Дробно-рациональные выражения · урок 17 из 17 · обобщение

Дробно-рациональные
выражения:
собираем тему целиком

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-071

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 17/17 — завершающий урок строки, тип О (обобщение). Единицы R04.1–R04.7.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин. Теория — сл. 1–3, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 17 (повторение блоков карты, учитель показывает и разбирает образцы); практика — все остальные. Теория сохранена полностью, практика добавлена после каждого блока.
Хронометраж: титул 1 · цели 1 · карта 2 · разминка 2 · классификация 1 · допустимые значения 2 · сам 2 · основное свойство 1 · сам 2 · таблица действий 1 · сам 3 · алгоритм 1 · образец 2 · упростите 3 · приёмы 1 · сам 2 · линза 1 · задачи из жизни 2 · найди ошибку 2 · задания ч. 1 · 3 · задания ч. 2 · 3 · ОГЭ линия 8 · 2 · самостоятельная 4 · итог и ДЗ 1.
Если класс уверенно действует с дробями — сл. 9 и 11 пройти устно, время отдать заданиям повышенного уровня (сл. 21) и самостоятельной работе (сл. 23).
Урок перед строкой R05 (дробно-рациональные уравнения): делаем упор на допустимые значения — они понадобятся на следующем уроке.

R04.1–R04.7

Цели урока

Сегодня вы приведёте в систему

Допустимые значения

находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях (ПР-9)

Основное свойство

применять основное свойство рациональной дроби (ПР-10)

Действия с дробями

приводить к общему знаменателю, складывать, умножать, делить, возводить в степень (ПР-11)

Преобразования

выполнять тождественные преобразования рациональных выражений (ПР-12)

Применение

использовать преобразования в задачах математики, физики, практики (ПР-13)

Самопроверка

оценить по карте темы, что уже получается, а что повторить

1 мин · теория
ПР-9 (ФРП дословно): «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби». ПР-11: «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Возведение в степень (R04.7) входит в ПР-11 как действие с дробями — отдельного результата в ФРП нет.

R04.1–R04.7

Карта темы

Семь единиц — одна система

R04.3–R04.7

Разминка · устно

Назовите ответ — без записи

сократите

\frac{6 a ^{2}}{9 a}

\frac{2 a}{3}

сложите

\frac{x}{5} + \frac{2 x}{5}

\frac{3 x}{5}

умножьте

\frac{a}{b} \cdot \frac{b ^{2}}{a ^{2}}

\frac{b}{a}

разделите

\frac{x}{y} : \frac{x}{3}

\frac{3}{y}

возведите

(\frac{2}{a})^{3}

\frac{8}{a ^{3}}

разложите

x^{2} - 16

(x - 4) (x + 4)

не имеет смысла при

\frac{5}{x - 7}

x = 7

сократите

\frac{a - b}{b - a}

- 1

R04.1, R04.3

Рациональные выражения · алгебраическая дробь

Целые или дробные?

Куда отнести?

$\frac{x}{7}$
$\frac{7}{x}$
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$
$\frac{a ^{2} + 1}{5} + \frac{1}{2}$

1 мин · теория
Ответы: 1) целое (деление на число 7); 2) дробное; 3) дробное — хотя после сокращения равно x + 1, но при x = 1 не имеет смысла, а x + 1 имеет; 4) целое.
Углублённый уровень: любое рациональное выражение тождественно преобразуется в дробь P/Q (на множестве допустимых значений) — сложение, умножение и деление дробей снова дают дробь. Пример внизу слева: x(x − 1) + 2 = x² − x + 2.
Типичная ошибка: считать x/7 дробным выражением «потому что есть черта дроби».

R04.4

Допустимые значения переменной

Где выражение теряет смысл

\frac{x}{x ^{2} - 4 x} : \frac{x + 3}{x - 1}

Углублённо: параметр

При каких $a$ выражение $\frac{1}{x ^{2} - 2 x + a}$ имеет смысл при любом $x$ ?

x^{2} - 2 x + a = (x - 1)^{2} + a - 1

$a > 1$ : знаменатель $\geq a - 1 > 0$

R04.4

Образец → сам

Найдите допустимые значения переменной

Образец

\frac{3}{x ^{2} - 9} + \frac{x}{2 x + 6}

(x - 3) (x + 3) \neq = 0, 2 (x + 3) \neq = 0

x \neq = 3, x \neq = - 3

Сам

$\frac{x + 1}{x ^{2} - x}$ $x \neq = 0; 1$
$\frac{2}{x ^{2} + 6 x + 9}$ $x \neq = - 3$
$\frac{x}{x + 2} : \frac{x - 5}{x}$ $x \neq = - 2; 0; 5$
$\frac{7}{x ^{2} + 4}$ любое $x$

R04.5

Основное свойство алгебраической дроби

Умножить или разделить на одно и то же

\frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 4} = \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

= \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x + 2}

при

x \neq = 2, x \neq = - 2

\frac{3}{x - 2} = \frac{3 ( x + 2 )}{x ^{2} - 4}

доп. множитель

x + 2

\frac{a - b}{c - d} = \frac{b - a}{d - c}

умножили на

- 1

числитель и знаменатель

R04.5

Образец → сам

Сократите дробь

Образец

\frac{a ^{2} - ab}{a ^{2} - b ^{2}}

= \frac{a ( a - b )}{( a - b ) ( a + b )}

= \frac{a}{a + b}

при

a \neq = b, a \neq = - b

Сам

$\frac{5 x - 10}{x ^{2} - 4}$ $\frac{5}{x + 2}$
$\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{3 x - 9}$ $\frac{x - 3}{3}$
$\frac{y - x}{x ^{2} - x y}$ $- \frac{1}{x}$
$\frac{a ^{3} + 8}{a ^{2} - 2 a + 4}$ $a + 2$

R04.6, R04.7

Сводная таблица формул

Действия с алгебраическими дробями

Действие	Формула	Условия
Сложение, вычитание	$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$	$c \neq = 0$
Разные знаменатели	$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$	$b \neq = 0, d \neq = 0$ ; лучше — НОЗ
Умножение	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$	$b \neq = 0, d \neq = 0$
Деление	$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$	$b \neq = 0, d \neq = 0$ , $c \neq = 0$
Степень	$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}, (- \frac{a}{b})^{n} = \pm \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$b \neq = 0$ , $n$ — натуральное; «+» при чётном $n$

R04.6, R04.7

Образец → сам

Выполните действия

Образец

\frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}

= \frac{2 ( x + 1 ) - 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{4}{x ^{2} - 1}

Сам

$\frac{3}{a} + \frac{2}{a ^{2}}$ $\frac{3 a + 2}{a ^{2}}$
$\frac{x ^{2} - 1}{4 x} \cdot \frac{2 x ^{2}}{x + 1}$ $\frac{x ( x - 1 )}{2}$
$\frac{a ^{2} - 9}{a} : \frac{a + 3}{a ^{2}}$ $a (a - 3)$
$(- \frac{3 a ^{2}}{b})^{3}$ $- \frac{27 a ^{6}}{b ^{3}}$

R04.2

Тождественные преобразования · алгоритм

Как упростить любое рациональное выражение

R04.2, R04.4, R04.6

Образец · значение не зависит от x

Выражение, которое «притворяется» сложным

(\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2}) : \frac{8 x}{x ^{2} - 4}

= \frac{( x + 2 ) ^{2} - ( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} : \frac{8 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

= \frac{8 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{8 x}

= 1

при

x \neq = 0, x \neq = 2, x \neq = - 2

R04.2, R04.4, R04.6

Задания с самопроверкой · по алгоритму

Упростите и укажите условия

база $(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) \cdot \frac{x ^{2} - 1}{2}$ $1$ , $x \neq = \pm 1$
база $(\frac{x}{x - 2} + \frac{x}{x + 2}) : \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4}$ $2$ , $x \neq = 0; \pm 2$
повыш. $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b} - \frac{2 ab}{a ^{2} - b ^{2}}$ $\frac{a - b}{a + b}$ , $a \neq = \pm b$

R04.2, R04.6, R04.7

Нестандартные приёмы · углублённый уровень

Значение — без нахождения переменных

Известно: $x + \frac{1}{x} = 3$

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3^{2} - 2 = 7

Известно: $\frac{a}{b} = 3$

\frac{a ^{2} + ab}{b ^{2} - ab} = ?

= \frac{\frac{a ^{2}}{b ^{2}} + \frac{a}{b}}{1 - \frac{a}{b}}

разделили числитель и знаменатель на

b^{2}

= \frac{9 + 3}{1 - 3} = - 6

R04.2, R04.5, R04.7

Задания с самопроверкой · приёмы

Найдите значение, не находя переменные

Через квадрат суммы

$x + \frac{1}{x} = 5$ ; $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?$ $23$
$x - \frac{1}{x} = 3$ ; $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?$ $11$

Через отношение

$\frac{a}{b} = 2$ ; $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} = ?$ $1, 5$
$\frac{x}{y} = 4$ ; $\frac{3 x - y}{x + 2 y} = ?$ $\frac{11}{6}$

R04.2, R04.6

Применение · физика 8 класса

Формула тонкой линзы: выражаем f

\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}

\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{d F}

f = \frac{d F}{d - F}

при

d \neq = F

f = \frac{30 \cdot 10}{30 - 10} = 15

см

1 мин · теория (учитель разбирает образец)
ФРП, вид деятельности строки: «Выражать переменные из формул (физических, геометрических, описывающих бытовые ситуации)». Формулу тонкой линзы ученики видят в курсе физики 8 класса (оптика); если тема ещё не пройдена — достаточно смысла букв: F — фокусное расстояние, d — расстояние до предмета, f — до изображения.
Чертёж в масштабе 1 см = 10 единиц: d = 30, F = 10, f = 15; изображение перевёрнутое и в 2 раза меньше (f/d = 1/2).
Вопрос: что будет при d = F? (Знаменатель d − F = 0 — изображения нет, лучи после линзы параллельны.) Проверка: 1/30 + 1/15 = 3/30 = 1/10.

R04.2, R04.6

Применение · задачи из жизни

Выразите переменную и посчитайте

Резисторы

Параллельное соединение:

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

Выразите $R$ ; найдите при $R_{1} = 6$ Ом, $R_{2} = 3$ Ом.

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = 2

Ом

Линза

Формула тонкой линзы:

\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}

Выразите $d$ ; найдите при $F = 12$ см, $f = 20$ см.

d = \frac{f F}{f - F} = 30

см

Две трубы

Одна труба наполняет бассейн за $a$ ч, другая — за $b$ ч.

За сколько часов они наполнят его вместе? $a = 3$ , $b = 6$ .

t = \frac{ab}{a + b} = 2

ч

R04.4, R04.5, R04.7

Найди ошибку

Четыре ошибки на итоговой работе

Ошибка	Верно	Правило
$(\frac{a}{3 b})^{2} = \frac{a ^{2}}{3 b ^{2}}$ ✗	$\frac{a ^{2}}{9 b ^{2}}$ ✓	в степень — весь знаменатель
$(- \frac{2}{x})^{3} = \frac{8}{x ^{3}}$ ✗	$- \frac{8}{x ^{3}}$ ✓	нечётная степень сохраняет знак
$\frac{( a - b ) ^{2}}{( b - a ) ^{2}} = - 1$ ✗	$= 1$ , $a \neq = b$ ✓	$(b - a)^{2} = (a - b)^{2}$
$\frac{x ^{2} - x}{x - 1} = x$ при всех $x$ ✗	$x$ при $x \neq = 1$ ✓	условия — из исходного выражения

R04.3–R04.7, R04.2

Задания по всем единицам · часть 1

Проверьте каждый блок карты

базаПри каких $x$ не имеет смысла выражение $\frac{x + 3}{x ^{2} - 5 x + 6}$ ? $x = 2; 3$
базаСократите дробь $\frac{3 a ^{2} - 6 ab}{2 b ^{2} - ab}$ . $- \frac{3 a}{b}$

базаУпростите $(\frac{3 x ^{2}}{2 y ^{3}})^{2} : \frac{9 x ^{3}}{4 y ^{5}}$ . $\frac{x}{y}$
повыш.Докажите, что при всех допустимых $x$
$(\frac{x}{x - 3} - \frac{x}{x + 3}) \cdot \frac{x ^{2} - 9}{6 x} = 1$ .

R04.4, R04.2, R04.6

Задания по всем единицам · часть 2

Параметр, практика и формат ОГЭ

повыш.При каких $a$ выражение $\frac{x + 1}{x ^{2} + 2 x + a}$ имеет смысл: а) при любом $x$ ; б) при всех $x$ , кроме одного? а) $a > 1$ ; б) $a = 1$
практикаАвтомобиль ехал туда со скоростью $v_{1}$ , обратно — $v_{2}$ . Докажите, что средняя скорость $v = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$ , и найдите её при $v_{1} = 60$ , $v_{2} = 40$ км/ч. $48$ км/ч

ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения $\frac{a ^{2} - 49}{2 a ^{2} + 14 a}$ при $a = - 0, 5$ . $7, 5$

R04.2, R04.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (часть 1)

Найдите значение выражения

\frac{a ^{2} - 25}{2 a + 10}

при

a = - 1, 5

- 3, 25

\frac{1}{4 a} - \frac{4 a + b}{4 ab}

при

a = 0, 4, b = - 5

0, 2

\frac{a ^{2} b ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}} \cdot (\frac{1}{b} - \frac{1}{a})

при

a = 2, b = 3

1, 2

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 9} : \frac{10 x - 30}{x + 3}

при

x = - 7

0, 1

R04.2–R04.7

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

При каких $x$ не имеет смысла $\frac{x - 1}{x ^{2} - 16}$ ? $\pm 4$
Сократите $\frac{4 a ^{2} - 12 a}{a ^{2} - 9}$ $\frac{4 a}{a + 3}$
$(\frac{a}{a - 1} - 1) : \frac{1}{a ^{2} - a}$ $a$
$x + \frac{1}{x} = 4$ ; $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?$ $14$

Вариант 2

При каких $x$ не имеет смысла $\frac{x + 2}{x ^{2} - 25}$ ? $\pm 5$
Сократите $\frac{3 b ^{2} + 15 b}{b ^{2} - 25}$ $\frac{3 b}{b - 5}$
$(\frac{b}{b + 1} - 1) : \frac{1}{b ^{2} + b}$ $- b$
$x + \frac{1}{x} = 6$ ; $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?$ $34$

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
Вариант 1: 1) x² − 16 = 0: x = ±4; 2) 4a(a − 3)/((a − 3)(a + 3)) = 4a/(a + 3), a ≠ ±3; 3) скобка (a − a + 1)/(a − 1) = 1/(a − 1); · a(a − 1) = a, a ≠ 0, a ≠ 1; 4) 16 − 2 = 14.
Вариант 2: 1) x = ±5; 2) 3b(b + 5)/((b − 5)(b + 5)) = 3b/(b − 5), b ≠ ±5; 3) скобка (b − b − 1)/(b + 1) = −1/(b + 1); · b(b + 1) = −b, b ≠ 0, b ≠ −1; 4) 36 − 2 = 34.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Задания 1–4 соответствуют блокам карты: допустимые значения, основное свойство, действия, приёмы.

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Оцените себя по карте и потренируйтесь

Отметьте на своей карте

зелёным — блоки, где задания решены без ошибок;
жёлтым — где были ошибки;
красным — что надо повторить.

Домашнее задание

$(\frac{a}{a + 2} + \frac{2}{a - 2}) \cdot \frac{a ^{2} - 4}{a ^{2} + 4}$
$x - \frac{1}{x} = 2$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-071 · Обобщение и систематизация по теме «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 17/17 · тип О
Единицы → слайды	R04.1 → 3, 5 · R04.2 → 12–18, 20–23 · R04.3 → 3–5 · R04.4 → 4, 6, 7, 13, 14, 19–23 · R04.5 → 4, 8, 9, 15, 16, 19, 20, 23 · R04.6 → 4, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 20–23 · R04.7 → 4, 10, 11, 15, 16, 19, 20
Результаты	ПР-9 (допустимые значения) → 6, 7, 13, 14, 20, 21, 23 · ПР-10 (основное свойство) → 8, 9, 15, 16, 20, 23 · ПР-11 (действия с дробями) → 4, 10, 11, 13, 19, 20, 22 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 12–16, 20, 22, 23 · ПР-13 (применение) → 17, 18, 21
Вне урока	дробно-рациональные уравнения — ALG8U-072 и далее (строка R05); степень с целым показателем — строка R07
Время	теория 14 мин (сл. 1–3, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 17) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дробно-рациональныевыражения:собираем тему целиком

Сегодня вы приведёте в систему

Допустимые значения

Основное свойство

Действия с дробями

Преобразования

Применение

Самопроверка

Семь единиц — одна система

Назовите ответ — без записи

Целые или дробные?

Куда отнести?

Где выражение теряет смысл

Углублённо: параметр

Найдите допустимые значения переменной

Образец

Сам

Умножить или разделить на одно и то же

Сократите дробь

Образец

Сам

Действия с алгебраическими дробями

Выполните действия

Образец

Сам

Как упростить любое рациональное выражение

Выражение, которое «притворяется» сложным

Упростите и укажите условия

Значение — без нахождения переменных

Известно: x+x1​=3

Известно: ba​=3

Найдите значение, не находя переменные

Через квадрат суммы

Через отношение

Формула тонкой линзы: выражаем f

Выразите переменную и посчитайте

Резисторы

Линза

Две трубы

Четыре ошибки на итоговой работе

Проверьте каждый блок карты

Параметр, практика и формат ОГЭ

Найдите значение выражения

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Оцените себя по карте и потренируйтесь

Отметьте на своей карте

Домашнее задание

ALG8U-071 · Обобщение и систематизация по теме «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения»

Дробно-рациональные
выражения:
собираем тему целиком

Известно: $x + \frac{1}{x} = 3$

Известно: $\frac{a}{b} = 3$