Дробно-рациональные выражения · урок 15 из 17 · практикум

Практикум:
рациональные
выражения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-069

Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 15/17, единица R04.1 «Рациональные выражения». Тип П (практикум). Это второй практикум по единице: первый (ALG8U-062) — значение после упрощения, многоэтажные дроби, условное значение, выражение по условию. Сегодня — новые, более трудные типы. Завтра (ALG8U-070) — практикум по тождественным преобразованиям, затем обобщение (ALG8U-071).
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Теория (13 мин): цели 1 (сл. 2) · образцы, которые учитель разбирает у доски: тип 1 — телескопическая сумма 3 (сл. 4) · тип 2 — целые значения 3 (сл. 7) · тип 3 — переменная из формулы 3 (сл. 10) · тип 4 — оценка через разность 3 (сл. 13).
Практика (32 мин): разминка 3 (сл. 3) · «решите сами» 2 + 2 + 2 + 2 (сл. 5, 8, 11, 14) · задания с самопроверкой 2 + 3 + 2 + 2 (сл. 6, 9, 12, 15) · найди ошибку 2 (сл. 16) · задания по всем типам 3 (сл. 17) · самостоятельная работа 4 (сл. 18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 20).
Рисунок: полоска длины 1, сложенная из 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, … — сумма $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots$ подбирается к 1, но не достигает её (тип 1).

R04.1

Цели практикума

Четыре новых типа — четыре умения

1Сворачивать суммы

раскладывать $\frac{1}{n ( n + 1 )}$ на разность дробей (ПР-11, ПР-12)

2Искать целые значения

выделять целую часть дроби (ПР-10, ПР-12)

3Выражать из формулы

переменную в физических и бытовых формулах (ПР-13)

4Оценивать и сравнивать

значения выражения через разность (ПР-12, ПР-24)

1 мин · теория
ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби». ПР-11: «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики». ПР-24 (строка R01): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки…».
Виды деятельности ФРП: «Применять преобразования выражений для решения задач», «Выражать переменные из формул (физических, геометрических, описывающих бытовые ситуации)».
Каждый тип: образец по шагам (учитель) → «решите сами» → задания с самопроверкой (ответы по клику). Тип 4 — короче, если не успеваем.

повторение: ALG8U-055…068

Разминка · по одному ключу к каждому типу

Пять вопросов — пять ключей

Вопрос	Ответ	Ключ к типу
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = ?$	$\frac{1}{n ( n + 1 )}$	тип 1: разность дробей
$\frac{5 n + 3}{n} = 5 + ?$	$\frac{3}{n}$	тип 2: целая часть
$\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = ?$	$\frac{ab}{a + b}$	тип 3: «переворот»
Когда $\frac{( a - b ) ^{2}}{ab} \geq 0$ ?	при $ab > 0$	тип 4: знак дроби
При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = 0$ ?	$x = 1$ ( $x \neq = - 1$ )	запреты

R04.1 · тип 1

Тип 1 · образец · телескопическая сумма

Вычислите $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$

R04.1 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Разложите каждое слагаемое — и сверните

а) Упростите: $\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )}$

= \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \dots - \frac{1}{x + 3}

= \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{x ( x + 3 )}

запреты:

x \neq = 0; - 1; - 2; - 3

б) Вычислите: $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{19 \cdot 21}$

\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})

разность даёт

\frac{2}{k ( k + 2 )}

— делим на 2

= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{21}) = \frac{10}{21}

R04.1 · тип 1

Задания с самопроверкой · тип 1

Сверните сумму — ответ откроется по клику

база $\frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$ $\frac{3}{20}$
база $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$ $\frac{99}{100}$
база $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{18 \cdot 20}$ $\frac{9}{40}$
повыш. $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{28 \cdot 31}$ $\frac{10}{31}$
повыш.Упростите $\frac{1}{( a - 1 ) a} + \frac{1}{a ( a + 1 )} + \frac{1}{( a + 1 ) ( a + 2 )}$ $\frac{3}{( a - 1 ) ( a + 2 )}$
повыш.При каком $n$ сумма $\frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}$ равна $0, 95$ ? $n = 19$

R04.1 · тип 2

Тип 2 · образец · целые значения дроби

При каких целых $n$ дробь $\frac{2 n + 9}{n + 3}$ — целое число?

\frac{2 n + 9}{n + 3} = \frac{2 ( n + 3 ) + 3}{n + 3}

= 2 + \frac{3}{n + 3}

выделили целую часть

n + 3 \in {\pm 1; \pm 3}

делители числа 3

n \in {- 6; - 4; - 2; 0}

R04.1 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Выделите целую часть — переберите делители

а) Целые $n$ , при которых $\frac{n ^{2} - 2 n + 5}{n - 1}$ — целое

= \frac{( n - 1 ) ^{2} + 4}{n - 1} = n - 1 + \frac{4}{n - 1}

n - 1 \in {\pm 1; \pm 2; \pm 4}

n \in {- 3; - 1; 0; 2; 3; 5}

б) Натуральные $n$ , при которых $\frac{4 n + 11}{2 n + 1}$ — целое

= 2 + \frac{9}{2 n + 1}

2 n + 1 \geq 3

, нечётно:

3

или

9

n = 1

или

n = 4

R04.1 · тип 2

Задания с самопроверкой · тип 2

При каких целых $n$ значение дроби — целое?

база $\frac{n + 6}{n}$ $\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 6$
база $\frac{3 n + 7}{n + 2}$ $- 3; - 1$
база $\frac{2 n - 1}{n - 2}$ $- 1; 1; 3; 5$

повыш. $\frac{n ^{2} + 3}{n + 1}$ $- 5; - 3; - 2; 0; 1; 3$
повыш. $\frac{n ^{3} + 1}{n - 1}$ $- 1; 0; 2; 3$
повыш.натуральные $n$ : $\frac{6 n + 5}{2 n - 1}$ только $n = 1$

3 мин · практика
1) 1 + 6/n: n — делитель 6, восемь значений ±1, ±2, ±3, ±6. 2) 3 + 1/(n + 2): n + 2 = ±1 → n = −1 (4/1 = 4 ✓), n = −3 ((−2)/(−1) = 2 ✓). 3) 2 + 3/(n − 2): n − 2 ∈ {±1; ±3} → n = 3, 1, 5, −1; проверка n = −1: (−3)/(−3) = 1 ✓.
4) n² + 3 = (n + 1)(n − 1) + 4 → n − 1 + 4/(n + 1); n + 1 ∈ {±1; ±2; ±4} → n = 0, −2, 1, −3, 3, −5; проверка n = −5: 28/(−4) = −7 ✓. 5) n³ + 1 = (n − 1)(n² + n + 1) + 2 → n − 1 ∈ {±1; ±2} → n = 2, 0, 3, −1; проверка n = 3: 28/2 = 14 ✓, n = −1: 0/(−2) = 0 ✓.
6) 3 + 8/(2n − 1): 2n − 1 — нечётный делитель 8, т. е. 1 → n = 1 (11/1 = 11 ✓). Ловушка: делители 2, 4, 8 чётные — не подходят.
Все ответы проверены перебором n от −60 до 60.

R04.1 · ПР-13 · тип 3

Тип 3 · образец · переменная из формулы

Параллельное соединение: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

\frac{1}{R} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1} R _{2}}

общий знаменатель

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{6 \cdot 3}{9} = 2

«перевернули» обе части

R_{1} = \frac{R R _{2}}{R _{2} - R}

а так — выразили

R_{1}

3 мин · теория
Алгоритм: 1) правую часть — к общему знаменателю; 2) равны дроби с числителем 1 — равны и знаменатели («переворачиваем» обе части, все величины ≠ 0); 3) подставляем числа.
R = 6 · 3 / (6 + 3) = 2 Ом. Проверка: 1/6 + 1/3 = 1/2 ✓. Вывод физики: общее сопротивление меньше каждого из сопротивлений.
Выражаем R₁: $\frac{1}{R _{1}} = \frac{1}{R} - \frac{1}{R _{2}} = \frac{R _{2} - R}{R R _{2}}$ → $R_{1} = \frac{R R _{2}}{R _{2} - R}$ . Проверка: 2 · 3 / (3 − 2) = 6 ✓. Смысл: R₂ > R.
Ошибка: « $R = R_{1} + R_{2}$ » — «перевернули» каждое слагаемое отдельно. $\frac{1}{a + b} \neq = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .

R04.1 · ПР-13 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Физика и дорога: выразите и вычислите

а) Линза: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ . Выразите $f$ ; найдите при $d = 30$ см, $F = 10$ см.

\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{d F}

f = \frac{d F}{d - F} = \frac{300}{20} = 15

см

б) Туда — со скоростью $v_{1}$ , обратно — $v_{2}$ . Средняя скорость? Найдите при 60 и 40 км/ч.

v_{ср} = \frac{2 s}{\frac{s}{v _{1}} + \frac{s}{v _{2}}} = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}

\frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48

км/ч

Общий приём:

\frac{1}{x} = \frac{1}{A} - \frac{1}{B} = \frac{B - A}{A B} \Rightarrow x = \frac{A B}{B - A}

R04.1 · ПР-13 · тип 3

Задачи из жизни · с самопроверкой

Составьте формулу — и посчитайте

практикаМаша наберёт текст за 6 ч, Петя — за 12 ч. За сколько часов наберут вместе? $4$ ч
практикаКран наполняет бак за $a$ ч, слив опорожняет за $b$ ч ( $b > a$ ). Открыли оба. Формула и время при $a = 4$ , $b = 6$ ? $\frac{ab}{b - a} = 12$ ч

повыш.Из $v = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$ выразите $v_{2}$ ; найдите при $v = 48$ , $v_{1} = 60$ . $\frac{v v _{1}}{2 v _{1} - v} = 40$
базаКакое $R_{2}$ подключить параллельно к $R_{1} = 12$ Ом, чтобы получить $R = 3$ Ом? $4$ Ом

R04.1 · тип 4

Тип 4 · образец · оценка выражения

Докажите: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ при $ab > 0$

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a ^{2} - 2 ab + b ^{2}}{ab}

сравниваем через разность

= \frac{( a - b ) ^{2}}{ab} \geq 0

числитель

\geq 0

, знаменатель

> 0

равенство только при

a = b

3 мин · теория
Приём: чтобы доказать A ≥ B, преобразуем разность A − B в дробь и определяем её знак.
При ab > 0 знаменатель положителен, квадрат неотрицателен — дробь ≥ 0. Равенство при a = b.
График: обозначим x = a/b > 0, тогда выражение равно x + 1/x. Таблица для графика: x = 0,5 → 2,5; 1 → 2; 2 → 2,5; 4 → 4,25. Наименьшее значение 2 при x = 1. Строим по точкам; свойства таких функций — в строке R06.
Вопрос: верно ли неравенство при a = 1, b = −1? Нет: −1 − 1 = −2 < 2. Условие ab > 0 обязательно.

R04.1 · тип 4

Тип 4 · решите сами

Разность → дробь → знак

а) Сравните $\frac{a}{b}$ и $\frac{a + 1}{b + 1}$ при $0 < a < b$

\frac{a + 1}{b + 1} - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b ( b + 1 )}

> 0

, значит

\frac{a + 1}{b + 1} > \frac{a}{b}

пример:

\frac{3}{4} > \frac{2}{3}

б) Наименьшее значение $\frac{x ^{2} + 9}{x}$ при $x > 0$

\frac{x ^{2} + 9}{x} - 6 = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{x} \geq 0

наименьшее

6

при

x = 3

Приём:

A \geq B \Leftrightarrow A - B \geq 0

— разность приводим к одной дроби и смотрим на знаки числителя и знаменателя

R04.1 · тип 4

Задания с самопроверкой · тип 4

Разность → дробь → знак

базаДокажите: $x + \frac{4}{x} \geq 4$ при $x > 0$ . $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{x} \geq 0$
базаСравните $\frac{a}{b}$ и $\frac{a + 2}{b + 2}$ при $0 < a < b$ . вторая больше
повыш.Наименьшее значение $\frac{x ^{2} + 16}{x}$ при $x > 0$ . $8$ при $x = 4$
повыш.Докажите: $\frac{a + b}{2} \geq \frac{2 ab}{a + b}$ при $a, b > 0$ $\frac{( a - b ) ^{2}}{2 ( a + b )} \geq 0$

R04.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{1}{1 \cdot 3} = 1 - \frac{1}{3}$	нет множителя $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3})$
« $\frac{2 n + 9}{n + 3}$ целое при $n + 3 = \pm 1$ »	забыты делители $\pm 3$	$n \in {- 6; - 4; - 2; 0}$
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} \Rightarrow R = R_{1} + R_{2}$	$\frac{1}{a + b} \neq = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$	$\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$
« $v_{ср} = \frac{60 + 40}{2} = 50$ »	время туда и обратно разное	$48$ км/ч
« $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ при любых $a, b \neq = 0$ »	нужно $ab > 0$	$a = 1, b = - 1$ : $- 2$

R04.1

Задания с самопроверкой · все четыре типа

Шесть заданий от базы к исследованию

базаВычислите $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{11 \cdot 12}$ .
базаПри каких целых $n$ значение $\frac{n + 5}{n + 1}$ — целое число?
базаИз формулы $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ выразите $b$ .
повыш.Докажите: $\frac{a ^{2} + 4}{a} \geq 4$ при $a > 0$ .
практикаДва крана по отдельности наполняют бак за $a$ ч и $b$ ч. За сколько часов — вместе? Найдите при $a = 3$ , $b = 6$ .
повыш.Упростите $\frac{1}{x ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 4 )} + \frac{1}{( x + 4 ) ( x + 6 )}$ .

Подсказки

2) $1 + \frac{4}{n + 1}$

5) за 1 ч: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ бака

6) множитель $\frac{1}{2}$

Ответы

1) $\frac{5}{12}$ · 2) $n \in {- 5; - 3; - 2; 0; 1; 3}$

3) $b = \frac{a c}{a - c}$ · 4) $\frac{( a - 2 ) ^{2}}{a} \geq 0$

5) $2$ ч · 6) $\frac{3}{x ( x + 6 )}$

3 мин · практика
Работают 2 мин, затем ответы открываются по клику (что не успели — в ДЗ). 1) 1/2 − 1/12 = 5/12.
2) n + 1 ∈ {±1; ±2; ±4} → n ∈ {−5; −3; −2; 0; 1; 3}. Проверка: n = 3: 8/4 = 2 ✓; n = −5: 0/(−4) = 0 ✓ (ноль — целое); n = −3: 2/(−2) = −1 ✓.
3) 1/b = 1/c − 1/a = (a − c)/(ac) → b = ac/(a − c), a ≠ c. Проверка: a = 3, c = 2 → b = 6: 1/3 + 1/6 = 1/2 ✓.
4) $\frac{a ^{2} + 4}{a} - 4 = \frac{( a - 2 ) ^{2}}{a} \geq 0$ при a > 0; равенство при a = 2.
5) t = 1 : (1/a + 1/b) = ab/(a + b); при 3 и 6: 18/9 = 2 ч. Проверка: за 2 ч 2/3 + 1/3 = 1 бак ✓.
6) $\frac{1}{x ( x + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2})$ ; сумма ½(1/x − 1/(x + 6)) = $\frac{3}{x ( x + 6 )}$ , x ≠ 0, −2, −4, −6. Проверка x = 1: 1/3 + 1/15 + 1/35 = 45/105 = 3/7 = 3/(1 · 7) ✓.

R04.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$\frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{14 \cdot 15}$ $\frac{2}{15}$
Целые $n$ : $\frac{n + 7}{n + 2}$ — целое. $- 7; - 3; - 1; 3$
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ , $R_{1} = 10$ , $R_{2} = 15$ . Найдите $R$ . $6$ Ом
Наименьшее $\frac{x ^{2} + 25}{x}$ при $x > 0$ . $10$

Вариант 2

$\frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{11 \cdot 12}$ $\frac{1}{4}$
Целые $n$ : $\frac{n + 9}{n + 4}$ — целое. $- 9; - 5; - 3; 1$
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ , $F = 12$ , $d = 20$ . Найдите $f$ . $30$ см
Наименьшее $\frac{x ^{2} + 36}{x}$ при $x > 0$ . $12$

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин проверка по клику)
В-1: 1) 1/5 − 1/15 = 2/15. 2) 1 + 5/(n + 2): n + 2 ∈ {±1; ±5} → n = −1, −3, 3, −7; проверка n = 3: 10/5 = 2 ✓, n = −7: 0/(−5) = 0 ✓. 3) R = 150/25 = 6 Ом; проверка 1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6 ✓. 4) (x² + 25)/x − 10 = (x − 5)²/x ≥ 0 → наименьшее 10 при x = 5.
В-2: 1) 1/3 − 1/12 = 3/12 = 1/4. 2) 1 + 5/(n + 4): n + 4 ∈ {±1; ±5} → n = −3, −5, 1, −9; проверка n = 1: 10/5 = 2 ✓, n = −5: 4/(−1) = −4 ✓. 3) f = dF/(d − F) = 240/8 = 30 см; проверка 1/20 + 1/30 = 5/60 = 1/12 ✓. 4) (x² + 36)/x − 12 = (x − 6)²/x ≥ 0 → наименьшее 12 при x = 6.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Можно провести взаимопроверку соседей.

R04.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12 (расчёт по формуле)

Общее сопротивление при параллельном соединении

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

Пользуясь формулой, найдите $R_{2}$ (в омах), если $R = 4$ Ом, $R_{1} = 12$ Ом.

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему сумма $\frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}$ меньше 1?
Зачем выделять целую часть дроби?
Какой тип был самым трудным?

Домашнее задание

$\frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{19 \cdot 20}$
Целые $n$ : $\frac{3 n - 1}{n + 1}$ — целое.
Из $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$ выразите $d$ .
* Наименьшее значение $\frac{x ^{2} + x + 4}{x}$ при $x > 0$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-069 · Практикум: рациональные выражения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 15/17 · тип П (практикум), второй практикум по единице R04.1 (первый — ALG8U-062)
Единицы → слайды	R04.1 «Рациональные выражения» → 2, 4–20 (повторение R04.4–R04.6 → 3); теория 13 мин (сл. 2, 4, 7, 10, 13) · практика 32 мин (71 %)
Результаты	ПР-10 (основное свойство дроби) → 7–9, 11, 18 · ПР-11 (действия с дробями) → 3–6, 10–12, 17, 18 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 4–9, 13–18 · ПР-13 (применение к задачам) → 10–12, 17–19 · ПР-24 (сравнение, оценка) → 13–15, 18 · ПР-9 (допустимые значения) → 3, 5, 6 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	тождественные преобразования (практикум) — ALG8U-070; обобщение строки — ALG8U-071; дробно-рациональные уравнения — строка R05; функция $y = \frac{k}{x}$ и её свойства — строка R06
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:рациональныевыражения

Четыре новых типа — четыре умения

1Сворачивать суммы

2Искать целые значения

3Выражать из формулы

4Оценивать и сравнивать

Пять вопросов — пять ключей

Вычислите 1⋅21​+2⋅31​+3⋅41​+…+9⋅101​

Разложите каждое слагаемое — и сверните

Сверните сумму — ответ откроется по клику

При каких целых n дробь n+32n+9​ — целое число?

Выделите целую часть — переберите делители

При каких целых n значение дроби — целое?

Параллельное соединение: R1​=R1​1​+R2​1​

Физика и дорога: выразите и вычислите

Составьте формулу — и посчитайте

Докажите: ba​+ab​≥2 при ab>0

Разность → дробь → знак

Разность → дробь → знак

Найдите ошибку

Шесть заданий от базы к исследованию

Подсказки

Ответы

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Общее сопротивление при параллельном соединении

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-069 · Практикум: рациональные выражения

Практикум:
рациональные
выражения

Вычислите $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$

При каких целых $n$ дробь $\frac{2 n + 9}{n + 3}$ — целое число?

При каких целых $n$ значение дроби — целое?

Параллельное соединение: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

Докажите: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ при $ab > 0$