Дробно-рациональные уравнения · урок 1 из 19 · новый материал

Дробно-
рациональные
уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R05 · ALG8U-072

1 мин · теория (орг. момент) · всего: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Паспорт: R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения» (19 ч), урок 1/19, единица R05.1 «Дробно-рациональные уравнения». Тип Н (новый материал). Вчера (ALG8U-071) — обобщение по дробно-рациональным выражениям; завтра (ALG8U-073) — общий алгоритм: уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным (общий знаменатель).
Хронометраж (45 мин): Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Теория: титул 1 · цели 1 (сл. 2) · проблема 2 (сл. 5) · определение 1 (сл. 6) · правило «дробь = 0» 2 (сл. 8) · образец 1 (сл. 9) · пропорция 2 (сл. 11) · посторонние корни 2 (сл. 13) · параметр 2 (сл. 15). Практика: разминка 2 (сл. 3) · актуализация 2 (сл. 4) · целое/дробное 1 (сл. 7) · по образцу 3 (сл. 10) · пропорции 2 (сл. 12) · закрепление 3 (сл. 14) · параметр 2 (сл. 16) · самопроверка 3 (сл. 17) · ошибки 2 (сл. 18) · задача из жизни 2 (сл. 19) · тренировка 3 (сл. 20) · самостоятельная 4 (сл. 21) · ОГЭ 1 (сл. 22) · итог 1 (сл. 23).
Рисунок: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Иначе появляется посторонний корень.

R05.1

Цели урока

Уравнение с переменной в знаменателе

Распознавать

дробно-рациональное уравнение среди целых (ПР-20)

Решать

уравнения $\frac{A}{B} = 0$ и $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ (ПР-20, ПР-19)

Отсеивать

посторонние корни по допустимым значениям (ПР-9, ПР-20)

Исследовать

сколько корней при разных значениях параметра (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения» — главный результат. ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Вид деятельности ФРП: «Распознавать дробно-рациональные уравнения».
Вопрос классу: какие уравнения мы уже умеем решать? (линейные, квадратные, уравнения с разложением на множители.)

разминка

Разминка · устно

Корни, множители, пропорция

x^{2} = 16

\pm 4

x^{2} - 5 x = 0

0; 5

(x - 3) (x + 7) = 0

3; - 7

2 x + 3 = 0

- 1, 5

x^{2} - 7 x + 12 = 0

3; 4

x^{2} + x - 6 = 0

- 3; 2

x^{2} - 25 = ?

(x - 5) (x + 5)

\frac{3}{4} = \frac{x}{8}

x = 6

2 мин · практика
Блиц по цепочке: ученик называет ответ, учитель открывает его по клику.
Ответы: 1) x = ±4 (16 = 4²); 2) x(x − 5) = 0 → 0; 5; 3) произведение равно нулю → 3; −7; 4) 2x = −3 → −1,5; 5) по Виета сумма 7, произведение 12 → 3; 4 (проверка 9 − 21 + 12 = 0 ✓); 6) сумма −1, произведение −6 → −3; 2 (проверка 4 + 2 − 6 = 0 ✓); 7) разность квадратов (x − 5)(x + 5); 8) пропорция: 4x = 24 → x = 6.
Всё это понадобится сегодня: числитель дроби будем приравнивать к нулю и решать линейные и квадратные уравнения, пропорцию — «крестом».

повторение: R04.4

Актуализация · устно

Когда дробь не имеет смысла, а когда равна нулю?

Дробь	Не имеет смысла при	Равна $0$ при
$\frac{5}{x - 4}$	$x = 4$	никогда
$\frac{x + 2}{x - 1}$	$x = 1$	$x = - 2$
$\frac{x}{x ^{2} + 1}$	таких нет	$x = 0$
$\frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$	$x = - 3$	$x = 3$ , но не $- 3$ !

\frac{0}{7} = 0

\frac{7}{0} ?

на ноль делить нельзя

R05.1 · проблема

Проблема · кто прав?

Решите $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$

Петя

$x^{2} - 9 = 0$ , значит $x = \pm 3$

Оля

только $x = - 3$

При

x = 3

получаем

\frac{0}{0}

— это не число

R05.1

Определение

Целое или дробно-рациональное?

Целое уравнение

переменная только в числителях: делим на числа

$\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 4$

$x^{2} - 5 x = \frac{x}{7}$

$\frac{x ^{2} - 4}{5} = 0$

Дробно-рациональное

есть деление на выражение с переменной

$\frac{3}{x} = x - 2$

$\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{1}{x}$

$\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$

Обе части — рациональные выражения, хотя бы одна из них — дробное

1 мин · теория
Определение: уравнение, обе части которого — рациональные выражения, причём хотя бы одно из них дробное (содержит деление на выражение с переменной), называют дробно-рациональным (дробным).
Вопрос-ловушка: x/3 + (x − 1)/2 = 4 — дробное? Нет: знаменатели — числа, это целое (линейное) уравнение.
Последние строки открываются по клику: одинаковые числители, но разные знаменатели — разные типы уравнений.
Почему важно различать: у дробного уравнения есть ограничения (знаменатель ≠ 0), у целого — нет.

R05.1 · сам

Сам · распознайте

Целое или дробно-рациональное?

\frac{x - 1}{4} = \frac{x}{2}

целое

\frac{2}{x} + 1 = x

дробное

\frac{x ^{2}}{5} - x = 0

целое

\frac{x + 3}{x - 3} = 2

дробное

x + \frac{1}{3} = \frac{x}{9}

целое

\frac{5}{x ^{2} + 1} = 1

дробное

R05.1

Новое · условие равенства дроби нулю

Дробь равна нулю — когда?

2 мин · теория
Формулировка: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Запись системой: ${A = 0 B \neq = 0$ — учеников просим писать именно так.
Почему: если B ≠ 0, то A/B = 0 ⇔ A = 0 · B = 0. Если B = 0, дробь не определена — числом 0 она быть не может.
Вопрос: обязательно ли находить все запреты знаменателя заранее? Нет — достаточно проверить найденные корни числителя, но на углублённом уровне удобно выписать ОДЗ сразу.

R05.1 · образец

Образец · уравнение вида A/B = 0

Решите $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = 0$

x^{2} - 5 x + 6 = 0

числитель

= 0

; по теореме Виета

x_{1} = 2, x_{2} = 3

x - 3 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 3

Ответ:

2

R05.1 · сам

Образец → сам · дробь равна нулю

Числитель $= 0$ , знаменатель $\neq = 0$

а)

\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = 0

- 4

б)

\frac{x ^{2} - 3 x}{x} = 0

3

в)

\frac{x ^{2} + 2 x - 15}{x + 5} = 0

3

г)

\frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - 4} = 0

- 1

R05.1 · образец

Образец · уравнение-пропорция

$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Leftrightarrow A D = BC, B \neq = 0, D \neq = 0$

ОДЗ:

x \neq = 2, x \neq = - 2

(x + 1) (x + 2) = (2 x - 1) (x - 2)

x^{2} + 3 x + 2 = 2 x^{2} - 5 x + 2

x^{2} - 8 x = 0 \Rightarrow x = 0, x = 8

оба в ОДЗ. Ответ:

0; 8

R05.1 · сам

Образец → сам · пропорция

ОДЗ, «крест», проверка

а)

\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x}

- 2

б)

\frac{6}{x} = x - 1

- 2; 3

в)

\frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x}

4

г)

\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 3}

5

R05.1

Почему появляются посторонние корни

$\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

умножим обе части на

x - 1

x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1

x = 1

: знаменатель

= 0

Ответ:

- 1

2 мин · теория
Умножение обеих частей на выражение с переменной — переход к следствию: все корни исходного уравнения сохраняются, но могут добавиться новые — те, при которых множитель равен нулю.
Равносильный переход: $\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} \Leftrightarrow {x^{2} = 1 x \neq = 1$ .
Вопрос: может ли при этом корень потеряться? Нет — при умножении на выражение корни не теряются (теряются при делении на выражение, которое может быть равно 0).
Отсюда правило: после перехода к целому уравнению — обязательная проверка по ОДЗ.

R05.1 · закрепление

Закрепление · решите сами

Числитель — ноль, знаменатель — нет

а) $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$

x = \pm 2

;

x \neq = - 2

Ответ:

2

б) $\frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 9} = 0$

x = 0, x = - 3

;

x \neq = \pm 3

Ответ:

0

в) $\frac{4}{x} = x - 3$

x^{2} - 3 x - 4 = 0

,

x \neq = 0

Ответ:

- 1; 4

Проверка по ОДЗ — последний и обязательный шаг

R05.1 · исследование

Углублённо · уравнение с параметром

Сколько корней у $\frac{( x - 2 ) ( x - a )}{x - 3} = 0$ ?

R05.1 · сам

Сам · параметр

Кандидаты в корни и запрет знаменателя

базаПри каком $a$ уравнение $\frac{x - a}{x - 5} = 0$ не имеет корней? $a = 5$
повыш.Сколько корней у $\frac{( x + 1 ) ( x - a )}{x - 4} = 0$ при $a = - 1$ , $a = 4$ , $a = 0$ ? $1; 1; 2$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - a}{x - 1} = 0$ имеет ровно один корень? $a = 0; a = 1$

R05.1

Задания с самопроверкой

База и повышенный уровень

база $\frac{x ^{2} - 49}{x + 7} = 0$ $7$
база $\frac{12}{x} = x + 1$ $- 4; 3$
повыш. $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 3 x} = 0$ $- 3$
повыш. $\frac{2 x ^{2} + x - 1}{x + 1} = 0$ $0, 5$
повыш. $\frac{x + 4}{x - 2} = \frac{x}{x - 3}$ $4$

3 мин · практика
2 мин в тетрадях, затем ответы открываются по одному; ученики сверяют и ставят «+» на полях.
1) x = ±7; x ≠ −7 → 7. Проверка: 0/14 = 0 ✓.
2) x ≠ 0; 12 = x(x + 1) → x² + x − 12 = 0 → 3; −4. Проверка: 12/3 = 4 = 3 + 1 ✓; 12/(−4) = −3 = −4 + 1 ✓.
3) x² − 9 = 0 → ±3; знаменатель x(x − 3) ≠ 0 → x ≠ 0, x ≠ 3 → −3. Проверка: 0/(9 + 9) = 0 ✓.
4) 2x² + x − 1 = (2x − 1)(x + 1) = 0 → 0,5; −1; x ≠ −1 → 0,5. Проверка: (0,5 + 0,5 − 1)/1,5 = 0 ✓.
5) ОДЗ x ≠ 2, x ≠ 3. (x + 4)(x − 3) = x(x − 2) → x² + x − 12 = x² − 2x → 3x = 12 → x = 4. Проверка: 8/2 = 4; 4/1 = 4 ✓.

R05.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 0 \Rightarrow x = \pm 1$	не проверен знаменатель	$x = - 1$
$\frac{x + 5}{x} = 0 \Rightarrow x = 0$	приравняли знаменатель	$x = - 5$
$\frac{x - 3}{x + 1} = 1 \Rightarrow x - 3 = 1$	потерян знаменатель	$x - 3 = x + 1$ : корней нет
$\frac{x}{x ^{2} + 1} = 0$ — корней нет	числитель равен 0 при $x = 0$	$x = 0$

R05.1 · задача

Задача из жизни

Лодка по течению и против

За одно и то же время лодка проходит $18$ км по течению или $12$ км против течения. Скорость течения $2$ км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

	$s$ , км	$v$ , км/ч	$t$ , ч
по течению	$18$	$v + 2$	$\frac{18}{v + 2}$
против	$12$	$v - 2$	$\frac{12}{v - 2}$

\frac{18}{v + 2} = \frac{12}{v - 2}, v > 2

18 (v - 2) = 12 (v + 2)

6 v = 60 \Rightarrow v = 10

Ответ:

10

км/ч

R05.1

Тренировка · с проверкой по клику

Шесть уравнений от базы к олимпиаде

база $\frac{x ^{2} - 6 x}{x - 6} = 0$ $0$
база $\frac{x ^{2} - x - 12}{x + 3} = 0$ $4$
повыш. $\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 1} = 0$ $3$
повыш. $\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{x - 1}{x + 1}$ $\frac{1}{7}$
исслед.При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - a ^{2}}{x - 4} = 0$ имеет ровно один корень? $- 4; 0; 4$
олимп. $\frac{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}{x ^{2} - 3 x + 2} = 0$ $- 2; - 1$

Подсказки

4) «крест», ОДЗ: $x \neq = 3, x \neq = - 1$

5) не забудьте $a = 0$

6) $x^{4} - 5 x^{2} + 4 =$
$(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$

3 мин · практика
Решают в тетрадях 2 мин, затем ответы открываются по клику. 1) x(x − 6) = 0, x ≠ 6 → ответ 0. Проверка: 0/(−6) = 0 ✓.
2) (x − 4)(x + 3) = 0, x ≠ −3 → ответ 4. Проверка: (16 − 4 − 12)/7 = 0 ✓.
3) (x − 1)(x − 3) = 0; x² − 1 ≠ 0 → x ≠ ±1 → ответ 3. Проверка: (9 − 12 + 3)/8 = 0 ✓.
4) (x + 2)(x + 1) = (x − 1)(x − 3): x² + 3x + 2 = x² − 4x + 3 → 7x = 1 → x = 1/7. Проверка: (15/7)/(−20/7) = −3/4; (−6/7)/(8/7) = −3/4 ✓.
5) Кандидаты x = a и x = −a, запрет x = 4. a = 0 — один корень 0; a = 4 или a = −4 — корни 4 (посторонний) и −4, остаётся один. Иначе два. Ответ: a ∈ {−4; 0; 4}.
6) Корни числителя ±1, ±2; знаменатель (x − 1)(x − 2) ≠ 0 → x ≠ 1, x ≠ 2. Ответ: −2; −1. Проверка x = −1: (1 − 5 + 4)/(1 + 3 + 2) = 0 ✓. При нехватке времени — в ДЗ.

R05.1

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$\frac{x ^{2} - 8 x}{x - 8} = 0$ $0$
$\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = 0$ $- 2$
$\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x + 1}$ $11$
При каком $a$ у $\frac{x + a}{x - 1} = 0$ нет корней? $a = - 1$

Вариант 2

$\frac{x ^{2} + 5 x}{x + 5} = 0$ $0$
$\frac{x ^{2} + x - 12}{x + 4} = 0$ $3$
$\frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 2}$ $- 8$
При каком $a$ у $\frac{x - a}{x + 3} = 0$ нет корней? $a = - 3$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) x(x − 8) = 0, x ≠ 8 → 0 (проверка 0/(−8) = 0 ✓); 2) (x − 3)(x + 2) = 0, x ≠ 3 → −2 (проверка (4 + 2 − 6)/(−5) = 0 ✓); 3) ОДЗ x ≠ 3, x ≠ −1; 2(x + 1) = 3(x − 3) → 2x + 2 = 3x − 9 → x = 11 (проверка 2/8 = 0,25; 3/12 = 0,25 ✓); 4) кандидат x = −a, запрет x = 1: −a = 1 → a = −1 (тогда 0/0).
Вариант 2: 1) x(x + 5) = 0, x ≠ −5 → 0 (проверка 0/5 = 0 ✓); 2) (x + 4)(x − 3) = 0, x ≠ −4 → 3 (проверка (9 + 3 − 12)/7 = 0 ✓); 3) ОДЗ x ≠ −2, x ≠ 2; 3(x − 2) = 5(x + 2) → 3x − 6 = 5x + 10 → x = −8 (проверка 3/(−6) = −0,5; 5/(−10) = −0,5 ✓); 4) кандидат x = a, запрет x = −3 → a = −3.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R05.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Решите уравнение $\frac{5}{x - 2} = \frac{3}{x + 4}$

x \neq = 2, x \neq = - 4

5 (x + 4) = 3 (x - 2)

5 x + 20 = 3 x - 6 \Rightarrow 2 x = - 26

Если корней несколько — запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания

Ответ:

- 13

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какое уравнение называют дробно-рациональным?
Когда дробь равна нулю?
Откуда берутся посторонние корни?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2} - 7 x + 10}{x - 5} = 0$
$\frac{x}{x - 2} = \frac{2 x + 3}{x + 4}$
* При каких $a$ уравнение $\frac{x ^{2} - a x}{x + 2} = 0$ имеет один корень?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_zadachi.htm

1 мин · практика (рефлексия)
Ответы ДЗ: 1) (x − 2)(x − 5) = 0, x ≠ 5 → 2. Проверка: (4 − 14 + 10)/(−3) = 0 ✓.
2) x(x + 4) = (2x + 3)(x − 2): x² + 4x = 2x² − x − 6 → x² − 5x − 6 = 0 → 6; −1 (оба в ОДЗ x ≠ 2, x ≠ −4). Проверка: 6/4 = 1,5 и 15/10 = 1,5 ✓; −1/(−3) = 1/3 и 1/3 ✓.
3*) x(x − a) = 0 → 0 и a; запрет x = −2. Один корень при a = 0 (совпали) и при a = −2 (посторонний). Ответ: a ∈ {−2; 0}.
Следующий урок ALG8U-073 — «Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным или к квадратным уравнениям» (общий знаменатель).

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-072 · Дробно-рациональные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R05 «Уравнения и неравенства: дробно-рациональные уравнения», 19 ч · урок 1/19 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R05.1 «Дробно-рациональные уравнения» → 2–23 (теория: 2, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15; практика: 3, 4, 7, 10, 12, 14, 16–23)
Результаты	ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 5–23 · ПР-9 (допустимые значения) → 4, 8–14, 17, 18, 21 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3, 9–12, 14, 17, 20 · ПР-22 (исследование уравнений) → 15, 16, 20, 21 · соотношение по времени: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	общий алгоритм с приведением к общему знаменателю — ALG8U-073 (R05.2); замена переменной — R05.3; текстовые задачи — R05.4; графическая интерпретация уравнений с двумя переменными — R05.5
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробно-рациональныеуравнения

Уравнение с переменной в знаменателе

Распознавать

Решать

Отсеивать

Исследовать

Корни, множители, пропорция

Когда дробь не имеет смысла, а когда равна нулю?

Решите x−3x2−9​=0

Петя

Оля

Целое или дробно-рациональное?

Целое уравнение

Дробно-рациональное

Целое или дробно-рациональное?

Дробь равна нулю — когда?

Решите x−3x2−5x+6​=0

Числитель =0, знаменатель =0

BA​=DC​ ⇔ AD=BC, B=0, D=0

ОДЗ, «крест», проверка

x−1x2​=x−11​

Числитель — ноль, знаменатель — нет

Сколько корней у x−3(x−2)(x−a)​=0?

Кандидаты в корни и запрет знаменателя

База и повышенный уровень

Найдите ошибку

Лодка по течению и против

Шесть уравнений от базы к олимпиаде

Подсказки

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение x−25​=x+43​

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-072 · Дробно-рациональные уравнения

Дробно-
рациональные
уравнения

Решите $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$

Решите $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = 0$

Числитель $= 0$ , знаменатель $\neq = 0$

$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Leftrightarrow A D = BC, B \neq = 0, D \neq = 0$

$\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

Сколько корней у $\frac{( x - 2 ) ( x - a )}{x - 3} = 0$ ?

Решите уравнение $\frac{5}{x - 2} = \frac{3}{x + 4}$