Дробно-рациональные выражения · урок 16 из 17 · практикум

Практикум: тождественные преобразования рациональных выражений

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-070

0,5 мин · теория. Общий хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин. Теория — цели, карта типов и четыре образца учителя (сл. 2, 4, 5, 7, 9, 11); вся остальная работа — ученики.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 16/17, единица R04.2 «Тождественные преобразования рациональных выражений». Тип П (практикум). Это ВТОРОЙ практикум по R04.2: на ALG8U-063 разбирали упрощение по действиям, «не зависит от x», телескопические суммы, $x + \frac{1}{x} = t$ , целые значения дроби. Сегодня — новые типы. Прошлый урок ALG8U-069 — практикум «Рациональные выражения»; следующий ALG8U-071 — обобщение по всей строке R04.
Хронометраж (45 мин): титул и цели 1 (сл. 1–2) · разминка 2 (сл. 3) · карта типов 1 (сл. 4) · четыре типа по схеме «образец учителя 3 мин → сами 3 мин» (сл. 5–12) · найди ошибку 2 (сл. 13) · применение 2 (сл. 14) · задания с самопроверкой 3 + 3 (сл. 15–16) · ОГЭ 2 (сл. 17) · самостоятельная по вариантам 4 (сл. 18) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 19). Если не успеваете — задания «повыш.» на слайдах «Сами» перенести в ДЗ.
Рисунок на титуле: «многоэтажная» дробь превращается в обычную (разбор — сл. 5). Вопрос классу: «С какого этажа начнём упрощать?»

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

1Упрощать

многоэтажные дроби с учётом допустимых значений (ПР-12, ПР-9)

2Вычислять

значение выражения, зная только отношение $\frac{a}{b}$ (ПР-12, ПР-10)

3Доказывать

тождества с циклической симметрией (ПР-12, ПР-11)

4Раскладывать

дробь на сумму простейших; выражать переменную из формулы (ПР-11, ПР-13)

0,5 мин · теория
ПР-12 (ФРП): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений» — главный результат урока.
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»; ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби»; ПР-11: «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей».
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики». Вид деятельности ФРП: «Выражать переменные из формул (физических, геометрических…)» — сл. 14.

R04.2

Разминка · устно

Упростите за 10 секунд

\frac{b - a}{a - b}

$= - 1, a \neq = b$

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{1 - x}

$= \frac{2}{x - 1}$

1 + \frac{1}{x}

$= \frac{x + 1}{x}$

1 : \frac{a}{b}

$= \frac{b}{a}$

\frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 1}

$= \frac{x + 1}{x - 1}$

\frac{a ^{3} - b ^{3}}{a - b}

$= a^{2} + ab + b^{2}$

R04.2

План практикума

Четыре новых типа заданий

R04.2

Тип 1многоэтажная дробь · образец

Упростите многоэтажную дробь

①

1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}

нижний этаж

②

1 + \frac{x}{x + 1} = \frac{2 x + 1}{x + 1}

1 : \frac{x + 1}{x} = \frac{x}{x + 1}

③

1 : \frac{2 x + 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{2 x + 1}

при

x \neq = 0, x \neq = - 1, x \neq = - \frac{1}{2}

Ваша очередь: упростите

(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

3 мин · теория (образец разбирает учитель; «Ваша очередь» ученики решают на следующем слайде)
Упрощаем снизу вверх; каждый знаменатель, на который делим, не равен 0 — отсюда три условия.
Проверка образца x = 1: 1 + 1 = 2; 1/2; 1 + 1/2 = 3/2; 1 : 3/2 = 2/3; формула (1 + 1)/(2 + 1) = 2/3 ✓. x = 2: 1 + 1/2 = 3/2 → 2/3 → 5/3 → 3/5; (2 + 1)/(4 + 1) = 3/5 ✓.
Типичная ошибка: потерять x ≠ −1 — в ответе $\frac{x + 1}{2 x + 1}$ при x = −1 получается 0, но исходная дробь при x = −1 не имеет смысла.
Ответ «ваша очередь»: числитель $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab}$ , знаменатель $\frac{a + b}{ab}$ , частное $a - b$ при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ −b. Проверка a = 2, b = 1: (2 − 1/2) : (1/2 + 1) = 1,5 : 1,5 = 1 = 2 − 1 ✓. Другой приём: умножить числитель и знаменатель большой дроби на ab.

R04.2

Тип 1образец → сам

Упростите многоэтажные дроби

Сначала — «Ваша очередь» с прошлого слайда, затем задания. Ответ — с условиями.

база $\frac{1 - \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}}$ $= \frac{1}{x + 1}, x \neq = 0, \pm 1$
база $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ $= \frac{x}{x - 1}, x \neq = 0, 1$
база $\frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b} - 1}$ $= \frac{a + b}{a - b}, b \neq = 0, a \neq = b$
повыш. $\frac{x}{1 - \frac{1}{1 - x}}$ $= x - 1, x \neq = 0, 1$

3 мин · практика (1 мин — «Ваша очередь» сл. 5, 2 мин — задания 1–3; № 4 — сильным)
«Ваша очередь»: $a - b$ при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ −b (решение — в заметках сл. 5).
1) $\frac{x - 1}{x} : \frac{x ^{2} - 1}{x} = \frac{1}{x + 1}$ , условия x ≠ 0, x ≠ ±1. Проверка x = 2: (1/2) : (3/2) = 1/3 ✓.
2) $1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ , обратная — $\frac{x}{x - 1}$ ; x ≠ 0, x ≠ 1. Проверка x = 2: 1 : (1/2) = 2 = 2/1 ✓.
3) Умножаем числитель и знаменатель на b: $\frac{a + b}{a - b}$ ; b ≠ 0, a ≠ b. Проверка a = 3, b = 1: 4/2 = 2 ✓.
4) $1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{- x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ ; $x : \frac{x}{x - 1} = x - 1$ ; условия x ≠ 1 (нижний этаж) и x ≠ 0 (делитель $\frac{x}{x - 1}$ ). Проверка x = 2: 1/(1 − 2) = −1; 1 − (−1) = 2; 2 : 2 = 1 = 2 − 1 ✓.

R04.2

Тип 2известно отношение · образец

$\frac{a}{b} = 3$ . Найдите $\frac{a ^{2} - 2 ab + 3 b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$

Все члены — степени 2 → делим на

b^{2}

основное свойство дроби,

b \neq = 0

\frac{\frac{a ^{2}}{b ^{2}} - 2 \frac{a}{b} + 3}{\frac{a ^{2}}{b ^{2}} + 1} = \frac{t ^{2} - 2 t + 3}{t ^{2} + 1}

t = \frac{a}{b}

\frac{9 - 6 + 3}{9 + 1} = \frac{6}{10} = 0, 6

Ваша очередь:

\frac{x}{y} = - 2

. Найдите

\frac{x ^{2} + x y}{x ^{2} - y ^{2}}

3 мин · теория (образец разбирает учитель; «Ваша очередь» — на следующем слайде)
Ключевое слово — однородное выражение: в числителе и знаменателе все одночлены одной степени. Тогда значение зависит только от t = a/b.
Подстановка b = 1, a = 3 даёт верный ответ, но это не обоснование, пока не показано, что результат не зависит от выбора b. Обоснование — деление на b² (рисунок справа — иллюстрация).
Проверка b = 2, a = 6: (36 − 24 + 12)/(36 + 4) = 24/40 = 0,6 ✓.
Ответ «ваша очередь»: $\frac{x ( x + y )}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{x}{x - y} = \frac{t}{t - 1} = \frac{- 2}{- 3} = \frac{2}{3}$ (x ≠ ±y, выполнено при t = −2). Проверка x = −2, y = 1: (4 − 2)/(4 − 1) = 2/3 ✓.

R04.2

Тип 2образец → сам

Найдите значение, зная отношение

Делим числитель и знаменатель на одну и ту же степень $b$ и вводим $t = \frac{a}{b}$ .

база $\frac{a}{b} = 2$ . Найдите $\frac{a + b}{a - b}$ . $3$
база $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$ . Найдите $\frac{a ^{2} + ab}{b ^{2}}$ . $\frac{4}{9}$
база $\frac{x}{y} = 3$ . Найдите $\frac{2 x ^{2} - x y}{x ^{2} + y ^{2}}$ . $\frac{3}{2}$
повыш. $\frac{a + b}{b} = 5$ . Найдите $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab}$ . $\frac{15}{4}$

R04.2

Тип 3циклическое тождество · образец

Докажите: $\frac{1}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{1}{( b - a ) ( b - c )} + \frac{1}{( c - a ) ( c - b )} = 0$

Общий знаменатель

D = (a - b) (b - c) (c - a)

меняем знаки:

a - c = - (c - a)

b - a = - (a - b)

c - b = - (b - c)

- \frac{b - c}{D} - \frac{c - a}{D} - \frac{a - b}{D}

= - \frac{( b - c ) + ( c - a ) + ( a - b )}{D} = 0

при

a \neq = b, b \neq = c, c \neq = a

Ваша очередь: докажите, что

\frac{a}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{b}{( b - a ) ( b - c )} + \frac{c}{( c - a ) ( c - b )} = 0

3 мин · теория (образец разбирает учитель; «Ваша очередь» — на следующем слайде)
Приём: все разности записываем «по кругу» a − b, b − c, c − a (рисунок). Тогда общий знаменатель — произведение трёх разностей, а не шести.
Первое слагаемое: (a − b)(a − c) = −(a − b)(c − a), дополнительный множитель (b − c). Аналогично для остальных.
Проверка a = 0, b = 1, c = 2: 1/((−1)(−2)) + 1/((1)(−1)) + 1/((2)(1)) = 1/2 − 1 + 1/2 = 0 ✓.
Ответ «ваша очередь»: числитель $- [a (b - c) + b (c - a) + c (a - b)] = - [ab - a c + b c - ab + a c - b c] = 0$ . Проверка a = 0, b = 1, c = 2: 0 − 1 + 1 = 0 ✓. Типичная ошибка — потерять знак при замене b − a на −(a − b).

R04.2

Тип 3образец → сам

Упростите: разности — «по кругу»

Переписываем $b - a = - (a - b)$ , $c - b = - (b - c)$ , $a - c = - (c - a)$ ; все переменные попарно различны.

база $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ $= 1$
база $\frac{1}{( a - b ) ( b - c )} + \frac{1}{( b - c ) ( c - a )} + \frac{1}{( c - a ) ( a - b )}$ $= 0$
повыш. $\frac{b c}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{c a}{( b - a ) ( b - c )} + \frac{ab}{( c - a ) ( c - b )}$ $= 1$

3 мин · практика (1 мин — «Ваша очередь» сл. 9, 2 мин — задания 1–2; № 3 — сильным)
«Ваша очередь»: числитель $- [a (b - c) + b (c - a) + c (a - b)] = 0$ (решение — в заметках сл. 9).
1) $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1$ , a ≠ b. Проверка a = 3, b = 1: 3/2 + 1/(−2) = 1 ✓.
2) Общий знаменатель D = (a − b)(b − c)(c − a), числитель (c − a) + (a − b) + (b − c) = 0. Проверка a = 0, b = 1, c = 2: 1/((−1)(−1)) + 1/((−1)·2) + 1/(2·(−1)) = 1 − 1/2 − 1/2 = 0 ✓.
3) Над D = (a − b)(b − c)(c − a) числитель $- [b c (b - c) + c a (c - a) + ab (a - b)]$ , а $b c (b - c) + c a (c - a) + ab (a - b) = - (a - b) (b - c) (c - a)$ , поэтому числитель равен D, ответ 1. Проверка a = 1, b = 2, c = 3: 6/((−1)(−2)) + 3/((1)(−1)) + 2/((2)(1)) = 3 − 3 + 1 = 1 ✓.

R04.2

Тип 4разложение на простейшие дроби · образец

Найдите $A$ и $B$ : $\frac{5 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

A (x + 2) + B (x - 1) = 5 x + 1

привели к общему знаменателю и приравняли числители

x = 1 : 3 A = 6, A = 2

x = - 2 : - 3 B = - 9, B = 3

\frac{5 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}

Ваша очередь: разложите

\frac{3 x + 7}{( x + 1 ) ( x + 3 )}

на сумму

\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}

3 мин · теория (образец разбирает учитель; «Ваша очередь» — на следующем слайде)
Это действие, обратное сложению дробей: зная сумму, ищем слагаемые. Метод неопределённых коэффициентов — приём углублённого уровня, он понадобится для телескопических сумм и в старших классах.
Почему можно подставить x = 1, хотя он не входит в ОДЗ: после умножения на (x − 1)(x + 2) равенство многочленов A(x + 2) + B(x − 1) = 5x + 1 должно выполняться при всех x, значит, и при x = 1. Сильным: сравнить коэффициенты — A + B = 5, 2A − B = 1 → A = 2, B = 3 (тот же ответ).
Проверка: 2(x + 2) + 3(x − 1) = 2x + 4 + 3x − 3 = 5x + 1 ✓.
Ответ «ваша очередь»: A(x + 3) + B(x + 1) = 3x + 7; x = −1: 2A = 4, A = 2; x = −3: −2B = −2, B = 1. Проверка: 2(x + 3) + (x + 1) = 3x + 7 ✓.

R04.2

Тип 4образец → сам

Разложите на сумму простейших дробей

Приравниваем числители и подставляем «удобные» $x$ — корни знаменателя.

база $\frac{4 x + 2}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ $A = 2, B = 2$
база $\frac{x + 5}{x ^{2} - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ $A = 3, B = - 2$
база $\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ $A = 1, B = - 1$
повыш. $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$ $= \frac{9}{10}$

3 мин · практика (1 мин — «Ваша очередь» сл. 11, 2 мин — задания 1–3; № 4 — сильным)
«Ваша очередь»: A = 2, B = 1 (решение — в заметках сл. 11).
1) A(x + 2) + B(x − 1) = 4x + 2; x = 1: 3A = 6, A = 2; x = −2: −3B = −6, B = 2. Проверка 2(x + 2) + 2(x − 1) = 4x + 2 ✓.
2) A(x + 1) + B(x − 1) = x + 5; x = 1: 2A = 6, A = 3; x = −1: −2B = 4, B = −2. Проверка 3(x + 1) − 2(x − 1) = x + 5 ✓.
3) A(x + 1) + Bx = 1; x = 0: A = 1; x = −1: −B = 1, B = −1. Проверка (x + 1) − x = 1 ✓.
4) По № 3: $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ , сумма «телескопически» равна $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ . Проверка двух первых: 1/2 + 1/6 = 2/3 = 1 − 1/3 ✓.

R04.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{1}{\frac{a}{b} + c} = \frac{b}{a} + \frac{1}{c}$	«перевернули» сумму по частям	$\frac{b}{a + b c}$
$\frac{a}{b} = 3 : \frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab} = \frac{t ^{2} + 1}{t ^{2}}$	делили на разное; нужно оба на $b^{2}$	$\frac{t ^{2} + 1}{t} = \frac{10}{3}$
$(b - a) (b - c) = (a - b) (b - c)$	потерян знак	$- (a - b) (b - c)$
ОДЗ многоэтажной дроби: только $x \neq = 0$	забыли «внутренние» делители	каждый делитель $\neq = 0$

R04.2

Применение · физика · решите сами

Параллельное соединение: выразите $R_{2}$

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

закон для параллельного соединения

\frac{1}{R _{2}} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R _{1}} = \frac{R _{1} - R}{R R _{1}}

R_{2} = \frac{R R _{1}}{R _{1} - R}

перевернули обе части,

R_{1} \neq = R

R_{1} = 6, R = 4 : R_{2} = \frac{24}{2} = 12

Ом

2 мин · практика (ученики выражают R₂ сами, шаги открываются для проверки)
Вид деятельности ФРП: «Выражать переменные из формул (физических…)». Вопрос до решения: может ли R₂ получиться меньше R? (Нет: при параллельном соединении R меньше каждого из сопротивлений, поэтому R₁ > R и формула имеет смысл.)
Проверка: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4, R = 4 Ом ✓.
Типичная ошибка: из $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ «получить» $R = R_{1} + R_{2}$ (переворачивать сумму по частям нельзя — см. сл. 13). Верно: $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ ; при 6 и 12: 72/18 = 4 ✓.

R04.2

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите и проверьте по клику

базаУпростите $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$ . $x + y$
база $\frac{m}{n} = \frac{1}{2}$ . Найдите $\frac{3 m - n}{m + n}$ . $\frac{1}{3}$
повыш.Найдите $A$ и $B$ : $\frac{3 x - 1}{x ^{2} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ . $A = 1, B = 2$
из жизниТуда — со скоростью $v_{1}$ , обратно — $v_{2}$ . Упростите $v_{ср} = \frac{2 s}{\frac{s}{v _{1}} + \frac{s}{v _{2}}}$ , найдите при 60 и 40 км/ч. $\frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$ ; 48 км/ч

3 мин · практика (ответы открываются по клику, проверка всем классом)
1) Числитель $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x y}$ , знаменатель $\frac{x - y}{x y}$ , частное x + y при x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ y. Проверка x = 2, y = 1: (2 − 1/2) : (1 − 1/2) = 1,5 : 0,5 = 3 = 2 + 1 ✓.
2) Делим на n: $\frac{3 t - 1}{t + 1} = \frac{0 , 5}{1 , 5} = \frac{1}{3}$ . Проверка m = 1, n = 2: (3 − 2)/3 = 1/3 ✓.
3) $x^{2} - x = x (x - 1)$ ; A(x − 1) + Bx = 3x − 1; x = 0: −A = −1, A = 1; x = 1: B = 2. Проверка (x − 1) + 2x = 3x − 1 ✓.
4) Многоэтажная дробь: $\frac{s}{v _{1}} + \frac{s}{v _{2}} = \frac{s ( v _{1} + v _{2} )}{v _{1} v _{2}}$ , $v_{ср} = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$ (s сокращается — ответ не зависит от расстояния). При 60 и 40: 4800/100 = 48 км/ч. Проверка s = 120: время 2 + 3 = 5 ч, 240 : 5 = 48 ✓. Ловушка: «средняя = (60 + 40)/2 = 50» — неверно.

R04.2

Задания с самопроверкой · все типы

Решите и проверьте по клику

базаУпростите $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) : (\frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{y ^{2}})$ . $\frac{x y}{x + y}$
база $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ . Найдите $\frac{2 a + b}{a + 3 b}$ . $\frac{9}{17}$
повыш.Найдите $A$ и $B$ : $\frac{7 x - 1}{x ^{2} - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ . $A = 3, B = 4$
повыш.Упростите $\frac{a ^{2}}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{b ^{2}}{( b - a ) ( b - c )} + \frac{c ^{2}}{( c - a ) ( c - b )}$ . $1$
олимп. $ab c = 1$ . Докажите: $\frac{1}{1 + a + ab} + \frac{1}{1 + b + b c} + \frac{1}{1 + c + c a} = 1$ .

3 мин · практика (№ 1–3 — все, № 4–5 — сильным; не решённое — в ДЗ по желанию). Ответы открываются по клику, проверка всем классом.
1) $\frac{y - x}{x y} : \frac{y ^{2} - x ^{2}}{x ^{2} y ^{2}} = \frac{( y - x ) x ^{2} y ^{2}}{x y ( y - x ) ( y + x )} = \frac{x y}{x + y}$ при x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ ±y. Проверка x = 1, y = 2: (1 − 1/2)/(1 − 1/4) = 0,5/0,75 = 2/3 = 2/3 ✓.
2) Делим на b: $\frac{2 t + 1}{t + 3} = \frac{0 , 8 + 1}{3 , 4} = \frac{9}{17}$ . Проверка a = 2, b = 5: 9/17 ✓.
3) A(x + 1) + B(x − 1) = 7x − 1; x = 1: 2A = 6, A = 3; x = −1: −2B = −8, B = 4. Проверка 3(x + 1) + 4(x − 1) = 7x − 1 ✓.
4) Числитель над D = (a − b)(b − c)(c − a): −[a²(b − c) + b²(c − a) + c²(a − b)] = −[−(a − b)(b − c)(c − a)] = D; ответ 1 (a, b, c попарно различны). Проверка a = 0, b = 1, c = 2: 0 + 1/((1)(−1)) + 4/((2)(1)) = −1 + 2 = 1 ✓.
5) Второе слагаемое умножить сверху и снизу на a: $\frac{a}{a + ab + ab c} = \frac{a}{1 + a + ab}$ ; третье — на ab: $\frac{ab}{ab + ab c + a ^{2} b c} = \frac{ab}{1 + a + ab}$ . Сумма $\frac{1 + a + ab}{1 + a + ab} = 1$ . Проверка a = b = c = 1: 1/3 · 3 = 1 ✓; a = 2, b = 1, c = 1/2: 1/5 + 1/(5/2) + 1/(1 + 1/2 + 1) = 0,2 + 0,4 + 0,4 = 1 ✓.

R04.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20

Сократите дробь

\frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - 9 x - 18}{( x - 3 ) ( x + 2 )}

Часть 2: нужно полное решение — группировка, формула, сокращение, условие.

2 мин · практика (ученики решают, шаги открываются для самопроверки)
Ответ: x + 3 (при x ≠ 3, x ≠ −2). Решение: x³ + 2x² − 9x − 18 = x²(x + 2) − 9(x + 2) = (x + 2)(x² − 9) = (x + 2)(x − 3)(x + 3); после сокращения x + 3.
Проверка x = 0: −18/((−3)·2) = 3 = 0 + 3 ✓; x = 1: (1 + 2 − 9 − 18)/((−2)·3) = −24/(−6) = 4 = 1 + 3 ✓.
Задание «Сократите дробь» — линия 20 ОГЭ по математике (часть 2, банк ФИПИ), оценивается до 2 баллов: 2 — обоснованно получен верный ответ; 1 — верный ход, допущена вычислительная ошибка.

R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам: упростите или найдите

Вариант 1

$\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x ^{2}}}$ $= \frac{x}{x - 1}, x \neq = 0, \pm 1$
$\frac{a}{b} = 4$ . Найдите $\frac{a + 2 b}{a - b}$ $= 2$
$\frac{3 x + 5}{( x + 1 ) ( x + 3 )} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$ $A = 1, B = 2$
$\frac{a ^{2}}{a - b} + \frac{b ^{2}}{b - a}$ $= a + b$

Вариант 2

$\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x ^{2}}}$ $= \frac{x}{x + 1}, x \neq = 0, \pm 1$
$\frac{a}{b} = 3$ . Найдите $\frac{a - 2 b}{a + b}$ $= \frac{1}{4}$
$\frac{3 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ $A = 2, B = 1$
$\frac{a ^{3}}{a - b} + \frac{b ^{3}}{b - a}$ $= a^{2} + ab + b^{2}$

4 мин · практика (по вариантам, затем взаимопроверка по ответам, которые открываются по клику)
В1-1) $\frac{x + 1}{x} : \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}} = \frac{x}{x - 1}$ , x ≠ 0, ±1. Проверка x = 2: 1,5 : 0,75 = 2 = 2/1 ✓.
В1-2) $\frac{t + 2}{t - 1} = \frac{6}{3} = 2$ . Проверка a = 4, b = 1: 6/3 = 2 ✓.
В1-3) A(x + 3) + B(x + 1) = 3x + 5; x = −1: 2A = 2, A = 1; x = −3: −2B = −4, B = 2. Проверка (x + 3) + 2(x + 1) = 3x + 5 ✓.
В1-4) $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a - b} = a + b$ , a ≠ b. Проверка a = 3, b = 1: 9/2 + 1/(−2) = 4 ✓.
В2-1) $\frac{x - 1}{x} : \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}} = \frac{x}{x + 1}$ , x ≠ 0, ±1. Проверка x = 2: 0,5 : 0,75 = 2/3 ✓.
В2-2) $\frac{t - 2}{t + 1} = \frac{1}{4}$ . Проверка a = 3, b = 1: 1/4 ✓.
В2-3) A(x + 1) + B(x − 1) = 3x + 1; x = 1: 2A = 4, A = 2; x = −1: −2B = −2, B = 1. Проверка 2(x + 1) + (x − 1) = 3x + 1 ✓.
В2-4) $\frac{a ^{3} - b ^{3}}{a - b} = a^{2} + ab + b^{2}$ , a ≠ b. Проверка a = 2, b = 1: 8 + 1/(−1) = 7 = 4 + 2 + 1 ✓.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С какого этажа упрощают многоэтажную дробь?
Когда хватает одного отношения $\frac{a}{b}$ ?
Зачем писать разности «по кругу»?

Домашнее задание

Упростите $(x - \frac{4}{x}) : (1 + \frac{2}{x})$
$\frac{x}{y} = 4$ . Найдите $\frac{x ^{2} - 3 x y}{x y + y ^{2}}$
Разложите $\frac{2 x + 8}{( x + 1 ) ( x + 3 )}$ на сумму простейших
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

1 мин · практика
Ответы: с нижнего (самого вложенного); когда выражение однородное — все одночлены одной степени; чтобы общий знаменатель был произведением трёх разностей и знаки не путались.
ДЗ 1) $\frac{x ^{2} - 4}{x} : \frac{x + 2}{x} = x - 2$ при x ≠ 0, x ≠ −2. Проверка x = 1: (1 − 4)/(1 + 2) = −1 = 1 − 2 ✓.
ДЗ 2) Делим на y²: $\frac{t ^{2} - 3 t}{t + 1} = \frac{16 - 12}{5} = \frac{4}{5}$ . Проверка x = 4, y = 1: (16 − 12)/(4 + 1) = 4/5 ✓.
ДЗ 3) A(x + 3) + B(x + 1) = 2x + 8; x = −1: 2A = 6, A = 3; x = −3: −2B = 2, B = −1. Ответ $\frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x + 3}$ . Проверка 3(x + 3) − (x + 1) = 2x + 8 ✓.
Следующий урок ALG8U-071 — обобщение и систематизация по всей теме R04.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-070 · Практикум: тождественные преобразования рациональных выражений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 16/17 · тип П (практикум, второй по единице R04.2)
Единицы → слайды	R04.2 «Тождественные преобразования рациональных выражений» → 2–19
Результаты	ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 4–13, 15–18 · ПР-11 (действия с алгебраическими дробями) → 3, 5, 6, 9–12, 15, 16, 18 · ПР-10 (основное свойство дроби) → 3, 7, 8, 15–18 · ПР-9 (допустимые значения) → 5, 6, 9, 13 · ПР-13 (применение к задачам) → 12, 14, 15, 17 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	типы ALG8U-063 (по действиям, «не зависит от x», телескопические суммы, $x + \frac{1}{x} = t$ , целые значения) — повторяются на ALG8U-071; дробно-рациональные уравнения (R05.1) — ALG8U-072
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: тождественные преобразования рациональных выражений

Сегодня вы научитесь

1Упрощать

2Вычислять

3Доказывать

4Раскладывать

Упростите за 10 секунд

Четыре новых типа заданий

Упростите многоэтажную дробь

Упростите многоэтажные дроби

ba​=3. Найдите a2+b2a2−2ab+3b2​

Найдите значение, зная отношение

Докажите: (a−b)(a−c)1​+(b−a)(b−c)1​+(c−a)(c−b)1​=0

Упростите: разности — «по кругу»

Найдите A и B: (x−1)(x+2)5x+1​=x−1A​+x+2B​

Разложите на сумму простейших дробей

Найдите ошибку

Параллельное соединение: выразите R2​

Решите и проверьте по клику

Решите и проверьте по клику

Сократите дробь

По вариантам: упростите или найдите

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-070 · Практикум: тождественные преобразования рациональных выражений

$\frac{a}{b} = 3$ . Найдите $\frac{a ^{2} - 2 ab + 3 b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$

Докажите: $\frac{1}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{1}{( b - a ) ( b - c )} + \frac{1}{( c - a ) ( c - b )} = 0$

Найдите $A$ и $B$ : $\frac{5 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

Параллельное соединение: выразите $R_{2}$