Дробно-рациональные уравнения · урок 3 из 19

Решение
дробно-рациональных
уравнений методом
замены переменной

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-074

0,5 мин · теория
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 3/19, единица R05.3 «Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной». Тип Н (новый материал). Вчера (ALG8U-073) — уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным; завтра (ALG8U-075) — текстовые задачи.
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 13, 15 (все теоретические слайды сохранены полностью, сокращено только время показа); практика — разминка (3), актуализация (4), «образец → сам» после каждого образца (9, 11, 12, 14), найдите ошибку (16), задания с самопроверкой (17, 18), формат ОГЭ (19), самостоятельная работа в 2 вариантах (20), рефлексия (21).
По минутам: 1 — 0,5 · 2 — 0,5 · 3 — 2 · 4 — 2 · 5 — 2 · 6 — 2 · 7 — 2 · 8 — 2 · 9 — 2,5 · 10 — 1,5 · 11 — 3 · 12 — 3 · 13 — 2 · 14 — 2,5 · 15 — 1 · 16 — 2 · 17 — 4 · 18 — 3 · 19 — 2 · 20 — 4 · 21 — 1,5.
Рисунок: уравнение «про x» переводим в уравнение «про t», решаем и возвращаемся — четыре корня внизу.

R05.3

Цели урока

Ученик научится

Замечать повтор

видеть в уравнении одно и то же выражение и вводить новую переменную $t$ (ПР-20)

Решать по $t$

сводить уравнение 4-й степени к квадратному (ПР-19, ПР-20)

Возвращаться к $x$

делать обратную замену и проверять допустимые значения (ПР-20)

Исследовать

определять, сколько корней даёт каждое значение $t$ (ПР-22)

0,5 мин · теория
ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Решать дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или к квадратным уравнениям, использовать метод замены переменной».

повторение: квадратные уравнения

Разминка · устно

Семь вопросов за две минуты

№	Вопрос	Ответ
1	Корни $t^{2} - 7 t + 12 = 0$	$3; 4$
2	Корни $t^{2} + t - 6 = 0$	$2; - 3$
3	Число, обратное $\frac{2}{3}$	$\frac{3}{2}$
4	Решите $\frac{1}{x} = 4$	$x = \frac{1}{4}$
5	$(a + b)^{2} = ?$	$a^{2} + 2 ab + b^{2}$
6	Решите $x^{2} + x = 0$	$0; - 1$
7	Сколько корней у $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ ?	один: $x = 2$

Как отвечаем

учитель читает вопрос — класс отвечает хором или на мини-досках; ответ открывается по клику

Вопросы 1, 2, 5 — прямо понадобятся сегодня

повторение: ALG8U-072, ALG8U-073

Актуализация · устно

Четыре быстрых вопроса

Задание	Ответ
Корни $t^{2} - 6 t + 5 = 0$	$t = 1, t = 5$ (Виет)
Допустимые значения $\frac{3}{x ^{2} + x}$	$x \neq = 0, x \neq = - 1$
Решите $\frac{x ^{2} + 4}{x} = 5$	$x^{2} - 5 x + 4 = 0; x = 1, x = 4$
Сколько корней у $x^{2} - x + 4 = 0$ ?	$D = - 15 < 0$ — ни одного

\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow {A = 0 B \neq = 0

Все четыре ответа понадобятся в первом образце

R05.3

Проблема

Общий знаменатель ведёт в тупик

\frac{x ^{2} + 4}{x} + \frac{5 x}{x ^{2} + 4} = 6

Путь «в лоб»

(x^{2} + 4)^{2} + 5 x^{2} = 6 x (x^{2} + 4)

x^{4} - 6 x^{3} + 13 x^{2} - 24 x + 16 = 0

4-я степень — формулы корней в школе нет

Заметим повтор

\frac{x ^{2} + 4}{x} = t, \frac{5 x}{x ^{2} + 4} = \frac{5}{t}

t + \frac{5}{t} = 6

дроби взаимно обратные — уравнение простое

R05.3

Новый материал · алгоритм

Метод замены переменной — пять шагов

R05.3 · образец 1

Образец 1 · взаимно обратные выражения

Решите $\frac{x ^{2} + 4}{x} + \frac{5 x}{x ^{2} + 4} = 6$

1)

x \neq = 0

;

x^{2} + 4 > 0

всегда

2)

t = \frac{x ^{2} + 4}{x}

:

t + \frac{5}{t} = 6, t \neq = 0

3)

t^{2} - 6 t + 5 = 0

t_{1} = 1, t_{2} = 5

по теореме Виета:

1 + 5 = 6, 1 \cdot 5 = 5

R05.3 · образец 1

Образец 1 · обратная замена

Каждое значение $t$ — отдельное уравнение

Ответ:

1; 4

— те самые корни многочлена 4-й степени со слайда 5

R05.3 · образец → сам

Образец → сам · взаимно обратные дроби

Решите по образцу 1

а) база

$\frac{x ^{2} + 2}{x} + \frac{3 x}{x ^{2} + 2} = 4$

t + \frac{3}{t} = 4

t = 1; t = 3

t = 1

:

D < 0

t = 3

:

x^{2} - 3 x + 2 = 0

x = 1; x = 2

б) база

$\frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x} = \frac{5}{2}$

t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}

t = 2; t = \frac{1}{2}

x = 2 x + 2

или

2 x = x + 1

x = - 2; x = 1

x \neq = 0, x \neq = - 1

в) повыш.

$\frac{x - 2}{x} + \frac{2 x}{x - 2} = 3$

t + \frac{2}{t} = 3

t = 1; t = 2

x - 2 = x

— нет;

x - 2 = 2 x

x = - 2

x \neq = 0, x \neq = 2

2,5 мин · практика
Самостоятельно в тетрадях сразу после образца; учитель открывает шаги по одному, класс сверяется.
а) t = (x² + 2)/x, t + 3/t = 4 → t² − 4t + 3 = 0, t = 1; 3. t = 1: x² − x + 2 = 0, D = 1 − 8 = −7 < 0. t = 3: x² − 3x + 2 = 0, x = 1; 2. Проверка: x = 1: 3/1 + 3/3 = 4 ✓; x = 2: 6/2 + 6/6 = 4 ✓.
б) t = x/(x + 1): 2t² − 5t + 2 = 0, t = 2; 1/2. x/(x + 1) = 2 → x = −2; x/(x + 1) = 1/2 → x = 1. Проверка: x = 1: 1/2 + 2 = 5/2 ✓; x = −2: (−2)/(−1) + (−1)/(−2) = 2 + 1/2 ✓.
в) t = (x − 2)/x: t² − 3t + 2 = 0, t = 1; 2. (x − 2)/x = 1 → −2 = 0, корней нет; (x − 2)/x = 2 → x = −2. Проверка: (−4)/(−2) + (−4)/(−4) = 2 + 1 = 3 ✓. Ошибка: «t = 1, значит x = 1».

R05.3 · образец 2

Образец 2 · повторяющееся выражение

Решите $x^{2} + x + \frac{12}{x ^{2} + x} = 8$

x^{2} + x \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 0, x \neq = - 1

t = x^{2} + x : t + \frac{12}{t} = 8

t^{2} - 8 t + 12 = 0; t = 2, t = 6

R05.3 · образец → сам

Образец → сам · повторяющийся многочлен

Решите по образцу 2

а) база

$x^{2} + 3 x - \frac{8}{x ^{2} + 3 x} = 2$

t = x^{2} + 3 x

t^{2} - 2 t - 8 = 0

t = 4; t = - 2

- 4; - 2; - 1; 1

x \neq = 0, x \neq = - 3

б) база

$x^{2} - x + \frac{24}{x ^{2} - x} = 14$

t = x^{2} - x

t^{2} - 14 t + 24 = 0

t = 2; t = 12

- 3; - 1; 2; 4

x \neq = 0, x \neq = 1

в) повыш.

$x^{2} + x + 1 - \frac{6}{x ^{2} + x + 1} = 1$

t = x^{2} + x + 1

t^{2} - t - 6 = 0

t = 3; t = - 2

—

D < 0

x = 1; x = - 2

R05.3

Закрепление · решите сами

Замена → квадратное → обратная замена

а) $\frac{x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = \frac{5}{2}$

t = \frac{x}{x - 1} : 2 t^{2} - 5 t + 2 = 0

t = 2 или t = \frac{1}{2}

x = 2; x = - 1

x \neq = 0, x \neq = 1

б) $x^{2} - 2 x - \frac{15}{x ^{2} - 2 x} = 2$

t = x^{2} - 2 x : t^{2} - 2 t - 15 = 0

t = 5 или t = - 3

x = 1 \pm 6

при

t = - 3

:

D < 0

Корни после обратной замены сверяем с запретами исходного уравнения:
в а)

x \neq = 0, x \neq = 1

; в б)

x \neq = 0, x \neq = 2

R05.3 · образец 3

Образец 3 · углублённо · сумма взаимно обратных

Решите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + x + \frac{1}{x} = 4$

t^{2} - 2 + t = 4; t^{2} + t - 6 = 0

t = 2 : x^{2} - 2 x + 1 = 0, x = 1

t = - 3 : x^{2} + 3 x + 1 = 0, x = \frac{- 3 \pm 5}{2}

Ответ:

1; \frac{- 3 \pm 5}{2}

R05.3 · образец → сам

Образец → сам · сумма взаимно обратных

Сначала устно, потом по образцу 3

Устно: найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$

если $x + \frac{1}{x} = 3$ $9 - 2 = 7$

если $x + \frac{1}{x} = - 4$ $16 - 2 = 14$

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2

а) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 3 (x + \frac{1}{x}) + 4 = 0$

t^{2} - 3 t + 2 = 0; t = 1; 2

t = 1

— нет;

x = 1

б) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 (x + \frac{1}{x}) = 6$

t^{2} - 2 t - 8 = 0; t = 4; - 2

x = 2 \pm 3; x = - 1

R05.3 · ПР-22

Дополнительно · исследование

Сколько корней даёт $x + \frac{1}{x} = t$ ?

1 мин · теория
Коротко, по готовому рисунку; при нехватке времени — только правую колонку. График построен по точкам (гипербола — строка R06), поэтому слайд помечен «Дополнительно».
Алгебраически: x + 1/x = t ⇔ x² − tx + 1 = 0, D = t² − 4. D > 0 ⇔ |t| > 2; D = 0 ⇔ t = ±2 (x = t/2 = ±1); D < 0 ⇔ |t| < 2. x = 0 корнем не бывает (свободный член 1).
Вывод для образца 3: t = 2 → один корень, t = −3 → два; всего 3 ✓. Значения t с |t| < 2 можно отбрасывать сразу.
Проверка точек: t = 3 → x = (3 ± √5)/2 ≈ 0,38 и 2,62 ✓ (на рисунке).

R05.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$t^{2} - 6 t + 5 = 0$ . Ответ: $1; 5$	записаны $t$ , а не $x$	обратная замена: $1; 4$
$t = 1$ : $D < 0$ ⇒ «корней нет»	забыта вторая ветка	решить и $t = 5$
$x^{2} + x + \frac{12}{x ^{2} + x} = 8$ : ответ $0; - 1; \dots$	нет проверки ОДЗ	$x \neq = 0, x \neq = - 1$
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2}$	квадрат суммы	$t^{2} - 2$
$t + \frac{5}{t} = 6 \Rightarrow t^{2} + 5 = 6$	умножили не всё на $t$	$t^{2} + 5 = 6 t$

R05.3

Задания с самопроверкой · в парах

Шесть заданий: от базы к исследованию

база $\frac{1}{x ^{2}} - \frac{3}{x} + 2 = 0$ $1; 0, 5$
база $\frac{x + 2}{x} + \frac{x}{x + 2} = \frac{10}{3}$ $1; - 3$
повыш. $x^{2} + x - \frac{12}{x ^{2} + x} = 4$ $2; - 3$
повыш. $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - (x + \frac{1}{x}) = 4$ $- 1; \frac{3 \pm 5}{2}$
повыш.Сколько корней у $x + \frac{1}{x} = a$ при $a = 3; 2; 1$ ? $2; 1; 0$
практикаСумма числа и обратного ему равна $2, 9$ . Найдите число. $2, 5$ или $0, 4$

Подсказки

1) $t = \frac{1}{x}$

3) $t = x^{2} + x$

4) $t = x + \frac{1}{x}$

6) $x + \frac{1}{x} = \frac{29}{10}$

4 мин · практика
Работа в парах; ответы открываются по клику — проверка всем классом. 1) t² − 3t + 2 = 0, t = 1; 2 → x = 1; 1/2. Проверка x = 1/2: 4 − 6 + 2 = 0 ✓.
2) t = (x + 2)/x: 3t² − 10t + 3 = 0, t = 3; 1/3. (x + 2)/x = 3 → x = 1; (x + 2)/x = 1/3 → x = −3. Проверка x = −3: (−1)/(−3) + (−3)/(−1) = 1/3 + 3 = 10/3 ✓.
3) t² − 4t − 12 = 0, t = 6; −2. x² + x = 6 → x = 2; −3. x² + x = −2: D = −7 < 0. Ответ 2; −3. Проверка x = 2: 6 − 2 = 4 ✓.
4) t² − 2 − t = 4, t² − t − 6 = 0, t = 3; −2. t = −2 → x = −1; t = 3 → x = (3 ± √5)/2. Проверка x = −1: 1 + 1 − (−2) = 4 ✓.
5) x² − ax + 1 = 0, D = a² − 4: при a = 3 — два корня, a = 2 — один (x = 1), a = 1 — нет.
6) 10x² − 29x + 10 = 0, D = 841 − 400 = 441, x = (29 ± 21)/20 = 2,5 или 0,4. Проверка: 2,5 + 0,4 = 2,9 ✓.

R05.3 · ПР-20

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Новая замена и задача из жизни

повыш. $\frac{x ^{2} + x - 5}{x} + \frac{3 x}{x ^{2} + x - 5} + 4 = 0$
$t = - 1; - 3$ → $x = - 5; 1; - 1 \pm 6$
повыш. $2 (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) - 3 (x - \frac{1}{x}) = 4$
$t = x - \frac{1}{x}$ : $t = 0; 1, 5$ → $x = \pm 1; 2; - 0, 5$
жизньОтношение ширины экрана к высоте плюс обратное отношение равно $\frac{337}{144}$ . Каков формат экрана, если ширина больше высоты?
$t = \frac{16}{9}$ — формат $16 : 9$

3 мин · практика
1) t = (x² + x − 5)/x: t + 3/t + 4 = 0 → t² + 4t + 3 = 0, t = −1; −3. t = −1: x² + 2x − 5 = 0, x = −1 ± √6. t = −3: x² + 4x − 5 = 0, x = 1; −5. Запреты: x ≠ 0 и x² + x − 5 ≠ 0 (выполнено, так как t ≠ 0). Проверка x = 1: t = −3; −3 − 1 + 4 = 0 ✓; x = −5: t = 15/(−5) = −3 ✓.
2) Новое: t = x − 1/x, (x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x², значит x² + 1/x² = t² + 2. 2t² + 4 − 3t = 4 → t(2t − 3) = 0. t = 0: x² = 1, x = ±1. t = 3/2: 2x² − 3x − 2 = 0, x = 2; −1/2. Проверка x = 2: 2 · 4,25 − 3 · 1,5 = 8,5 − 4,5 = 4 ✓; x = −1: 2 · 2 − 0 = 4 ✓.
3) 144t² − 337t + 144 = 0, D = 113 569 − 82 944 = 30 625 = 175², t = (337 ± 175)/288 = 16/9 или 9/16. Ширина больше — t = 16/9. Проверка: 16/9 + 9/16 = (256 + 81)/144 = 337/144 ✓.

R05.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (уравнение, часть 2)

Решите уравнение

\frac{1}{x ^{2}} + \frac{4}{x} - 12 = 0

Запишите решение полностью: замена, ОДЗ, обратная замена, ответ

R05.3

Самостоятельная работа · 2 варианта

Решите уравнения

Вариант 1

$\frac{1}{x ^{2}} - \frac{5}{x} + 6 = 0$ $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}$
$\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x} = \frac{5}{2}$ $- 4; 2$
$x^{2} + 2 x - \frac{3}{x ^{2} + 2 x} = 2$ $- 3; - 1; 1$

Вариант 2

$\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x} - 2 = 0$ $1; - \frac{1}{2}$
$\frac{x}{x - 3} + \frac{x - 3}{x} = \frac{5}{2}$ $6; - 3$
$x^{2} - 4 x - \frac{20}{x ^{2} - 4 x} = 1$ $- 1; 2; 5$

Записывайте: запреты → замена → уравнение по

t

→ обратная замена → ответ

4 мин · практика
В1. 1) t = 1/x: t² − 5t + 6 = 0, t = 2; 3 → x = 1/2; 1/3. Проверка x = 1/3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓. 2) t = x/(x + 2): t = 2 → x = 2x + 4, x = −4; t = 1/2 → 2x = x + 2, x = 2. Проверка x = 2: 2/4 + 4/2 = 5/2 ✓; x = −4: 2 + 1/2 ✓. 3) x ≠ 0, −2; t − 3/t = 2 → t² − 2t − 3 = 0, t = 3; −1. x² + 2x = 3 → 1; −3; x² + 2x = −1 → x = −1. Проверка x = −1: −1 + 3 = 2 ✓.
В2. 1) t² + t − 2 = 0, t = 1; −2 → x = 1; −1/2. Проверка x = −1/2: 4 − 2 − 2 = 0 ✓. 2) t = x/(x − 3): t = 2 → x = 2x − 6, x = 6; t = 1/2 → 2x = x − 3, x = −3. Проверка x = 6: 2 + 1/2 ✓; x = −3: 1/2 + 2 ✓. 3) x ≠ 0, 4; t − 20/t = 1 → t² − t − 20 = 0, t = 5; −4. x² − 4x = 5 → 5; −1; x² − 4x = −4 → x = 2. Проверка x = 2: −4 + 5 = 1 ✓; x = 5: 5 − 4 = 1 ✓.
Критерий: «5» — 3 задания, «4» — 2, в 3-м потерян корень двойной ветки — частая ошибка.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда выгодна замена переменной?
Почему найденные $t$ — ещё не ответ?
Чему равно $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ через $t = x + \frac{1}{x}$ ?

Домашнее задание

$\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x} - 6 = 0$
$\frac{x ^{2} + 1}{x} + \frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{5}{2}$
* $x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} - 7 (x + \frac{2}{x}) + 16 = 0$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1,5 мин · практика
ДЗ: 1) t = 1/x: t² + t − 6 = 0, t = 2; −3 → x = 1/2; −1/3. Проверка x = −1/3: 9 − 3 − 6 = 0 ✓.
2) t + 1/t = 5/2 → t = 2 или 1/2. (x² + 1)/x = 2 → (x − 1)² = 0, x = 1; (x² + 1)/x = 1/2 → 2x² − x + 2 = 0, D = −15 < 0. Ответ 1. Проверка: 2 + 1/2 = 5/2 ✓.
3*) t = x + 2/x, x² + 4/x² = t² − 4: t² − 7t + 12 = 0, t = 3; 4. x² − 3x + 2 = 0 → 1; 2. x² − 4x + 2 = 0 → 2 ± √2. Проверка x = 1: 1 + 4 − 21 + 16 = 0 ✓; x = 2: 4 + 1 − 21 + 16 = 0 ✓.
Тренажёр — уравнения углублённого уровня (квадратные: повторить решение по t). Следующий урок ALG8U-075 — текстовые задачи.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-074 · Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 3/19 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R05.3 «Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной» → 2, 5–21 (повторение R05.1, R05.2 → 3, 4)
Результаты	ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 4, 7–14, 17–20 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 2, 5–14, 16–21 · ПР-22 (исследование уравнений, число корней) → 8, 14, 15, 17 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	текстовые задачи — ALG8U-075; графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-076; график функции $y = x + \frac{1}{x}$ — только как иллюстрация (сл. 15, «Дополнительно»)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решениедробно-рациональныхуравнений методомзамены переменной

Ученик научится

Замечать повтор

Решать по t

Возвращаться к x

Исследовать

Семь вопросов за две минуты

Как отвечаем

Четыре быстрых вопроса

Общий знаменатель ведёт в тупик

Путь «в лоб»

Заметим повтор

Метод замены переменной — пять шагов

Решите xx2+4​+x2+45x​=6

Каждое значение t — отдельное уравнение

Решите по образцу 1

а) база

б) база

в) повыш.

Решите x2+x+x2+x12​=8

Решите по образцу 2

а) база

б) база

в) повыш.

Замена → квадратное → обратная замена

Решите x2+x21​+x+x1​=4

Сначала устно, потом по образцу 3

Устно: найдите x2+x21​

Сколько корней даёт x+x1​=t?

Найдите ошибку

Шесть заданий: от базы к исследованию

Подсказки

Новая замена и задача из жизни

Решите уравнение

Решите уравнения

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-074 · Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной

Решение
дробно-рациональных
уравнений методом
замены переменной

Решать по $t$

Возвращаться к $x$

Решите $\frac{x ^{2} + 4}{x} + \frac{5 x}{x ^{2} + 4} = 6$

Каждое значение $t$ — отдельное уравнение

Решите $x^{2} + x + \frac{12}{x ^{2} + x} = 8$

Решите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + x + \frac{1}{x} = 4$

Устно: найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$

Сколько корней даёт $x + \frac{1}{x} = t$ ?