Дробно-рациональные уравнения · урок 4 из 19 · новый материал

Текстовые задачи
и дробно-рациональные
уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-075

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 4/19, единица R05.4 «Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений». Тип Н. Вчера (ALG8U-074) — метод замены переменной; завтра (ALG8U-076) — графическая интерпретация уравнений с двумя переменными.
Хронометраж (45 мин): титул и цели 2 Т (сл. 1–2) · разминка 2 П (сл. 3) · актуализация 2 П (сл. 4) · проблема и модель 2 Т (сл. 5) · решение и отбор корней 2 Т (сл. 6) · алгоритм 2 Т (сл. 7) · образец → сам: движение 2 П (сл. 8) · образец «река» 2 Т (сл. 9) · сам: река 3 П (сл. 10) · образец «работа» 2 Т (сл. 11) · сам: работа 3 П (сл. 12) · средняя скорость 2 Т (сл. 13) · «составьте уравнение» 2 П (сл. 14) · задача о цене 2 П (сл. 15) · самопроверка, база 3 П (сл. 16) · найди ошибку 2 П (сл. 17) · самопроверка, повышенный 3 П (сл. 18) · ОГЭ 2 П (сл. 19) · самостоятельная работа 4 П (сл. 20) · итог и ДЗ 1 П (сл. 21). Т — теория 14 мин, П — практика 31 мин.
Рисунок: время = путь : скорость — именно здесь неизвестное попадает в знаменатель, и уравнение становится дробным.

R05.4

Цели урока

От условия — к уравнению — к ответу

1Моделировать

переходить от словесной формулировки к уравнению (ПР-23)

2Решать

дробно-рациональное уравнение, сводя его к квадратному (ПР-20, ПР-19)

3Интерпретировать

отбирать корни по смыслу задачи и отвечать на её вопрос (ПР-23)

4Исследовать

выводить общие формулы: средняя скорость $\frac{2 ab}{a + b}$ (ПР-12, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат» — главный результат урока.
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Вид деятельности ФРП: «Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат».

разминка

Разминка · устно

Единицы, скорости, части работы

30 мин — это

? ч

\frac{1}{2}

ч

20 мин — это

? ч

\frac{1}{3}

ч

45 мин — это

? ч

\frac{3}{4}

ч

36 км за 3 ч,
скорость

v = ?

12

км/ч

лодка 12 км/ч,
течение 3 км/ч,
по течению

v = ?

15

км/ч

та же лодка
против течения

v = ?

9

км/ч

бак наполняется за 5 ч;
за 1 ч — какая часть?

?

\frac{1}{5}

корни уравнения

x^{2} - x - 12 = 0

4; - 3

повторение

Актуализация · три формулы — одна схема

Величина = скорость × время

Вопрос	Ответ
Лодка $10$ км/ч, течение $x$ км/ч. Скорость против течения?	$10 - x$
За сколько часов пройдёт $30$ км против течения?	$\frac{30}{10 - x}$
Труба наполняет бак за $x$ ч. Какая часть бака — за $1$ ч?	$\frac{1}{x}$
$12$ г соли в $x$ г раствора. Концентрация?	$\frac{12}{x}$

R05.4

Проблема · составляем модель

Автобус и грузовик: где спрятано уравнение?

От города до посёлка $60$ км. Автобус едет на $20$ км/ч быстрее грузовика и приезжает на $30$ мин раньше. Найдите скорость грузовика.

	$v$ , км/ч	$t$ , ч	$s$ , км
грузовик	$x$	$\frac{60}{x}$	$60$
автобус	$x + 20$	$\frac{60}{x + 20}$	$60$

\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 20} = \frac{1}{2}

R05.4

Новый материал · решаем и отбираем корни

Корень уравнения — ещё не ответ

120 (x + 20) - 120 x = x (x + 20)

умножили на

2 x (x + 20)

;

x \neq = 0, x \neq = - 20

x^{2} + 20 x - 2400 = 0

D = 400 + 9600 = 10 0^{2}

x_{1} = 40, x_{2} = - 60

2 мин · теория
Общий знаменатель $2 x (x + 20)$ ; при $x = 40$ и $x = - 60$ он не равен нулю, значит, оба числа — корни уравнения.
Но скорость положительна: $x = - 60$ — посторонний для задачи. Проверка по условию: грузовик $60 : 40 = 1, 5$ ч, автобус $60 : 60 = 1$ ч, разность 0,5 ч ✓.
Вопрос: что ответить, если спросят скорость автобуса? 60 км/ч — всегда перечитываем вопрос.
Углублённо: два фильтра разные — ОДЗ уравнения (знаменатели) и ограничения по смыслу (здесь $x > 0$ ). Корни уравнения ≠ решения задачи.

R05.4

Новый материал · алгоритм

Четыре шага решения текстовой задачи

2 мин · теория
Ученики записывают алгоритм в тетрадь (4 строки).
Шаг 1: неизвестным удобно брать то, что спрашивают, но не обязательно; главное — чтобы через него выражались остальные величины.
Шаг 3: условий в задаче всегда на одно больше, чем использовано в таблице. Это «лишнее» условие и даёт уравнение.
Шаг 4: «смысл» — скорость положительна, скорость лодки больше скорости течения, число предметов натуральное, концентрация от 0 до 1.

R05.4 · движение

Образец → сам · «быстрее и раньше»

Составьте уравнение и решите

Образец (сл. 5–6)

$60$ км; автобус на $20$ км/ч быстрее, приехал на $\frac{1}{2}$ ч раньше:

\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 20} = \frac{1}{2}

$x = 40$ км/ч, корень $- 60$ — нет

медленнее едет — дольше в пути: из большего времени вычитаем меньшее

Сам

Из A в B $120$ км. Первый автомобиль едет на $20$ км/ч быстрее второго и приезжает на $1$ ч раньше. Скорость второго? $\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 1$ , $40$ км/ч
Велосипедист проехал $36$ км. Будь скорость на $3$ км/ч больше, он затратил бы на $1$ ч меньше. Его скорость? $\frac{36}{x} - \frac{36}{x + 3} = 1$ , $9$ км/ч
Пешеход прошёл $12$ км, обратно шёл на $1$ км/ч быстрее и затратил на $1$ ч меньше. Скорость туда? $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 1$ , $3$ км/ч

R05.4 · движение

Закрепление · образец 1 · движение по реке

Найдите скорость течения

Собственная скорость лодки $8$ км/ч. Она прошла $15$ км по течению и $15$ км против течения, затратив на весь путь $4$ ч.

\frac{15}{8 + x} + \frac{15}{8 - x} = 4

\frac{15 \cdot 16}{64 - x ^{2}} = 4 \Rightarrow 64 - x^{2} = 60

x^{2} = 4, x = \pm 2

0 < x < 8 : x = 2

км/ч

R05.4 · движение

Образец → сам · движение по реке

По течению $v + x$ , против $v - x$

Образец (сл. 9)

лодка $8$ км/ч; $15$ км туда и обратно за $4$ ч:

\frac{15}{8 + x} + \frac{15}{8 - x} = 4

$x = 2$ км/ч (условие $0 < x < 8$ )

«весь путь» — складываем время двух участков

Сам

Лодка $10$ км/ч прошла $24$ км по течению и $24$ км против течения за $5$ ч. Скорость течения? $2$ км/ч
Течение $2$ км/ч. Лодка прошла $30$ км по течению и $30$ км против за $8$ ч. Собственная скорость лодки? $8$ км/ч
Течение $2$ км/ч. Теплоход прошёл $48$ км против течения и вернулся, затратив на обратный путь на $1$ ч меньше. Его собственная скорость? $14$ км/ч

R05.4 · работа

Закрепление · образец 2 · совместная работа

Складываем производительности, а не время

Две трубы вместе наполняют бассейн за $6$ ч. Первая одна наполняет его на $5$ ч быстрее второй. За сколько часов наполнит бассейн каждая?

6 (x + 5) + 6 x = x (x + 5)

x > 0

x^{2} - 7 x - 30 = 0

x_{1} = 10, x_{2} = - 3

10

ч и

15

ч

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Пусть первая труба наполняет бассейн за $x$ ч, вторая — за $x + 5$ ч. Производительности $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x + 5}$ (часть бассейна за час); вместе — $\frac{1}{6}$ .
Решение: по Виета сумма 7, произведение −30 → 10 и −3. Корень −3 отбрасываем: время положительно.
Проверка: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{6}$ ✓.
Главная ошибка: $x + (x + 5) = 6$ — складывают время. Вопрос классу: если две одинаковые трубы делают работу за 6 ч каждая, сколько вместе? 3 ч, а не 12.

R05.4 · работа

Образец → сам · совместная работа

Складываем части работы за $1$ час

Образец (сл. 11)

вместе за $6$ ч, первая на $5$ ч быстрее:

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}

$10$ ч и $15$ ч

работа $= 1$ , производительность $= \frac{1}{время}$

Сам

Две трубы вместе наполняют бак за $2$ ч, первая одна — на $3$ ч быстрее второй. За сколько часов — каждая? $3$ ч и $6$ ч
Два оператора вместе набирают текст за $8$ ч, первый один — на $12$ ч быстрее второго. За сколько часов — каждый? $12$ ч и $24$ ч
Первый рабочий делает в час на $2$ детали больше второго и $120$ деталей делает на $2$ ч быстрее. Сколько деталей в час делает первый? $12$

R05.4 · исследование

Закрепление · исследование · средняя скорость

Туда $60$ км/ч, обратно $40$ км/ч. Средняя — $50$ ?

v_{ср} = \frac{2 s}{\frac{s}{a} + \frac{s}{b}} = \frac{2 ab}{a + b}

\frac{a + b}{2} - \frac{2 ab}{a + b} = \frac{( a - b ) ^{2}}{2 ( a + b )} \geq 0

v_{ср} \leq \frac{a + b}{2}

равенство — только при

a = b

R05.4

Закрепление · только модель

Составьте уравнение — решать пока не нужно

Условие	$x$ — это	Уравнение
Поезд прошёл $120$ км. Будь скорость на $10$ км/ч больше, он затратил бы на $1$ ч меньше.	скорость	$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 10} = 1$
Мастер и ученик вместе выполняют работу за $3$ дня; ученик один — на $8$ дней дольше мастера.	дни мастера	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 8} = \frac{1}{3}$
В растворе $30$ г соли. Добавили $50$ г воды — концентрация упала на $5$ процентных пунктов.	масса раствора, г	$\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 50} = 0, 05$

R05.4 · покупка

Закрепление · решите сами

Цена, количество, стоимость

На $600$ р. купили тетради. Если бы каждая тетрадь стоила на $5$ р. дешевле, на те же деньги купили бы на $4$ тетради больше. Сколько стоит тетрадь?

	цена, р.	количество
было	$x$	$\frac{600}{x}$
стало бы	$x - 5$	$\frac{600}{x - 5}$

\frac{600}{x - 5} - \frac{600}{x} = 4

x^{2} - 5 x - 750 = 0, D = 5 5^{2}

x = 30

р. (

x = - 25

— нет)

R05.4

Задания с самопроверкой · база

Четыре задачи — четыре сюжета

На $360$ р. купили карандаши. Будь каждый на $6$ р. дешевле, купили бы на $2$ карандаша больше. Цена карандаша? $36$ р.
Бегун пробежал $10$ км. Если бы он бежал на $2$ км/ч быстрее, то финишировал бы на $10$ мин раньше. Его скорость? $10$ км/ч

Сумма положительного числа и обратного ему числа равна $2, 5$ . Найдите это число. $2$ или $\frac{1}{2}$
Числитель дроби на $2$ меньше знаменателя. Если к числителю и знаменателю прибавить по $3$ , дробь увеличится на $\frac{1}{3}$ . Найдите дробь. $\frac{1}{3}$

3 мин · практика
Каждый решает 2 задачи на выбор (1–2 или 3–4), сильные — все; ответы открываются по клику, проверка всем классом.
1) $\frac{360}{x - 6} - \frac{360}{x} = 2$ → $2160 = 2 x (x - 6)$ → $x^{2} - 6 x - 1080 = 0$ , $D = 4356 = 6 6^{2}$ , $x = 36$ ( $- 30$ — нет). Проверка: $360 : 36 = 10$ , $360 : 30 = 12$ ✓.
2) $10$ мин $= \frac{1}{6}$ ч: $\frac{10}{x} - \frac{10}{x + 2} = \frac{1}{6}$ → $120 = x (x + 2)$ → $x^{2} + 2 x - 120 = 0$ , $x = 10$ ( $- 12$ — нет). Проверка: $10 : 10 = 1$ ч, $10 : 12 = \frac{5}{6}$ ч, разность $\frac{1}{6}$ ✓.
3) $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ → $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ , $D = 9$ , $x = 2$ или $x = \frac{1}{2}$ — оба положительны, оба подходят ( $2 + 0, 5 = 2, 5$ ✓).
4) Дробь $\frac{x}{x + 2}$ : $\frac{x + 3}{x + 5} - \frac{x}{x + 2} = \frac{1}{3}$ → $\frac{6}{( x + 5 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{3}$ → $x^{2} + 7 x - 8 = 0$ , $x = 1$ ( $- 8$ — нет: числитель и знаменатель дроби натуральные). Проверка: $\frac{4}{6} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ ✓.

R05.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку в модели

Запись ученика	Что не так	Верно
скорость против течения $v + u$	течение мешает	$v - u$
«на $20$ мин позже»: $\frac{s}{x} - \frac{s}{y} = 20$	часы и минуты	$= \frac{1}{3}$ ч
вместе за $6$ ч: $x + (x + 5) = 6$	сложено время	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}$
корни $10$ и $- 3$ → «ответ: $10$ ; $- 3$ »	нет отбора	время $> 0$ : $10$
нашли $x = 40$ — скорость грузовика, спрашивали автобус	не тот вопрос	$x + 20 = 60$

R05.4

Задания с самопроверкой · повышенный

Пять задач от базы к доказательству

базаВелосипедист проехал $40$ км из A в B. Обратно он ехал на $10$ км/ч быстрее и затратил на $2$ ч меньше. Найдите скорость из A в B. $10$ км/ч
базаПервая труба пропускает на $1$ л/мин меньше второй. Резервуар $110$ л она заполняет на $2$ мин дольше, чем вторая — резервуар $99$ л. Сколько литров в минуту пропускает первая труба? $10$ л/мин
повыш.Две бригады вместе выполняют работу за $12$ дней, первая одна — на $10$ дней быстрее второй. За сколько дней выполнит работу каждая? $20$ и $30$
практикаВ растворе $20$ г соли. После добавления $100$ г воды концентрация уменьшилась на $10$ процентных пунктов. Найдите массу исходного раствора. $100$ г
олимп.Докажите: путь туда и обратно по реке лодка проходит дольше, чем такой же путь по озеру. $\frac{2 s v}{v ^{2} - u ^{2}} > \frac{2 s}{v}$

Подсказки

2) $\frac{110}{x} - \frac{99}{x + 1} = 2$

4) $\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 100} = 0, 1$

5) сравните $\frac{2 s}{v}$ и $\frac{s}{v + u} + \frac{s}{v - u}$

3 мин · практика
Задачи 1–4 — по выбору две, задача 5 — для сильных или в ДЗ. Ответы открываются по клику, проверка всем классом.
1) $\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 10} = 2$ → $x^{2} + 10 x - 200 = 0$ → $x = 10$ (корень −20 отброшен). Проверка: $40 : 10 = 4$ , $40 : 20 = 2$ ✓. Ответ 10 км/ч.
2) $110 (x + 1) - 99 x = 2 x (x + 1)$ → $2 x^{2} - 9 x - 110 = 0$ , $D = 961 = 3 1^{2}$ , $x = 10$ . Проверка: $110 : 10 = 11$ , $99 : 11 = 9$ ✓. Ответ 10 л/мин.
3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12}$ → $x^{2} - 14 x - 120 = 0$ , $D = 676 = 2 6^{2}$ , $x = 20$ . Ответ 20 и 30 дней ( $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{1}{12}$ ✓).
4) $x^{2} + 100 x - 20000 = 0$ , $D = 30 0^{2}$ , $x = 100$ . Проверка: $20 : 100 = 0, 2$ ; $20 : 200 = 0, 1$ ✓. Ответ 100 г.
5) По реке: $\frac{s}{v + u} + \frac{s}{v - u} = \frac{2 s v}{v ^{2} - u ^{2}} > \frac{2 s v}{v ^{2}} = \frac{2 s}{v}$ при $0 < u < v$ , так как знаменатель меньше.

R05.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 21 (часть 2)

Найдите скорость лодки в неподвижной воде

Моторная лодка прошла против течения реки $255$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $2$ ч меньше. Скорость течения — $1$ км/ч.

	$v$ , км/ч	$t$ , ч
против	$x - 1$	$\frac{255}{x - 1}$
по течению	$x + 1$	$\frac{255}{x + 1}$

\frac{255}{x - 1} - \frac{255}{x + 1} = 2

\frac{510}{x ^{2} - 1} = 2 \Rightarrow x^{2} = 256

x > 1 : x = 16

км/ч

R05.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 3 задачи

Вариант 1

Из A в B $90$ км. Первый автомобиль едет на $15$ км/ч быстрее второго и приезжает на $1$ ч раньше. Скорость второго? $30$ км/ч
Лодка $9$ км/ч прошла $40$ км по течению и $40$ км против течения за $9$ ч. Скорость течения? $1$ км/ч
Две трубы вместе наполняют бак за $6$ ч, первая одна — на $9$ ч быстрее второй. За сколько часов — каждая? $9$ ч и $18$ ч

Вариант 2

Из A в B $60$ км. Первый автомобиль едет на $10$ км/ч быстрее второго и приезжает на $1$ ч раньше. Скорость второго? $20$ км/ч
Лодка $15$ км/ч прошла $36$ км по течению и $36$ км против течения за $5$ ч. Скорость течения? $3$ км/ч
Две трубы вместе наполняют бак за $4$ ч, первая одна — на $15$ ч быстрее второй. За сколько часов — каждая? $5$ ч и $20$ ч

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы (уравнение и ответ), 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам, открытым по клику.
Вариант 1: 1) $\frac{90}{x} - \frac{90}{x + 15} = 1$ → $x^{2} + 15 x - 1350 = 0$ , $D = 5625 = 7 5^{2}$ , $x = 30$ (3 ч и 2 ч ✓). 2) $\frac{40}{9 + x} + \frac{40}{9 - x} = 9$ → $\frac{720}{81 - x ^{2}} = 9$ → $x^{2} = 1$ , $x = 1$ ( $40 : 10 = 4$ , $40 : 8 = 5$ ✓). 3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{6}$ → $x^{2} - 3 x - 54 = 0$ , $D = 225$ , $x = 9$ : 9 ч и 18 ч ( $\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1}{6}$ ✓).
Вариант 2: 1) $\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 1$ → $x^{2} + 10 x - 600 = 0$ , $D = 2500$ , $x = 20$ (3 ч и 2 ч ✓). 2) $\frac{36}{15 + x} + \frac{36}{15 - x} = 5$ → $\frac{1080}{225 - x ^{2}} = 5$ → $x^{2} = 9$ , $x = 3$ ( $36 : 18 = 2$ , $36 : 12 = 3$ ✓). 3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 15} = \frac{1}{4}$ → $x^{2} + 7 x - 60 = 0$ , $D = 289$ , $x = 5$ : 5 ч и 20 ч ( $\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}$ ✓).
Критерий: 3 верных — «5», 2 — «4», 1 — «3» (засчитывается, если отброшен посторонний корень).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда в задаче берётся дробь с $x$ в знаменателе?
По какому условию составляют уравнение?
Какие три фильтра проходит корень?

Домашнее задание

Автомобиль проехал $180$ км, обратно ехал на $15$ км/ч быстрее и затратил на $1$ ч меньше. Скорость туда?
Два принтера вместе печатают тираж за $4$ ч, первый один — на $6$ ч быстрее второго. За сколько часов — каждый?
* Половину пути ехали $30$ км/ч. С какой скоростью ехать вторую половину, чтобы средняя стала $40$ км/ч?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-075 · Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 4/19 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R05.4 «Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений» → 2–21 (R05.2 «…сводящихся к линейным или к квадратным» как сопутствующая → 6, 8–12, 15, 16, 18–20) · теория 14 мин (сл. 1–2, 5–7, 9, 11, 13) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3–4, 8, 10, 12, 14–21)
Результаты	ПР-23 (словесная формулировка → модель, интерпретация) → 4–21 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 6, 8–12, 15, 16, 18–20 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 6, 8, 11, 12, 15, 16, 20 · ПР-12, ПР-13 (преобразования, применение) → 13, 16, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-076; задачи, решаемые системами уравнений, — по программе позже; практикум по текстовым задачам — следующие уроки строки R05
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Текстовые задачии дробно-рациональныеуравнения

От условия — к уравнению — к ответу

1Моделировать

2Решать

3Интерпретировать

4Исследовать

Единицы, скорости, части работы

Величина = скорость × время

Автобус и грузовик: где спрятано уравнение?

Корень уравнения — ещё не ответ

Четыре шага решения текстовой задачи

Составьте уравнение и решите

Образец (сл. 5–6)

Сам

Найдите скорость течения

По течению v+x, против v−x

Образец (сл. 9)

Сам

Складываем производительности, а не время

Складываем части работы за 1 час

Образец (сл. 11)

Сам

Туда 60 км/ч, обратно 40 км/ч. Средняя — 50?

Составьте уравнение — решать пока не нужно

Цена, количество, стоимость

Четыре задачи — четыре сюжета

Найдите ошибку в модели

Пять задач от базы к доказательству

Подсказки

Найдите скорость лодки в неподвижной воде

Два варианта · 3 задачи

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-075 · Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений

Текстовые задачи
и дробно-рациональные
уравнения

По течению $v + x$ , против $v - x$

Складываем части работы за $1$ час

Туда $60$ км/ч, обратно $40$ км/ч. Средняя — $50$ ?