2}$ ⇒ $x^{2} - a x + 4 = 0$ ; $x = 0$ корнем не бывает (свободный член $4 \neq = 0$ ). $D = a^{2} - 16$ .
Ответ: нет корней при $- 4 < a < 4$ ; один при $a = \pm 4$ ; два при $a < - 4$ или $a > 4$ .

R05.5 · исследование

Задания с самопроверкой · параметр и выколотые точки

Сколько общих точек?

базаСколько корней у уравнения $\frac{4}{x} = 5 - x$ ? два: $1; 4$
базаПри каких $a$ уравнение $\frac{1}{x} = a - x$ имеет ровно один корень? $a = \pm 2$
повыш.При каких $b$ прямая $y = b$ не имеет общих точек с графиком $y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ ? $b = - 6$
повыш.При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет общих точек с графиком $y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ? $1; 2$

3 мин · практика
2 мин работы в тетрадях по образцам сл. 16 (параметр) и сл. 13 (выколотые точки), 1 мин — ответы по клику, решение проговаривает ученик.
1) $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ : $x = 1$ и $x = 4$ (оба $\neq = 0$ ). Проверка: $4/1 = 4 = 5 - 1$ ✓; $4/4 = 1 = 5 - 4$ ✓.
2) $x^{2} - a x + 1 = 0$ , $x = 0$ не корень; $D = a^{2} - 4 = 0$ ⇒ $a = \pm 2$ . При $a = 2$ : $x = 1$ ( $1 = 2 - 1$ ✓); при $a = - 2$ : $x = - 1$ .
3) $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x + 3} = x - 3$ , $x \neq = - 3$ : прямая без точки $(- 3; - 6)$ . Горизонтальная прямая пересекает наклонную всегда, кроме прохода через выколотую точку: $b = - 6$ .
4) $y = x + 1$ , $x \neq = 1$ , выколота $(1; 2)$ . $k x = x + 1$ ⇒ $x (k - 1) = 1$ : при $k = 1$ решений нет (параллельны); при $x = 1$ : $k = 2$ — прямая проходит через выколотую точку ( $2 \cdot 1 = 2$ ✓). Ответ: $1; 2$ .

R05.5 · задача из жизни

Задача из жизни · графически

Грядка: площадь $12$ м², периметр $14$ м

Найдите длину и ширину прямоугольной грядки. Стороны $x$ и $y$ (м).

x y = 12, x + y = 7

общие точки:

(3; 4)

,

(4; 3)

Ответ:

4

м и

3

м

А если периметр $12$ м? такой грядки нет

R05.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x y = 0$ — это точка $(0; 0)$	потеряны остальные решения	обе оси координат
$y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ — прямая $y = x + 1$	забыли про $x \neq = 1$	прямая без точки $(1; 2)$
$\frac{3}{x} = x - 2$ ; ответ: $(3; 1)$ , $(- 1; - 3)$	ответ — точка вместо числа	$- 1; 3$
$(x - 1) y = 0$ — прямая $x = 1$	потерян множитель $y$	$x = 1$ или $y = 0$

R05.5

Задания с самопроверкой · от базы к олимпиаде

Шесть заданий от базы к олимпиаде

базаПринадлежит ли точка $(- 2; 3)$ графику уравнения $x y + 6 = 0$ ? да
базаПостройте график уравнения $(x + 1) (y - 3 x) = 0$ . $x = - 1$ или $y = 3 x$
повыш.Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ . $y = x - 1, x \neq = - 1$
повыш.Решите графически $\frac{3}{x} = 4 - x$ . $1; 3$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{9}{x} = a - x$ имеет ровно один корень? $\pm 6$
олимп.Изобразите множество точек: $\frac{y - x}{y + x} = 0$ . $y = x$ без $(0; 0)$

Подсказки

3) сократите, но сохраните $x \neq = - 1$

5) $x^{2} - a x + 9 = 0$ , $D = 0$

6) какая точка прямой $y = x$ запрещена?

2 мин · практика
В классе — 1–4, ответы открываются по клику; 5–6 — сильным ученикам или в ДЗ.
1) $(- 2) \cdot 3 + 6 = 0$ ✓ — принадлежит.
2) $x = - 1$ или $y = 3 x$ : вертикальная прямая и прямая через начало координат; общая точка $(- 1; - 3)$ .
3) $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x + 1} = x - 1$ , $x \neq = - 1$ : прямая $y = x - 1$ без точки $(- 1; - 2)$ .
4) $3 = 4 x - x^{2}$ ⇒ $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ⇒ $1; 3$ . Проверка: $3/1 = 3 = 4 - 1$ ✓; $3/3 = 1 = 4 - 3$ ✓. Графики $y = 3/ x$ и $y = 4 - x$ пересекаются в $(1; 3)$ и $(3; 1)$ .
5) $D = a^{2} - 36 = 0$ ⇒ $a = \pm 6$ ; $x = 0$ не корень (свободный член 9). Касание в $(3; 3)$ и $(- 3; - 3)$ . Ответ: $- 6; 6$ .
6) $y - x = 0$ , $y + x \neq = 0$ : на прямой $y = x$ условие $2 x \neq = 0$ ⇒ выколото начало координат. Ответ: прямая $y = x$ без точки $(0; 0)$ .

R05.5

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Принадлежит ли $(- 3; 2)$ графику $x y = - 6$ ? да
Из каких линий состоит график $(x - 4) (y + 1) = 0$ ? $x = 4$ , $y = - 1$
Какая точка выколота на графике $y = \frac{x ^{2} - 16}{x - 4}$ ? $(4; 8)$
Решите графически $\frac{8}{x} = x + 2$ . $- 4; 2$

Вариант 2

Принадлежит ли $(2; - 4)$ графику $x y = 8$ ? нет
Из каких линий состоит график $(x + 2) (y - 5) = 0$ ? $x = - 2$ , $y = 5$
Какая точка выколота на графике $y = \frac{x ^{2} - 25}{x + 5}$ ? $(- 5; - 10)$
Решите графически $\frac{6}{x} = x - 1$ . $- 2; 3$

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
Вариант 1: 1) $(- 3) \cdot 2 = - 6$ ✓ — да; 2) $x = 4$ или $y = - 1$ — две перпендикулярные прямые; 3) $y = x + 4$ , $x \neq = 4$ : выколота $(4; 8)$ ; 4) $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ : $x = - 4$ , $x = 2$ . Проверка: $8/2 = 4 = 2 + 2$ ✓; $8/ (- 4) = - 2 = - 4 + 2$ ✓.
Вариант 2: 1) $2 \cdot (- 4) = - 8 \neq = 8$ — нет; 2) $x = - 2$ или $y = 5$ ; 3) $y = x - 5$ , $x \neq = - 5$ : выколота $(- 5; - 10)$ ; 4) $x^{2} - x - 6 = 0$ : $x = 3$ , $x = - 2$ . Проверка: $6/3 = 2 = 3 - 1$ ✓; $6/ (- 2) = - 3 = - 2 - 1$ ✓.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Задания соответствуют блокам урока: определение, произведение, дробь, графический метод.

R05.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}$ . При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет с ним общих точек?

\frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 3, x \neq = 2

k = 1

: прямые параллельны

через

(2; 5)

:

k = 2, 5

Ответ:

1; 2, 5

2 мин · практика (решают в тетрадях, шаги открываются после)
Задание линии 22 ОГЭ (функция и её график), часть 2, развёрнутое решение; 2 балла.
Решение: $x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$ , при $x \neq = 2$ график — прямая $y = x + 3$ с выколотой точкой $(2; 5)$ .
$k x = x + 3$ ⇒ $x (k - 1) = 3$ . При $k = 1$ решений нет (параллельны). При $k \neq = 1$ $x = \frac{3}{k - 1}$ ; общей точки нет, если $x = 2$ : $k - 1 = 1, 5$ , $k = 2, 5$ — прямая проходит через выколотую точку ( $2, 5 \cdot 2 = 5$ ✓).
Ответ: $k = 1$ ; $k = 2, 5$ . Частая потеря балла — не отмечена выколотая точка на графике или пропущен случай $k = 2, 5$ .

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что называют графиком уравнения с двумя переменными?
Как выглядит график произведения, равного нулю?
Откуда берутся выколотые точки?

Домашнее задание

Постройте график $y (x - 2) = 0$ .
Решите графически $\frac{2}{x} = x - 1$ .
* Постройте график $y = \frac{x ^{2} - 4 x}{x}$ ; при каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с ним общих точек?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-076 · Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 5/19 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R05.5 «Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными» → 2–23
Результаты	ПР-22 (исследование уравнений, в т. ч. графически) → 14–18, 20–22 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 11–15, 17, 20, 21 · ПР-9 (допустимые значения) → 5, 7, 11–13, 17, 22 · ПР-25, ПР-26 (функциональный язык, графики) → 3–10, 13, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 16) · практика 31 мин (69 %)
Вне урока	свойства гиперболы и функции $y = \frac{k}{x}$ — R06 «Функции»; системы уравнений с двумя переменными в общем виде — 9 класс; практикум по дробно-рациональным уравнениям — ALG8U-077
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графическаяинтерпретацияуравнений с двумяпеременными

Уравнение — это фигура на плоскости

Изображать

Учитывать

Решать графически

Исследовать

Назовите ответ — без записи

Какие пары — решения уравнения 2x+y=5?

Уравнение xy=6: где лежат его решения?

Решение — пара чисел, график — множество точек

Принадлежит ли точка графику уравнения?

Образец

Сам

Шесть графиков, которые надо знать в лицо

(x−2)(y−x)=0: объединение графиков

Из каких линий состоит график?

Образец

Сам

x−1y−x2​=0: парабола с «дыркой»

Какая точка выколота?

Образец

Сам

Сначала упростить, потом рисовать

Решите x6​=x+1

Сколько корней? Ответьте по рисунку

Сколько корней у x4​=a−x?

Сколько общих точек?

Грядка: площадь 12 м², периметр 14 м

Найдите ошибку

Шесть заданий от базы к олимпиаде

Подсказки

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Постройте график y=x−2x2+x−6​. При каких k прямая y=kx не имеет с ним общих точек?

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-076 · Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными

Графическая
интерпретация
уравнений с двумя
переменными

Какие пары — решения уравнения $2 x + y = 5$ ?

Уравнение $x y = 6$ : где лежат его решения?

$(x - 2) (y - x) = 0$ : объединение графиков

$\frac{y - x ^{2}}{x - 1} = 0$ : парабола с «дыркой»

Решите $\frac{6}{x} = x + 1$

Сколько корней у $\frac{4}{x} = a - x$ ?

Грядка: площадь $12$ м², периметр $14$ м

Постройте график $y = \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}$ . При каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет с ним общих точек?