Дробно-рациональные уравнения · урок 2 из 19 · новый материал

Дробные уравнения:
сводим к линейным
и квадратным

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-073

1 мин · теория
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 2/19, единица R05.2 «Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям». Тип Н. Вчера (ALG8U-072) — понятие дробно-рационального уравнения; завтра (ALG8U-074) — метод замены переменной.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 (сл. 1–2, теория) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4, практика) · проблема 2, равносильность 2, алгоритм 1 (сл. 5–7, теория) · пример 1 — 2 (сл. 8, теория) → образец → сам 3 (сл. 9) · пример 2 — 2 (сл. 10, теория) → образец → сам 3 (сл. 11) · пропорция 1 (сл. 12, теория) → образец → сам 2 (сл. 13) · решите сами 2 (сл. 14) · параметр 2 (сл. 15, теория) · найди ошибку 2 (сл. 16) · самопроверка: база 3, повышенный 4 (сл. 17–18) · задача из жизни 2 (сл. 19) · самостоятельная в двух вариантах 4 (сл. 20) · ОГЭ 1 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 22).
Вся теория прежняя, без сокращений; практика добавлена: после каждого нового приёма — образец по шагам и сразу похожие задания; ответы появляются по клику.
Если не успеваете — задание ОГЭ (сл. 21) и задание 5 повышенного уровня (сл. 18) перенесите в ДЗ.
Рисунок: дробь A/B = 0 и координатная прямая — корень берём, точку, где B = 0, выкалываем.

R05.2

Цели урока

Ученик научится

Решать

дробно-рациональные уравнения, сводя их к линейным и квадратным (ПР-20, ПР-19)

Отбирать корни

находить допустимые значения и отбрасывать посторонние корни (ПР-9)

Обосновывать

объяснять, почему умножение на знаменатель может дать лишний корень

Исследовать

число корней уравнения с параметром, в том числе по графику (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Решать дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным или к квадратным уравнениям».
Вопрос классу: какое уравнение называется дробно-рациональным? (Обе части — рациональные выражения, хотя бы одно содержит деление на выражение с переменной.)

повторение: R04, ALG8U-072

Разминка · устно

Ответьте быстро

1Разложите

x^{2} - 9

(x - 3) (x + 3)

2Разложите

x^{2} - 5 x

x (x - 5)

3Где не определена

\frac{5}{x + 4}

?

x = - 4

4Решите

3 x - 6 = 0

x = 2

5Корни

x^{2} - 4 x + 3 = 0

1; 3

6Корни

x^{2} + 2 x - 3 = 0

1; - 3

7Общий знаменатель

\frac{1}{x}

и

\frac{1}{x + 1}

x (x + 1)

8

\frac{x}{x} = 1

при всех

x

?нет,

x \neq = 0

повторение: ALG8U-072, R04

Актуализация · устно

Три опоры сегодняшнего урока

Вопрос	Ответ
Когда $\frac{A}{B} = 0$ ?	$A = 0$ и $B \neq = 0$
Допустимые значения $\frac{3}{x ^{2} - 4 x}$	$x \neq = 0, x \neq = 4$
Общий знаменатель $\frac{1}{x - 2}, \frac{1}{x ^{2} - 4}$	$(x - 2) (x + 2)$
Корни $2 x^{2} + x - 3 = 0$	$1; - 1, 5$

D = b^{2} - 4 a c

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Без этих трёх умений уравнение не решить

R05.2

Проблема

Решите: $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$

x^{2} - 9 = 0

x = 3

или

x = - 3

?

x = 3 : \frac{0}{0}

— не имеет смысла

Ответ:

- 3

R05.2 · обоснование

Откуда берутся посторонние корни

Умножаем на знаменатель — расширяем область

2 мин · теория
Доказательство: если B ≠ 0, то A/B = C/B ⇔ A = C (умножаем и делим на B ≠ 0). Если B = 0, левая и правая части не определены, хотя A = C может выполняться.
Поэтому при переходе к целому уравнению A = C множество корней может только расшириться — потерять корень так нельзя, а приобрести посторонний — можно.
Вопрос: можно ли просто проверять корни подстановкой? (Да, но проще сравнить с условием B ≠ 0; полная подстановка — для контроля вычислений.)

R05.2

Алгоритм

Четыре шага решения

R05.2 · к линейному

Пример 1 · сводится к линейному

$\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x ^{2} - 4}$

1)

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

;

x \neq = \pm 2

2)

\cdot (x - 2) (x + 2) : 3 (x + 2) + (x - 2) = 4

3)

4 x + 4 = 4 \Rightarrow x = 0

4)

0 \neq = \pm 2

→ Ответ:

0

R05.2 · к линейному

Образец → сам

Сводится к линейному уравнению

Образец: $\frac{x + 3}{x} - 1 = \frac{6}{x ^{2}}$

1)

x \neq = 0

запрет

2)

\cdot x^{2} : x (x + 3) - x^{2} = 6

3)

3 x = 6, x = 2

4)

2 \neq = 0

→ Ответ: $2$

Сами

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x} = 3$ $1$
$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x - 2}$ корней нет
$\frac{6}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ $3$
$\frac{x}{x + 3} = \frac{x - 1}{x + 5}$ $- 1$

R05.2 · к квадратному

Пример 2 · сводится к квадратному

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$

1)

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

;

x \neq = \pm 1

2)

2 x (x - 1) + 3 (x + 1) = 6

3)

2 x^{2} + x - 3 = 0, D = 25

x_{1} = 1, x_{2} = - 1, 5

4)

x = 1

— посторонний → Ответ:

- 1, 5

R05.2 · к квадратному

Образец → сам

Сводится к квадратному уравнению

Образец: $\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$

1)

x \neq = \pm 2

2)

x (x - 2) + (x + 2)^{2} = 8

3)

x^{2} + x - 2 = 0 : x = 1, x = - 2

4)

- 2

— запрет → Ответ: $1$

Сами

$\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}$ $- 3$
$x - \frac{12}{x} = 1$ $4; - 3$
$\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ $2$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3} = \frac{1}{2}$ $1; 6$

R05.2 · пропорция

Частный случай · дробь = дробь

$\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{2 x + 2}{x + 1}$

(x - 4) (x + 1) = (2 x + 2) (x - 3)

x^{2} - 3 x - 4 = 2 x^{2} - 4 x - 6

x^{2} - x - 2 = 0 : x = 2, x = - 1

- 1

— запрет → Ответ:

2

R05.2 · пропорция

Образец → сам

Дробь = дробь: крест-накрест и отбор

Образец: $\frac{4}{x - 1} = \frac{3}{x}$

1)

x \neq = 1, x \neq = 0

2)

4 x = 3 (x - 1)

3)

x = - 3

4) допустим → Ответ: $- 3$

Сами

$\frac{5}{x + 2} = \frac{3}{x}$ $3$
$\frac{x}{2} = \frac{8}{x}$ $\pm 4$
$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + 5}{x + 2}$ $7$
повыш. $\frac{x - 2}{x + 1} = \frac{2 x - 4}{x + 3}$ $1; 2$

2 мин · практика
Образец: проверка x = −3: 4/(−4) = −1; 3/(−3) = −1 ✓.
1) x ≠ −2, 0; 5x = 3(x + 2) → x = 3. Проверка: 5/5 = 1; 3/3 = 1 ✓.
2) x ≠ 0; x² = 16 → x = ±4 (оба допустимы). Проверка: 4/2 = 2 = 8/4 ✓; −2 = 8/(−4) ✓.
3) x ≠ 1, −2; (x + 1)(x + 2) = (x + 5)(x − 1) → x² + 3x + 2 = x² + 4x − 5 → x = 7. Проверка: 8/6 = 4/3; 12/9 = 4/3 ✓.
4) x ≠ −1, −3; (x − 2)(x + 3) = 2(x − 2)(x + 1) → (x − 2)(x + 3 − 2x − 2) = 0 → (x − 2)(1 − x) = 0 → x = 2, x = 1. Проверка x = 1: −1/2 = −2/4 ✓; x = 2: 0 = 0 ✓.
Ловушка в 4): «сократить на x − 2» — потеряется корень 2. На выражение с переменной не делим, а выносим за скобки.

R05.2 · закрепление

Закрепление · решите сами

Алгоритм из четырёх шагов

а) $\frac{x ^{2}}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}$

x \neq = - 2; x^{2} = 4

x = 2

или

x = - 2

Ответ:

2

б) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{3}{4}$

x \neq = 0, x \neq = - 2; \cdot 4 x (x + 2)

4 (x + 2) + 4 x = 3 x (x + 2)

3 x^{2} - 2 x - 8 = 0, D = 100

Ответ:

2; - \frac{4}{3}

R05.2 · ПР-22 · исследование

Углублённо · уравнение с параметром

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - a}{x - 1} = 0$ ?

$a$	корни
$a < 0$	нет
$a = 0$	$x = 0$
$a = 1$	$x = - 1$
$a > 0, a \neq = 1$	$\pm a$

R05.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 0 \Rightarrow x = \pm 1$	нет отбора	$x = - 1$
$\frac{2}{x} + 1 = \frac{3}{x} \Rightarrow 2 + 1 = 3$	не умножили 1 на $x$	$2 + x = 3, x = 1$
$\frac{x}{x - 3} = \frac{3}{x - 3} \Rightarrow$ ответ $3$	корень — запрет	корней нет
$x - (x - 2) = x - x - 2$	знак перед скобкой	$x - x + 2$
$\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{3 x}{x - 1} \Rightarrow x = 3$	разделили на $x$	$0; 3$

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

база $\frac{x - 5}{x + 5} = 0$ $5$
база $\frac{x ^{2} - 16}{x + 4} = 0$ $4$
база $\frac{x ^{2} - 3 x}{x} = 0$ $3$

база $\frac{7}{x - 4} = 1$ $11$
база $\frac{2}{x} + \frac{3}{x} = \frac{1}{2}$ $10$
база $\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = 0$ $- 2$

R05.2 · ПР-22

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Пять уравнений от базы к параметру

база $\frac{3}{x} = \frac{5}{x + 2}$ $3$
база $\frac{x ^{2} - 4 x}{x - 4} = 0$ $0$
повыш. $\frac{x}{x - 2} + \frac{8}{4 - x ^{2}} = \frac{1}{x + 2}$ $- 3$
повыш. $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{10}{3}$ $\pm 2$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a}{x - 3} = 0$ имеет ровно один корень? $a = 2; a = 3$

Подсказки

3) $4 - x^{2} = - (x^{2} - 4)$

4) общий знаменатель $3 (x^{2} - 1)$

5) разложите числитель

4 мин · практика
1) 3(x + 2) = 5x → x = 3 (x ≠ 0, −2). Проверка: 1 = 5/5 ✓.
2) x(x − 4) = 0, x ≠ 4 → x = 0. Ответ: 0.
3) x(x + 2) − 8 = x − 2 → x² + x − 6 = 0 → x = 2 (запрет), x = −3. Ответ: −3. Проверка: 0,6 − 1,6 = −1; 1/(−1) = −1 ✓.
4) 3(x + 1)² + 3(x − 1)² = 10(x² − 1) → 6x² + 6 = 10x² − 10 → x² = 4 → x = ±2 (оба допустимы). Проверка x = 2: 3 + 1/3 = 10/3 ✓; x = −2: 1/3 + 3 ✓.
5) Числитель (x − 2)(x − a). Корни 2 и a при x ≠ 3. Ровно один: a = 2 (совпадают) или a = 3 (корень a посторонний). Ответ: a = 2; a = 3.
Ответы открываются по клику у каждого задания — проверка всем классом. Задание 5 при нехватке времени — в ДЗ.

R05.2 · применение

Задача из жизни · физика

Два резистора соединены параллельно

Сопротивление второго на 2 Ом больше, чем первого, общее — 2,4 Ом. Найдите оба сопротивления, если $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ .

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2 , 4} = \frac{5}{12}

5 x^{2} - 14 x - 24 = 0 : x = 4, x = - 1, 2

x > 0

→ Ответ:

4

Ом и

6

Ом

2 мин · практика
Решают в парах, затем учитель открывает шаги. x ≠ 0, −2; умножаем на 12x(x + 2): 12(x + 2) + 12x = 5x(x + 2) → 24x + 24 = 5x² + 10x → 5x² − 14x − 24 = 0; D = 196 + 480 = 676 = 26²; x = (14 ± 26)/10 → 4 и −1,2.
−1,2 — допустимый корень уравнения, но отбрасывается по смыслу (сопротивление положительно). Ответ: R₁ = 4 Ом, R₂ = 6 Ом. Проверка: 1/4 + 1/6 = 5/12, R = 12/5 = 2,4 Ом ✓.
Отличие от посторонних корней: здесь отбор идёт по условию задачи, а не по знаменателю. Текстовые задачи подробно — на уроке ALG8U-075.

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$\frac{x + 4}{x - 2} = 0$ $- 4$
$\frac{x ^{2} - 25}{x - 5} = 0$ $- 5$
$\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x}$ $- 2$
$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}$ $- 2$

Вариант 2

$\frac{x - 6}{x + 3} = 0$ $6$
$\frac{x ^{2} - 36}{x + 6} = 0$ $6$
$\frac{5}{x + 1} = \frac{3}{x}$ $1, 5$
$\frac{x}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$ $- 7$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) x = −4 (x ≠ 2). 2) x² = 25, x ≠ 5 → −5. 3) x ≠ 1, 0; 3x = 2(x − 1) → x = −2. Проверка: 3/(−3) = −1; 2/(−2) = −1 ✓. 4) x ≠ ±1; x(x − 1) + 2(x + 1) = 4 → x² + x − 2 = 0 → x = 1 (запрет), x = −2. Проверка: −2/(−1) + 2/(−3) = 4/3; 4/3 ✓.
Вариант 2: 1) x = 6 (x ≠ −3). 2) x² = 36, x ≠ −6 → 6. 3) x ≠ −1, 0; 5x = 3(x + 1) → x = 1,5. Проверка: 5/2,5 = 2; 3/1,5 = 2 ✓. 4) x ≠ ±2; x(x + 2) + 3(x − 2) = 8 → x² + 5x − 14 = 0 → x = 2 (запрет), x = −7. Проверка: 7/9 − 3/5 = 8/45; 8/45 ✓.
Ответы открывать после сдачи или для взаимопроверки в парах. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R05.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

\frac{2}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} - 2 x} = \frac{4 - x}{x ^{2} + 2 x}

Полное решение с обоснованием — 2 балла

Ответ: $3$

1 мин · практика
В классе — шаг 1 (разложить знаменатели, записать запреты), ответ открыть по клику; полное оформление — дома.
Решение: знаменатели (x − 2)(x + 2), x(x − 2), x(x + 2); x ≠ 0, ±2. Умножаем на x(x − 2)(x + 2): 2x − (x + 2) = (4 − x)(x − 2) → x − 2 = −x² + 6x − 8 → x² − 5x + 6 = 0 → x = 2 (запрет), x = 3. Ответ: 3.
Проверка x = 3: 2/5 − 1/3 = 1/15; (4 − 3)/(9 + 6) = 1/15 ✓.
Критерии ОГЭ: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка или в ответ записан посторонний корень 2.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите четыре шага алгоритма.
Почему появляется посторонний корень?
Можно ли при таком решении потерять корень?

Домашнее задание

$\frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} = 3$
$\frac{6}{x ^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3} = \frac{x}{x + 3}$
* При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - a}{x + 2} = 0$ имеет ровно один корень?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

1 мин · практика
Ответы ДЗ: 1) 5x − 8(x − 3) = 3x(x − 3) → x² − 2x − 8 = 0 → x = 4; −2. Проверка x = 4: 5 − 2 = 3 ✓; x = −2: −1 + 4 = 3 ✓.
2) 6 − (x + 3) = x(x − 3) → x² − 2x − 3 = 0 → x = 3 (запрет), x = −1. Ответ: −1. Проверка: −0,75 + 0,25 = −0,5 = −1/2 ✓.
3*) x² = a, x ≠ −2: a = 0 (x = 0) или a = 4 (x = −2 выколот, остаётся x = 2). Ответ: a = 0; a = 4.
Ответ на вопрос 3: нет — при умножении на общий знаменатель корни не теряются, если не делить на выражение с переменной.
Следующий урок ALG8U-074 — метод замены переменной.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-073 · Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 2/19 · тип Н (новый материал)
Время	теория 14 мин (сл. 1–2, 5–8, 10, 12, 15) · практика 31 мин (сл. 3–4, 9, 11, 13–14, 16–22) — 69 %
Единицы → слайды	R05.2 «Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям» → 2, 5–22 (повторение R05.1 и R04 → 3–4)
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 2, 5–14, 16–22 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3–4, 10–14, 18–22 · ПР-9 (допустимые значения) → 3–5, 8–13, 16–17, 20 · ПР-22 (исследование уравнений, графически) → 5, 15, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	метод замены переменной — ALG8U-074; текстовые задачи — ALG8U-075; графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — ALG8U-076
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробные уравнения:сводим к линейными квадратным

Ученик научится

Решать

Отбирать корни

Обосновывать

Исследовать

Ответьте быстро

Три опоры сегодняшнего урока

Решите: x−3x2−9​=0

Умножаем на знаменатель — расширяем область

Четыре шага решения

x−23​+x+21​=x2−44​

Сводится к линейному уравнению

Образец: xx+3​−1=x26​

Сами

x+12x​+x−13​=x2−16​

Сводится к квадратному уравнению

Образец: x+2x​+x−2x+2​=x2−48​

Сами

x−3x−4​=x+12x+2​

Дробь = дробь: крест-накрест и отбор

Образец: x−14​=x3​

Сами

Алгоритм из четырёх шагов

Сколько корней у x−1x2−a​=0?

Найдите ошибку

Решите и сверьте ответ

Пять уравнений от базы к параметру

Подсказки

Два резистора соединены параллельно

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-073 · Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям

Дробные уравнения:
сводим к линейным
и квадратным

Решите: $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$

$\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x ^{2} - 4}$

Образец: $\frac{x + 3}{x} - 1 = \frac{6}{x ^{2}}$

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$

Образец: $\frac{x}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}$

$\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{2 x + 2}{x + 1}$

Образец: $\frac{4}{x - 1} = \frac{3}{x}$

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - a}{x - 1} = 0$ ?